第12章實數（壓軸30題專練）一、單選題1．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法：①當輸出值y為時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據運算規則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；

②輸入值x為16時，，故②說法正確；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯誤；

④當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術平方根是1，一定是有理數，故④原說法正確．

其中錯誤的是①③．

故選：D．【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．2．（2021·江蘇溧陽·七年級期中）若實數p，q，m，n在數軸上的對應點的位置如圖所示，且滿足，則絕對值最小的數是（）A．p B．q C．m D．n【答案】C【分析】根據，并結合數軸可知原點在q和m之間，且離m點最近，即可求解．【詳解】解：∵結合數軸可得：，即原點在q和m之間，且離m點最近，∴絕對值最小的數是m，故選：C．【點睛】本題考查實數與數軸，解題的關鍵是明確數軸的特點，利用數形結合的思想解答．3．（2020·浙江臺州·模擬預測）有這樣一種算法，對于輸入的任意一個實數，都進行“先乘以，再加3”的運算.現在輸入一個，通過第1次運算的結果為，再把輸入進行第2次同樣的運算，得到的運算結果為，…，一直這樣運算下去，當運算次數不斷增加時，運算結果（）A．越來越接近4 B．越來越接近于－2C．越來越接近2 D．不會越來越接近于一個固定的數【答案】C【分析】先根據算法得出，再分別求出的運算式子，然后歸納類推出一般規律，最后利用有理數乘方的性質即可得．【詳解】根據算法得：（且為整數）變形為則歸納類推得：由題意得：則即當n無限大時，無限趨近于0則即當運算次數不斷增加時，運算結果越來越接近2故選：C．【點睛】本題考查了有理數的乘方、與實數運算相關的規律型問題，理解新算法，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．4．（2020·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校模擬預測）我們知道，任意一個正整數n都可以進行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數之差的絕對值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解，并規定：F（n）=．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因為12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．如果一個兩位正整數t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數），交換其個位上的數與十位上的數得到的新數減去原來的兩位正整數所得的差為36，那么我們稱這個數t為“吉祥數”．根據以上新定義，下列說法正確的有：（1）F（48）=；（2）如果一個正整數m是另外一個正整數n的平方，我們稱正整數m是完全平方數，則對任意一個完全平方數m，總有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥數”；（4）“吉祥數”中，F（t）的最大值為．()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據最佳分解的定義判斷（1）和（2），根據吉祥數的定義判斷（3）和（4），即可得出答案．【詳解】（1）48可以分解為1×48，2×24，3×16，4×12，6×8∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）=，故（1）正確；（2）對任意一個完全平方數m設m=n2（n為正整數）∵∴n×n是m的最佳分解∴對任意一個完全平方數m，總有，故（2）正確；（3）51-15=36，故15為吉祥數；62-26=36，故36為吉祥數，故（3）正確；（4）設交換t的個位上的數與十位上的數得到的新數為T=10y+x∵t為吉祥數∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36∴y=x+4∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數∴吉祥數有：15,26,37,48,59∴，，，，∴最大值為，故（4）正確；故答案選擇D．【點睛】本題考查的是新定義，難度適中，解題關鍵是掌握最佳分解和吉祥數的概念．5．（2020·湖北茅箭·八年級期中）如圖，將1、、三個數按圖中方式排列，若規定（a，b）表示第a排第b列的數，則（9，3）與（2019，2019）表示的兩個數的積是（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根據觀察數列，可得，每三個數一循環，根據有序數對的表示方法，可得有序數對表示的數，根據實數的運算，可得答案．【詳解】每三個數一循環，1、、，則前8排共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7+8＝36個數，因此（9，3）在排列中是第36＋3＝39個，39÷3＝13，（9，3）表示的數正好是第13輪的最后一個，即（9，3）表示的數是，前2019排共有1＋2＋3…＋2019＝（1＋2019）×2019÷2＝2039190個數，2039190÷3＝679730，（2019，2019）表示的數正好是第679730輪的最后一個數，即（2019，2019）表示的數是，×＝3，故選：C．【點睛】本題考查了數字的變化類，解題的關鍵是根據題意找到數字的變化規律．6．（2020·山東·德州市第十五中學九年級期中）已知，，表示取三個數中最大的那個數﹒例如：當，，，=，，=81﹒當，，=時，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用已知分別分析得出符合題意的答案．【詳解】解：當，，=時，若，解得：x=，此時，此時符合題意；若，解得：x=，此時，此時不符合題意；若x=，此時，此時不符合題意，綜上，x=，故答案為：B.【點睛】本題主要考查實數大小比較，算術平方根及其最值問題，解決此題時，注意分類思想的運用．二、填空題7．（2021·上海靜安·七年級期末）設，，，…，．設，則S=_____________（用含n的代數式表示，其中n為正整數）．【答案】【詳解】∵Sn=1++===∴==1+-∴S=1+1﹣+1+﹣+…+1+﹣=n+1﹣==故答案為．8．（2020·安徽·蕪湖一中九年級）對于任意的正整數，記，xn∥yn表示，且xn+1y．則使得成立的最大整數【答案】26【分析】先根據計算的和，明確題意要的是和里面的因數5的個數即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵中有21個因數5（注意25和75都是2個），且，∴中共有26個因數5，故使得成立的最大整數為26；故答案為：26．【點睛】本題考查的是整除，關鍵是正確理解題意，能夠找出中共有26個因數5．9．（2019·浙江杭州·九年級）觀察下列各式：……計算：_________．【答案】【分析】根據題目中給出的式子找到規律，寫出，然后通過裂項相消解題即可.【詳解】解：原式=…=…==【點睛】本題考查了有理數的加減混合運算，解題的關鍵是觀察式子，找出規律，靈活運用裂項相消進行計算.10．（2021·云南·昆明市外國語學校七年級階段練習）觀察下列等式：＝；＝；＝；……，則第n（n為正整數）個等式是__．【答案】【分析】根據算術平方根和數字變化的規律，即可解答．【詳解】歸納類推得：第n（n為正整數）個等式是故答案為：．【點睛】本題考查了算術平方根和數字變化的規律，根據觀察前3個等式，歸納類推出一般規律是解題關鍵．11．（2021·浙江浙江·七年級階段練習）對任意一個三位數n，如果n滿足各個數位上的數字互不相同，且都不為零，那么稱這個數為“相異數”，將一個“相異數”任意兩個數位上的數字對調后可以得到三個不同的新三位數，把這三個新三位數的和與111的商記為．例如n=123，對調百位與十位上的數字得到213，對調百位與個位上的數字得到321，對調十位與個位上的數字得到132，這三個新三位數的和為213+321+132=666，，所以．（1）計算：=____．（2）若s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y(，，x，y都是正整數)，規定：，當時，求k的最小值是____．【答案】10．【分析】（1）根據“相異數”的定義列式計算即可；（2）由s=100x+32，t=150+y結合，即可得出關于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根據“相異數”的定義結合的定義式，即可求出、的值，將其代入中，即可求出最小值．【詳解】解：（1）根據“相異數”的定了可得127的三個新三位數為：217，721，172，∴，故答案為：10；（2）∵s，t都是“相異數”，其中s=100x+32，t=150+y，∴，，∵，∴，∴，∵，，x，y都是正整數，∴或或或或或，∵s是“相異數”，∴且，∵t是“相異數”，∴且，∴或或，①當時，，則，②當時，，則，③當時，，則，∴當時，k取得最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了新定義運算和二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據新定義列式計算和列出關于未知數的方程．12．（2019·福建·莆田第二十四中學七年級期中）對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當n為非負整數時，若，則（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4．給出下列關于（x）的結論：①（1.493）=1；②（2x）=2（x）；③若（）=4，則實數x的取值范圍是9≤x<11；④當x≥0，m為非負整數時，有（m+2019x）=m+（2019x）；⑤（x+y）=（x）+（y）；其中，正確的結論有__________（填寫所有正確的序號）．【答案】①③④【分析】根據題意，可以直接判斷①，②和⑤可以舉反例判斷，③和④可以根據題意利用不等式進行判斷.【詳解】解：①（1.493）=1，故①正確；②（2x）≠2（x），當x=0.3時，（2x）=1，2（x）=0，故②錯誤；③若（x-1）=4，則4-≤x-1＜4+，解得:9≤x＜11，故③正確；④m為整數，故（m+2019x）=m+（2019x），故④正確；⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4時，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤錯誤；故答案為：①③④.【點睛】本題主要考查學生的理解能力，關鍵是認真審題，看到所得值是個位數四舍五入的值.13．（2019·浙江杭州·九年級）對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為<x>，即當n為非負整數時，若，則（如），給出下列關于<x>的結論：①若<2x-1>=3，則實數x的取值范圍為；②當x≥0，m為非負整數時，有<x+m>=m+<x>；③<x+y>=<x>+<y>；其中，正確的結論有_______（填寫所有正確的序號）【答案】①②【分析】根據定義即可判斷①；分別表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式，可判斷②；用舉反例法可判斷③.【詳解】解：由題意得：①∵<2x-1>=3，則3-≤2x-1＜3+，解得：≤x＜，故正確；②設＜x＞=n，則n?≤x＜n+，n為非負整數；

∴(n+m)?≤x+m＜(n+m)+，且n+m為非負整數，

∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞；③舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，

∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，

∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；故答案為：①②.【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用和理解題意的能力，關鍵是看到所得值是個位數四舍五入后的值，問題可得解．14．（2019·浙江衢州·七年級期中）若規定符號的意義是：，則當時，的值為________．【答案】【分析】根據定義的新運算的運算法則，得出的值，然后進行化簡，最后再整體代入即可求值．【詳解】∵，∴，∴原式=．故答案為：6．【點睛】本題主要考查定義新運算，掌握多項式的乘法法則和整體代入法是解題的關鍵．15．（2019·內蒙古呼和浩特·七年級期中）若滿足關系式，則________．【答案】201【分析】根據能開平方的數一定是非負數，得199-x-y≥0，x-199+y≥0，所以199-x-y=x-199+y=0，即x+y=199①，從而有=0，再根據算術平方根的非負性可得出3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯立①②③解方程組可得出m的值．【詳解】解：由題意可得，199-x-y≥0，x-199+y≥0，∴199-x-y=x-199+y=0，∴x+y=199①．∴=0，∴3x+5y-2-m=0②，2x+3y-m=0③，聯立①②③得，，②×2-③×3得，y=4-m，將y=4-m代入③，解得x=2m-6，將x=2m-6，y=4-m代入①得，2m-6+4-m=199，解得m=201．故答案為：201．【點睛】本題考查了算術平方根的非負性以及方程組的解法，掌握幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0是解題的關鍵．16．（2021·全國·九年級專題練習）已知的小數部分是，的小數部分是，則________．【答案】1【分析】根據4＜7＜9可得，2＜＜3，從而有7＜5+＜8，由此可得出5+的整數部分是7，小數部分a用5+減去其整數部分即可，同理可得b的值，再將a，b的值代入所求式子即可得出結果．【詳解】解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴-3＜-＜-2，∴7＜5+＜8，2＜5-＜3，∴5+的整數部分是7，5-的整數部分為2，∴a=5+-7=-2，b=5--2=3-，∴12019=1．故答案為：1．【點睛】此題主要考查了估算無理數的大小，正確得出各數的小數部分是解題關鍵．17．（2019·湖北安陸·七年級期中）任何實數，可用[a]表示不超過a的最大整數如[4]＝4，[]＝2，現對72進行如下操作：，這樣對72只需進行3次操作后變為1，類似地，對正整數x只進行3次操作后的結果是1，則x在最大值是_____．【答案】255【分析】根據規律可知，最后的取整是1，則操作前的一個數字最大是3，再向前一步推，操作前的最大數為15，再向前一步推，操作前的最大數為255；據此得出答案即可．【詳解】解：∵，，，∴只進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是255，故答案為：255．【點睛】本題考查了估算無理數大小的應用，主要考查學生的閱讀能力和逆推思維能力．18．（2018·河南鄭州·七年級期末）在研究“數字黑洞”這節課中，樂樂任意寫下了一個四位數（四數字完全相同的除外），重新排列各位數字，使其組成一個最大的數和一個最小的數，然后用最大的數減去最小的數，得到差:重復這個過程，……，樂樂發現最后將變成一個固定的數，則這個固定的數是__________．【答案】6174【分析】任選四個不同的數字，組成個最大的數和一個最小的數，用大數減去小數，如1234，

4321-

1234=

3087，8730-378=

8352

，

8532一2358=

6174，6174是符合條件的4位數中唯一會產生循環的(7641-1467=

6174)

這個在數學上被稱之為卡普耶卡(Kaprekar)猜想.【詳解】任選四個不同的數字，組成一個最大的數和一個最小的數，用大數減去小數，用所得的結果的四位數重復上述的過程，最多七步必得6174，如1234，

4321-1234

=3087，8730

-378

=

8352，

8532-2358=

6174，這一現象在數學上被稱之為卡普耶卡(Kaprekar)猜想，故答案為：6174.【點睛】此題考查數字的規律運算，正確理解題意通過計算發現規律并運用解題是關鍵.三、解答題19．（2018·上?！とA東理工大學附屬中學七年級階段練習）【答案】-9【分析】先按照二次根式、零次冪、負指數冪等知識對原式進行化簡，然后再進行運算即可.【詳解】解：=+1-5-4=-9【點睛】本題主要考查了二次根式、零次冪、負指數冪等知識，考查知識點多，容易出錯，需引起足夠關注.20．（2019·上海浦東新·七年級階段練習）已知，求【答案】7【分析】根據題意，把已知的代數式兩邊分別求平方，化簡即可.【詳解】因為所以（）2=x+x-1+2=9所以x+x-1=7.21．（2021·上海楊浦·七年級期中）閱讀下面的文字，解答問題．對于實數a，我們規定：用符號[a]表示不大于a的最大整數；用{a}表示a減去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法計算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，寫出所有滿足題意的整數x的值：．（3）已知y0是一個不大于280的非負數，且滿足{}＝0．我們規定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此類推，直到yn第一次等于1時停止計算．當y0是符合條件的所有數中的最大數時，此時y0＝，n＝．【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4【分析】（1）依照定義進行計算即可；（2）由題可知，，則可得滿足題意的整數的的值為1、2、3；（3）由，可知，是某個整數的平方，又是符合條件的所有數中最大的數，則，再依次進行計算．【詳解】解：（1）由定義可得，，，．故答案為：2；．（2），，即，整數的值為1、2、3．故答案為：1、2、3．（3），即，可設，且是自然數，是符合條件的所有數中的最大數，，，，，，即．故答案為：256，4．【點睛】本題屬于新定義類問題，主要考查估算無理數大小，無理數的整數部分和小數部分，理解定義內容是解題關鍵．22．（2019·上海市松江區九亭中學七年級期中）對于實數a，我們規定：用符號表示不大于的最大整數，稱為a的根整數，例如：，=3．(1)仿照以上方法計算：=______；=_____．(2)若，寫出滿足題意的x的整數值______．如果我們對a連續求根整數，直到結果為1為止．例如：對10連續求根整數2次=1，這時候結果為1．(3)對100連續求根整數，____次之后結果為1．(4)只需進行3次連續求根整數運算后結果為1的所有正整數中，最大的是____．【答案】（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定義可得結果；（2）根據定義可知x＜4，可得滿足題意的x的整數值；（3）根據定義對120進行連續求根整數，可得3次之后結果為1；（4）最大的正整數是255，根據操作過程分別求出255和256進行幾次操作，即可得出答案．【詳解】解：（1）∵22=4，62=36，52=25,∴5＜＜6，∴[]=[2]=2，[]=5，故答案為2，5；（2）∵12=1，22=4，且[]＝1，∴x=1，2，3，故答案為1，2，3；（3）第一次：[]=10，第二次：[]=3，第三次：[]=1，故答案為3；（4）最大的正整數是255，理由是：∵[]=15，[]=3，[]=1，∴對255只需進行3次操作后變為1，∵[]=16，[]=4，[]=2，[]=1，∴對256只需進行4次操作后變為1，∴只需進行3次操作后變為1的所有正整數中，最大的是255，故答案為255．【點睛】本題考查了估算無理數的大小的應用，主要考查學生的閱讀能力和猜想能力，同時也考查了一個數的平方數的計算能力．23．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如果把一個奇數位的自然數各數位上的數字從最高位到個位依次排列，與從個位到最高位依次排列出的一串數字完全相同，相鄰兩個數位上的數字之差的絕對值相等（不等于0），且該數正中間的數字與其余數字均不同，我們把這樣的自然數稱為“階梯數”，例如自然數12321，從最高位到個位依次排出的一串數字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一個“階梯數”，又如262，85258，…，都是“階梯數”，若一個“階梯數”t從左數到右，奇數位上的數字之和為M，偶數位上的數字之和為N，記P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．（1）已知一個三位“階梯數”t，其中P（t）=12，且Q（t）為一個完全平方數，求這個三位數；（2）已知一個五位“階梯數”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求該五位“階梯數”t的最大值與最小值．【答案】（1）171；（2）最大值是67876，最小值是21012【分析】（1）設“階梯數”t的百位為x，相鄰兩數的差為k，則t=，可得M=a+a=2a，N=a+k，根據P（t）=12，得到關于k的方程，可求得k=6，再根據Q（t）=3a+6為一個完全平方數，其中1≤a≤9，可求3a+6=9，16，25，可求a=1，從而得到這個三位數；（2）設某五位階梯數為，根據==2778a+302k+，可得2k﹣a是4的倍數，根據M=3a+2k，N=2A+2K，可得Q（t）=M+N=5a+4k，則=k+a+，可得a﹣2是4的倍數，根據完全平方數的定義得到a=2，6，再分兩種情況求出T的值，進一步得到該五位“階梯數”t的最大值和最小值．【詳解】解：（1）設“階梯數”t的百位為x，相鄰兩數的差為k，則t=，∴M=a+a=2a，N=a+k，∴P（t）=2N﹣M=2（a+k）﹣2a=2k=12，∴k=6．∵Q（t）=M+N=2a+a+k=3a+6為一個完全平方數，其中1≤a≤9，∴9≤3a+6≤33，∴3a+6=9，16，25，∴a=1，∴t=171；（2）設某五位階梯數為．∵==2778a+302k+，∴2k﹣a是4的倍數．∵M=3a+2k，N=2a+2k，∴Q（t）=M+N=5a+4k，∴=k+a+，∴a﹣2是4的倍數．∵1≤a≤9，∴﹣1≤a﹣2≤7，∴a﹣2=0，4，∴a=2，6．當a=2時，為整數且0≤2+2k≤9，∴﹣1≤k≤3.5，∴k=±1，3，所以t=21012，23432，25852；當a=6時，為整數且0≤6+2k≤9，∴﹣3≤k≤1.5，∴k=±1，﹣3，所以t=63036，65456，67876．所以該五位“階梯數”t的最大值是67876，最小值是21012．【點睛】考查了完全平方數，解題的關鍵是弄清楚“階梯數”的定義，從而寫出符合題意的數．24．（2021·重慶巴蜀中學九年級開學考試）閱讀材料，完成下列問題：材料一：若一個四位正整數（各個數位均不為0），千位和十位數字相同，百位和個位數字相同，則稱該數為成對數，，例如5353、3535都是成對數材料二：將一位四位正整數m的百位和十位交換位置后得到四位數n，F（m）=，（1）F(1234)=：F(3232)=（2）試證明任意成對數能被101整除；（3）若t為一個成對數，另一個成對數s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）為一個完全平方數，請求出所有滿足條件的F（t）的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）按照F（m）＝進行求解；（2）設成對數個位、百位數字為a，十位、千位數字為b，然后根據定義成對數的數值進行整理后可以得到解答；（3）可設t=m+100m+10n+1000n，則由題意可以用m、n表示出F（s）＋F（t），再根據題意由完全平方數的意義可以得到結果．【詳解】解：（1）由題意可得：F（1234）＝=，F（3232）＝=，故答案為；（2）設某成對數個位、百位數字為a，十位、千位數字為b，則其值為：a+100a+10b+1000b=101a+1010b=101（a+10b），∵a、b為整數，∴a+10b為整數，∴任意成對數能被101整除；（3）設t=m+100m+10n+1000n，則：F（t）=，由題意可得：F（s），∴F（s）＋F（t）=360+=90，∵1≤m≤9，1≤n≤9，∴0≤|m-n|≤8，∴4≤4+|m-n|≤12，由題意可得：4+|m-n|=10，即|m-n|=6，∵F（t）=90，∴F（t）=540．【點睛】本題考查新定義下的實數運算，通過閱讀材料搞清新定義的概念及運算是解題關鍵．25．（2021·浙江浙江·七年級期末）材料一：一個正整數x能寫成（a，b均為正整數，且），則稱x為“雪松數”，a，b為x的一個平方差分解，在x的所有平方差分解中，若最大，則稱a，b為x的最佳平方差分解，此時．例如：，24為雪松數，7和5為24的一個平方差分解，，因為，所以9和7為32的最佳平方差分解，．材料二：若一個四位正整數，它的千位數字與個位數字相同，百位數字與十位數字相同，但四個數字不全相同，則稱這個四位數為“南麓數”，例如4334，5665均為“南麓數”．根據材料回答：（1）請直接寫出兩個雪松數，并分別寫出它們的一對平方差分解；（2）試說明10不是雪松數；（3）若一個數t既是“雪松數”又是“南麓數”，并且另一個“南麓數”的前兩位數字組成的兩位數與后兩位數字組成的兩位數恰好是t的一個平方差分解，請求出所有滿足條件的數t．【答案】（1），；（2）見解析；（3）2772，5445【分析】（1）根據雪松數的特征即可得到結論；（2）根據題意即可得到結論；（3）設，均為正整數，且，另一個“南麓數”為，均為正整數，且，根據“南麓數”的特征即可得到結論．【詳解】解：（1）由題意可得：，；（2）若10是“雪松數”，則可設，均為正整數，且，則，又，，均為正整數，，，或，解得：或，與，均為正整數矛盾，故10不是雪松數；（3）設，均為正整數，且，另一個“南麓數”為，均為正整數，且，則，，整理得，，，，均為正整數，，經探究，，符合題意，的值分別為：2772，5445．【點睛】本題主要考查分解因式的應用，實數的運算，理解新定義，并將其轉化為實數的運算是解題的關鍵．26．（2021·重慶萬州·七年級期末）若一個四位數t的前兩位數字相同且各位數字均不為0，則稱這個數為“前介數”；若把這個數的個位數字放到前三位數字組成的數的前面組成一個新的四位數，則稱這個新的四位數為“中介數”；記一個“前介數”t與它的“中介數”的差為P（t）．例如，5536前兩位數字相同，所以5536為“前介數”；則6553就為它的“中介數”，P（5536）＝5536﹣6553＝-1017．（1）P（2215）＝，P（6655）＝．（2）求證：任意一個“前介數”t，P（t）一定能被9整除．（3）若一個千位數字為2的“前介數”t能被6整除，它的“中介數”能被2整除，請求出滿足條件的P（t）的最大值．【答案】（1）-3006，990；（2）見解析；（3）P（t）的最大值是P（2262）=36．【分析】（1）根據“前介數”t與它的“中介數”的差為P（t）的定義求解即可；（2）設“前介數”為且a、b、c均不為0的整數，即1a、b、c，根據定義得到P（t）=，則P（t）一定能被9整除；（3）設“前介數”為，根據題意得到能被3整除，且b只能取2，4，6，8中的其中一個數；對應的“中介數”是，得到a只能取2，4，6，8中的其中一個數，計算P（t），推出要求P（t）的最大值，即要盡量的大，要盡量的小，再分類討論即可求解．【詳解】（1）解：2215是“前介數”，其對應的“中介數”是5221，∴P（2215）=2215-5221=-3006；6655是“前介數”，其對應的“中介數”是5665，∴P（6655）=6655-5665=990；故答案為：-3006，990；（2）證明：設“前介數”為且a、b、c均為不為0的整數，即1a、b、c，∴，又對應的“中介數”是，∴P（t）=，∵a、b、c均不為0的整數，∴為整數，∴P（t）一定能被9整除；（3）證明：設“前介數”為且即1a、b，a、b均為不為0的整數，∴，∵能被6整除，∴能被2整除，也能被3整除，∴為偶數，且能被3整除，又1，∴b只能取2，4，6，8中的其中一個數，又對應的“中介數”是，且該“中介數”能被2整除，∴為偶數，又1，∴a只能取2，4，6，8中的其中一個數，∴P（t）=，要求P（t）的最大值，即要盡量的大，要盡量的小，①的最大值為8，的最小值為2，但此時，且14不能被3整除，不符合題意，舍去；②的最大值為6，的最小值仍為2，但此時，能被3整除，且P（t）=2262-2226=36；③的最大值仍為8，的最小值為4，但此時，且16不能被3整除，不符合題意，舍去；其他情況，減少，增大，則P（t）減少，∴滿足條件的P（t）的最大值是P（2262）=36．【點睛】本題考查用新定義解題，根據新定義，表示出“前介數”，與其對應的“中介數”是求解本題的關鍵．本題中運用到的分類討論思想是重要一種數學解題思想方法．27．（2021·江蘇·鎮江市外國語學校七年級階段練習）一般地，n個相同的因數a相乘；記為；如，此時；3叫做以2為底8的對數，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數，記為（即）．如，則4叫做以3為底81的對數，記為（即）．（1）計算下列各對數的值：______；_______；_______；（2）你能得到、、之間滿足怎樣的關系式：_______；（3）由（2）的結果，請你歸納出、、之間滿足的關系式：_________，（4）根據冪的運算以及對數的含義驗證（3）的結論．【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）見解析【分析】（1）根據對數的定義求解；（2）認真觀察，不難找到規律：根據4×16=64，可判斷log24+log216=log264；（3）由特殊到一般，得出結論：logaM+logaN=loga（MN）；（4）首先可設logaM=b1，logaN=b2，再根據冪的運算法則：an?am=an+m以及對數的含義證明結論．【詳解】解：（1）∵22=4，∴log24=2，∵24=16，∴log216=4，∵26=64，∴log264=6；（2）∵4×16=64，∴log24+log216=log264；（3）由題意可得：logaM+logaN=loga（MN）；（4）證明：設logaM=x，logaN=y，則ax=M，ay=N，∴MN=ax?ay=ax+y，∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．【點睛】此題主要考查了同底數冪的乘法應用，本題是開放性的題目，難度較大．借考查對數，實際考查學生對指數的理解、掌握的程度；要求學生不但能靈活、準確的應用其運算法則，還要會類比、歸納，推測出對數應有的性質．28．（2021·重慶一中七年級期中）把一個各個數位的數值互不相等且均不為0的正整數重新排列各數位上的數字，必可得到一個最大數和一個最小數，用最大數減去最小數可得原數的極差數，記為P（t）．例如，254的極差數P（254）＝542﹣245＝297，3245的極差數P（3245）＝5432﹣2345＝3087（1）P（326）＝；P（6152）＝；（2）已知一個三位數（其中a＞b＞3）的極差數P＝495，且這個三位數各數位上的數字之和為6的倍數，求這個三位數；（3）若一個兩位數m＝11a＋b，一個三位數n＝111a＋b＋200，（其中1≤a≤4，1≤a＋b≤9，a，b為正整數），交換三位數n的個位數字和百位數字得到新數n′，當m的個位數字的3倍與n′的和能被13整除時，稱這樣的兩個數m和n為“組合數對”，求所有“組合數對”中P（n）的最大值．【答案】（1）396，5265；（2）837；（3）594【分析】（1）直接根據極差數的定義計算可得；（2）首先根據P＝495，列出99a-297=495，求出a值，再根據三位數各數位上的數字之和為6的倍數，結合b的范圍得到b值，即可得到結果；（3）首先求出n′，得到3（a+b）+n′，根據整除的定義，變形得到為整數，結合a，b的范圍，求出，化簡可得，求