高二（上）期末數學試卷（理科）

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題型選擇題填空題解答題判斷題計算題附加題總分

得分

評卷入得分

一、選擇題（共10題，共50分）

1\方程x2+2x+n2=0（nG［-1,2］）有實根的概率為（）

2

A.3

1

B.3

1

C.4

3

D.4

【考點】

【答案】A

【解析】解：方程x2+2x+n2=0有實根，貝IJZ\=4-4n2》0,解得-1WnW1,nG［-1,2］的區間長度為3,

nG［-1,1］的區間長度為2,

2

所以方程x2+2x+n2=0（ne［-1,2］）有實根的概率為不，

故選A.

【考點精析】掌握幾何概型是解答本題的根本，需要知道幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的

結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等.

2、有一個容量為100的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，已知樣本數據落在區間［10,12）內的頻數比

樣本數據落在區間［8,10）內的頻數少12,則實數m的值等于（

A.0.10

B.0.11

C.0.12

D.0.13

【考點】

【答案】B

【解析】解：根據題意,樣本數據落在區間［10,12)和［8,10)內的頻率和為:1-(0.02+0.05+0.15)

X2=0.56,

所以頻數和為100X0.56=56,

又樣本數據落在區間［10,12)內的頻數比落在區間［8,10)內的頻數少12,

0-56-012

所以樣本數據落在區間［8,10)內的頻率為2=0.22,

0.22

所以m=2=0.11.

故選：B.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方

圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布

情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息.

3、已知P為拋物線y2=4x上任意一點，拋物線的焦點為F,點A(2,1)是平面內一點，則|PA|+|PF|的最

小值為()

A.1

B.F

C.2

D.3

【考點】

【答案】D

【解析】解：設點P在準線上的射影為D,則根據拋物線的定義可知|PF|=|PD|,二要求|PA|+|PF|取得最

小值，即求|PA|+|PD|取得最小，

當D,P,A三點共線時|PA|+|P共最小,為2-(-1)=3.

故選：D.

4、設xGR,則是“x2-4x-5V0”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點】

【答案】A

【解析】解：|x-1|V2得：-1<x<3,解x2-4x-5V0得：-1<x<5,

故是“x2-4x-5V0”的充分而不必要條件，

故選：A

g尸1)

5、執行程序框圖，如果輸入的N的值為7,那么輸出的p的值是（

A.120

B.720

C.1440

D.5040

【考點】

【答案】D

【解析】解：由程序框圖知：當輸入的N=7時，模擬程序的運行，可得

第一次循環k=1P=1；

第二次循環k=2p=1X2=2；

第三次循環k=3p=1X2X3=6；

第四次循環k=4p=1X2X3X4=24；

第五次循環k=5p=1X2X3X4X5=120.

第五次循環k=6p=1X2X3X4X5X6=720.

第五次循環k=7p=1X2X3X4X5X6X7=5040.

不滿足條件kV7,跳出循環體，輸出P=5040.

故選：D.

【考點精析】通過靈活運用程序框圖，掌握程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文

字說明來準確、直觀地表示算法的圖形;一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的

流程線；程序框外必要文字說明即可以解答此題.

6、方程xy（x+y）=1所表示的曲線（）

A.關于x軸對稱

B.關于y軸對稱

C.關于原點對稱

D.關于直線y=x對稱

【考點】

【答案】D

【解析】解：將方程中的x換為y,y換為x方程變為xy2+x2y=1與原方程相同，故曲線關于直線y=x對稱,

故選D

7、命題“若p則q”的逆否命題是（）

A.若q則p

B.若「p則一

C.若「q則-p

D.若p則q

【考點】

【答案】C

【解析】解：逆否命題是：否定命題的條件做結論，否定命題的結論做條件，所以命題“若P則q”的逆

否命題是：若「q則「P.

故選：C.

【考點精析】通過靈活運用四種命題間的逆否關系，掌握交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆

命題；同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；交換原命題的條件和結論，并且同時否定，

所得的命題是逆否命題即可以解答此題.

y2

8、橢圓x2+4=1的離心率為（）

,

A.T

0

B.2

C,4

D.F

【考點】

【答案】B

y2

【解析】解：由橢圓x2+彳=1,可得a2=4,b2=1,則c2=a2-b2=4-1=3,

,.,a>0,c>0,

...a=2,c=抬，

c_百

則橢圓x2+=1的離心率為e=a2.

故選：B.

9、已知命題p：VxER,x2+2x-a>0.若p為真命題，則實數a的取值范圍是（）

A.a>-1

B.a<-1

C.

D.aW-1

【考點】

【答案】B

【解析】解：若命題p：VxGR,x2+2x-a>0為真命題，則△=4+4aV0,

解得：a<-1,

故選：B【考點精析】本題主要考查了命題的真假判斷與應用的相關知識點，需要掌握兩個命題互為

逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系才能正確解答

此題.

10、某學校有老師100人，男學生600人，女學生500人，現用分層抽樣的方法從全體師生中抽取一個容

量為n的樣本，已知女學生一共抽取了40人，則n的值是()

A.96

B.192

C.95

D.190

【考點】

【答案】A

n40

【解析】解：由題意知：1OO+6OO+5OO—500,解得n=96.

故選：A【考點精析】通過靈活運用分層抽樣，掌握先將總體中的所有單位按照某種特征或標志(性

別、年齡等)劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽

取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本即可以解答此題.

二、填空題(共4題，共20分)

1K10101(2)轉化為十進制數是.

【考點】

【答案】21

【解析】解：10101(2)=1X20+0X21+1X22+0X23+1X24=21,所以答案是:21.

【考點精析】關于本題考查的進位制，需要了解進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置

表示不同的數值才能得出正確答案.

12、與向量(3,4,0)同向的單位向量°=.

【考點】

【答案】【55)

_一.J-。)

【解析】解：與向量a=(3,4,0)同向的單位向量e=5l=+/+02=.所以答案是：.

13、在五個數字1,2,3,4,5中，若隨機取出三個數字，則剩下兩個數字至少有一個是偶數的概率為

.(結果用數值表示)

【考點】

【答案】0.7

O

【解析】解：在五個數字1,2,3,4,5中，隨機取出三個數字，基本事件總數為

剩下兩個數字至少有一個是偶數的對立事件是剩下兩個數字都是奇數，

???剩下兩個數字至少有一個是偶數的概率為：

p=1-%=0.7.

所以答案是：0.7.

14、設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F作直線交拋物線C于A、B兩點，0為坐標原點，則4OAB面積的

最小值為.

9

-

答案8

3

【解析】解：拋物線焦點為(彳，0),當直線的斜率不存在時，即和x軸垂直時，面積最小,

■

將*=代入y2=3x,解得y=±|2,

故SZ\0AB=2XX2X=.

所以答案是:

三、解答題(共6題，共30分)

坦

15、已知點A(0,-2),橢圓E：廿二1(a>b>0)的離心率為彳，F是橢圓E的右焦點，直線AF的

遞

斜率為丁，0為坐標原點

(1)求E的方程

(2)設過點A的動直線I與E相交于P,Q兩點，問：是否存在直線I,使以PQ為直徑的圓經過點原

點0,若存在，求出對應直線I的方程，若不存在，請說明理由.

【考點】

【答案】

(1)

22/￡_立

解：設F(c,0),由條件知，c-3,解得c=P,又2,

a=2,b2=a2-c2=1,

x22」

—+y=1

■,■E的方程為：4

(2)

解：當IJ_x軸時，不合題意;

當直線I斜率存在時，設直線I：y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),

把丫=1?-2代入,化簡得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

由△二億(4k2-3)>0,得4,即k<-T或k>.

16i12

巧書

,卬2=儂-2)(乜-2)=^5^

n

若存在以PQ為直徑的圓經過點原點0,則NP°Q=2,

一一16-4i2公

即。P，OQ=。，即書+卬2=礪T=°,

.,.k2=4,符合△>(),

.?.存在1<=±2,符合題意，

此時I：y=2x-2或y=-2x-2

2點

【解析】(1)設出F,由直線AF的斜率為亍求得c,結合離心率求得a,再由隱含條件求得b,則橢圓方

程可求；(2)當l_Lx軸時，不合題意；當直線I斜率存在時，設直線I：y=kx-2代入橢圓方程化簡，由

判別式大于0求得k的范圍，若存在以PQ為直徑的圓經過點原點0,求出，即，得到k2=4,符合△>(),

進一步求出k值，則直線方程可求.

16、某百貨公司1?6月份的銷售量x與利潤y的統計數據如表：

￡：=1aLx)(%-y)1M-nx-y

A~~A-A.

(參考公式：b=￡：=式七-切)/：=產Jf.x,a=y_bx.⑴根據2?5月份的統計數據,

AAA

求出y關于X的回歸直線方程y=bx+a.(2)若由回歸直線方程得到的估計數據與剩下的檢驗數據的

誤差均不超過2萬元，則認為得到的回歸直線方程是理想的，試問所得回歸直線方程是否理想？

【考點】

【答案】

(1)解：y=24,

A18

，b=斤,

AA-30

故°=廣院-了，

故y關于x的方程是：》二x-

150

(2)解：???x=10時，=7,

4

誤差是I-22|=7<1,

786

x=6時，=7,誤差是|-12|=7<1,

故該小組所得線性回歸方程是理想的

-AA

【解析】(1)求出X,y,由公式，得b的值，從而求出a的值，從而得到y關于X的線性回歸方程，(2)

由(1)能求出該小組所得線性回歸方程是理想的.

17、已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線I交C于另

一點B,交x軸的正半軸交于點D,且有|FA|=|FD|,當點A的橫坐標為3時，4ADF為正三角形

(1)求C的方程

(2)延長AF交拋物線于點E,過點E作拋物線的切線11,求證：11〃I.

【考點】

【答案】

P-+0

(1)解：拋物線的焦點F(彳，0),設D(t,0),則FD的中點為(4,0).

V|FA|=|FD|,.-.3+=|t-|,解得t=3+p或t=-3(舍).

業=3

,??=3,4,解得p=2.

,拋物線方程為y2=4x

ni1

(2)解：由(1)知F(1,0),設A(4,m)(m豐0),D(xD,0),

,.,|FA|=|FD|,則|XD-1|=+1,由xD>0得xD=+2,即D(+2,0).

m

...直線I的斜率為kAD=-2.

12

設11：y=kx+n(k*0)與拋物線相切，代入可得ky2-4y+4n=0,A=0,所以E(k，工)，

VA,F,E三點共線，(-1)-除)J,

2

解得k=加或k=-.

k二,E與A重合，舍去，

k——,

/.I1/7I.

【解析】(1)根據等邊三角形的性質可知A點橫坐標為FD的中點橫坐標，列出方程解出p.(2)根據|FA|=|FD|

列出方程得出A,D橫坐標的關系，從而得出I的斜率，設11方程，與拋物線方程聯立，由判別式△=()得

出I的截距與A點坐標的關系，求出E點坐標，利用A,F,E三點共線，即可證明結論.

18、如圖，平面ABEF,平面ABC,四邊形ABEF為矩形，AC=BC.0為AB的中點，OF±EC.(I)求證：OE±FC：

AC73

(II)若而=了時，求二面角F-CE-B的余弦值.

【答案】證明：(I)連結OC,?.?AC=BC,。是AB的中點，故OCJ_AB.

又平面ABC±平面ABEF,

故OC_L平面ABE,于是OCJLOF.

又OF_LEC,,.,OF_L平面OEC,

/.OF±OE,

又,.?OC_LOE,「.OE，平面OFC,

.-.OE±FC；

(II)解：由(I)得AB=2AF.不妨設AF=1,AB=2,

AB=H,.*.AC=I,則。C=/

建立以0為坐標原點，OC,OB,OD分別為X,y,z軸的空間直角坐標系如圖:

則F(0,-1,1),E(0,1,1),B(0,1,0),C(,0,0),則

CE=1,1),EF^(o,-2,0),

設平面FCE的法向量為m=(x,y,z),

=0

則i-2y=0

(1,0,),

:BE=(o,0,1),BC二(,-1,o),

同理可得平面CEB的法向量為〃=(1,,0),

11

.,.COS<,>=gx^=G,

...二面角F-CE-B是鈍二面角，

???二面角F-CE-B的余弦值為-.

【解析】(I)連結0C,則0CLAB,從而得到0C_L0F,進而得到0FL0E,由此能證明0E_LFC.(II)由

(I)得AB=2AF.不妨設AF=1,AB=2建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可.

【考點精析】利用直線與平面垂直的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂直于同一個平面

的兩條直線平行.

x2y2

19、已知命題p：實數m滿足m2-7ma+12a2<0(a>0),命題q：滿足方程拓二1+0二1表示焦點在y軸

上的橢圓，若「P是「q的必要而不充分條件，求實數a的取值范圍.

【考點】

【答案】解：由m2-7a/12a2Vo(a>0),則3aVmV4a即命題p：3a<m<4a,

?/

實數m滿足方程m—l+2-m=i表示焦點在y軸上的橢圓，

2—

,m-LX)

2——1

即，解得1VmV

因為「P是「q的必要而不充分條件，所以P是q的充分不必要條件,

3a>l

13

4a<—

則I2,

1

解得GwawIN,

故實數a的取值范圍為：[,]

【解析】根據命題P、q分別求出m的范圍，再根據p是q的充分不必要條件列出關于a的不等式組，解不

等式組即可

20、小王、小李兩位同學玩擲骰子(骰子質地均勻)游戲，規則：小王先擲一枚骰子，向上的點數記為x；

小李后擲一枚骰子，向上的點數記為y.

(1)求x+y能被3整除的概率；

(2)規定：若x+y>10,則小王贏，若x+yW4,則小李贏，其他情況不分輸贏.試問這個游戲規則公

平嗎？請說明理由.

【考點】

【答案】

(1)解：由于x,y取值