第八章相關與回歸分析第一節相關與回歸分析概述在自然界和社會中的任何事物都是有機的相互聯系。相互依賴，相互制約的，本章就是從數量方面對這種相互關系加以研究。一、相關分析概念1、函數關系。它是指現象之間存在著一種嚴格、準確的一、一對應的數量關系，即當一個變量發生數量上的變化時，都有另一個變量的確定值與之對應。2、相關關系是指某一現象與另一現象之間客觀存在的，在數量表觀上不確定的相互依存關系。相關關系與函數關系不同。在相關關系中，當一個現象發生數量上的變化時，另一個現象也相應的發生變化，但是數量表現上是不確定的，往往同時出現幾個不同的數值，例如，人們的收入與銀行的存款額之間有一定的關系存在。但在收入相同的人中，存款的數字多不相同。一般來說，收入高的人，存款多一些，然而究竟多存多少，是不能確定的，因為存款的多少，不但與收入多少有關，還與物價高低、消費水平的高低以及供養人口的多少等等因素有關，即使許多重要因素的條件都相同，也還有許多偶然因素在發生，但不管有多少因素影響儲蓄存款的變化，收入多少畢竟是與存款額關系非常密切的一個因素，只是它們之間的這種依存關系在數量表現上是不確定的而已。在現實的社會經濟現象中相關關系廣泛存在：如農作物的產量與施肥量之間的關系；鋼的硬度與其含碳量之間的關系；廣告費支出與產品銷售量之間的關系，產品產量與單位成本之間的關系等等。3、相關分析是以相關關系為對象，是從數量上研究一個現象與另一個現象或另一組現象之間相關方向和相關密切程度的一種統計分析方法。二、相關分析的種類按照不同的標志，相關關系可以分為以下幾類：（一）按相關關系的表現形態來劃分，可分為直線相關和曲線相關（又稱線性相關與非線性相關）。相關關系是一種數量上不嚴格的相互依存關系，是一種近似的配合。如果在直角坐標圖上，其散點圖各點大至散布在一條直線附近，近似地表現為一條直線，則把這種現象之間的關系稱為直線相關。如果其散點圖各點大至散布在一條曲線附近，近似地表現為一條曲線，則稱為曲線相關。曲線相關也有不同的種類，如拋物線，指數曲線，雙曲線等等。研究現象的相關關系，究竟取哪種形態，要對現象的性質作理論分析，并根據實際經驗，才能得到較好解決．(二)按照相關關系涉及的變量(或因素)的多少可以分為單相關和復相關。單相關又稱一元相關，是指兩個變量之間的相關關系。如農作物的產量與施肥量之間的相互關系。復相關也叫多元相關，是指三個或以上變量之間的相關關系。如商品需求量，價格和消費者收入之間的相關關系。（三）按照直線相關（線性相關）變化的方向來劃分，有正相關和負相關。自變量（X）的數值增加，因變量（Y）的數值也相應地增加，這叫做正相關。例如施肥量增加，農作物畝產量也增加。自變量數值增加，因變量數值相應減少；或者自變量數值減少，因變量數值相應增加，相關的兩個變量按不同的方向發生變化，這叫做負相關。例如產品生產越多，生產成本越低；商品價格降低，銷售量增加。（四）按相關的程度來劃分，可分為完全相關，不完全相關和完全不相關兩種現象中一個現象的數量變化，隨另一現象的數量變化所確定，這兩種現象間的依存關系，就稱為完全相關，如Ｓ=πＲ2，在這種情況下，相關關系就是函數關系；兩種現象的數量各自獨立，互不影響，稱為完全不相關，如茶葉的收購量與鋼鐵的產量之間，是完全不相關的；兩個現象之間的關系，介于完全相關與完全不相關之間，稱為不完全相關。通常相關分析主要是不完全相關分析。以上相關關系種類，如圖８－１所示。yy··················xx(1)完全正相關(2)不完全正相關yy··················xx(3)不完全負相關(4)完全負相關yy···························xx(5)完全不相關(6)曲線相關圖８－１二、相關分析的主要內容相關分析是用以分析社會經濟現象間的依存關系，其目的就是從現象的復雜關系中消除非本質的偶然影響，從而找出現象間相互依存的形式和密切程度以及依存關系變動的規律性。這在實際工作中運用得非常廣泛。相關分析的主要內容如下：（一）確定現象之間有無關系，用定相關關系的表現形式。確定現象之間有無相關關系存在，以及有什么樣的相關關系，即定性分析。這是相關分析的出發點，有相互依存關系才能用相關方法進行分析。（二）確定相關關系的密切程度。相關分析的目的之－，就是從不嚴格的關系中判斷其關系的密切程度。判斷的主要方法，就是對自變量和因變量的數據資料編制相關表、繪制相關圖，幫助我們作一般性判斷相關的密切程度，進而計算出相關系數。（三）選擇合適的數學模型。確定了現象間卻有相關關系以及其密切程度，就要選擇恰當的數學模型（即數學表達式），來近似地描述變量之間的聯系。如果現象之間表現為直線相關的關系，則配合直線方程加以進行描述、估計、推斷和預測；如果現象之間表現為曲線相關的關系，則配合曲線方程加以進行描述、估計、推斷和預測。第二節一元線性相關與回歸分析一、相關分析1、編制相關表、繪制相關圖編制相關表。相關表是繪制相關圖，計算相關系數以及建立回歸方程的依據。在確定現象之間存在相關關系后，將自變量的值按大小順序排列，因變量的值與之對應排列，來編制相關表。例如為了研究分析某工廠每個工人生產甲產品的年平均產量與單位成本的關系，可將該企業六年的數據編制成相關表。（如表8-1）繪制相關圖。根據相關表的資料繪制相關圖，以便性直觀地判斷現象相關的方向、形態和關系緊密程度。（如圖8-2）從以上表和圖中可看出產品平均產量與單位成本關系較密切，且有線性相關(直線相關趨勢)關系。還可以看出，隨著產量的增加，單位產品成本有下降的趨勢，兩者有負相關關系。2、計算相關系數。相關表與相關圖只能對現象相關的方向、形態和關系緊密程度作一般性直觀判斷，相關系數則能從數量上說明相關關系的密切程度。表8-1某工廠甲產品的年平均產量與單位成本相關表年份平均每個工人年平均產量（十件）單位成本（千元）1993510199469.5199598.51996118.01997127.51998157.0圖8-2相關系數是測定在直線相關（線性相關）條件下現象之間關系密切程度的統計分析指標，常用r表示。其定義式為：式中：——x變量的標準差——y變量的標準差——xy的協方差n——xy對應數據的項數將上面公式簡化為：相關系數r的變動范圍在–1與+1之間。即：–1≤r≤1通常相關系數r的絕對值越接近±1，表示兩個變量間的線性相關程度越高；相關系數r的絕對值越接近0，表示兩個變量間的線性相關程度越低。相關系數r僅適合用于直線相關作測定，不適合對曲線相關進行測定，曲線相關的測定，應計算相關指數。確定現象之間相關關系的強弱程度，可根據相關系數數值的大小劃分為若干評價等級，即：｜r｜＜0.4低度相關0.4≤｜r｜≤0.7顯著相關0.7＜｜r｜高度相關例如，根據表8-1某工廠每個工人生產甲產品的年平均產量與單位成本的關系，計算相關系數（見表8-2）表8-2相關系數計算表序號平均每個工人年平均產量（十件）X單位成本（千元）YX2Y2XY15102510050269.53690.2557398.58172.2576.54118.012164885127.514456.25906157.022549105合計5850.5632431.75466.5由上表=表明平均每個工人的年產量與單位成本之間為高度負相關的關系。二、回歸分析（一）回歸分析的概念和種類相關關系的主要特征是具有相關關系的現象的變量之間客觀上存在著內在的聯系，當自變量變動一個確定的值，則因變量就有許多值與之相對應地變動，盡管這種變動不是確定的和嚴格依存的，但卻總是按其一定的分布規律圍繞著自變量的平均數而變動。這就是說，對于自變量ｘ的某一確定值，因變量ｙ可以有一個平均值與之對應。這樣，現象之間本來數量上不確定的相關關系就轉變為數量上確定的函數關系，從而為研究現象間的數量依存關系提供了可能。我們以一定的數學表達式將其反映出來。這樣的數學表達式稱為回歸方程式，而根據回歸方程所進行的分析稱為回歸分析。從研究對象來看相關分析與回歸分析存在著聯系，它們都是分析變量之間的相互關系，且回歸分析只有在相關程度顯著時，才有價值。相關分析與回歸分析又有區別，相關分析能說明變量間相互關系的方向和緊密程度。但不能說明兩個變量間的一般數量(關系值)變動規律。而回歸分析則能說明變量間的一般數量(關系值)變動規律?？陀^現象之間的聯系是很復雜的，存在著不同的類型和表現形式。因此，回歸分析也有不同的類型。（1）按照自變量的個數多少。分為一元回歸和多元回歸，只有一個自變量的叫一元回歸，或稱簡單回歸。有兩個或以上自變量的叫多元回歸，或稱復回歸。（2）按回歸線的形狀分，有直線回歸(線性回歸)和曲線回歸(非線性回歸)。（二）一元線性回歸分析如果兩種現象之間存在著密切的線性相關關系，則可建立一元線性回歸方程，來揭示二者之間的數量變動關系和數量變動規律。一元線性回歸方程是表明兩個變量之間線性相關系的方程式，也稱為簡單線性回歸方程、或簡單直線回歸模型。計算公式為：=a+bx式中：——因變量估計值（回歸理論值、計算值）a——回歸直線的起始值，也就是當x為0時的值。從經濟意義上理解，就是在沒有自變量x的影響時，其他各種影響因素對的影響(因變量估計值)b——回歸直線斜率，也稱回歸系數，表明x每變動一個單位時，平均變動的數量。確定回歸方程的參數a和b最主要的方法是最小平方法，這一方法的原理與研究步驟與本書長期趨勢測定的內容相同，即根據下列標準方程組，建立一元線性回歸方程，并進行簡單的回歸預測?；貧w系數ｂ是直線的斜率，從其算式中可以看出，分母是所有自變量x與其平均數的離差平方和，只要所有觀察x的觀察值不完全相等，它必然是個大于0的數，因此它的符號取決于分子中兩個離差乘積之和。當ｂ＞0時，有隨ｘ的增加而增加的趨勢；而當ｂ＜０時。有隨ｘ增加而減少的趨勢。例如，根據表8-2資料，我們來研究工人年平均產量對單位成本的影響，根據圖中反映的趨勢，我們可以考慮用線性回歸方程=ａ+ｂx來表達。要解方程，必須求出方程的參數a、ｂ，計算如下：=-0.3037=8.4167-（-2.9358）=11.352回歸系數b與相關系數r之間在正負方向上具有同一符號，即相關系數r為正數，表明現象是正相關關系，回歸系數b也為正數；相關系數r為負數，表明現象是負相關關系，回歸系數b也為負數。且兩者存在以下數學關系：（三）回歸估計標準差根據回歸方程，知道自變量的數值，就可以推算出因變量的估計值。但是，因變量的每一