課時規范練7函數的單調性與最值基礎鞏固組1.(2023北京海淀三模)已知函數f(x)=12x-2x,則f(x)()A.是偶函數,且在R上是增函數B.是奇函數,且在R上是增函數C.是偶函數,且在R上是減函數D.是奇函數,且在R上是減函數2.函數f(x)=|x-1|+3x的單調遞增區間是()A.[1,+∞) B.(-∞,1]C.[0,+∞) D.(-∞,+∞)3.已知函數f(x)=-x2+2x-1,x≤1,|x-1|,xA.(-4,1) B.(-∞,-4)∪(1,+∞)C.(-1,4) D.(-∞,-1)∪(4,+∞)4.(2023河南開封一模)設f(x)是定義域為R的偶函數,且在[0,+∞)上單調遞減,則滿足f(x)<f(x-2)的x的取值范圍是()A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-∞,1) D.(1,+∞)5.(2023廣西柳州模擬)已知f(x-1)是定義在R上的奇函數,f(1)=0,且f(x)在[-1,0)上單調遞增,在[0,+∞)上單調遞減,則不等式f(2x-3)<0的解集為()A.(1,2)B.(-∞,1)C.(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)6.若函數f(x)=ax2-x在區間[1,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍是.

7.已知函數f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x≥0滿足對任意8.已知函數f(x)=a-3x1+(1)求實數a的值;(2)用定義證明f(x)在R上為減函數;(3)若對于任意t∈[2,5],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍.綜合提升組9.已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x-y)=f(x)-f(y),且當x<0時,f(x)>0,則關于x的不等式f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)(其中0<m<2)的解集為()A.xm<x<2m B.xx<m或x>2mC.x2m<x<m D.xx>m或x<2m10.(多選)下列函數在區間(2,4)內單調遞減的是()A.y=13x B.y=log2(x2+3x)C.y=1xD.y=cosx11.(2023江西九江二模)定義在R上的奇函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(-1)=0,則關于x的不等式xf(x)<0的解集為()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(1,+∞)12.(2023遼寧葫蘆島二模)已知函數f(x)=x2-3x,x≤3,13x-1,13.能使“函數f(x)=x|x-1|在區間I上不是單調函數,且在區間I上的函數值的集合為[0,2]”是真命題的一個區間I為.

創新應用組14.(多選)已知函數f(x)的定義域為D,若存在區間[m,n]?D使得f(x)滿足:(1)f(x)在區間[m,n]上是單調函數;(2)f(x)在區間[m,n]上的值域是[2m,2n],則稱區間[m,n]為函數f(x)的“倍值區間”.下列函數存在“倍值區間”的是()A.f(x)=x2 B.f(x)=1C.f(x)=x+1xD.f(x)=315.已知正實數x,y,且滿足xy=3,則x3+27y3A.1 B.32 C.3 D.

課時規范練7函數的單調性與最值1.D解析∵函數f(x)的定義域為R,f(-x)=12-x-2-x=2x-12x=-f(x),∴函數f(x)為奇函數.又函數y=12x和函數y=-2x都為R上的減函數,則函數f(x)=12x-2x在R上為減函數,故選D.2.D解析f(x)=|x-1|+3x=4x-1,x≥1,2x+1,x<1,顯然當x≥1時,f(x)單調遞增,當x<1時,f(x)也單調遞增,且4×1-1=3.D解析f(x)=-x2+2x-1,x≤1,|x-1|,x>1,即f(x)=-x2+2x-1,x≤1,x-1,4.D解析∵f(x)是定義域為R的偶函數,∴f(x)的圖象關于y軸對稱.又f(x)在[0,+∞)上單調遞減,∴f(x)在(-∞,0)上單調遞增,由f(x)<f(x-2),得|x-2|<|x|,解得x>1.故選D.5.D解析∵f(x-1)是定義在R上的奇函數,∴函數f(x)關于點(-1,0)中心對稱,則f(-1)=0,又f(1)=0,∴f(-3)=0,∵f(x)在[-1,0)上單調遞增,在[0,+∞)上單調遞減,∴f(x)在(-2,-1)內單調遞增,在(-∞,-2]上單調遞減,函數f(x)的圖象如圖所示.由不等式f(2x-3)<0,得-3<2x-3<-1或2x-3>1,解得x<1或x>2.∴不等式f(2x-3)<0的解集為(-∞,1)∪(2,+∞).故選D.6.12,+∞解析若a=0,則f(x)=-x,在區間[1,+∞)上單調遞減,不符合題意;若a≠0,則必有a>0,12綜上,實數a的取值范圍是12,+∞.7.0,14解析因為函數f(x)=ax,x<0,(a-3)x+4a,x≥0滿足對任意x1≠x2,都有f(x18.(1)解由函數f(x)=a-3x1+3x是R上的奇函數知f(0)=0,即a(2)證明由(1)知f(x)=1-3x1+3x.任取x1,x2∈R且x1<x2,則f(x1)-f(因為x1<x2,所以3x所以3x2-又因為1+3x1>0且1+3所以2(3x所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在R上為減函數.(3)解不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0可化為f(t2-2t)<-f(2t2-k).因為f(x)是奇函數,所以-f(2t2-k)=f(k-2t2),所以不等式f(t2-2t)<-f(2t2-k)可化為f(t2-2t)<f(k-2t2).由(2)知f(x)在R上為減函數,故t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t.即對于任意t∈[2,5],不等式k<3t2-2t恒成立.設g(t)=3t2-2t,t∈[2,5],則8≤g(t)≤65,因此k<g(t)min=8,所以實數k的取值范圍是(-∞,8).9.A解析任取x1<x2,由已知得f(x1-x2)>0,即f(x1)-f(x2)>0,所以函數f(x)在R上單調遞減.由f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x)可得f(mx2)-f(2x)>f(m2x)-f(2m),即f(mx2-2x)>f(m2x-2m),所以mx2-2x<m2x-2m,即mx2-(m2+2)x+2m<0,即(mx-2)(x-m)<0.又因為0<m<2,所以2m>m,此時原不等式解集為xm<x<2m.10.AC解析對于A,y=13x在區間(2,4)內單調遞減,故A正確;對于B,y=log2t為定義域上的增函數,t=x2+3x在區間(2,4)內單調遞增,所以y=log2(x2+3x)在區間(2,4)內單調遞增,故B錯誤;對于C,y=1x-2在區間(2,4)內單調遞減,故C正確;對于D,y=cosx在區間(2,π)內單調遞減,在區間(π,4)內單調遞增,故D11.A解析因為f(x)為奇函數,且f(-1)=0,則f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上單調遞增,則f(x)在(-∞,0)上單調遞增,且當x∈(-∞,-1)∪(0,1)時,f(x)<0;當x∈(-1,0)∪(1,+∞)時,f(x)>0.所以xf(x)<0?x>0,f(x)<0或x<12.(-∞,0)解析當x≤3時,f(x)=x2-3x在-∞,32上單調遞減,在32,3上單調遞增,當x>3時,f(x)=13x-1是增函數,且13×3-1=0=f(3),∴f(x)在-∞,32上單調遞減,在32,+∞上單調遞增.∵1-x<2-x,∴當1-x≥32,即x≤-12時,恒有f(1-x)<f(2-x)成立,則x≤-12;當x>-12時,52<2-x≤3,不等式化為(1-x)2-3(1-x)<(2-x)2-3(2-x),解得x<0,則-12<x<0,∴f(1-x)<f(2-x)的解集為(13.12,2(答案不唯一)解析f(x)=x|x-1|=x(x-1),x≥1,x(1-x),x<1,其圖象如圖所示,易得f12=114.ABD解析函數存在“倍值區間”,則(1)f(x)在區間[m,n]上是單調函數,(2)f(m)=2m,f(n)=2n或f(m)=2n,f(n)=2m.對于A,f(x)=x2,若存在“倍值區間”[m,n],則f(m)=2m,f(n)=2n,n>m,即m2=2m,n2=2n,n>m,解得m=0,n=2,∴f(x)=x2存在“倍值區間”[0,2];對于B,f(x)=1x,若存在“倍值區間”[m,n],則當x>0時,1m=2n,1n=2m,得mn=12,例如14,2為函數f(x)=1x的“倍值區間”;對于C