專題1.4線段的垂直平分線（知識解讀）【學習目標】1.理解線段垂直平分線的概念.2.探索并證明線段垂直平分線的性質定理.【知識點梳理】知識點1：線段垂直平分線1.定義經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線知識點2：線段垂直平分線性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.知識點3：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上【典例分析】【考點1：垂直平分線的性質】【典例1】（秋?慈溪市期末）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5，△ABD的周長為16，則△ABC的周長為（）A．18 B．21 C．24 D．26【變式1-1】（2021春?羅湖區校級期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，△BCE的周長為18，則AC的長等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【變式1-2】（大石橋市模擬）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝4cm，△ABD的周長為14cm，則△ABC的周長為（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm【變式1-3】（2021春?高明區校級期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，邊AC的垂直平分線分別AC、BC于點F、G、若BC＝4，則△AEG的周長為（）A．12 B．10 C．8 D．4【典例2】（2021春?嶗山區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度數為（）A．31° B．62° C．87° D．93°【變式2-1】（2020秋?鄒城市期末）如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，且分別交AB，AC于點D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠EBC等于度．【變式2-2】（秋?東臺市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝28°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝°．【變式2-3】（2021秋?蘇州期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且AE＝AB．（1）求證：∠B＝2∠C；（2）若AC＝10，AD＝6，求△ABC的周長．【考點2：垂直平分線的逆定理】【典例3】如圖，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線．【變式3】如圖，P是∠MON的平分線上的一點，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B．求證：PO垂直平分AB．【考點3：尺規作圖】【典例5】電信部門要修建一座電視信號發射塔P，按照設計要求，發射塔P到兩城鎮A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請在圖中作出發射塔P的位置．（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡） 【變式5】（2020秋?西山區期末）尺規作圖：已知∠AOB和C，D兩點，請在圖中用尺規作圖找出一點E，使得點E到OA，OB的距離相等，而且E點到C，D的距離也相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）專題1.4垂直平分線（知識解讀）【學習目標】1.理解線段垂直平分線的概念.2.探索并證明線段垂直平分線的性質定理.【知識點梳理】知識點1：線段垂直平分線1.定義經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。2.線段垂直平分線的作圖1.分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點；2.作直線CD，CD為所求直線知識點2：線段垂直平分線性質線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.知識點3：線段的垂直平分線逆定理到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上【典例分析】【考點1：垂直平分線的性質】【典例1】（秋?慈溪市期末）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5，△ABD的周長為16，則△ABC的周長為（）A．18 B．21 C．24 D．26【答案】D【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝CE＝5，而△ABD的周長是16，即AB+BD+AD＝16，∴AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝16+10＝26，即△ABC的周長是26．故選：D【變式1-1】（2021春?羅湖區校級期末）如圖，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，△BCE的周長為18，則AC的長等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，由題意得，BC+CE+BE＝18，則BC+CE+AE＝18，即BC+AC＝18，又BC＝8，∴AC＝10，故選：B．【變式1-2】（大石橋市模擬）如圖，△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝4cm，△ABD的周長為14cm，則△ABC的周長為（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm【答案】B【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，AE＝EC＝4cm，而△ABD的周長為14cm，即AB+BD+AD＝14cm，∴AB+BD+DC＝14cm，∴AB+BC+AC＝14cm+8cm＝22cm，即△ABC的周長為22cm．故選：B．【變式1-3】（2021春?高明區校級期末）如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E，邊AC的垂直平分線分別AC、BC于點F、G、若BC＝4，則△AEG的周長為（）A．12 B．10 C．8 D．4【答案】D【解答】解：∵ED，GF分別是AB，AC的垂直平分線，∴AE＝BE，AG＝GC，∴△AEG的周長為AE+AG+EG＝BC＝4．故選：D．【典例2】（2021春?嶗山區期末）如圖，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度數為（）A．31° B．62° C．87° D．93°【答案】C【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝31°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝31°，∴∠A＝180°﹣31°×3＝87°，故選：C．【變式2-1】（2020秋?鄒城市期末）如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，且分別交AB，AC于點D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，則∠EBC等于度．【答案】20【解答】解：∵A＝50°，∠C＝60°，∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝50°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝70°﹣50°＝20°，故答案為：20．【變式2-2】（秋?東臺市期中）如圖，在△ABC中，∠C＝28°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，如果DE垂直平分BC，那么∠A＝°．【答案】96【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝28°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝28°，∴∠A＝180°﹣28°×3＝96°，故答案為：96°．【變式2-3】（2021秋?蘇州期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，且AE＝AB．（1）求證：∠B＝2∠C；（2）若AC＝10，AD＝6，求△ABC的周長．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，∴∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C．（2）在直角三角形ACD中，∵∠ADC＝90°，∴＝8，∵AD⊥BC，AE＝AB，EF垂直平分AC，∴AB＝AE＝EC，DE＝BE，∴AB+BC＝AB+BD+DE+CE＝2DE+2CE＝2CD＝2×8＝16，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝16+10＝26．【考點2：垂直平分線的逆定理】【典例3】如圖，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求證：AD是線段BC的垂直平分線．【解析】證明：∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB(等邊對等角)又∵∠ABD=∠ACD(已知)∴∠ABD-∠ABC=∠ACD-∠ACB(等式性質)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC（等角對等邊）∵AB=AC（已知）DB=DC（已證）∴點A和點D都在線段BC的垂直平分線上（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）∴AD是線段BC的垂直平分線。【變式3】如圖，P是∠MON的平分線上的一點，PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分別為A、B．求證：PO垂直平分AB．【解析】證明：∵OP是角平分線，∴∠AOP=∠BOP∵PA⊥OM,PB⊥ON,∴∠OAP=∠OBP=90°∴在△AOP和△BOP中∴△AOP≌△BOP（AAS）∴OA=OB∴PO垂直平分AB（和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）.【考點3：尺規作圖】【典例5】電信部門要修建一座電視信號發射塔P，按照設計要求，發射塔P到兩城鎮A、B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．請在圖中作出發射塔P的位置．（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【解析】解：設兩條公路相交于O點．P為線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線交點或是與∠QON