曲阜師范大學附屬中學高二下學期第一次月考數學（理）試題命題人：張松審題人：李加敏、宋修江試卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.答在試題卷、草稿紙上無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色的簽字筆將答案直接答在答題卡上對應的答題區域.答在試題卷、草稿紙上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.請將答題卡上交.第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．已知復數z滿足，則=（）A．B．2C．D．2．函數從1到4的平均變化率為（）A． B． C．1 D．33.下列各式中正確的是()A．B．C．D．4.“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對角線相等”，補充以上推理的大前提是()A.正方形的對角線相等B.矩形的對角線相等C.等腰梯形的對角線相等D.矩形的對邊平行且相等5．設，若，則等于（）A． B． C． D．6．若函數在內無極值，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．7．函數的圖像與軸所圍成的封閉圖形的面積為()A.B．1C．2D.8．已知曲線，在點的曲線的切線方程為（）A.B．C．和D．切線不存在9.已知，且，則方程在區間上()A．至少有三個實數根B．至少有兩個實根C．有且只有一個實數根D．有兩種情況，有一個根或有三個根10．設分別是定義在上的奇函數和偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（）A．(－3，0)∪(3，+∞)B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，+∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)11.設函數滿足，，若函數有三個不同的零點，則c的取值范圍是（）A．(0，)B．(，0)C．(－∞，0)∪(，+∞)D．(－∞，)∪(0，+∞)12.函數的值域是[0，2]，則實數a的范圍是（）A．[0，]B．[1，]C．[1，]D．[，2]第Ⅱ卷填空題：本大題共4小題，每小題5分，請將答案填在答題卡對應題號的位置上．答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分．13.設，若，則實數________14.函數的導函數為，且滿足，則15.已知,,則t=________16.已知，，，…，，…，（，）．則的值為______．三、解答題：(本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)17．（本小題滿分10分）已知，求的單調區間.18．（本小題滿分12分）已知數列滿足.（1）求；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明.19.（本小題滿分12分）某地環保部門跟蹤調查一種有害昆蟲的數量．根據調查數據，該昆蟲的數量（萬只）與時間（年）（其中）的關系為．為有效控制有害昆蟲數量、保護生態環境，環保部門通過實時監控比值（其中為常數，且）來進行生態環境分析．(1)當時，求比值的最小值；(2)經過調查，環保部門發現：當比值不超過時不需要進行環境防護，現恰好3年不需要進行保護，求實數的取值范圍．20.(本小題滿分12分)設函數，其中.(1)若在處取得極值，求常數的值；(2)若在(－∞，0)上為增函數，求的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知函數．(1)求函數的極值；(2)設函數，存在實數，使得成立，求實數的取值范圍．22．（本小題滿分12分）直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的方程為，直線方程為（t為參數），直線與C的公共點為T.(1)求點T的直角坐標;(2)過點T作直線，被曲線C截得的線段長為2，求直線的極坐標方程.答案15CADBB 610DABCD 11A 12C13、1 14、1 15、 16、17、解：18、解（1）由可得（2）猜想下面用數學歸納法證明：①當時，左邊右邊猜想成立.②假設時猜想成立，即，當時，，故當時，猜想也成立.由①，②可知，對任意都有成立.19、解（1）當時，，∴；、的變化如表所示，12－0＋↓ˉ極小值↑∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴在時取最小值；此時（2）∵根據（1）知：在上單調減，在上單調增；∵恰好3年不需要進行保護，∴，解得，即實數的取值范圍為．20、解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．因f(x)在x＝3處取得極值，所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.經檢驗知當a＝3時，x＝3為f(x)的極值點．(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1.當a<0時，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上為增函數．當0≤a<1時，f(x)在(－∞，0)上為增函數．當a≥1時，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上為增函數，從而f(x)在(－∞，0)上為增函數．綜上可知，當a≥0時，f(x)在(－∞，0)上為增函數．21、解(1)函數的定義域為R，f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x=0.、的變化如表所示，0↑極大值↓則x=0處取得極大值=1(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，則2[φ(x)]min<[φ(x)]max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴φ′(x)＝＝.①當t≥1時，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上單調遞減，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；②當t≤0時，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上單調遞增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；③當0<t<1時，若x∈[0，t)，φ′(x)<0，φ(x)在[0，t)上單調遞減，若t∈(t,1]，φ′(x)>0，φ(x)在(t,1)上單調遞增，∴2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}．(*)由(1)知，g(t)＝2·在[0,1]上單調遞減，故≤2·≤2，而