人教版選修2-2第二章

推理與證明2.1合情推理與演繹推理2.1.2演繹推理人們在喜馬拉雅山區考察時，發現高山的地層中有許多魚類、貝類的化石．還發現了魚龍的化石，地質學家們推斷說，魚類貝類生活在海洋里，在喜馬拉雅山上發現它們的化石，說明喜馬拉雅山曾經是海洋．地質學家是怎么得出這個結論的呢？課前預習入門答疑[提示]喜馬拉雅山所在的地方，曾經是一片汪洋推理過程：大前提：魚類、貝類、魚龍，都是海洋生物，它們世世代代生活在海洋里．小前提：在喜馬拉雅山上發現它們的化石．結論：喜馬拉雅山曾經是海洋．演繹推理1．演繹推理的含義及特點某個特殊情況下一般到特殊走進教材2.三段論已知的一般原理所研究的特殊情況對演繹推理及三段論的理解(1)①演繹的前提是一般性的原理，演繹所得的結論是蘊涵于前提之中的個別、特殊事實，結論完全蘊涵于前提之中；②演繹推理是一種收斂性的思考方法，少創造性，但具有條理清晰，令人信服的論證作用，有助于科學的理論化和系統化．(2)對于“三段論”應注意：應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．思維啟迪自主練習解析：

A、D為歸納推理，C為類比推理，B為演繹推理．答案：

B2．在△ABC中，E，F分別為AB，AC的中點，則有EF∥BC，這個推理的小前提為(

)A．EF∥BCB．三角形的中位線平行于第三邊C．三角形的中位線等于第三邊的一半D．線段EF為△ABC的中位線解析：大前提是：三角形的中位線平行于第三邊，小前提是線段EF為△ABC的中位線．答案：

D解析：上面推理的形式正確，但大前提是錯誤的(因為當0＜a＜1時，指數函數y＝ax是減函數)，所以所得的結論是錯誤的．答案：大前提錯誤導致結論錯誤4．如右圖，D，E，F分別是BC，CA，AB上的點，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求證：ED＝AF.證明：同位角相等，兩條直線平行，(大前提)∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥EA.(結論)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四邊形AFDE是平行四邊形．(結論)平行四邊形的對邊相等，(大前提)ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊，(小前提)所以ED＝AF.(結論)例題1用三段論的形式寫出下列演繹推理．(1)菱形的對角線相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的對角線相互垂直．(2)若兩角是對頂角，則此兩角相等，所以若兩角不相等，則此兩角不是對頂角．典例導航1.把演繹推理寫成三段論形式(3)一切奇數都不能被2整除，2100＋1是奇數，所以2100＋1不能被2整除；(4)三角函數都是周期函數，y＝tanα是三角函數，因此y＝tanα是周期函數．[邊聽邊記](1)每個菱形的對角線相互垂直(大前提)正方形是菱形(小前提)所以，正方形的對角線相互垂直(結論)(2)兩個角是對頂角則兩角相等(大前提)∠1和∠2不相等(小前提)所以，∠1和∠2不是對頂角(結論)(3)一切奇數都不能被2整除，(大前提)2100＋1是奇數，(小前提)2100＋1不能被2整除．(結論)(4)三角函數都是周期函數，(大前提)y＝tanα是三角函數，(小前提)y＝tanα是周期函數．(結論)[規律方法]運用三段論時的注意事項用三段論寫演繹推理的過程，關鍵是明確大前提、小前提，大前提提供了一個一般性的原理，在演繹推理的過程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一個特殊情況，只有將二者結合起來才能得到完整的三段論．一般地，在尋找大前提時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提．1．把下列演繹推理寫成三段論的形式．(1)循環小數是有理數，是循環小數，所以是有理數；(2)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對角線相等；(3)通項公式an＝2n＋3表示的數列{an}為等差數列．變式訓練解析：

(1)所有的循環小數是有理數(大前提)0．33是循環小數(小前提)所以，是有理數(結論)(2)因為每一個矩形的對角線相等，(大前提)而正方形是矩形，(小前提)所以正方形的對角線相等．(結論)(3)數列{an}中，如果當n≥2時，an－an－1為常數，則{an}為等差數列，(大前提)通項公式an＝2n＋3時，若n≥2，則an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常數，)(小前提)通項公式an＝2n＋3表示的數列為等差數列．(結論)例題2用三段論證明命題：“任何實數的平方大于0，因為a是實數，所以a2＞0”，你認為這個推理(

)

A．大前提錯誤 B．小前提錯誤C．推理形式錯誤 D．是正確的2.三段論推理的錯因解析：這個三段論推理的大前提是“任何實數的平方大于0”，小前提是“a是實數”，結論是“a2＞0”．顯然這個是錯誤的推理，究其原因，是大前提錯誤，盡管推理形式是正確的，但是結論是錯誤的．故選A.答案：

A[規律方法]認清三段論的形式解本題的關鍵是掌握好三段論推理的形式，然后仔細審查究竟是大前提錯誤、小前提錯誤還是推理形式錯誤，因為這三者中的任何一方錯誤都會導致整個三段論推理的結論錯誤．2．(1)有下面一個演繹推理：“所有4的倍數都是2的倍數，某偶數是4的倍數，所以它是2的倍數”．關于這個推理，下面說法正確的一項是(

)A．推理是正確的B．推理是錯誤的，因為大前提錯誤C．推理是錯誤的，因為小前提錯誤D．推理是錯誤的，因為結論錯誤變式訓練(2)正弦函數是奇函數，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數．以上推理(

)A．結論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確答案：

(1)A

(2)C例題3如圖，已知空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，AD的中點，求證EF∥平面BCD.3.演繹推理在幾何中的應用[策略點睛]

[規律方法]三段論在幾何問題中的應用(1)三段論是最重要且最常用的推理表現形式，我們以前學過的平面幾何與立體幾何的證明，都不自覺地運用了這種推理，只不過在利用該推理時，往往省略了大前提．(2)幾何證明問題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，將一般性原理應用于特殊情況，就能得出相應結論．特別提醒：在利用三段論證明問題時，大前提可以省略，但其他的不能省略．3．在四邊形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求證：ABCD為平行四邊形，寫出三段論形式的演繹推理．證明：

(1)連接AC.變式訓練(2)平面幾何中的三角形“邊邊邊”定理是：有三邊對應相等的兩個三角形全等，這一定理相當于：對于任意兩個三角形，如果它們的三邊對應相等，則這兩個三角形全等，大前提△ABC和△CDA的三邊對應相等，小前提則這兩個三角形全等．結論(5)如果四邊形兩組對邊分別平行，那么這個四邊形是平行四邊形，大前提四邊形ABCD中，