第02講二次根式與二次根式的性質（1）1.2（2）-1.3（1）【學習目標】掌握二次根式積的性質和商的性質；2、了解最簡二次根式的概念，能運用二次根式的有關性質進行化簡；3、掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進行二次根式的乘除運算。【基礎知識】一、二次根式的性質：1.（≥0，≥0）,即積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積.2.（≥0，>0），即商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.二、最簡二次根式（1）被開方數不含有分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.滿足這兩個條件的二次根式叫最簡二次根式.要點：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數是分數或分式；（2）含有能開方的因數或因式.三、二次根式的乘法1.法則：（≥0，≥0）,即兩個二次根式相乘，根指數不變，只把被開方數相乘.要點：(1)在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負數；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負數).(2)該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：;≥0，≥0，…..≥0）;(3)若二次根式相乘的結果能寫成的形式，則應化簡，如.四、二次根式的除法1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個二次根式相除，根指數不變，把被開方數相除..要點：(1)在進行二次根式的除法運算時，對于公式中被開方數a、b的取值范圍應特別注意，≥0，>0，因為b在分母上，故b不能為0.(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結果要盡量化簡，最后結果中分母不能帶根號.【考點剖析】考點1：最簡二次根式的概念例1．下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．A：是最簡二次根式，符合題意；B：，不符合題意；C：，不符合題意；D：，不符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關鍵．例2．下列根式，，，，，中，最簡二次根式的個數是（）A．2個 B．3個 C．6個 D．5個【答案】A【解析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．解：符合最簡二次根式的條件；=2，被開方數含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式；=，被開方數含分母，不是最簡二次根式；=，被開方數含分母；不是最簡二次根式；符合最簡二次根式的條件；=，被開方數含分母；不是最簡二次根式；因此只有，兩個符合條件．故本題選擇A．考點2：最簡二次根式的化簡1-數字型（積的性質與商的性質）例3．化簡：______．【答案】【解析】【分析】根據根式的性質進行化簡即可．解：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟悉相關性質是解題的關鍵．例4．化簡：（1）＝______；（2）﹣＝______．【答案】

【解析】【分析】根據最簡二次根式的定義解答．解：=，，故答案為：，．【點睛】此題考查了二次根式的化簡，掌握最簡二次根式的定義：不含分母，不含能再開方的因式或因數，是解題的關鍵．考點3：最簡二次根式的化簡2-含字母型（積的性質與商的性質）例5．把下列二次根式化成最簡二次根式：(1).(2).(3).(4).【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據二次根式的乘法和除法法則化簡即可.解：(1).(2).(3).(4).【點睛】本題考查了二次根式的化簡，屬于基礎題型，熟練掌握化簡的方法是關鍵.例6．當時，化簡：_______；_______；_______．【答案】

【解析】【分析】根據二次根式的性質進行化簡．根據二次根式的意義，可知中的，則，又∵，∴原式=；根據二次根式的意義和，可知中的，則，又∵，∴原式=；根據二次根式的意義和，可知中的，則，又∵，∴原式=．故答案是：；；．【點睛】本題考查二次根式的化簡，需要注意化簡的時候要考慮字母的取值范圍，注意符號的變化．考點4：最簡二次根式的形式例7．若二次根式是最簡二次根式，則最小的整數______.【答案】－1.【解析】【分析】先確定a的范圍，再根據最簡二次根式的概念即可得出答案.解：∵，∴.當a取最小整數－1時，，是最簡二次根式，所以最小的整數－1.故答案為－1.【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件和最簡二次根式的定義，熟知概念是解題的關鍵.例8．若和都是最簡二次根式，則________．【答案】1【解析】【分析】根據最簡二次根式的定義解答即可.根據題意得：解得∴【點睛】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關鍵．考點5：最簡二次根式的化簡3-復合型例9．把下列各式化成最簡二次根式：；

；；

；；

．【答案】；；；；；．【解析】【分析】（1）先將帶分數化為分數再開方．（2）直接開方再分母有理化；（3）直接開方即可．（4）將小數化為分數后再開方．（5）通分后再開方．（6）通分后再開方，然后再分母有理化．解：（1）原式==；（2）原式=x2=x；（3）原式==；（4）原式==ab；（5）原式==；（6）原式==．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，難度不大，注意要耐心運算，否則很容易出錯．例10．已知a<0，那么可化簡為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】結合已知條件、分式有意義的條件和二次根式有意義的條件求出b的取值范圍，然后根據二次根式的乘除法公式化簡即可．解：由題意可知：解得：b＞0∴===故選D．【點睛】此題考查的是二次根式的化簡，掌握分式有意義的條件、二次根式有意義的條件和二次根式的乘除法公式是解決此題的關鍵．例11．已知，化簡二次根式的正確結果為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據最簡二次根式的定義即可化簡.解：由題意可知，y<0，則=，故選擇A.【點睛】掌握最簡二次根式的定義和性質是解本題的關鍵.例12．化簡：（1）=_________，（2）=___________．【答案】

【解析】【分析】（1）將二次根式化為最簡二次根式，再進行化簡運算即可；（2）將二次根式化為最簡二次根式，再進行化簡運算即可；（1）原式=（2）原式=故答案為:,【點睛】本題考查最簡二次根式和二次根式的運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質，本題屬于基礎題型．考點6：二次根式的乘法1-數字型例13．計算的值是（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【解析】【分析】根據二次根式乘法法則計算即可．原式．故選：D．【點睛】本題考查了二次根式乘法法則：算術平方根的積等于各個被開方數積的算術平方根．例14．計算：＝_________．【答案】20【解析】【分析】根據二次根式的乘法法則計算即可．解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的乘法法則，熟練掌握二次根式的乘法法則是解決本題的關鍵．考點7：二次根式的乘法2-字母型及復合型例15．計算：__________．【答案】【解析】【分析】根據二次根式的乘法進行求解即可．解：；故答案為：【點睛】本題主要考查二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關鍵．例16．下列計算正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】A選項：，計算錯誤，故與題意不符；B選項：，計算步驟有誤，故與題意不符;C選項：，計算錯誤，故與題意不符；D選項：＝=5，計算正確，故與題意相符.故選D.例17．計算（2）（）的結果是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式進行計算即可．解：（2）（）故選B．【點睛】本題考查的是利用平方差公式進行二次根式的乘法運算，掌握公式特點是解題的關鍵．考點8：二次根式的乘法法則成立的條件例18．要使等式成立的x的值為（

）A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不對【答案】B【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件以及二次根式的乘法進行分析即可得答案.∵，∴或，∴x=-2或x=3，又∵，∴x=3，故選B.【點睛】本題考查了二次根式的乘法以及二次根式有意義的條件，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.考點9：二次根式的除法1-數字型例19．計算：＝___．【答案】【解析】【分析】用二次根式除法法則計算即可．解：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的除法，解題關鍵是熟練掌握二次根式除法法則，準確進行計算．例20．計算：＝_____．【答案】3【解析】【分析】直接利用二次根式的除法運算計算得出即可．解：．故答案為：3．【點睛】本題主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握運算的法則是解題的關鍵．例21．計算：÷＝_____．【答案】2【解析】【分析】根據二次根式的除法法則計算即可求解．解：，故答案為：2．【點睛】本題考查了二次根式的除法運算，熟知二次根式的除法法則是解題關鍵．考點10：二次根式除法法則成立的條件例22．能使成立的x的取值范圍是（

）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2【答案】D【解析】【分析】根據被開方數為非負數，且分式的分母不能為0，列不等式組求出x的取值范圍即可．由題意可得：，解得：x＞2．故選D．【點睛】二次根式的被開方數是非負數，分母不為0，是本題確定取值范圍的主要依據．例23．使等式成立的條件時，則的取值范圍為___．【答案】【解析】【分析】由二次根式有意義的條件可得再解不等式組即可得到答案.解：等式成立，由①得：由②得：所以則的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查的是商的算術平方根的運算法則與二次根式有意義的條件，掌握“”是解本題的關鍵.例24．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序號）．【答案】②③④【解析】【分析】根據二次根式的性質及運算法則逐項分析即可．①時原式成立，否則不成立，如：，故不一定；②一定成立，因為成立時，一定滿足；③當時，，故一定成立；④當成立時，，則，故一定成立；故答案為：②③④．【點睛】本題考查二次根式的性質以及乘除遠算法則，熟練掌握基本性質計算法則是解題關鍵．考點11：二次根式的除法2-字母型及復合型例25．計算：＝____．【答案】【解析】【分析】根據二次根式的除法法則解決此題．解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查二次根式的除法，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的除法法則．例26．計算：＝___．【答案】【解析】【分析】根據二次根式的除法運算法則計算即可；原式；故答案是：；【點睛】本題主要考查了二次根式的除法法則，準確計算是解題的關鍵．例27．計算：_________．【答案】x【解析】【分析】根據二次根式的除法法則計算即可．解：===x．【點睛】本題考查了二次根式的除法，熟練掌握除法法則是解答本題的關鍵．二次根式相除，把系數相除作為商的系數，被開方數相除，作為商的被開方數，并化為最簡二次根式．例28．計算：=______

=______【答案】

24

【解析】【分析】運用積的乘方的逆運算：(ab)n=anbn，把寫成，再先算乘方再算乘法；按從左到右的順序運算．解：==3×23=3×8=24解：==故答案為：24，【點睛】此題考查了實數的運算，解決問題的關鍵是掌握正確的運算順序．例29．當時，化簡_________________．【答案】【解析】【分析】先根據二次根式的定義和除法的性質可得，再根據二次根式的性質化簡，然后計算二次根式的除法即可得．由二次根式的定義得：，，，又除法運算的除數不能為0，，，則故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的定義與除法運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關鍵．考點12：二次根式的乘除法1-數字型例30．下列運算錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用二次根式的運算性質分別運算后即可確定錯誤的選項，從而確定正確的答案．解：、，正確，不符合題意；、，正確，不符合題意；、，正確，不符合題意；、，故原式錯誤，符合題意，故選：．【點睛】本題考查了二次根式的運算，解題的關鍵是了解二次根式的有關的運算性質，難度不大．例31．計算：＝___．【答案】【解析】【分析】先把除法轉化為乘法，再計算即可完成．故答案為：【點睛】本題考查了二次根式的乘除混合運算，注意運算順序不要出錯．考點13：二次根式的乘除法2-字母型及復合型例32．下列結論中，對于實數、，成立的個數有（

）①；

②；

③；

④．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】【分析】根據二次根式有意義的條件結合二次根式的乘除法及二次根式的性質逐一分析四條結論的正誤，由此即可得出結論．①當a、b均為負時，、無意義，∴①不成立；②∵在中，a＞0，b≥0，∴≥0，∴＝，②成立；③∵＝|a|，∴③不成立；④∵＝|a2|＝a2，∴④成立．綜上可知：成立的結論有②④．故選C．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的乘除法以及二次根式的性質與化簡，熟練掌握二次根式的乘除法及二次根式的性質是解題的關鍵．例33．計算：（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡求出即可．原式．故選：A【點睛】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．例34．計算：（1）（2）（3）（4）（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【解析】【分析】（1）根據二次根式的除法運算法則計算即可；（2）根據二次根式的乘除法混合運算法則計算即可；（3）根據二次根式的乘除法混合運算法則計算即可；（4）根據二次根式的乘除法混合運算法則計算即可；（5）根據二次根式的乘除法混合運算法則計算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練化簡二次根式后，在加減的過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數簡單的直接讓被開方數相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待．例35．計算:（1）;（2）;（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據二次根式乘除法法則計算即可；（2）根據二次根式乘除法法則計算即可；（3）根據二次根式乘除法法則計算即可．（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，主要考查學生的化簡能力，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．考點36：二次根式乘除的應用例36．若一個長方體的長為，寬為，高為，則它的體積為_______．【答案】12【解析】【分析】直接根據長方體體積公式求解可得．∵長方體的長為，寬為，高為∴長方體的體積=故答案為：12【點睛】本題考查求長方體的體積，注意正方體的體積求法與長方體類似，為棱長×棱長×棱長．例37．站在豎直高度的地方，看見的水平距離是，它們近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山頂，那么他看到的水平距離是________.【答案】160【解析】【分析】把h=2000代入公式進行即可.解：把h=2000代入公式得所以答案是：160.【點睛】本題考查了二次根式的計算.熟練掌握二次根式的性質是運算的關鍵.例38．若的整數部分是a，小數部分是b，則的值是___________．【答案】【解析】【分析】首先根據的取值范圍得出a，b的值進而求出即可．解：∵，的整數部分是a，小數部分是b，∴a=1，b=∴故答案為：【點睛】此題主要考查了估算無理數的大小，得出a，b的值是解題關鍵．【真題演練】一、單選題1．（2021·廣西桂林·中考真題）下列根式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】要選擇屬于最簡二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數是整數或整式；2、被開方數不能再開方．由被選答案可以用排除法可以得出正確答案．【詳解】A、被開方數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、是有理數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、符合最簡二次根式的定義，是最簡二次根式，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了滿足是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數是整數或整式；2、被開方數不能再開方．2．（2022·廣西桂林·中考真題）化簡的結果是（

）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】將被開方數12寫成平方數4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結果為2．【詳解】解：＝2，故選：A．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數要寫成平方數乘積的形式再進行化簡．3．（2021·湖南益陽·中考真題）將化為最簡二次根式，其結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二次根式的化簡方法即可得．【詳解】解：原式，，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握化簡方法是解題關鍵．4．（2021·四川綿陽·中考真題）計算的結果是（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】由題意化簡為最簡二次根式后依據二次根式的乘法運算法則進行運算即可得出答案.【詳解】解：故選：D.【點睛】本題考查二次根式的乘法運算，熟練掌握二次根式的乘法運算法則是解題的關鍵.5．（2013·海南·中考真題）下列各數中，與的積為有理數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據實數運算的法則對各選項進行逐一計算作出判斷．【詳解】解：A、，是無理數，故本選項錯誤；B、，是無理數，故本選項錯誤；C、，是有理數，故本選項正確；D、，是無理數，故本選項錯誤．故選C．6．（2020·山東聊城·中考真題）計算的結果正確的是（

）．A．1 B． C．5 D．9【答案】A【分析】利用二次根式的乘除法則計算即可得到結果．【詳解】解：，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．7．（2018·四川綿陽·中考真題）等式成立的x的取值范圍在數軸上可表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式有意義的條件即可求出的范圍．【詳解】由題意可知：,解得：,故選：．【點睛】考查二次根式的意義，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件.二、填空題8．（2018·河北·中考真題）計算：=_____．【答案】2【分析】先計算被開方數，再根據算術平方根的定義計算可得．【詳解】==2，故答案為2．【點睛】本題考查了二次根式的化簡以及算術平方根，熟練掌握二次根式化簡的方法以及算術平方根的定義是解題的關鍵．9．（2022·山西·中考真題）計算的結果是________．【答案】3【分析】直接利用二次根式的乘法法則計算得出答案．【詳解】解：原式＝＝＝3．故答案為：3．【點睛】此題主要考查了二次根式的乘法法則，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關鍵．10．（2010·江蘇南京·中考真題）計算：__________．【答案】【分析】根據二次根式的乘法進行求解即可．【詳解】解：；故答案為：【點睛】本題主要考查二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關鍵．11．（2015·江蘇南京·中考真題）計算的結果是_________．【答案】5．【詳解】.故答案為5.12．（2022·天津·中考真題）計算的結果等于___________．【答案】18【分析】根據平方差公式即可求解．【詳解】解：，故答案為：18．【點睛】本題考查了平方差公式的應用，熟練掌握平方差公式的展開式是解題的關鍵．三、解答題13．（2021·遼寧阜新·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】分式算式中有加法和除法兩種運算，且有括號，按照運算順序，先算括號里的加法，再算除法，最后代入計算即可．【詳解】原式當時，原式．【點睛】本題是分式的化簡求值題，考查了二次根式的混合運算，二次根式的除法等知識，化簡時要注意運算順序，求值時，最后結果的分母中不允許含有二次根式．【過關檢測】一、單選題1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次根式的性質，進行逐一化簡即可判斷．【詳解】，故選項錯誤，不符合題意；，故選項錯誤，不符合題意；，故選項正確，符合題意；，故選項錯誤，不符合題意．故選：．【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，解決本題的關鍵是掌握二次根式的性質．2．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件：①被開方數不含分母；②被開方數不含能開得盡方的因數或因式，是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】A、，被開方數里含有能開得盡方的因數8，故本選項不符合題意；B、符合最簡二次根式的條件；故本選項符合題意；C、，被開方數里含有分母；故本選項不符合題意．D、，被開方數里含有能開得盡方的因式；故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵．3．將化為最簡二次根式，其結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二次根式的化簡方法即可得．【詳解】解：原式，故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握化簡方法是解題關鍵．4．化簡

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算即可得到答案．【詳解】解：，故選A．【點睛】本題考查了二次根式的乘法運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．5．若等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據二次根式的性質，即被開方數是非負數，分數的性質，即分母不能為零，即可求解．【詳解】解：根據題意得，，∴由①得，；由②得，，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查二次根式中被開方數的非負性，掌握二次根式有意義的條件時解題的關鍵．6．下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最簡二次根式的是（

）A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦【答案】D【分析】根據最簡二次根式的定義即可進行解答．【詳解】解：①，不是最簡二次根式；②，不是最簡二次根式；③是最簡二次根式；④，不是最簡二次根式；⑤是最簡二次根式；⑥，不是最簡二次根式；⑦，是最簡二次根式；⑧，不是最簡二次根式；綜上，是最簡二次根式的有：③⑤⑦．故選：D．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式要求根號下不含有可開方的數，根號下不含有分母，分母也不能含有根號．7．下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的除法法則進行計算即可．【詳解】解：．，選項不正確，不符合題意；B．，選項正確，符合題意；C．，選項不正確，不符合題意；D．，選項不正確，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式的性質與化簡，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．8．在下列各式中，化簡正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據算術平方根，二次根式的乘除法則判斷即可．【詳解】解：A、，故錯誤，該選項不符合題意；B、，故錯誤，該選項不符合題意；C、，故錯誤，該選項不符合題意；D、，故正確，該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了算術平方根，二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的相關運算法則是解題的關鍵．9．若，，則與之間的關系是（

）A．互為倒數 B．互為相反數 C．互為負倒數 D．相等【答案】C【分析】先求積，再判斷．【詳解】解：∵．∴，互為負倒數．故選：．【點睛】本題考查實數的性質，根據，的特征，求出是求解本題的關鍵．10．下列計算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據只有當a≥0，b≥0時，即可判斷A；根據，即可判斷B；求出即可判斷C；根據平方差公式和二次根式的性質求出的值即可判斷D．【詳解】解：A.（沒有意義），故A錯誤；B.，故B錯誤；C.，故C錯誤；D.，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質和定義，注意：①只有當a≥0，b≥0時，，②有意義的條件是．11．如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先根據，得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性質和二次根式的乘除運算法則逐個作出判斷即可．【詳解】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，無意義，①錯誤；，②正確；，③正確；，④錯誤；正確的有2個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的性質和二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．12．觀察下面分母有理化的過程：，從計算過程中體會方法，并利用這一方法計算：的值是（

）A． B． C．2021 D．2022【答案】C【分析】首先利用已知化簡二次根式，進而結合平方差公式計算得出答案．【詳解】解：，故選：C．【點睛】此題主要考查了分母有理化，平方差公式，正確化簡二次根式是解題的關鍵．二、填空題13．______，______，______．【答案】

【分析】根據二次根式的性質，二次根式的乘除法運算，即可求出答案．【詳解】解：，，，故答案為：，，【點睛】本題考查二次根式的性質以及二次根式的乘除法運算，解題的關鍵是正確理解二次根式的性質．14．二次根式中：、、、是最簡二次根式的是______．【答案】【分析】根據最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：是最簡二次根式，∵，，，∴、、不是最簡二次根式．故答案為：．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，①被開方數不含分母；②被開方數不含能開得盡方的因數或因式．15．若二次根式是最簡二次根式，則最小的正整數a為__________．【答案】2【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：當時，，不是最簡二次根式，當時，，是最簡二次根式，∴二次根式是最簡二次根式，最小的正整數a為2，故答案為：2．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義．根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式．16．化為最簡二次根式是___________．【答案】【分析】根據二次根式的性質計算即可．【詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查的是最簡二次根式，二次根式的化簡，熟記二次根式的性質是解題的關鍵．17．計算：______．【答案】【分析】根據二次根式的除法運算法則進行計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的除法以及二次根式的性質，熟練掌握相關運算法則是解本題的關鍵．18．化簡：___________．【答案】【分析】根據二次根式的混合運算法則化簡求解即可．【詳解】解：．故答案：【點睛】此題考查了二次根式的乘除運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的乘除運算法則．19．一組二次根式按一定規律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是這組式子中相鄰的三個二次根式，則a，b，c之間的關系是___________.【答案】【分析】在排列中任意將三個相鄰的數定義給a，b，c的值，找出之間的運算關系即可．【詳解】解：∵，，……，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了與實數運算相關的規律性，解題的關鍵是找到三個數之間的關系．20．設，，當t為___________時，代數式．【答案】2【分析】根據x，y的表達式，可以觀察出，，再將改寫為含有與的形式，代入解出t即可．【詳解】，，，解得（舍去），．故答案為：2【點睛】本題考查乘法公式的運用，熟練掌握乘法公式并能將二次三項式改寫為含有與的形式，是本題的解題關鍵．三、解答題21．判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（3）（4）是最簡二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最簡二次根式，原因見解析【分析】檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：（1）不是最簡二次根式，被開方數含能開得盡方的因式；（2）不是最簡二次根式，被開方數含分母．（3）是最簡二次根式，被開方數不含分母；被開方數不含能開得盡方的因數或因式；（4）是最簡二次根