備戰2019年中考二輪講練測專題整合篇專題01實數的概念與運算（講案）一講考點——考點梳理（一）實數的基本概念（1）數軸的三要素為原點、正方向和單位長度.數軸上的點與實數構成一一對應.（2）只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.實數的相反數為—a.若，互為相反數，則=0.若兩數乘積為1，則這兩個數叫做互為倒數。非零實數的倒數為.若，互為倒數，則=1.數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值。實數a的絕對值記作|a|，則．（二）有效數字與科學記數法（1）有效數字：是指從一個近似數的左邊第一個不是0的數字開始，一直到這個數的最后一位的所有數字.科學記數法：把一個數表示成a×10n的形式，其中1≤＜10的數，n是整數.當該數的絕對值大于或等于1時，n為它的整數位數減1；當該數的絕對值小于1時，－n為它第一個有效數字前0的個數（含小數點前的1個0）（三）實數的分類與大小比較（1）實數的分類：有理數和無理數統稱實數.（2）實數的大小比較：數軸上兩個點表示的數，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大；正數>0，負數<0，正數>負數；兩個負數比較大小，絕對值大的<絕對值小的．常用方法：性質法、數軸法、倒數法、平方法、比差法、比商法.（四）實數的運算1.數的開方（1）任何正數都有兩個平方根,它們互為相反數.其中正的平方根叫a的算術平方根.負數沒有平方根，0的算術平方根為0.（2）任何一個實數都有立方根，記為.（3）.2.數的乘方：，其中叫做底數，n叫做指數.1（其中≠0且是實數）（其中≠0）實數運算：先算乘方與開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的，同一級運算按照從左到右的順序依次進行.同一級的運算是可以相互轉化的.運算律的應用：主要有加法的交換律、結合律，乘法的交換律、結合律，以及分配律.探究數、式規律一般按照“特殊——一般——特殊”的思維過程，使用“觀察——猜想——驗證”的思路，最終得出正確的結果；列表法與舉例法是在解答探索數式規律的問題時最常用的方法.二講題型——題型解析（一）對實數基本概念的考查.例1、【2018年廣東省中考】一個正數的平方根分別是x+1和x﹣5，則x=_____．【答案】2【解析】【分析】根據正數的兩個平方根互為相反數可得關于x的方程，解方程即可得．【詳解】根據題意知x+1+x﹣5=0，解得：x=2，故答案為：2．（二）對有效數字與科學記數法的考查.例2、【2018年廣西壯族自治區貴港市中考】一條數學信息在一周內被轉發了2180000次，將數據2180000用科學記數法表示為（）A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105【答案】A【解析】【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數．【詳解】2180000的小數點向左移動6位得到2.18，所以2180000用科學記數法表示為2.18×106，故選A.（三）對實數的分類與大小比較的考查例3、【2018年山東省菏澤市中考】下列各數：-2，0，，0.020020002…，，，其中無理數的個數是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】分析：根據無理數與有理數的概念進行判斷即可得.詳解：是有理數，0是有理數，是有理數，0.020020002…是無理數，是無理數，是有理數，所以無理數有2個，故選C.【點評】本題考查了無理數的概念:無限不循環小數叫做無理數.常見的形式有：開方開不盡的數,如等;;圓周率及一些含有的數都是無理數.要掌握實數、有理數、無理數的定義，以及非負數、非正數等一些相關的概念.（四）對實數的運算的考查

例4、【廣東省2018年中考數學試題】計算：|﹣2|﹣20180+（）﹣1【答案】3.【解析】【分析】按順序先分別進行絕對值化簡、0次冪的計算、負指數冪的計算，然后再按運算順序進行計算即可得.【詳解】|﹣2|﹣20180+（）﹣1=2﹣1+2=3．【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，涉及到絕對值的化簡、0指數冪的運算、負指數冪的運算，熟練掌握各運算法則是解題的關鍵.（五）對實數中的非負數及性質的考查

例5、已知實數x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不對【答案】B．【解析】試題分析：根據題意得：，解得：．（1）若4是腰長，則三角形的三邊長為：4、4、8，不能組成三角形；（2）若4是底邊長，則三角形的三邊長為：4、8、8，能組成三角形，周長為4+8+8=20．故選B．考點：1.等腰三角形的性質；2.非負數的性質；3.三角形三邊關系；4.分類討論．學科網對數、式規律的考查例6、【2018年湖北省荊門市中考】將數1個1，2個，3個，…，n個（n為正整數）順次排成一列：1，，，，，，…，，，…，記a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…+an，則S2018=_____．【答案】63【點睛】本題考查了規律型——數字的變化類，根據數列中數的排列規律找出“前2018個數里面包含：1個1，2個，3個，…，63個，2個”是解題的關鍵．三講方法——方法點睛（一）解決有關實數的基本概念的問題要掌握相反數、倒數、絕對值等概念的內涵和區別．（二）（1）對于實數的分類要掌握實數、有理數、無理數的定義，以及非負數、非正數等一些相關的概念（2）實數大小的比較可以利用數軸上的點，右邊的數總比左邊的數大；以及絕對值比較法等比較實數大小的方法.除此之外常用的方法有“差值比較法”適用于比較任何兩數的大小；“商值比較法”只適用于比較兩個正數的大小；“平方法”、“倒數法”常用于比較二次根式的大小；“底數比較法”、“指數比較法”常用于比較冪的大小.（三）解決與非負數的性質相關的問題的關鍵是掌握：（1）常見的非負數有；任何一個實數a的絕對值是非負數,即|a|≥0；任何一個實數a的平方是非負數,即a2≥0；若a為非負數，則也為非負數，即≥0；（2）非負數具有的性質是：非負數有最小值，最小值為0；有限個非負數的和仍是非負數；幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0.（四）對于實數的運算（1）熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握負整數指數冪、零指數冪、二次根式、絕對值等的運算.（2）注意運算順序，分清先算什么，再算什么.（五）科學記數法：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1；當原數絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.（六）解決探索數、式規律問題的方法常見的有列表法和舉例法.四練實題——隨堂小練1.下列各數中，絕對值最大的數是（） A． ﹣3 B．﹣2 C． 0 D． 1【答案】A．【解析】|﹣3|＞|﹣2|＞1＞|0|，故選A．2．在﹣，0，﹣2，，1這五個數中，最小的數為（） A． 0 B． C． ﹣2 D． 【答案】C．3.古生物學家發現350000000年前，地球上每年大約是400天，用科學記數法表示350000000=【答案】3.5×108．【解析】將350000000用科學記數法表示為：3.5×1084．已知x、y為實數，且y=﹣+4，則x﹣y=【答案】﹣1或﹣7.【解析】由題意得x2﹣9≥0，x2﹣9≤0，∴x2﹣9=0，解得x=±3，∴y=4，∴x﹣y=﹣1或﹣7．5．觀察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，…由以上規律可以得出第n個等式為．【答案】（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n6．估計與0.5的大小關系是：0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）【答案】＞【解析】試題解析：∵-0.5==，

∵＞0，

∴＞0．

考點：實數大小比較．7.高斯函數[x]，也稱為取整函數，即[x]表示不超過x的最大整數．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．則下列結論：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；③若[x+1]=3，則x的取值范圍是2≤x＜3；④當﹣1≤x＜1時，[x+1]+[﹣x+1]的值為0、1、2．其中正確的結論有（寫出所有正確結論的序號）．【答案】①③．【分析】根據[x]表示不超過x的最大整數，即可解答．【解析】①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正確；②[x]+[﹣x]=0，錯誤，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]=3，則x的取值范圍是2≤x＜3，正確；④當﹣1≤x＜1時，0≤x+1＜2，﹣1＜﹣x+1≤1，[x+1]+[﹣x+1]的值為2，故錯誤．故答案為：①③．考點：有理數的混合運算；新定義．8.計算：+（-2014）0-2cos30°-（）-1．【答案】-1．【解析】原式=2+1--2=-1．9.計算：4sin45°+|﹣2|﹣+（）0．【答案】3.【解析】考點：1.實數的運算；2.特殊角三角函數值；3.零指數冪.10.計算：（）﹣1﹣|﹣｜++（1﹣π）0．【答案】3+．【解析】試題分析：根據負整數指數冪，去絕對值，二次根式的化簡以及零指數冪的計算法則計算．試題解析：原式=2﹣+2+1=3+．考點：實數的運算;零指數冪；負整數指數冪．五練原創——預測提升1．在我市2016年春季房地產展示交易會上，全市房地產開發企業提供房源的參展面積達到5400000平方米，將數據5400000用科學記數法表示為（）A．0.54×107B．54×105C．5.4×106D．5.4×107【答案】C．【解析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，n的值為這個數的整數位數減1，所以5400000=5.4×106，故選C．2．若2（a+3）的值與4互為相反數，則a的值為（）A．﹣1B．﹣C．﹣5D．【答案】C.【解析】已知2（a+3）的值與4互為相反數，根據互為相反數的兩個數的和為0可得2（a+3）+4=0，解得a=﹣5，故選C.3．數軸上點A表示的實數可能是（） A． B． C．D．【答案】C.【解析】∵4＜＜5，∴數軸上點A表示的實數可能是；故選C．4.下列各數：，π，，cos60°，0，，其中無理數的個數是（） A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個【答案】B．【解析】據無理數定義得有，π和是無理數．故選B．學科網5．有一個數值轉換器，原理如下：當輸入的x=256時，輸出的y等于（）A、2B、4C、QUOTED、QUOTE【答案】C．6.若，則（）A．1 B．－1C．3 D．－3【答案】D.【解析】∵，∴a-1=0，b+3=0，∴a=1，b=-3，∴.故選D.7.按照如圖的操作步驟，若輸入x的值為2，則輸出的值是_____．（用科學計算器計算或筆算）【答案】2【解析】【分析】將x=2代入程序框圖中計算即可得到結果．【詳解】將x=2代入得：3×22﹣10=12﹣10=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了代數式求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．8.古希臘數學家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形數，其中1是第一個三角形數，3是第二個三角形數，6是第三個三角形數，…，依此類推，第100個三角形數是．【答案】5050．【分析】設第n個三角形數為an，分析給定的三角形數，根據數的變化找出變化規律“an=1+2+…+n=”，依此規律即可得出結論．【解析】設第n個三角形數為an，∵a1=1，a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…∴an=1+2+…+n=，將n=100代入an，得：a100==5050，故答案為：5050．9.閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于-1，記為，這個數叫做虛數單位，把形如（為實數）的數叫做復數，其中a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加、減，乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似．例如計算：；根據以上信息，完成下列問題：（1）填空：_________，___________；（2）計算：；（3）計算：．【答案】（1）﹣i，1；（2）7﹣i；（3）i．【分析】（1）把i2=﹣1代入求出即可；（2）根據多項式乘以多項式的計算法則進行計算，再把i2=﹣1代入求出即可；（3）先