81§8-1三種運動回顧題例圖示小車以勻速u前進，輪純滾。求輪上任一點的運動方程、速度和加速度。單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫回顧題例的求解(1)解：取輪上一點M與地接觸，開始時該點與直角坐標軸原點重合Mu

R回顧題例的求解(2)回顧題例的求解(3)Mu

R站在地面上看O’的運動（即車廂的運動）站在車上看M點的運動（車輪繞輪軸的轉動）暫停解題，分析分析前面的已解的結果是否有何種聯系？題例中的運動關系表從地面上看M點的運動從地面上看O’

點（車廂）的運動從車上看M點的運動運動方程速度加速度題解的結論以上結論是否具有普遍性？如何明確概念、理順關系、方便計算迫在眉睫。三項主要任務確定1、12、233、個動點區分點的運動學的任務就是研究點的運動方程、軌跡、速度和加速度。在問題面前，首先要明確你要求解的那一點（或對求解最有幫助的一點），選這一點為動點。選擇只要問題需要，在動點選定之后，需確定一組定參考系和一組動參考系。約定：一般情況下，定參考系固結在地球上。組坐標系搞清絕對運動、相對運動和牽連運動的不同和聯系。種運動2311、12、233、從前例看區分3種運動選擇M

點為動點動參考系O’x’y’與車廂固結；定參考系按照約定固結在地球上。動點M相對與Oxy坐標系（地球）的運動為絕對運動；動點M相對與O’x’y’坐標系（車廂）的運動為相對運動；O’x’y’坐標系（車廂）相對與Oxy坐標系（地球）的運動為牽連運動Mu

R絕對運動相對運動牽連運動動點相對與定參考系的運動為絕對運動；動點相對與動參考系的運動為相對運動；動參考系相對與定參考系的運動為牽連運動區分三種運動應注意：站在什么地方看物體的運動；看什么物體的運動站在定參考系看動點的運動——絕對運動點點點點單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫站在定參考系看動參考系的運動——牽連運動參考體參考體參考體參考體單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫站在動參考系看動點的運動——相對運動點點點點單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫應當注意動點的絕對運動和相對運動都是指點的運動，它們可以是直線運動也可以是曲線運動。牽連運動是參考體的運動。更直觀地說，是剛體的運動，它可能作平動、定軸轉動或其他較復雜的運動三種速度和加速度動點在相對運動中的速度和加速度稱為：相對速度和相對加速度記作：vr

和ar(RelativeMotion)動點在絕對運動中的速度和加速度稱為：絕對速度和絕對加速度記作：va

和aa

(AbsoluteMotion)動參考系中，與動點重合的那一點的速度

和加速度稱為：牽連速度和牽連加速度記作：ve

和ae

(CarrierMotion)軌跡也有相對軌跡和絕對軌跡三種運動的運動方程之間的關系以平面情形為例設：動點M的絕對運動方程：x=x(t)，y=y(t)

動點M的相對運動方程：x’=x’(t)，y’=y’(t)

動系O’x’y’相對于定系Oxy的運動可由以下三個運動方程確定：xO’=xO’(t)，yO’=yO’(t)，

=(t)首先考慮xO’=yO’=0的情況xyOX’Y’abcdM

x=a－b；y=c+da=x’cos

;b=y’sin

c=y’cos

;d=x’sin

x=x’cos

－y’sin

y=x’sin

+y’cos

三種運動運動方程關系的一般情況

xO’

≠0，yO’≠0的情況xyOx’y’

MO’

x=xO’+x’cos

－y’sin

y=yO’

+

x’sin

+y’cos

M點沿動參考系上的半圓以勻速v運動，動參考系以勻角速度繞O點定軸轉動，開始時M點與坐標系原點O重合，坐標軸Oxy與O’x’y’重合。求點M的絕對運動方程。例8-1例8-1（續）x’=r

－rcos

y’=rsin

xO’=0yO’

=0vrO’M

由 x=xO’+x’cos

－

y’sin

y=yO’+

x’sin

+y’cos

§8-2點的速度合成定理設動點的相對運動軌跡為曲線AB，（為理解方便，可理解為動點M只可以沿曲線AB運動）在瞬時t，動點位于點M，動參考系與曲線AB固結，定參考系與地面固結。經過極短時間間隔△t。動點沿動系移動到M1點動系AB移動到A’B’，（注意以上兩步實際上是同時發生的）動點實際上是沿弧MM’運動到M’點ABMM1A’B’M2M’MM1MM1點的速度合成定理證明顯然，弧MM’為絕對軌跡；弧MM1為相對軌跡；而在t瞬時與M點重合的點沿弧MM2運動到M2。ABMM1A’B’M2M’MM1MM1MM1分別為動點的絕對位移、相對位移和牽連位移。將上式等式兩邊同除以△t，并令△t→0，取極限，得點的速度合成定理證明（續）根據速度的定義，動點M的絕對速度ABMM1A’B’M2M’MM1MM1MM1牽連點的牽連速度動點M的相對速度由：得：va=ve

+

vrvrvevavrvevavrveva車廂以速度v1沿水平直線行駛，雨鉛直落下，滴在車廂側面的玻璃上，留下與鉛直線成α角的雨痕。求雨滴的速度。例8-2解1：選雨滴為動點，動系與車廂固結，定系與地球固結。畫速度合成圖（平行四邊形）αv1va=v1cotα;vr

=v1/sinααv1解2：選雨滴為動點，動系與地球固結，定系與車廂固結。畫速度合成圖（平行四邊形）vr=v1cotα;va

=v1/sinα可見，參考系的確定并非唯一。先前的約定完全是為了解題的方便。vevavrOyxx1O1y1xOyO1y1x1vavevrvevavrvavevrvevavrvavevrear例8-3半徑為R，偏心距為e的凸輪，以角速度

繞O軸轉動，桿AB能上下平動且A點始終與凸輪接觸，OAB成一直線，求圖示位置時，桿AB的速度。OABC

單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫例8-3(續）選AB桿的A點為動點，動系固結在凸輪上，定系與地球固結。從現在起，以后不再在圖中畫出動系和定系。先請同學來畫速度圖。OAB

Ce單擊右鍵畫速度合成圖。va=ve

cot

vevrva=OA

(e/OA)=e

vevrvavevrva圖示是牛頭刨床的急回機構。曲柄OA以勻角速度

=5rad/s轉動，并通過滑銷A帶動搖桿O1B擺動，而搖桿又通過滑銷E使刨枕沿水平導軌往復運動。已知：OA=r=15cm，曲柄OA水平時，=30。求此瞬時，搖桿O1B的角速度

1

和刨枕的速度vE

。例8-4OAO1BEll

單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫例8-4(續）1.求搖桿O1B的角速度

1選銷A點為動點，動系與搖桿O1B固結，定系固結于地面。Bll

OO1

AE畫速度合成圖，vAavArvAevAa

=OA·

=r

vAe=vAasin

=r

sin

=1.25(rad/s)vArvAavAavArare

=30vAevAeBll

OO1

AEvAavArvAe例8-4(續2）2.求刨枕的速度vE

選銷E點為動點，動系與搖桿AB固結，定系固結于地面。畫速度合成圖，vEavEevErvEe

=vEa

cos

或vEa=

vEe

/cos

∵搖桿O1A定軸轉動∴vEe

=2vAe

=2r

sin

vEa=2rtan

=vEavErvEavErera

=30，

vAe=r

sin

vEevEe選取動點、動系及速度合成的一般原則1、所選取的動點和動系之間必須有相對運動，因此動點與動系不能選同一物體上。2、應盡量使動點的三種運動較簡明，特別是動點的相對運動要易于直觀的看出或是已知曲線。2a、在一些問題中，如果A構件上有一點始終與B構件接觸且在其上運動。則選A構件上這一點為動點，動系固結在B構件上。3、作圖時，絕對速度要成為平行四邊形的對角線。機構如圖，三角塊以速度v向右運動，輪在塊上純滾。求圖示瞬時輪心的速度例8-5v30°解：本問題不符合原則2a但按照原則2，動點、動系的選擇還是方便的。選輪心為動點，動系與三角塊固結。畫速度合成圖。vevavrvevavrvevavraer§8-3牽連運動為平動時點的加速度合成定理動點M沿著動系上的曲線運動，同時曲線又隨同動系相對于定系作平動。k’j’i’yxzOy’x’z’O’M動點M的運動方程為：x’=f1(t)y’=f2(t)z’=f3(t)顯然：牽連運動為平動時點的加速度合成定理在每一瞬時，平動剛體上各點的速度、加速度彼此相等，便有：

ve=vO’,ae

=aO’由速度合成定理

va

=ve

+vr可得：k’j’i’yxzOy’x’z’O’Maraaae即得：aa=ae+araaaeararaaae討論牽連運動為平動時點的加速度合成定理aa=ae+ar因為點的絕對運動軌跡、相對運動軌跡可能都是曲線，牽連運動也可能是曲線平動。所以加速度合成定理的一般形式為：上式的求解需采用投影的方法方可完成。上式所有加速度矢量的方位都是給定的，但指向不完全確定。畫指向的原則是：對未知指向，隨意畫；已知指向就必須按已知方向畫。顯見，所有的法向加速度都不能隨意畫。由于法向加速度是由速度和運動軌跡的曲率半徑確定的，所以，一般情況下，求加速度之前需先求速度。上式中，只有三項切向加速度的6個要素可能是待求量，一般情況下，若知4個便可求解。一般情況下求解加速度問題的解題步驟1、對完成了選擇動點和確定兩組坐標系工作后的機構，畫加速度矢量圖。2、根據加速度矢量圖寫加速度合成矢量式。3、選擇適當的坐標軸，并將加速度合成矢量式分別向對應的坐標軸投影。得到相應的解析方程組。4、聯立求解方程組，解出未知量。小車以加速度

a直線平動，車上有一個半徑為R的輪以勻角速度

定軸轉動，轉軸方向與前進方向垂直。求圖示瞬時輪上A點和B點的加速度。例8-6解：1、選A點為動點，動系與小車固結。顯然，ae=a;ar=r

2

。它們的方向也是已知。畫加速度矢量圖aearaa由于ae

和

ar

共線

，根據

aa=ae+ar

可知aa

也與它們共線，但指向未知，隨意畫，這里畫正向。45°BA

axy將

aa=ae+a

r

向x

軸投影得：

aa

=a-r

2

aearaaaearaaer例8-6(續）2、選B點為動點，動系與小車固結。顯然，ae=a;ar=r

2

。它們的方向也是已知。畫加速度矢量圖45°BA

axyaearaayaaxa

a的方向未知，

隨意畫——假設成

a

ax

和

a

ay

兩個分量。將a

ax+

a

ay=ae+ar

分別向x軸和y軸投影

aax=a

e+r

2

cos45°；

aay

=0－r

2cos45°即：aearaayaaxaearaayaaxer曲柄OA=10cm，帶動T形桿沿水平方向往復運動。已知

=1rad/s，=1rad/s2，當曲柄轉到與水平線夾角為30°時，求此瞬時的T形桿的加速度和A滑塊在滑槽內的相對加速度。例8-7OA

單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫單擊圖片運行動畫例8-7（續）解：選滑塊A

為動點，動系與T

形桿BC固結。畫加速度矢量圖: