三角形的初步認識（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·浙江金華·八年級階段練習）下列個圖形中，是全等圖形的是（

）A．，，， B．與 C．，， D．與【答案】D【分析】根據(jù)全等圖形的概念求解即可．【詳解】解：由圖可知，與是全等圖形，故選：D．【點睛】本題考查了全等圖形的識別，熟知能夠完全重合的圖形叫全等圖形是解題的關鍵．2．（2022·浙江金華·八年級階段練習）小明在學習了全等三角形的相關知識后，發(fā)現(xiàn)了一種測量距離的方法．如圖，小明直立在河岸邊的處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對岸的處，然后轉過身，保持和剛才完全一樣的姿勢，這時視線落在水平地面的處（，，三點在同一水平直線上），小明通過測量，之間的距離，即得到，之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定定理即可得到結論．【詳解】小明直立在河岸邊的處，說明保持和剛才完全一樣的姿勢說明∵CO為與共邊．∴與全等的條件為．故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的知識點，掌握該知識點是解答本題的關鍵．3．（2021·浙江金華·八年級期中）如圖，一塊玻璃碎成三片，小智只帶了第③塊去玻璃店，就能配一塊一模一樣的玻璃，你能用三角形的知識解釋，這是為什么？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【詳解】解：第③塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．應帶③去．故選A．【點睛】此題主要考查學生對全等三角形的判定方法的靈活運用，要求對常用的幾種方法熟練掌握．4．（2021·浙江杭州·八年級期中）可伸縮的遮陽篷是依據(jù)平行四邊形的（

）A．不穩(wěn)定性 B．穩(wěn)定性 C．伸縮性 D．可變性【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的不穩(wěn)定性即可判斷．【詳解】解：平行四邊形具有不穩(wěn)定性，故選：A．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，解題的關鍵是結合實際并掌握平行四邊形的不穩(wěn)定性．5．（2020·浙江·八年級期末）下列選項中屬于命題的是（

）A．任意一個三角形的內角和一定是嗎？ B．畫一條直線C．異號兩數(shù)之和一定是負數(shù) D．連結A、B兩點【答案】C【分析】根據(jù)命題的定義即可作出判斷．【詳解】解：A、任意一個三角形的內角和一定是180°嗎？不是命題；B、畫一條直線，不是結論，不是命題；C、異號兩數(shù)之和一定是負數(shù)，符合命題的定義，是命題；D、連接A，B兩點，不是結論，不是命題．只有C中有“是”判斷詞，故選C．【點睛】本題考查命題的定義：判斷一件事情的語句，有“是”，“不是”等判斷詞．6．（2022·浙江金華·八年級期末）如圖，點A，B，C分別代表王老師的家，圖書館，學校．已知圖書館B在王老師家A的北偏東32°方向上，學校C在圖書館B的北偏西32°方向上．則∠ABC的度數(shù)是（

）A．112° B．114° C．116° D．118°【答案】C【分析】過點A作ADBE交BC于點D，BE方向為正北方向，根據(jù)平行線的性質求得，進而根據(jù)三角形內角和定理即可求解．【詳解】如圖，過點A作ADBE交BC于點D，BE方向為正北方向，根據(jù)題意可得，，，∴，故選C．【點睛】本題考查了方位角，三角形內角和定理，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．7．（2022·浙江·八年級專題練習）下列命題是假命題的是(

)A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．對頂角相等C．如果一個數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除 D．內錯角相等【答案】D【分析】利用對頂角的性質、實數(shù)的性質、平行線的性質分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、如果，，那么，正確，是真命題，不符合題意；B、對頂角相等，正確，是真命題，不符合題意；C、如果一個數(shù)能被4整除，那么它也能被2整除，正確，是真命題，不符合題意；D、兩直線平行，內錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解對頂角的性質、實數(shù)的性質、平行線的性質，難度不大．8．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質和直角三角形的三邊關系，逐項判斷即可．【詳解】解：由圖可知：PC是∠APB的平分線，ED是線段PQ的垂直平分線，A．過點H作HI⊥PF，垂足為I，如圖，∵PC平分∠APB，∴HI=HG，在Rt△FIH中，HI為直角邊，F(xiàn)H為斜邊，∴FH>HI，∴FH>GH，∴A結論正確；B．由A可知，B結論不正確；C．EF與FH沒有必然的大小關系，無法判斷，故C結論不正確；D．EF與FH沒有必然的大小關系，無法判斷，故D結論不正確．故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質、直角三角形的三邊關系，正確理解題意是解題的關鍵．9．（2022·浙江·八年級專題練習）如圖，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，則∠BDC的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意設，根據(jù)三角形內角和公式定理，進而表示出，進而根據(jù)三角形內角和定理根據(jù)即可求解【詳解】解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，設，∴即故選A【點睛】本題考查了三角形內角和定理，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．10．（2020·浙江·八年級期末）如圖是雨傘在開合過程中某時刻的裁面圖，傘骨，點分別是的中點，是連接彈簧和傘骨的支架，且．已知彈簧在向上滑動的過程中，總有，其判定依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用SSS證得三角形全等得出答案即可．【詳解】解：∵分別是的中點，∴，，∵，∴，在△ADM和△AEM中，，∴△ADM≌△AEM（SSS）．故選：C．【點睛】此題考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關鍵．11．（2021·浙江·八年級期中）如圖，被木板遮住了一部分，其中，則的值不可能是（

）A．11 B．9 C．7 D．5【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關系判斷即可．【詳解】解：∵AB=6，∴AC+BC＞AB=6，∴11，9，7都滿足，5不滿足，故選D．【點睛】本題考查了三角形三邊關系，解題的關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．12．（2019·浙江·八年級期末）沿折疊，折痕為，則圖中之間的關系中，下列式子中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的外角的性質求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，記與的交點為∵將△ADE沿DE折疊，∴∠A=∠A′，即∠1=∠A′，∵，∴∠3=2∠1+∠2，故選：A．【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題），三角形的外角的性質．圖形在折疊的過程，會出現(xiàn)全等的圖形--相等的線段、相等的角，是隱含的條件，注意運用．二、填空題13．（2022·浙江·八年級專題練習）指出下列命題的題設和結論：（1）“平行于同一直線的兩條直線互相平行”命題的題設、結論．題設是：_____，結論是：_____．（2）“兩個負數(shù)的和是負數(shù)”命題的題設、結論．題設是：_____，結論是：_____．（3）“相交的兩條直線一定不平行”命題的題設、結論．題設是：_____，結論是：_____．（4）“任意兩個偶數(shù)之差是偶數(shù)”命題的題設、結論．題設是：_____，結論是：_____．【答案】

兩條直線平行于同一條直線

這兩條直線互相平行

有兩個負數(shù)

它們的和是負數(shù)

兩條直線相交

它們一定不平行

有任意兩個偶數(shù)

它們的差是偶數(shù)【分析】對每一個命題，根據(jù)命題的結構，寫出題設、結論即可求解．【詳解】解：（1）“平行于同一直線的兩條直線互相平行”可以改寫成“如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線互相平行”．題設是：兩條直線平行于同一條直線，結論是：這兩條直線互相平行；（2）“兩個負數(shù)的和是負數(shù)”可以改寫成“如果有兩個負數(shù)，那么它們的和是負數(shù)”．題設是：有兩個負數(shù)，結論是：它們的和是負數(shù)；（3）“相交的兩條直線一定不平行”可以改寫成“如果兩條直線相交，那么它們一定不平行”．題設是：兩條直線相交，結論是：它們一定不平行；（4）“任意兩個偶數(shù)之差是偶數(shù)”可以改寫成“如果有任意兩個偶數(shù)，那么它們的差是偶數(shù)”．題設是：有任意兩個偶數(shù)，結論是：它們的差是偶數(shù)故答案為兩條直線平行于同一條直線，這兩條直線互相平行；有兩個負數(shù)，它們的和是負數(shù)；兩條直線相交，它們一定不平行；有任意兩個偶數(shù)，它們的差是偶數(shù)．【點睛】本題考查了命題與定理，命題由題設和結論兩部分組成，找題設和結論的關鍵是會把命題寫成“如果…那么…”的形式．14．（2021·浙江紹興·八年級階段練習）如圖，直線a，b所成的角跑到畫板外面了，某同學發(fā)現(xiàn)只要量出一條直線分別與直線a，b相交所形成的角的度數(shù)就可求得該角，已知∠1＝71°，∠2＝78°，則直線a，b所形成的角的度數(shù)為_____°．【答案】31【分析】直線a，b交于點A，與邊框的交點分別為B，C，由對頂角的性質可求解∠ABC和∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和定理可求解．【詳解】解：直線a，b∠交于點A，與邊框的交點分別為B，C，如圖，∵∠1＝71°，∠2＝78°，∴∠ABC＝∠1＝71°，∠ACB＝∠2＝78°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣71°﹣78°＝31°，故答案為31．【點睛】本題主要考查對頂角，三角形的內角和定理，利用對頂角的性質求解∠ABC，∠ACB的度數(shù)是解題的關鍵．三、解答題15．（2022·浙江·八年級專題練習）判斷下列語句是否是命題．如果是，請寫出它的題設和結論．(1)內錯角相等；(2)對頂角相等；(3)畫一個60°的角．【答案】(1)是命題．題設是：兩個角是內錯角，結論是：這兩個角相等(2)是命題．題設是：兩個角是對頂角，結論是：這兩個角相等(3)不是命題【分析】（1）先根據(jù)命題的定義判斷，然后找到相應的條件和結論作為命題的題設和結論即可；（2）先根據(jù)命題的定義判斷，然后找到相應的條件和結論作為命題的題設和結論即可；（3）根據(jù)命題的定義判斷即可．（1）解：是命題．題設是：兩個角是內錯角，結論是：這兩個角相等；（2）是命題．題設是：兩個角是對頂角，結論是：這兩個角相等；（3）不是命題．【點睛】本題考查了命題，解決本題的關鍵是理解命題是判斷一件事情的語句，命題的題設為條件部分，結論為由條件得到的結論．16．（2021·浙江湖州·八年級階段練習）已知三條線段，，，以這三條線段為邊能構成三角形嗎？請說明理由．【答案】能，理由見解析【分析】根據(jù)三線段構成三角形的條件即可判斷．【詳解】∵是最長線段，而∴以這三條線段為邊能構成三角形【點睛】本題考查了構成三角形的條件，一般地：由于最長線段與任一線段的和總是大于第三邊的，因此只要考慮兩條短線段的和是否大于最長線段，即可判斷三線段是否構成三角形．17．（2022·浙江杭州·八年級期末）在探索并證明三角形的內角和定理“三角形三個內角的和等于180°”時，圓圓同學添加的輔助線為“過點作直線DEBC”．請寫出“已知”、“求證”，并補全證明．已知：DEBC．求證：三角形三個內角的和等于180°．證明：過點作直線DEBC．【分析】過點A作DEBC，依據(jù)平行線的性質，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內角和為180°．【詳解】解：已知：，，是的三個內角，求證：．證明：如圖，過點作直線．∴，，∵點D，A，E在同一條直線上，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC＝180°，∴，即三角形的內角和為180°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形內角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．18．（2022·浙江金華·八年級期末）如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明通過構造△ABC與△BCD來測量A，B間的距離，其中，．那么量出的BD的長度就是AB的距離．請你判斷小明這個方法正確與否，并給出相應理由．【答案】小明這個方法正確，理由見解析【分析】結合題意，根據(jù)全等三角形的性質分析，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，在和中∴≌∴∴小明這個方法正確．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的性質，從而完成求解．【典型】一、單選題1．（2020·浙江嘉興·八年級期末）下列命題中正確的是（）A．有兩條邊相等的兩個等腰三角形全等B．一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等C．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等D．兩邊分別相等的兩個直角三角形全等【答案】C【分析】利用全等三角形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、有兩條邊相等的兩個等腰三角形全等，錯誤，不符合題意；B、一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等，錯誤，不符合題意；C、一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等，正確，符合題意；D、兩邊分別相等的兩個直角三角形全等，錯誤，不符合題意，故選C．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解全等三角形全等的幾種判定方法，難度不大．2．（2021·浙江·義烏市稠州中學教育集團八年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1﹣S2+S3+S4等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】本題先根據(jù)正方形的性質和等量代換得到判定全等三角形的條件,再根據(jù)全等三角形的判定定理和面積相等的性質得到S、S、、與△ABC的關系,即可表示出圖中陰影部分的面積和.本題的著重點是等量代換和相互轉化的思想.【詳解】解：如圖所示,過點F作FG⊥AM交于點G,連接PF.根據(jù)正方形的性質可得:AB=BE,BC=BD,∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90,即∠ABC=∠EBD.在△ABC和△EBD中,AB=EB，∠ABC=∠EBD,BC=BD所以△ABC≌△EBD(SAS),故S=,同理可證,△KME≌△TPF,△FGK≌△ACT,因為∠QAG=∠AGF=∠AQF=90,所以四邊形AQFG是矩形,則QF//AG,又因為QP//AC,所以點Q、P,F三點共線,故S+S=,S=.因為∠QAF+∠CAT=90,∠CAT+∠CBA=90,所以∠QAF=∠CBA,在△AQF和△ACB中,因為∠AQF=∠ACB,AQ=AC,∠QAF=∠CAB所以△AQF≌△ACB(ASA),同理可證△AQF≌△BCA,故S1﹣S2+S3+S4==34=6,故本題正確答案為B.【點睛】本題主要考查正方形和全等三角形的判定與性質.3．（2020·浙江·杭州育才中學八年級期末）如圖是作的作圖痕跡，則此作圖的已知條件是（

）A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對角【答案】C【分析】觀察的作圖痕跡，可得此作圖的條件.【詳解】解：觀察的作圖痕跡，可得此作圖的已知條件為：∠α，∠β，及線段AB,故已知條件為：兩角及夾邊，故選C.【點睛】本題主要考查三角形作圖及三角形全等的相關知識.4．（2020·浙江嘉興·八年級階段練習）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，則△ABC是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】根據(jù)題意可設∠A=x°,則∠B=,∠C=,再結合∠A+∠B+∠C=180°，列出方程x+4x+5x=180;解方程即可求得x的值,繼而可得出∠A、∠B、∠C的度數(shù).【詳解】解：設∠A=x°,則∠B=4x°,∠C=5x°，則x+4x+5x=180，18°，,故△ABC為直角三角形.故選C.【點睛】根據(jù)三角形的內角和定理可求得∠A、∠B、∠C的大小，進而判斷△ABC的形狀.二、填空題5．（2020·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學八年級期中）如圖，已知，則需添加的一個條件是______可使．（只寫一個即可，不添加輔助線）．【答案】AB=DC（答案不唯一）【分析】因為和公共邊BC，根據(jù)全等證明方法即可求得．【詳解】當AB=DC時根據(jù)全等證明方法SAS可證故答案為：AB=DC（答案不唯一）【點睛】本題考查三角形全等的判定條件，掌握五種全等證明方法是解題的關鍵．6．（2020·浙江·諸暨市濱江初級中學八年級期中）要測量河岸相對兩點A，B的距離，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取兩點C，D，使CD＝CB，再過點D作BF的垂線段DE，使點A，C，E在一條直線上，如圖，測出DE＝20米，則AB的長是_____米．【答案】20【分析】由AB、ED垂直于BD,即可得到∠ABC＝∠EDC＝90°，從而證明△ABC≌△EDC此題得解.【詳解】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝20．故答案為：20．【點睛】考查了三角形全等的判定和性質，解題是熟練判定方法，本題屬于三角形全等的判定應用.7．（2020·浙江·寧波咸祥中學八年級開學考試）如圖，AB∥CD，∠1=50°，∠2=110°，則∠3=___________度．【答案】60【分析】如圖所示，可根據(jù)鄰補角、內錯角以及三角形內角和求出∠3的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示：∵∠2＝110°，∴∠4＝70°，∵AB∥CD，∴∠5＝∠1＝50°，∴∠3＝180°?∠4?∠5＝60°，故答案為60.【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，以及平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補．8．（2020·浙江杭州·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，過點O作EF∥AB交BC于點F，交AC于點E，過點O作OD⊥BC于D，下列四個結論：①∠AOB=90°+∠C；②AE+BF=EF；③當∠C=90°時，E、F分別是AC、BC的中點；④若OD=CE+CF=則S△CEF=,其中正確的是______________【答案】①②④【分析】根據(jù)三角形的內角和定理可得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再根據(jù)角平分線的定義可得∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC），然后根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解，判斷出①正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BFO和△AEO是等腰三角形得出AE+BF=EF故②正確；根據(jù)角平分線的定義判斷出點O在∠ACB的平分線上，從而得到點O不是∠ACB的平分線的中點，然后判斷出③錯誤；根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點O到AC的距離等于OD，再利用三角形的面積公式列式計算即可得到S△CEF=ab，判斷出④正確．【詳解】在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，

∴∠OAB+∠OBA=（∠BAC+∠ABC）=90°-∠C，

在△AOB中，∠AOB=180°-（90°-∠C）=90°+∠C，故①正確；

∵在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴∠OBC=∠OBA，∠OAE=∠OAB，∵EF∥AB，∴∠OBA=∠BOF，∠BAO=∠AOE，∴∠BOF=∠FBO，∠OAE=∠AOE，∴FB=FO，EO=EA，∴EF=OE+OF=BF+AE，故②正確；∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，

∴點O在∠ACB的平分線上，

∴點O不是∠ACB的平分線的中點，

∵EF∥AB，

∴E，F(xiàn)一定不是AC，BC的中點，故③錯誤；

∵點O在∠ACB的平分線上，

∴點O到AC的距離等于OD，∴S△CEF=（CE+CF）?OD=×2b?a=ab，故④正確；

綜上所述，正確的是①②④故答案為①②④．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定，三角形的內角和定理，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形的面積，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．三、解答題9．（2020·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學八年級期中）已知，如圖，點，分別在，上，，．求證：．【分析】證明需要三個條件，題中已知一對邊和一對角對應相等，觀察圖形可得出一對公共角，進而利用ASA可得出．【詳解】證明：在△ABE和△ACD中，∵∴（ASA）【點睛】本題考查三角形全等證明方法ASA，掌握ASA證明方法是解題的關鍵．【易錯】一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?義烏市期中）如圖，∠B＝60°，∠ACD＝100°，那么∠A＝（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，根據(jù)三角形的外角的性質計算即可．【解答】解：由三角形的外角的性質可知，∠A＝∠ACD﹣∠B＝40°，故選：B．【點評】本題考查的是三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．2．（2021秋?海曙區(qū)期末）一個三角形的兩邊長分別是2與3，第三邊的長不可能為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)三角形的三邊關系求得第三邊的取值范圍解答即可．【解答】解：設第三邊長x．根據(jù)三角形的三邊關系，得1＜x＜5，第三邊不可能為1，故選：A．【點評】本題主要考查三角形三邊關系的知識點，此題比較簡單，注意三角形的三邊關系．3．（2021秋?瑞安市月考）下列選項中，可以用來說明命題“若x2＞9，則x＞3”是假命題的反例是（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝﹣4【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的大小比較法則解答．【解答】解：當x＝﹣4時，x2＝16＞9，而﹣4＜﹣3，∴“若x2＞9，則x＞3”是假命題，故選：D．【點評】本題考查的是假命題的證明，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．4．（2021秋?龍泉市期末）下列命題中，是真命題的是（）A．對應角相等的兩個三角形是全等三角形 B．三個內角之比為3：4：5的三角形是直角三角形 C．平面直角坐標系中，點的橫坐標是點到x軸的距離 D．角平分線上的點到角兩邊的距離相等【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理、三角形內角和定理、點的坐標、角平分線的性質定理判斷即可．【解答】解：A、對應角相等的兩個三角形不一定是全等三角形，本選項說法是假命題，不符合題意；B、設三角形三個內角分別為3x、4x、5x，則3x+4x+5x＝180°，解得：x＝15°，則三角形三個內角分別為45°、60°、75°，∴三個內角之比為3：4：5的三角形不是直角三角形，本選項說法是假命題，不符合題意；C、平面直角坐標系中，點的橫坐標的絕對值是點到y(tǒng)軸的距離，本選項說法是假命題，不符合題意；D、角平分線上的點到角兩邊的距離相等，本選項說法是真命題，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．5．（2021秋?柯橋區(qū)月考）下列各圖中，作△ABC邊AC上的高，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．【解答】解：A、AD是△ABC邊BC上的高，不符合題意；B、AD是△ADC邊AC上的高，不符合題意；C、BD是△DBC邊BC上的高，不符合題意；D、BD是△ABC邊AC上的高，符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．二．填空題（共6小題）6．（2021秋?秀洲區(qū)校級月考）寫出命題“等邊三角形的三個角都是60°”的逆命題三個角都是60°的三角形是等邊三角形．【分析】把命題“等邊三角形的三個角都是60°”的題設和結論互換即可得到逆命題．【解答】解：命題“等邊三角形的三個角都是60°”的逆命題為：三個角都是60°的三角形是等邊三角形，故答案為：三個角都是60°的三角形是等邊三角形．【點評】本題考查逆命題的寫法，命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．7．（2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，則α，β，γ三者之間的等量關系是γ＝2α+β．【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故答案為：γ＝2α+β．【點評】本題考查了三角形外角的性質，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是關鍵．8．（2021秋?溫州校級期中）如圖，點E，F(xiàn)在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一個條件是∠D＝∠B．（只需添加一個條件即可）【分析】利用全等三角形的判定與性質進而得出當∠D＝∠B時，△ADF≌△CBE．【解答】解：當∠D＝∠B時，在△ADF和△CBE中∵，∴△ADF≌△CBE（SAS），故答案為：∠D＝∠B．（答案不唯一）【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．9．（2021春?東平縣期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于H，則∠CHD＝45°．【分析】延長CH交AB于點F，銳角三角形三條高交于一點，所以CF⊥AB，再根據(jù)三角形內角和定理得出答案．【解答】解：延長CH交AB于點F，在△ABC中，三邊的高交于一點，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°在△CDH中，三內角之和為180°，∴∠CHD＝45°，故答案為∠CHD＝45°．【點評】考查三角形中，三條邊的高交于一點，且內角和為180°．10．（2021秋?金東區(qū)校級月考）如圖，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，則∠BAD＝45°．【分析】依據(jù)全等三角形的對應角相等以及三角形內角和定理，即可得到∠BAD的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝75°，∴∠D＝∠B＝75°，又∵∠C＝35°，∴∠BAC＝70°，又∵∠DAC＝25°，∴∠BAD＝45°，故答案為：45．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質，解題時注意：全等三角形的對應角相等．11．（2021秋?仙居縣校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，則∠ADB＝120度．【分析】依據(jù)三角形內角和定理可得∠ABC＝60°，再根據(jù)BD是∠ABC的平分線，可得∠ABD＝30°，依據(jù)三角形內角和定理，即可得到∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝120°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝30°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝120°，故答案為：120．【點評】本題主要考查了三角形內角和定理以及角平分線的定義的運用，解題時注意：三角形內角和是180°．三．解答題（共4小題）12．（2021秋?瑞安市月考）已知：如圖，在△ADF和△BCE中，點B，F(xiàn)，E，D依次在一條直線上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求證：AF＝CE．【分析】根據(jù)AF∥CE推∠AFD＝∠CEB，再根據(jù)BF＝DE，推BE＝DF，再加已知條件∠B＝∠D，根據(jù)（ASA）證明△ADF≌△CBE，得出AF＝CE．【解答】證明：∵AF∥CE∴∠AFD＝∠CEB，∵BF＝DE，∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF，∵∠B＝∠D，∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質的應用，平行線的性質的應用是解題關鍵．13．（2021秋?越城區(qū)校級月考）探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于點P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關系？（1）我們發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠DEF有兩種位置關系：如圖1與圖2所示．①圖1中∠ABC與∠DEF數(shù)量關系為∠ABC+∠DEF＝180°；圖2中∠ABC與∠DEF數(shù)量關系為∠ABC＝∠DEF；請選擇其中一種情況說明理由．②由①得出一個真命題（用文字敘述）：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補．（2）應用②中的真命題，解決以下問題：若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，請直接寫出這兩個角的度數(shù)．【分析】（1）①利用平行線的性質即可判斷；②根據(jù)平行線的性質解決問題即可．（2）設兩個角分別為x和2x﹣30°，由題意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解方程即可解決問題．【解答】解：（1）①如圖1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如圖2中，∠ABC＝∠DEF，故答案為：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．理由：如圖1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．如圖2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．②結論：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補．故答案為：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補．（2）設兩個角分別為x和2x﹣30°，由題意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，∴這兩個角的度數(shù)為30°，30°或70°和110°．【點評】本題考查平行線的判定和性質，一元一次方程的應用等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．14．（2021秋?衢江區(qū)月考）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點H．（1）求證：∠ADC+∠B＝180°；（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的長．【分析】（1）先證明Rt△DMC≌Rt△NHC（HL），推得DM＝BH，∠1＝∠B，等量代換后得∠ADC+∠B＝180°；（2）證明Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），推得AM＝AH，設BH＝DM＝x，則AH＝8﹣x，AM＝3+x，列一元一次方程，解出x，就可求得AH的長．【解答】（1）證明：過點C作CM⊥DE，垂足為M，∵AC平分∠EAB，CH⊥AB，CM⊥DE，∴CM＝CH，∠CMA＝∠CHB＝90°，在Rt△DMC與Rt△NHC中，∴Rt△DMC≌Rt△NHC（HL），∴DM＝BH，∠1＝∠B，∵∠1+∠CDA＝180°，∴∠ADC+∠B＝180°；（2）解：∵∠CMA＝∠CHB＝90°，在Rt△AMC與Rt△AHC中，∴Rt△AMC≌Rt△AHC（HL），∴AM＝AH，設BH＝DM＝x，則AH＝8﹣x，AM＝3+x，∴8﹣x＝3+x，解得，x＝2.5，∴AH＝5.5．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質，熟練掌握這幾個知識點的綜合應用，輔助線的做法是解題關鍵．15．（2021春?梅江區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，點D從B出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段BC上從點B向點C運動，點E同時從C出發(fā)以每秒2個單位的速度在線段CA上向點A運動，連接AD、DE，設D、E兩點運動時間為t秒（0＜t＜4）（1）運動3秒時，AE＝DC；（2）運動多少秒時，△ABD≌△DCE能成立，并說明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，則∠ADE＝90°﹣α（用含α的式子表示）．【分析】（1）依據(jù)BD＝CE＝2t，可得CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，再根據(jù)當AE＝DC，時，8﹣2t＝（12﹣2t），可得t的值；（2）當△ABD≌△DCE成立時，AB＝CD＝8，根據(jù)12﹣2t＝8，可得t的值；（3）依據(jù)∠CDE＝∠BAD，∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，即可得到∠ADE＝∠B，再根據(jù)∠BAC＝α，AB＝AC，即可得出∠ADE．【解答】解：（1）由題可得，BD＝CE＝2t，∴CD＝12﹣2t，AE＝8﹣2t，∴當AE＝DC，時，8﹣2t＝（12﹣2t），解得t＝3，故答案為：3；（2）當△ABD≌△DCE成立時，AB＝CD＝8，∴12﹣2t＝8，解得t＝2，∴運動2秒時，△ABD≌△DCE能成立；（3）當△ABD≌△DCE時，∠CDE＝∠BAD，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∠B＝∠180°﹣∠BAD﹣∠ADB，∴∠ADE＝∠B，又∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠ADE＝∠B＝（180°﹣α）＝90°﹣α．故答案為：90°﹣α．【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質等知識點的綜合運用．利用全等三角形的對應邊相等得出方程是解題關鍵．【壓軸】一、單選題1．（2020·浙江·八年級單元測試）如圖，在等腰內作正方形，使點D，E，F(xiàn)分別在邊上，在正方形中依次作正方形和正方形使．若正方形和正方形的面積分別為1和25，則陰影部分面積為（

）A．25 B． C． D．75【答案】B【分析】首先求出正方形和正方形的邊長，再求出正方形BEDF的面積，從而得到邊長，同時根據(jù)等腰直角三角形的性質得到AE和CF，利用勾股定理求出△BHI、△EIJ、△DGJ、△FGH的直角邊長，最后利用三角形面積公式計算即可．【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別為1和25，∴MN=NO=OL=LM=1，JI=IH=HG=JG=5，∵四邊形BEDF是正方形，∴SDEBF=2S△EIJ+2S△DGJ+2S△FGH+2S△BHI+SMNOL=25×2-1=49，∴DE=DF=BE=BF=7，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DCF=45°，∠AED=∠DFC=90°，∴△AED和△DFC是等腰直角三角形，∴AE=DE=DF=CF=7，由題意可知：△BHI≌△EIJ≌△DJG≌△FGH，∴BH=EI=DJ=GF，BI=EJ=DG=HF，設BI=x，BH=7-x，則，解得：x=4或3，即BI=EJ=DG=HF=4，BH=EI=DJ=GF=3，∴陰影部分面積=S△AIJ+S△CHG，===故選：B．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，正方形的面積，解題的關鍵是理解題意，讀懂圖形，找到圖中面積和線段之間的轉化關系．2．（2020·浙江·八年級單元測試）如圖，已知中，，，，若把繞點A逆時針旋轉一個角度，使它與原的重疊部分為等腰三角形．則為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】由∠BAC=90°，AB=AC可判斷△ABC為等腰直角三角形，則∠ABC=∠ACB=45°，再由BD∥AC得∠ABD=∠BAC=90°，則利用互余可計算出∠BAD=60°，由于把△ABD繞點A逆時針旋轉一個角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，而等腰三角形的腰不能確定，所以分類討論：當AE=AF時，如圖1，根據(jù)旋轉的性質得∠BAB′=α，∠B′AD=60°，可判斷△AEF為等邊三角形，得到∠1=∠2=60°，則可根據(jù)三角形外角性質可計算出∠BAB′=∠1-∠ABC=15°，即α=15°；當AFA=FC時，如圖2，∠BAB′=α，根據(jù)等腰三角形的性質得∠ACB=∠FAC=45°，所以∠BAB′=45°，即α=45°，由此得到α的值為15°或45°．【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵BD∥AC，∴∠ABD=∠BAC=90°，∵∠D=30°，∴∠BAD=60°，把△ABD繞點A逆時針旋轉一個角度α（0＜α＜90°），使它與原△ABC的重疊部分為等腰三角形，當AE=AF時，如圖1，則∠BAB′=α，∠B′AD=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴∠1=∠2=60°，而∠1=∠B+∠BAB′，∴∠BAB′=60°-45°=15°，即α=15°；當AF=FC時，如圖2，則∠BAB′=α，∵∠ACB=45°，∴∠FAC=45°，∴∠BAB′=90°-45°=45°，即α=45°；綜上所述，α的值為15°或45°．故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質．3．（2020·浙江金華·八年級期末）如圖，、是的角平分線，、相交于點F，已知，則下列說法中正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】當AF=FC、△AEF≌△CDF時，需要滿足條件∠BAC=∠BCA，據(jù)此可判斷①②；在AC上取AG=AE，連接FG，即可證得△AEG≌△AGF，得∠AFE=∠AFG；再證得∠CFG=∠CFD，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS即可證△GFC≌△DFC，可得DC=GC，即可得結論，據(jù)此可判斷③④．【詳解】解：①假設AF=FC．則∠1=∠4．∵AD、CE是△ABC的角平分線，∴∠BAC=2∠1，∠BCA=2∠4，∴∠BAC=∠BCA．∴當∠BAC≠∠BCA時，該結論不成立；故①不一定正確；②假設△AEF≌△CDF，則∠2=∠3．同①，當∠BAC=∠BCA時，該結論成立，∴當∠BAC≠∠BCA時，該結論不成立；故②不一定正確；③如圖，在AC上取AG=AE，連接FG，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，在△AEF與△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AFE=∠AFG；∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠4+∠1=∠ACB+∠BAC=（∠ACB+∠BAC）=（180°-∠B）=60°，則∠AFC=180°-（∠4+∠1）=120°；∴∠AFC=∠DFE=120°，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，則∠CFG=60°，∴∠CFD=∠CFG，在△GFC與△DFC中，，∴△GFC≌△DFC（ASA），∴DC=GC，∵AC=AG+GC，∴AC=AE+CD．故③正確；④由③知，∠AFC=180°-∠ECA-∠DAC=120°，即∠AFC=120°；故④正確；綜上所述，正確的結論有2個．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．4．（2021·浙江·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點O作OD⊥BC于D，下列四個結論：①∠AOB＝90°+∠C；②當∠C＝60°時，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】C【分析】由角平分線的定義結合三角形的內角和的可求解∠AOB與∠C的關系，進而判定①；在AB上取一點H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，進而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．【詳解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正確；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分線，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（ASA），∴AF＝AH，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點O，∴點O在∠C的平分線上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，④正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，三角形全等的性質和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問題的關鍵．二、填空題5．（2020·浙江·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點，點Q在x軸的負半軸上，且分別以、為腰，點C為直角項點在第一、第二象限作等腰、等腰，連接交y軸于P點，則的值為__________．【答案】7．【分析】先過N作NH∥CM，交y軸于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根據(jù)點C（0，4），S△CQA＝12，求得AQ＝6，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝3，即可求得OP．【詳解】解：過N作NH∥CM，交y軸于H，則∠CNH+∠MCN＝180°，∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，∴∠MCQ+∠ACN＝180°，∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，∴∠CNH＝∠ACQ，又∵∠HCN+∠ACO＝90°，∠QAC+∠ACO＝90°，∴∠HCN＝∠QAC，在△HCN和△QAC中，，∴△HCN≌△QAC（ASA），∴CH＝AQ，HN＝QC，∵QC＝MC，∴HN＝CM，∵點C（0，4），S△CQA＝12，∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，∴AQ＝6，∴CH＝6，∵NH∥CM，∴∠PNH＝∠PMC，∴在△PNH和△PMC中，，∴△PNH≌△PMC（AAS），∴CP＝PH＝CH＝3，又∵CO＝4，∴OP＝3+4＝7；故答案為：7．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積計算以及等腰直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應邊相等進行推導計算．6．（2020·浙江·八年級期末）如圖為的角平分線，且，E為延長線上一點，，過E作于F，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是________．【答案】①②④【分析】根據(jù)SAS易證△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正確；再判斷AB∥CE，可得③錯誤；判斷出Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），得出BG=BF，進而判斷出Rt△CEG≌Rt△AEF，即可判斷出④正確．【詳解】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，又∵BD=BC，BD=BC，∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正確；②∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°，即②正確；③根據(jù)已知條件，可得不一定成立，故③錯誤；④如圖，過作于點，是上的點，，在Rt△BEG和Rt△BEF中，，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），，在Rt△CEG和Rt△AFE中，，∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），，，即④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的對應邊、對應角相等的性質，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應角、對應邊相等性質是解題的關鍵．7．（2020·浙江·臺州市書生中學八年級階段練習）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE內時，∠A與∠1＋∠2之間有始終不變的關系是__________．【答案】2∠A＝∠1＋∠2【分析】根據(jù)∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角，結合△AED的內角和為180°可求出答案．【詳解】∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，∴∠AED＝（180°?∠1），∠ADE＝（180°?∠2），∴∠AED＋∠ADE＝（180°?∠1）＋（180°?∠2）＝180°?（∠1＋∠2）∴△ADE中，∠A＝180°?（∠AED＋∠ADE）＝180°?[180°?（∠1＋∠2）]＝（∠1＋∠2），即2∠A＝∠1＋∠2．故答案為：2∠A＝∠1＋∠2．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于180°及圖形翻折變換的性質是解答此題的關鍵．三、解答題8．（2022·浙江金華·八年級階段練習）問題背景：定義：四邊形，，，，分別是直線，直線上的一點，若，則稱四邊形是的“等腰倍角四邊形”．如圖1，四邊形是的“等腰倍角四邊形”，在四邊形內部，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關系．(1)小慧同學探究此問題的方法是：延長到點，使．連結，先證明，再證明，可得出結論，她的結論應是．(2)探索延伸：如圖2，四邊形是的“等腰倍角四邊形”，有一部分在四邊形外部，上述結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請求出相應的結論（寫出過程）．(3)實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（處）北偏東60°的處，艦艇乙在指揮中心南偏西20°的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正南方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿南偏東40°的方向以一定速度前進2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達，處，且兩艦艇之間的夾角為70°，此時兩艦艇之間的距離為280海里．試求艦艇乙前進的速度．【答案】(1)；(2)不成立，；(3)80海里/小時【分析】（1）延長到點，使，連結，先利用SAS證明，得到BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出，再利用SAS證明，得到EF＝GF，進而可得；（2）在DF上截取DG＝BE，先利用SAS證明，得到AE＝AG，∠BAE＝DAG，求出，再利用SAS證明，得到EF＝GF，進而可得；（3）如圖作輔助線，求出∠OAE＋∠OBF＝180°，∠EOF＝∠AOB，延長EA到點M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，求出BF即可解決問題．（1）證明：如圖1，延長到點，使，連結，∵，，∴，又∵，∴（SAS），∴BE＝DG，AE＝AG，∠BAE＝DAG，∵，∴，∴，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴（SAS），∴EF＝GF，∴EF＝GF＝DF＋DG＝DF＋BE，故答案為：；（2）不成立，正確的結論為：；證明：如圖2，在DF上截取DG＝BE，∵，，∴，又∵，∴（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝DAG，∵，∴，∴，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴（SAS），∴EF＝GF，∴DF＝DG＋GF＝BE＋EF，即；（3）如圖3，點G在y軸正半軸上，BH交y軸負半軸于點H，AE交x軸于點K，過點B作CD∥y軸，連接EF，由題意得：∠OAE＝∠GOA＝60°，∠CBO＝∠BOH＝20°，∠DBF＝40°，OA＝OB，∴∠AOK＝30°，∠OBF＝180°－∠CBO－∠DBF＝120°，∴∠OAE＋∠OBF＝180°，∵∠AOB＝∠AOK＋∠KOH＋∠BOH＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，延長EA到點M，使AM＝BF，同（1）可得：EF＝BF＋AE，∵EF＝280海里，AE＝60×2＝120海里，∴BF＝280－120＝160海里，∴艦艇乙前進的速度為：160÷2＝80海里/小時．【點睛】本題考查了新定義，全等三角形的判定和性質，方位角等知識，作出合適的輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．9．（2021·浙江·八年級期末）如圖（1）是一個三角形的紙片，點D、E分別是邊上的兩點，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關系，并說明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關系，并說明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關系，并說明理由．【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由見解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由見解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由見解析【分析】（1）翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質可得結論∠BDA′=2∠A；（2）根據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結合四邊形的內角和及互補角的性質可得結論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）根據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運用三角形外角的性質可得結論．【詳解】解：（1）∠BDA′=2∠A；根據(jù)折疊的性質可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如圖3，DA′交AC于點F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．【點睛】此題主要考查了三角形內角和定理以及翻折變換的性質，遇到折疊的問題，一定要找準相等的量，結合題目所給出的條件在圖形上找出之間的聯(lián)系則可．10．（2020·浙江·八年級期末）在平面直角坐標系中，點A的坐標，點C的坐標，點P是軸上的一個動點，從點C出發(fā)，沿軸的負半軸方向運動，速度為2個單位/秒，運動時間為秒，點B在軸的負半軸上，且的面積：的面積．（1）求點B的坐標；（2）若點D在軸上，是否存在點P，使以為頂點的三角形與全等？若存在，直接寫出點D坐標；若不存在，請說明理由；（3）點Q是軸上的一個動點，從點A出發(fā)，向軸的負半軸運動，速度為2個單位/秒．若P、Q分別從C、A兩點同時出發(fā)，求：t為何值時，以三點構成的三角形與全等．【答案】（1）B（-2，0）；（2）存在，（0，4），（0，-4），（0，2），（0，-2）；（3）1s或4s【分析】（1）先求出，進而得出的面積，即可得出的面積，最后得出點坐標；（2）由于，所以分兩種情況討論計算即可；（3）先按時間分成三種情況，每種情況中同（2）的方法即可得出結論．【詳解】解：（1）點的坐標，點的坐標，，，，，，設，點在軸的負半軸上，，，，；（2）在軸上，在軸，，以、、為頂點的三角形與全等，①，，或②，，或，即：滿足條件的的坐標為，，，．（3）在軸上，在軸，，由運動知，，，，，當時，，，以、、為頂點的三角形與全等，①，，，，滿足條件，即：②，，，，，不滿足條件，舍去；當時，，，以、、為頂點的三角形與全等，①，，，，，不滿足條件，舍去；②，，，，，不滿足條件，舍去；當時，，，以、、為頂點的三角形與全等，①，，，，不滿足條件，舍去；，②，，，，，滿足條件，即：t=4s，即：滿足條件的時間t=1s或4s．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，全等三角形的判定，解本題的關鍵是分類討論，要考慮全面是解本題的難點．11．（2020·浙江·八年級單元測試）在中，，直線經(jīng)過點C，且于D，于E，（1）當直線繞點C旋轉到圖1的位置時，顯然有：（不必證明）；（2）當直線繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：；（3）當直線繞點C旋轉到圖3的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質即可解決問題；（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質也可以解決問題；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質可以得到DE=BE-AD．【詳解】解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD+CE=AD+BE；（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，而AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CE-CD=AD-BE；（3）如圖3，∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴CD=BE，CE=AD，∴DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD、BE之間的關系為DE=BE-AD．【點睛】此題需要考查了全等三角形的判定與性質，也利用了直角三角形的性質，是一個探究性題目，對于學生的能力要求比較高．12．（2020·浙江·臺州市書生中學八年級階段練習）【提出問題】我們已經(jīng)知道了三角形全等的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS）和直角三角形全等的判定方法（HL），請你繼續(xù)對“兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形（SSA）”的情形進行探究．【探索研究】已知：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．（1）如圖①，當∠B＝∠E＝90°時，根據(jù)，可知Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）如圖②，當∠B＝∠E＜90°時，請用直尺和圓規(guī)作出△DEF，通過作圖，可知△ABC與△DEF全等．（填“一定”或“不一定”）（3）如圖③，當∠B＝∠E＞90°時，△ABC與△DEF是否全等？若全等，請加以證明：若不全等，請舉出反例．【歸納總結】（4）如果兩個三角形的兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等，那么當這組對角是__________時，這兩個三角形一定全等．（填序號）①銳角；②直角；③鈍角．【答案】（1）HL；（2）不一定；（3）△ABC≌△DEF，見解析；（4）②③【分析】（1）根據(jù)HL即可判斷；（2）畫出圖形，可知兩個三角形不一定全等．（3）結論：△ABC≌△DEF．如圖③中，作AG⊥CB交CB的延長線于G，作DH⊥FE交FE的延長線于H．利用3次全等解決問題即可；（4）利用（1）（3）中結論即可解決問題．【詳解】（1）在Rt△ABC和