數(shù)列與不等式題型例1．已知數(shù)列滿足，且．(1)設(shè)，證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求使得不等式成立的n的最小值．解析（1）證明：∵，，，，,又，，,，，又，，,,即，，又，，，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，即，，，，又，，即,，，，在是一個增數(shù)列，，，∴滿足題意的n的最小值是20．例2．已知數(shù)列滿足記數(shù)列的前項和為，(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項；(2)求；(3)問是否存在正整數(shù)，使得成立？說明理由.解析（1），即，所以，（2），所以，當(dāng)為奇數(shù)時，可令，則，當(dāng)為偶數(shù)時，可令則；（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成立，因為，，所以只要即只要滿足①：，和②：，對于①只要就可以；對于②，當(dāng)為奇數(shù)時，滿足，顯然不成立，當(dāng)為偶數(shù)時，滿足，即令，因為由于的對稱軸為，故在且為偶數(shù)，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故即，且當(dāng)時，最大，且最大值為，因此，，所以當(dāng)為偶數(shù)時，②式成立，即當(dāng)為偶數(shù)時，成立.例3．已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）記是數(shù)列的前項和：①求；②求滿足的所有正整數(shù).解析（1）設(shè)，因為，所以數(shù)列是以即為首項，以為公比的等比數(shù)列.（2）①由（1）得，即，由，得，所以，，②顯然當(dāng)時，單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時，，綜上，滿足的所有正整數(shù)為和.例4．已知數(shù)列，滿足，，，．(1)求證：；(2)求證：；(3)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．解析（1）因為，所以為常數(shù)數(shù)列，又因為，，且，所以，故；（2）由于，若，則，而，所以和都是正數(shù)列，由（1）可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．此時，即為常數(shù)列，與矛盾，所以，又，所以；（3）由于，所以，則，故，所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)n＝1時，，所以．例5．已知數(shù)列滿足，(1)求的值；(2)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列．解析（1）由遞推關(guān)系可知，，，.（2），，所以，又，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.例6．記為數(shù)列的前n項和，且滿足．(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，設(shè)，數(shù)列的前n項和為，若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍．解析（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，整理得，則，兩式相減，得，因為，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列．（2）當(dāng)時，，令，得，則，因為，所以，因為，所以，所以數(shù)列是首項為－r，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以．因為，所以，則，所以是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為．例7．已知數(shù)列滿足．(1)設(shè)，求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)m，使得對任意的都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，試說明理由．解析（1）證明：∵，又由a1＝2，得b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以bn＝1+(n－1)×1＝n，由，得．（2）∵，，所以，依題意，要使對于n∈N*恒成立，只需，即解得m≥3或m≤4．又m＞0，所以m≥3，所以正整數(shù)m的最小值為3．例8．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足：，．（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）若數(shù)列的前n項和為，證明：，解析（1）由，得（），

兩式相減，得，即（）．

因為，由，得，所以，

所以對任意都成立，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為1，公比為2．（2）（i）由（1）知，，由，得，即，即，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列．所以，所以．（ii），所以，兩式相減，得，所以．∵，∴.例9．已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最大的正整數(shù).解析（1）由，得，則，又因為所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列（2）由（1）得因為，所以即又因為為單調(diào)增函數(shù),所以滿足的最大正整數(shù)為32即滿足條件的最大正整數(shù)例10．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)證明：；(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．解析（1）由，得，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，．（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，得，所以，，，，，得證．（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，，設(shè)，，兩式相減得得，所以，所以．例11．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列并求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項和，證明：．解析解：（1）證明：當(dāng)時，，又，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，；（2）證明：，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時符合，，，．又，．例12．已知正項數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列的前項和為，證明：.解析（1）∵，∴，∵是正項數(shù)列，∴，即∴數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，∴.∴∴∵，∴.（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；（2）無理型；（3）指數(shù)型；（4）對數(shù)型.例13．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列和通項公式；(2)求的值；(3)證明解析（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，故數(shù)列的通項公式.∵，∴，即，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，∴.（2）當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，∴.（3），∴，當(dāng)時，，∴.例14．已知數(shù)列滿足：，正項數(shù)列滿足：，且，，.(1)求，的通項公式；(2)已知，求：；(3)求證：.解析（1）由題意知，為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，又，，，∴，∴，.∴，，∴.（2）由，