專題13解直角三角形（解析版）1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的估計(jì)值為332，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得A．3 B．22 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得∠AOB=30°，根據(jù)30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半可得BC=1【詳解】解：圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個(gè)全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為30°，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個(gè)等腰三角形OAB，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA交OA于點(diǎn)于點(diǎn)C，∵∠AOB=30°，∴BC=1則S△OAB故正十二邊形的面積為12S圓的面積為π×1×1=3，用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計(jì)⊙O的面積可得π=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC=27°，BC＝44cm，則高AD約為（

）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及BC＝44cm，可得DC=12BC=22cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及∠ABC=27°，可得∠ACB=∠ABC=27°，在Rt△ADC中，由AD=【詳解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD為BC邊上的高，∴DC=1∵BC＝44cm，∴DC=12∵等腰三角形ABC，AB＝AC，∠ABC=27°，∴∠ACB=∠ABC=27°．∵AD為BC邊上的高，∠ACB=27°，∴在Rt△ADC中，AD=tan∵tan27°≈0.51，DC=22cm∴AD≈0.51×22=11.22cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問(wèn)題任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于AB）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)O處，對(duì)其視線可及的P，Q兩點(diǎn)，可測(cè)得∠POQ的大小，如圖3．

小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度AB，其測(cè)量及求解過(guò)程如下：測(cè)量過(guò)程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)C，如圖4，測(cè)得AC=am，BC=b（ⅱ）分別在AC，BC，上測(cè)得CM=a3m，CN=由測(cè)量知，AC=a，BC=b，CM=a3，∴CMCA=CN∴△CMN∽△CAB，∴MNAB又∵M(jìn)N=c，∴AB=②___________m．故小水池的最大寬度為_(kāi)__________m．(1)補(bǔ)全小明求解過(guò)程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得AB用到的幾何知識(shí)是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過(guò)5次測(cè)量，求得AB．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度AB，寫出你的測(cè)量及求解過(guò)程．要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母a，b，c?表示，角度用α，β，γ?表示；測(cè)量次數(shù)不超過(guò)4次（測(cè)量的幾何量能求出AB，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【答案】(1)①∠C=∠C；②3c(2)相似三角形的判定與性質(zhì)(3)最大寬度為acos【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行回答即可；（3）測(cè)量過(guò)程：在小水池外選點(diǎn)C，用測(cè)角儀在點(diǎn)B處測(cè)得∠ABC=α，在點(diǎn)A處測(cè)得∠BAC=β；用皮尺測(cè)得BC=am求解過(guò)程：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得BD=acosα，CD=asinα，【詳解】（1）∵AC=a，BC=b，CM=a3，∴CMCA又∵∠C=∠C，∴△CMN∽△CAB，∴MNAB又∵M(jìn)N=c，∴AB=3cm故小水池的最大寬度為3cm．（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得AB=3MN=3c，故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì)．（3）測(cè)量過(guò)程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)C，如圖，用測(cè)角儀在點(diǎn)B處測(cè)得∠ABC=α，在點(diǎn)A處測(cè)得∠BAC=β；

（ⅱ）用皮尺測(cè)得BC=am求解過(guò)程：由測(cè)量知，在△ABC中，∠ABC=α，∠BAC=β，BC=a．過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．在Rt△CBD中，cos即cosα=BDa同理，CD=asin在Rt△ACD中，tan即tanβ=asin所以AB=BD+AD=acos故小水池的最大寬度為acos【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．4．（2019·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足為E，點(diǎn)F在BD的延長(zhǎng)線上，且DF=DC，連接AF、CF.(1)求證：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)tan∠BAD=112【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到AB=AC，即可得到∠ABC＝∠ADB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ABC＝12（180°?∠BAC）＝90°?12∠BAC，∠ADB＝90°?∠CAD，從而得到12∠BAC（2）易證得BC＝CF＝45，即可證得AC垂直平分BF，證得AB＝AF＝10，根據(jù)勾股定理求得AE、CE、BE，根據(jù)相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根據(jù)三角形面積公式求得DH，進(jìn)而求得AH，解直角三角形求得tan∠BAD的值．【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°?∠BAC）＝90°?12∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°?∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是線段BF的中垂線，AB=AF=10,AC=10.又BC＝45，設(shè)AE＝x,CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2,100－x2=80－(10－x)2,x=6∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE?CEBE=6×4∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足為H，∵12AB?DH＝12∴DH＝BD?AEAB∴BH＝BD∴AH＝AB?BH＝10?445∴tan∠BAD=DHAH=336=【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用性質(zhì)定理，屬于中考?jí)狠S題．一、單選題1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝60，∠B＝∠D＝90，AB＝AD，點(diǎn)E、F分別是AB，AD邊上的中點(diǎn)，則sin∠ECF＝（

）A．22 B．2315 C．1【答案】D【分析】連接AC，EF，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CF于點(diǎn)N，證明△ABC≌△ADC，得到∠BAC=∠DAC=12∠BAD，BC=CD，再證明△BEC≌△DFC，得到CE=CF，設(shè)AB=AD=2a，BE=12AB=a，再求出BC、CE、CF，設(shè)FN=b，則CN也可表示出，在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得EN【詳解】如圖，連接AC，EF，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥CF于點(diǎn)N，∵在△ABC和△ADC中，∠B=∠D=90∴△ABC≌△ADC（HL），∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD又∵∠BAD=60∴∠DAC=30∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴AE=BE=AF=DF，∵在△BEC和△DFC中，BE=DF∠B=∠D∴△BEC≌△DFC（SAS），∴CE=CF，設(shè)AB=AD=2a，BE=1∵∠B=90°，∴BC=ABtan∵在Rt△BEC中，由勾股定理可得CE∴CE=2∴CF=21∵AE=AF，∠BAD=60∴EF=AF=a，設(shè)FN=b，則CN=CF-FN=21∵在Rt△CEN和Rt△FEN中，由勾股定理可得EN2=E∴EC∴213解得b=2114a∵EN∴EN=a∴sin∠ECF=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形和等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校考一模）如圖，一斜坡AB的長(zhǎng)為213m，坡度為1:1.5，則該斜坡的鉛直高度BC的高為（A．3m B．4m C．6m D．16m【答案】B【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)坡度=1：1.5，可得到BC和AC之間的倍數(shù)關(guān)系式，設(shè)BC=x，則AC=1.5x，再由勾股定理求得AB=132x，從而求得【詳解】解：∵斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：1.5，AB=213∴設(shè)BC=x，則AC=1.5x，∴由勾股定理得AB=x2又∵AB=213∴132x=213∴BC=4m．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查坡度坡角的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，對(duì)坡度的理解及勾股定理的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB為直徑,OD∥BC交⊙D于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接AD,BD,CD若AB=10,cos∠ABC=35,則tan∠DBC的值是(

A．12 B．13 C．2 D【答案】A【分析】由AB＝10，cos∠ABC＝35，可求得OE的長(zhǎng)，繼而求得DE，AE的長(zhǎng)，則可求得tan∠DAE，然后由圓周角定理得∠DBC＝∠DAE【詳解】解：∵AB為直徑，AB＝10，∴∠ACB＝90°，OA＝OD＝12AB＝5∵OD∥BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∠AOE＝∠ABC，在Rt△AEO中，OE＝OA?cos∠AOE＝OA?cos∠ABC＝5×35＝3∴DE＝OD?OE＝5?3＝2，∴AE＝AO在Rt△AED中，tan∠DAE＝DEAE∵∠DBC＝∠DAE，∴tan∠DBC＝12故選A.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理以及三角函數(shù)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=23

A．1 B．2 C．23 D．【答案】B【分析】連接OB，由圓周角定理得∠AOB=60°，由OA⊥BC得，∠COE=∠BOE=60°，CE=BE=3，在Rt△OCE中，由【詳解】解：連接OB，如圖所示，

，∵∠ADB=30°，∴∠AOB=2∠ADB=2×30°=60°，∵OA⊥BC，∴∠COE=∠BOE=60°，CE=BE=1在Rt△OCE中，∠COE=60°∴OC=CE故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，垂徑定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線．5．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距8米，一棵樹(shù)樹(shù)高13米，另一棵樹(shù)高7米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【詳解】如圖所示，AB，CD為樹(shù)，且AB=13，CD=8，BD為兩樹(shù)距離12米，過(guò)C作CE⊥AB于E，則CE=BD=8，AE=AB-CD=6，在直角三角形AEC中，AC=10米，答：小鳥(niǎo)至少要飛10米．故選C．6．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD中，AB=2．G為對(duì)角線BD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為線段CD的中點(diǎn)，BF⊥AE，連接OF．已知∠DAG=15°，其中結(jié)論正確的是（

）①AG=BD；②BF=3；③OPOA=13；④S△POF=13；⑤若E點(diǎn)為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AE=EC+CQA．①②③④ B．①②④ C．②③⑤ D．①③⑤【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)與解直角三角形的方法逐個(gè)解題求解．①根據(jù)∠DAG=15°可得含60°角的直角三角形AOG，求出AG=2AO；②由∠DAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°得∠BAF=∠DAE，tan∠BAF=tan∠DAE=DEAD=AF③將OP：OA轉(zhuǎn)化為OP：OD，通過(guò)△ADP∽△QBP求解；④先通過(guò)OP：OD=1：3求出三角形OAP的面積，再通過(guò)PF與AP的比值求出三角形POF的面積．⑤設(shè)ED=x，EC=2-x，通過(guò)相似三角形與勾股定理求出x的值從而求出AQ．【詳解】解：①∵∠DAG=15°，∴∠GAO=∠DAG+∠DAO=60°，∴∠G=30°，AG=2AO，∵BD=2AO，∴AG=BD，∴①正確，符合題意．②∵E為CD中點(diǎn)，∴DE=12CD∵∠DAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠BAF=∠DAE，∴tan∠BAF=tan∠DAE=DEAD∴BF=2AF，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=AF2+B∴AF=255，BF=2AF=45③∵E為CD中點(diǎn)，EC∥AB，∴EC為△ABQ的中位線，C為BQ中點(diǎn)，∴BQ=2BC=2AD，∵AD∥BQ，∴△ADP∽△QBP，∴DPBP∴DPBD-DP∴DP=13BD，OP=OD-DP=12BD-13BD=∴OPOA=OP④∵AB=2，BQ=2AB=4，∴AQ=AB∵APPQ∴AP=13AQ=2∴AFAP∴FPAP即S△POF=25S△AOP∵OPOA∴S△AOP=13S△AOD=13×14S正方形ABCD∴S△POF=25S△AOP=215，⑤設(shè)ED=x，EC=2-x，則DEEC=AD∴CQ=4-2xx∴AE=EC+CQ=2-x+4-2xx在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=AD∴4-x解得x=233或x=-∴AE=4+x∵AD∥BQ，∴∠DAE=∠BQA，∴sin∠DAE=sin∠BQA=DEAE∴AQ=2AB=4，∴⑤正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形與三角形的綜合問(wèn)題，解題關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)與解直角三角形的方法．7．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，E為BC的中點(diǎn)，連接AE、DE，點(diǎn)P，點(diǎn)Q分別是AE、DE上的點(diǎn)，且PE=DQ．設(shè)△EPQ的面積為y，PE的長(zhǎng)為x，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

A． B． C． D．【答案】A【分析】證明△ADE為等邊三角形，再利用y=1【詳解】解：∵BC=2，E為BC的中點(diǎn)，則BE=1，在Rt△ABE中，AE=3，BE=1，則同理可得ED=2=AE=AD，故△ADE為等邊三角形，則∠AED=60°，∵PE=QD=x，則QE=2-x，在△PQE中，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥ED于點(diǎn)H，則PH=PEsin則y=1該函數(shù)為開(kāi)口向下的拋物線，x=1時(shí)，y的最大值為34故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，涉及到二次函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)，有一定的綜合性，難度適中．8．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線BA→AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以相同速度沿折線AC→CD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)△APQ的面積為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由菱形的性質(zhì)可證△ABC和△ADC都是等邊三角形，可得AC=AB=2，∠BAC=60°=∠ACD，分兩種情況討論，由銳角三角函數(shù)和三角形的面積公式可求y與x之間函數(shù)關(guān)系，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】當(dāng)0≤x≤2時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H，由題意得BP=AQ=x，∵菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2，∴AB=BC=CD=AD=2,∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴AC=AB=2,∠BAC=∠ACD=60°，∵sin∴HQ=AQ?sin∴△APQ的面積y=1當(dāng)2<x≤4時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AC于點(diǎn)N，由題意得AP=CQ=x-2，∵sin∴NQ=3∴△APQ的面積y=1該圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=2，∴2<x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值為3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，往豎直放置的在A處由短軟管連接的粗細(xì)均勻細(xì)管組成的“U”形裝置中注入一定量的水，水面高度為6cm，現(xiàn)將右邊細(xì)管繞A處順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AB位置，且左邊細(xì)管位置不變，則此時(shí)“U”形裝置左邊細(xì)管內(nèi)水柱的高度約為（）A．4cm B．23cm C．3cm D．8cm【答案】A【分析】AB中水柱的長(zhǎng)度為AC，CH為此時(shí)水柱的高，設(shè)CH＝x，豎直放置時(shí)短軟管的底面積為S，易得AC＝2CH＝2x，細(xì)管繞A處順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到AB位置時(shí)，底面積為2S，利用水的體積不變得到x?S+x?2S＝6?S+6?S，然后求出x后計(jì)算出AC即可．【詳解】解：AB中水柱的長(zhǎng)度為AC，CH為此時(shí)水柱的高，設(shè)CH＝x，豎直放置時(shí)短軟管的底面積為S，∵∠BAH＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝2CH＝2x，∴細(xì)管繞A處順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°到AB位置時(shí)，底面積為2S，∵x?S+x?2S＝6?S+6?S，解得x＝4，∴CH＝x＝4，即此時(shí)“U”形裝置左邊細(xì)管內(nèi)水柱的高度約為4cm．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．10．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A在以BC為直徑的⊙O內(nèi)，且AB=AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，得到扇形ABC，且∠BAC=120°，BC=2．若在這個(gè)圓面上隨意拋飛鏢，則飛鏢落在扇形ABC內(nèi)的概率是()A．13 B．34 C．49【答案】C【分析】如圖，連接AO，∠BAC＝120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AO⊥BC，∠BAO＝60°，解直角三角形得到AB＝233，由扇形的面積公式得到扇形ABC的面積＝【詳解】如圖，連接AO，∠BAC＝120°，∵AB＝AC，BO＝CO，∴AO⊥BC，∠BAO＝60°，∵BC＝2，∴BO＝1，∴AB＝BO÷cos30°=23∴扇形ABC的面積＝120?π×(∵⊙O的面積＝π，∴飛鏢落在扇形ABC內(nèi)的概率是4π9π=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，扇形的面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運(yùn)用，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，若BC=m，則AC的長(zhǎng)為（

）．A．mcosα B．m?cosα C．【答案】D【分析】根據(jù)正切的定義列式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=∴AC=BC?tanB=m?tanα，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切是解題的關(guān)鍵．12．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考二模）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，點(diǎn)P在四邊形ABCD上，若P到BD的距離為32，則點(diǎn)PA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先作出AB、AD邊上的點(diǎn)P（點(diǎn)A）到BD的垂線段AE，即點(diǎn)P到BD的最長(zhǎng)距離，作出BC、CD的點(diǎn)P（點(diǎn)C）到BD的垂線段CF，即點(diǎn)P到BD的最長(zhǎng)距離，由已知計(jì)算出AE、CF的長(zhǎng)與32【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°-∠ADB=45°，∵sin∠ABD=AEAB∴AE=AB?sin∠ABD=22?sin45°=22×22=2＞3所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為32的點(diǎn)2∵sin∠CDF=CFCD∴CF=CD?sin∠CDF=2×22=1＜3所以在邊BC和CD上沒(méi)有到BD的距離為32總之，P到BD的距離為32的點(diǎn)有2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形和點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是先求出各邊上點(diǎn)到BD的最大距離比較得出答案．13．（2023·山東德州·校聯(lián)考二模）如圖是攔水壩的橫斷面，斜坡AB的水平寬度為12米，斜面坡度為1:2，則斜坡AB的長(zhǎng)為(

)米A．43 B．65 C．125【答案】B【分析】根據(jù)斜面坡度為1：2，斜坡AB的水平寬度為12米，可得AE=12，BE=6，然后利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖,過(guò)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，∵斜面坡度為1：2，AE=12，∴BE=6，在Rt△ABC中，AB=A故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．14．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)A，OB與⊙O交于點(diǎn)C，若∠D=∠B，AB=4．則OB的長(zhǎng)度為（

）A．23 B．83 C．43【答案】D【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OA⊥AB，根據(jù)圓周角定理可得∠D=12∠AOB，由∠D=∠B，可得∠B=30°【詳解】解：連接OA，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A，∴OA⊥AB，∵AC∴∠D=1∵∠D=∠B，∴∠B=1∵∠AOB+∠B=90°，∴∠B=30°，∴OB=AB故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形，求得∠B=30°是解題的關(guān)鍵．15．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，已知AD＝4，AB＝43，∠C＝30°，連接BD，P為BD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)讓P點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)沿著B(niǎo)→D（P不與點(diǎn)B重合）以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，Q為折線BCD上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)讓Q點(diǎn)從B出發(fā)沿著折線BCD以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．則△PBQ與△BCD重合部分的面積S隨時(shí)間t的變化關(guān)系的圖象大致為（3≈1.7）（）A． B．C． D．【答案】B【分析】當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S=12×BQ×BPsin∠DBC=12【詳解】解：AD=4，AB=43，則BD=83，則故∠DBC=60°，則∠BCD=90°，當(dāng)點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S=1當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如下圖：則CQ=t-16，PQ=8-t，QD=16+83S===-故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，涉及到二次函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)，此類問(wèn)題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．二、填空題16．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）如果人在一斜坡坡面上前行100米時(shí)，恰好在鉛垂方向上上升了10米，那么該斜坡的坡度是_________．【答案】1：311．【分析】先求出這個(gè)人走的水平距離，再根據(jù)坡度的定義即可求解．【詳解】由題意得：人在一斜坡坡面上前行100米時(shí)，恰好在鉛垂方向上上升了10米，則這個(gè)人走的水平距離=1002∴坡度i=10：3011=1：311．17．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖是將一正方體貨物沿坡面AB裝進(jìn)汽車貨廂的平面示意圖.已知長(zhǎng)方體貨廂的高度BC為2米，斜坡AB的坡度i＝13，現(xiàn)把圖中的貨物沿斜坡繼續(xù)往前平移，當(dāng)貨物頂點(diǎn)D與C重合時(shí)，恰好可把貨物放平裝進(jìn)貨廂，則BD＝【答案】310【分析】根據(jù)坡度可得到cos∠BAE=31010；再根據(jù)同角的余角相等，得出∠CBD=∠BAE；在Rt△CBD【詳解】∵斜坡AB的坡度i＝13，即tan∠BAE=1∴cos∠BAE=310依題意可知，∠AEB=∠BDC=∠ABD=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∠ABE+∠CBD=90°，∴∠CBD=∠BAE.在Rt△CBD中，BD=BC?cos∠CBD=BC?cos∠BAE=2×31010=3【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.18．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將菱形紙片ABCD固定后進(jìn)行投針訓(xùn)練．已知紙片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD＝45．如果隨意投出一針命中菱形紙片，則命中矩形區(qū)域的概率是_____【答案】2【分析】根據(jù)題意可以分別求得矩形的面積和菱形的面積，從而可以解答本題．【詳解】設(shè)CD＝5a，∵四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD＝45∴CF＝4a，DF＝3a，∴AF＝2a，∴命中矩形區(qū)域的概率4a?2a5a?4a＝2故答案為：25【點(diǎn)睛】本題考查幾何概率、菱形的性質(zhì)、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．19．（2023·四川達(dá)州·?？家荒＃┰赗t△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1B1C．點(diǎn)E是A1C上一點(diǎn)，且A1E＝2，則PE最大值為_(kāi)____

．【答案】4【分析】由解直角三角形可得BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A1C=4，可得CE=2，即點(diǎn)E在以C為圓心，CE為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，且點(diǎn)E在PC的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE長(zhǎng)度最大．【詳解】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，∴BC=AC∵將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△A1B1C，∴AC=A1C=4，且A1E=2，∴CE=2，∴點(diǎn)E在以C為圓心，CE為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，且點(diǎn)E在PC的延長(zhǎng)線上時(shí)，PE長(zhǎng)度最大，∴PE最大值為：BC+CE=43故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，確定點(diǎn)E的軌跡是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，?OABC的邊OC在x軸上，對(duì)角線AC,OB交于點(diǎn)M，函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4)和點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N．則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)________，點(diǎn)N【答案】(6,2)3【分析】設(shè)C（t，0），先把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx(x>0)得k＝12，所以反比例函數(shù)解析式為y=12x(x>0)；再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到把M（3+t2，2），代入解析式，則3+t2×2＝12，解方程求出t得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；設(shè)CE=3【詳解】解：設(shè)C（t，0），∵函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3∴k＝3×4＝12，∴反比例函數(shù)解析式為y=12∵M(jìn)點(diǎn)為平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，∴M點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，∵A（3，4），∴M（3+t2，2把M（3+t2，2）代入y=12x得3+t2解得t＝9，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，2）；∴B(12,4)，∴AB=9=OC．過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸，∵AO∥BC，∵∠NCE=∠COA，∴tan設(shè)CE=3m，則CN=4m，∴點(diǎn)N(9+3m,4m)，∴(9+3m)?4m=12，解得m=-3+∴N9+3故答案是：（6，2）；9+3【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到待定系數(shù)的方程；然后解方程，求出待定系數(shù)，也考查了平行四邊形的性質(zhì)．21．（2023·四川成都·?？级＃┤鐖D，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，以BG為邊在BC右側(cè)作正方形BEFG，直線AG，CE交于點(diǎn)P．現(xiàn)將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，CE＝_____；（2）當(dāng)正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】27【分析】(1)延長(zhǎng)CB,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB,根據(jù)正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠EBH=60°，得到BH=1，HE=3,運(yùn)用勾股定理求得CE(2)當(dāng)正方形BEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、F、E在一條直線上時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)最高點(diǎn)，連接OC、OF，求出∠COF；當(dāng)正方形BEFG旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、F、E在一條直線上時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)最低點(diǎn)；連接OA、OF，求出∠AOF，求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)弧所對(duì)圓心角，利用弧長(zhǎng)公式l=nπr【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)CB過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CB,∴∠CBG=30°，∠GBE=90°，∴∠EBH=60°，∵AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，∴BG=2，∴BH=1∴CH=5，∴HE=B在Rt△CHE中，∴CE=C故答案為：27（2）∵正方形ABCD，正方形BEFG，∴BA=BC,∠ABC=∠CBE,BG=BE，∴△ABG?△CBE，∴∠BCE=∠BAG,∠AGB=∠BEC，∵∠AGB=∠CGP,∠AGB+∠BAG=90°，∴∠CGP+∠PCG=90°，∴∠GPC=90°，同理可證，正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，存在∠GPC=90°，所以點(diǎn)P在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，∵AB=4，∴AC=42∴OA=OB=OC=1如圖：當(dāng)點(diǎn)A、F、E在同一直線上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，∵AB=4,BE=2，∴sin∠BAE=∴∠BAE=30°，∴∠OAF=∠BAE+∠OAB=75°，∴∠OFA=75°，∴∠AOF=30°，同理可得，當(dāng)點(diǎn)C、F、E在同一直線上時(shí)，∠COF=30°，所以點(diǎn)P路徑對(duì)應(yīng)的圓心角是120°，l=120π?2故答案為：42【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．22．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=AD，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，∠EAF=∠BAD=120°，若DE=3，cos∠F=277【答案】9【分析】連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC，交AC于點(diǎn)H.，首先證明平行四邊形ABCD為菱形，然后證明ΔACD為等邊三角形，△ACB為等邊三角形，得到∠EAC=∠F，設(shè)EC=2a，通過(guò)∠ECA=60°，EC=2a，AC=2a+3，tan∠EAC=32，求出【詳解】如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC，交AC于點(diǎn)H.∵AB=AD∴平行四邊形ABCD為菱形，∵∠DAB=∠EAF=120°，∴∠DAC=∠BAC=60°，∠DAE=∠BAF，∴ΔACD為等邊三角形，△ACB為等邊三角形，∴∠DAC=∠F=60°，∵∠DAE+∠EAC=∠BAF+∠F=60°，∴∠EAC=∠F，∴cos∠EAC=設(shè)AH=2k，則AE=7k，∴tan∠EAC=設(shè)EC=2a，∵DE=3∴AC=CD=2a+3，∵∠ECA=60°，∴∠CEH=30°，∴CH=a,EH=∵tan∠EAC=∴AH=2a，∵DC=AC,∴2a+3=3a，∴a=3，∴BC=CD=2a+3=9.故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，主要考查學(xué)生的推理能力．23．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）如圖，小穎利用一個(gè)銳角是30°的三角板測(cè)量一棵樹(shù)的高度，已知她與樹(shù)之間的水平距離為6m，AB為1.5m（即小穎的眼睛距離地面的高度），那么這棵樹(shù)的高度為_(kāi)_______m．（結(jié)果保留根式）【答案】23+1.5【詳解】試題分析：在直角△ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，可得CD=ADtan30°=6×33=23，因此CE=CD+DE=23+1.5m考點(diǎn)：解直角三角形24．（2023·河南許昌·統(tǒng)考二模）如圖，已知?ABCD中，AB＝16，AD＝10，sinA＝35，點(diǎn)M為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，交AD邊于點(diǎn)N，將∠A沿直線MN翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)△CDE為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為_(kāi)____【答案】4或8﹣7【分析】①當(dāng)∠CDE＝90°，如圖1，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到MN⊥AB，AM＝EM，得到AN＝DN＝12AD＝5，設(shè)MN＝3x，AN＝5x＝5，于是得到AM＝4；②當(dāng)∠DEC＝90°，如圖2，過(guò)D作DH⊥AB于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DEHE=CDDE，由sinA＝35，AD＝10，得到DH＝6，AH＝8，設(shè)HE＝x，根據(jù)勾股定理求出【詳解】當(dāng)△CDE為直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠CDE＝90°，如圖1，∵在?ABCD中，AB∥CD，∴DE⊥AB，∵將∠A沿直線MN翻折，點(diǎn)A落在線段AB上的點(diǎn)E處，∴MN⊥AB，AM＝EM，∴MN∥DE，∴AN＝DN＝12AD＝5∵sinA＝MNAN∴設(shè)MN＝3x，AN＝5x＝5，∴MN＝3，∴AM＝4；②當(dāng)∠DEC＝90°，如圖2，過(guò)D作DH⊥AB于H，∵AB∥CD，∴∠HDC＝90°，∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠HDE＝∠DCE，∴△DHE∽△CED，∴DEHE∵sinA＝35，AD＝10∴DH＝6，∴AH＝8，設(shè)HE＝x，∴DE＝16x=4∵DH2+HE2＝DE2，∴62+x2＝16x，∴x＝8﹣27，x＝8+27(不合題意舍去)，∴AE＝AH+HE＝16﹣27，∴AM＝12AE＝8﹣7綜上所述，AM的長(zhǎng)為4或8﹣7，故答案為4或8﹣7．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問(wèn)題)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023·陜西西安·?？级＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，sinA=35【答案】4【分析】根據(jù)題意設(shè)BC=3x，則AB=5x，得出AC=4x，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sin設(shè)BC=3x，則AB=5x，∴AC=A∴tan

故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了一個(gè)銳角的正弦與正切值，解題關(guān)鍵是理解正弦與正切的定義．三、解答題26．（2023·廣東梅州·?？寄M預(yù)測(cè)）科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行．如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60°方向行駛4km至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離．【答案】26【分析】過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中利用三角函數(shù)求得BD的長(zhǎng)，然后在直角△BCD中利用三角函數(shù)求得BC的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)B作BD⊥AC于點(diǎn)D．在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=4×32=2∵△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=23∴BC=2BD=26答：B，C兩地的距離是26【點(diǎn)睛】此題考查了方向角問(wèn)題和解直角三角形的應(yīng)用．此題難度適中，解此題的關(guān)鍵是將方向角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的知識(shí)，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解．27．（2023·四川·統(tǒng)考一模）如圖，一條河的某一段兩岸平行，為了測(cè)量該段河兩岸之間的距離，測(cè)量人員在河的一岸邊任意取一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩點(diǎn)B、C，現(xiàn)測(cè)得∠α＝37°，（1）求這條河在該段的兩岸之間的距離．（2）若想在AC之間架一鋼絲纜繩，那么纜繩最少需要多少米？（參考值：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈4【答案】（1）24米；（2）30米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則AD的長(zhǎng)即為兩岸之間的距離,利用三角函數(shù)得出含AD的BD與CD的代數(shù)式，根據(jù)BD-CD=BC=14得出AD的值；（2）根據(jù)（1）中得出的AD的值根據(jù)三角函數(shù)算出AC的長(zhǎng)度即可.【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則AD的長(zhǎng)即為兩岸之間的距離．在Rt△ABD中，tan∠ABD＝∴BD＝在Rt△ACD中，tan∠ACD＝∴CD＝又∵BC＝∴AD＝24，即這條河在該段的兩岸之間的距離為（2）在Rt△ACD中，sin∠ACD＝解得：AC≈30．答：鋼絲纜繩最少需要30米．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，關(guān)鍵是把BD、CD都表示成AD的代數(shù)式.28．（2023·廣東汕頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一樓房AB后有一假山，CD的坡度為i=1:2，山坡坡面上E點(diǎn)處有一休息亭，測(cè)得假山腳與樓房水平距離BC=24米，與亭子距離CE=85米，小麗從樓房房頂測(cè)得E的俯角為45°(1)求點(diǎn)E到水平地面的距離；(2)求樓房AB的高．【答案】(1)8米(2)48米【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC的延長(zhǎng)線于F，根據(jù)CD的坡度為i=1:2得CF=2EF，再由勾股定理可得EF=8米，CF=16米；（2）過(guò)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AB的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC的延長(zhǎng)線于F，在Rt△CEF∵CD的坡度為i=1:2，CE=85∴i=EF∴CF=2EF，∵EF∴EF∴EF=8（米），CF=16（米），答：點(diǎn)E到水平地面的距離為8米；（2）過(guò)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，則BH=EF=8米，由題意得：HE=BF=BC+CF=24+16=40（米），在Rt△AHE中，∠HAE=45°∴△AHE是等腰直角三角形，∴AH=HE=40（米），∴AB=AH+HB=40+8=48（米）．答：樓房AB的高為48米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．29．（2023·浙江溫州·溫州繡山中學(xué)?？既＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F恰好落在DA的延長(zhǎng)線上，連結(jié)CF．（1）求證：∠BAD＝∠ECF．（2）若tan∠BAD＝23，AF＝9，求⊙O【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）13【分析】（1）連接BD，則∠ADB=90°，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得∠ECF=∠DCE，DF⊥CE，即可求解；（2）設(shè)BD=2x，AD=3x，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求得x，再根據(jù)勾股定理求得AB即可求解．【詳解】解：（1）連接BD，如下圖：∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°，即DB⊥DF∵點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于CE的對(duì)稱∴DF⊥CE，∠ECF=∠DCE∴CE//DB∴∠DCE=∠BDC∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB∴BC∴∠BDC=∠BAD∴∠ECF=∠BAD（2）設(shè)AD與CE的交點(diǎn)為M，CD與AB的交點(diǎn)為N，如下圖：設(shè)BD=2x，∵tan∠BAD＝∴AD=3x，DF=9+3x由題意可得：DM=由（1）得∠ADB=∠BND=90°∴∠BDN=∠DAB∴tan∠BDN=2根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系sin可得sin∠BDN=2∴DN=BD×由（1）得：CD=2DN=1213∴sin∠DCE=即9+3x212∴BD=26,AD=39由勾股定理得：AB=∴OA=12【點(diǎn)睛】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義和關(guān)系，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）某課桌生產(chǎn)廠家研究發(fā)現(xiàn)，傾斜12°至24°的桌面有利于學(xué)生保持軀體自然姿勢(shì)．根據(jù)這一研究，廠家決定將水平桌面做成可調(diào)節(jié)角度得桌面．新桌面的設(shè)計(jì)圖如圖1，AB可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在點(diǎn)C處安裝一根長(zhǎng)度一定且C處固定，可旋轉(zhuǎn)的支撐臂CD，AD=30cm．（1）如圖2，當(dāng)∠BAC=24°時(shí)，CD⊥AB，求支撐臂（2）如圖3，當(dāng)∠BAC=12°時(shí)，求（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.40，cos24°【答案】（1）12cm；（2）126+63或126?63．【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin24°=CDAC（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin12°=CEAC=CE30，再由勾股定理求出【詳解】解：（1）∵∠BAC=24°，CD⊥AB，∴sin∴CD=ACsin∴支撐臂CD的長(zhǎng)為12cm（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，于點(diǎn)E，當(dāng)∠BAC=12°時(shí)，∴sin∴CE=30sin∵CD=12，∴由勾股定理得：DE=CD2-C∴AD的長(zhǎng)為(126+63)cm或(126?63)cm【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．31．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DC，點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對(duì)稱，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接EC,ED,DF

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求∠DEC(2)用等式表示線段EC,ED和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)圖見(jiàn)解析，45°(2)ED+CF=2【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接CB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出∠CHF=90°=∠BAC【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：

連接CB，∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠ABC=45°∵點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于直線DC對(duì)稱∴EC=BC∵DC=DC∴△EDC?△BDC(SSS∴∠DEC=∠

（2）ED+CF=2EC∵點(diǎn)E、B關(guān)于直線CD對(duì)稱∴EB⊥CD，設(shè)垂足為H則∠∵∠

∴∠1=∠2∵AC=AB∴△DAC?△FAB∴AD=AF∴ED=BD=AD+AB=AF+AC=AC-CF+AC=2AC-CF∵AC=∴ED=2×即ED+CF=2【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解三角形，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．32．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考一模）某班數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)欲測(cè)量公園內(nèi)一棵樹(shù)DE的高度，他們?cè)谶@棵樹(shù)正前方一樓亭前的臺(tái)階上A點(diǎn)處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹(shù)的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)頂端D的仰角為60°，已知A點(diǎn)的高度AB為2米，臺(tái)階AC的坡度i=1：2，且B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上，請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹(shù)DE的高度．（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）【答案】3+23【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，設(shè)DF=x，在Rt△ADF中，由∠DAF=30°可得：AF=3x；在Rt△ABC中，由AC的坡度為1:2，AB=2得到BC=4；在Rt△CDE中，由∠DCE=60°，DF=x+2可得CE=33(x+2)；最后由BE=BC+CE=AF建立方程，解方程即可求得x的值，從而可求得樹(shù)DE的高度【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，設(shè)DF=x.在Rt△ADF中，∵∠DAF=30°，tan∠DAF=DFAF∴AF=3x;∵AC的坡度i=ABBC=1：2∴BC=4；∵AB⊥BC，DE⊥CE，AF⊥DE，∴四邊形ABEF為矩形，∴EF=AB=2，BE=AF，∴DE=DF+EF=x+2，∵在Rt△DCE中，tan∠DCE=DECE，∠DCE=60°∴CE=33∵EB=BC+CE=4+33(x+2)∴4+33(x+2)=3x∴解得：x=1+23∴DE=DF+EF=3+即樹(shù)的高度DE長(zhǎng)為：(3+2333．（2023·上海閔行·校聯(lián)考一模）如圖，已知一個(gè)拋物線經(jīng)過(guò)A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三點(diǎn)．（1）求這個(gè)拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2+x+1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣12，34）；（2）tan∠ABC＝13；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣12，3）或（﹣12，2【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得結(jié)果；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，延長(zhǎng)CA交BF于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，通過(guò)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求AM和BM的長(zhǎng)，即可求解；（3）分三種情況討論，由梯形