第一章反比例函數

探究內容：1.1建立反比例函數模型（1）

目標設計：1、引導學生從具體問題中探索出數量關系和變化規律，抽象出反比例函數

的概念；

2、理解反比例函數的概念和意義；

3、培養學生自主探究知識的能力。

重點難點：對反比例函數概念的理解

探究準備：投影片等。

探究過程：

一、舊知回顧：

1、函數的概念：

一般地，在某一變化過程中有兩個變量r與），，如果對于x的每一個值，y都有唯一的

值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。

2、一次函數的概念：

一般地，如果y=kx+b（.k>b是常數，k*0）那么y叫做x的一次函數。如：y=3x-l,…

當6=0時，有y=（A為常數，人手0）則丫叫做x的正比例函數。如：y=-^x,

y=4x,…

二、新知探究：

類似地，有反比例函數：

1、概念：

一般地，如果兩個變量y與x的關系可以表示成v=2（A為常數，々#0）的形式，那

X

么稱），是X的反比例函數。

2、強調：

①自變量在分母中，指數為1,且xwO；

②也可以寫成y=^T的形式，此時自變量x的指數-1；

③自變量x的取值為XH0的一切實數；

④由于kwO,x*0,因此函數值》也不等于0。

例題講評：

1、下列函數中，x均表示自變量，那么哪些是反比例函數，并指出每一個反比例函數

中相應的4值。

（l）y=-5（2）'=_匯04（3）y=-±x（4）孫=2

x廠2

分析：

⑴y=9是反比例函數，Z=5；

X

（2）y=-H不是反比例函數；

X

（3）y=-5是正比例函數；

9

⑷肛=2,即＞=二，是反比例函數，k=2。

x

2、若函數y=(〃z-2)/小-7是反比例函數，求出山的值并寫出解析式。

分析：

由題有：〃7—2/0且“2+"2+7=—1,解得加=—3

**?解析式為y=—5x-1,B|Jy=——

x

3、已知反比例函數的圖象經過點(-1,2),求其解析式。

分析：

設反比例函數的解析式為y=K(A#0),則2=巴

x-1

?,?%=-2

,此反比例函數的解析式為y=-2。

X

三、練習：

k為何值時，y=(k2+?)是反比例函數？

四、小結：

1、牢記反比例函數的概念；

2、能正確區別正、反比例函數。

五、作業：

1、課堂：

⑴已知函數y=(“2-4)戶re是反比例函數，求〃的值；

⑵如果函數y=(2m+4)/T是反比例函數，那么正比例函數y=(2機-5)x的圖象經過第

幾象限？

2、課外：《基礎訓練》.

2

探究內容：1.1建立反比例函數模型（2）

目標設計：1、鞏固反比例函數的概念，能正確區別正、反比例函數；

2、能根據實際正確寫出反比例函數解析式，初步嘗試畫反比例函數的圖象;

3、培養學生自主探究知識的能力。

重點難點：1、根據實際問題寫反比例函數的解析式；

2、正、反比例函數的綜合練習。

探究準備：投影片、作圖工具等。

探究過程：

一、復習導入：

1、一次函數的一般形式：

y=kx+b,（k,b為常數,攵/0）

當6=0時，y=kx（攵工0）為正比例函數。

2、反比例函數的一般形式：

b

y=—,（左為常數，左00,X/0）

x

二、新知探究：

例題講解：

1、已知函數y=（Z+l）x為正比例函數，且其圖象經過第一、三象限，函數＞=（%+1）/刊-7

為反比例函數，請求出符合條件的所有k值。

分析：

攵+1>0(')

由題意，有:

42TH—7=7(2)

由①得A＞-1,

當人在一1＜々40時，方程②為公+4-6=0

解得匕=-3,&=2（均不合題意，舍去）

當人＞0時，方程②為公-06=0

解得％i=3,k2=-2（不合題意，舍去）

；.符合題意的上值為3。

2、已知y=x+%,%與x成正比例，%與x成反比例，并且當x=2時，y=T；當x=—l

時，y=5,求出y與x的函數關系。

分析：

y與x成正比例設y=ktx

又???巴與X成反比例設力=占

X

又；丫=乂+%/.y=ktx+^-

X

???由題意，有

2匕+&=-4k=-1

12解得

k=-4

—K—k、=52

，y與x的函數關系式為y=-x~-o

x

3、某地上一年每度電價為0.8元，年用電量為1億度，本年度計劃將電價調至0.55?

0.75元之間。經測算，若電價調至x元，則本年度新增用電量y(億度)與(x—0.4)(元)

成反比例，且當x=0.65時，y=0.8?

⑴求y與x之間的函數關系式；

⑵若每度電的成本價為0.3元，則電價調至多少元時，本年度電力部門的收益將比上一

年增加20%(收益=用電量X(實際電價一成本價))?

分析：

(1)由題意可設y=—(女*0),則0.8=--—，解得左=0.2

x-0.40.65-0.4

y與x的函數解析式為y=—^—,即y=—!—(0.55cx<0.75)

x-0.45x-2，'

⑵由題意，有：(1+y)(x-0.3)=(0.8-0.3)XIX(1+20%)

即(l+j^j(x-0.3)=0.6,亦即10/-1a+3=0

??—0.5,A2=0.6

V0.55<x<0.75

???x=0.6

即電價應調至每度0.6元。

三、練習：

1、若函數y=(機+2)x"+3m+i是反比例函數，那么正比例函數丫=_,加經過第幾象限？

2、在某一電路中，電壓“=5伏，則電流強度I(安)與電阻R(歐)的函數關系式是

()。

3、已知反比例函數y=-9,請寫出五個符合該函數解析式的點的坐標，并嘗試畫出該

X

函數的圖象。

分析：

(1?—6),(2,—3),(3,—2),(6,—1),(—1,6)?(—2,3),(—3,2)

圖象如下：

四、小結：

牢記反比例函數解析式，靈活解答。

五、作業：

1、課堂：

⑴己知￥=%+%，X與x成正比例，%與x成反比例，且當x=l和*=一3時，y的值

分別是一4,3,試求；與x的函數關系式；

⑵《教材全解》P13名題品味嘗試5。

2、課外：《基礎訓練》。

3

探究內容：1.2反比例函數的圖象與性質（1）

目標設計：1、了解反比例函數的圖象為雙曲線，掌握其圖象的畫法；

2、初步依據圖象探究k的符合與函數值y的大小關系；

3、培養學生自主探究知識的能力。

重點難點：1、函數圖象的畫法；

2、x、y與k值符號的關系等。

探究準備：投影片、作圖工具等。

探究過程：

一、復習導入：

反比例函數的概念及自變量取值范圍：

一般地，如果兩個變量y與x的關系可以表示成y=V,（%為常數，4=0,）的形式，

X

那么稱y是x的反比例函數，其中x是一切非零實數。

二、新知探究：

嘗試：畫反比例函數y=2的圖象。

步驟：

1、列表:

1j_

X一5-4-2-1_11245

2~332

2

y=--0.4-0.5-1-2-4-664210.50.4

X

2、描點:

y

3、連線：在兩象限內分別用圓滑曲線順次連結。

講授：反比例函數圖象的畫法：（描點法）

1、列表：

自變量的取值應以0為中心，沿0的兩邊取三對（或以上）互為相反數的點，并計算出

相應y值，填表；

2、描點：先描出一側，另一側可依中心對稱點性質去找。

3、連線：用光滑曲線連結各點并延伸。

強調：

1、反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，分別位于一、三象限或二、四象限，

它們關于原點對稱。

2、由于反比例函數的y值不為0,所以它的圖象與x軸和y軸均無交點，即雙曲線的倆

個分支無限地接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸，

動手嘗試：

畫出反比例函數丫=9與丫=小的圖象，并觀察它們的圖象有什么相同點和不同點.

XX

分析:

列表:

X-6-5-4-3-2-1123156

6

y=--1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21

X

6

y=一一11.21.5236-6-3-2—1.5-1.2-1

X

描點，連線:

相同點：圖象分別都是有兩支雙曲線組成的，它們都不與坐標軸相交；兩個函數圖象自

身都是軸對稱圖形，都有兩條對稱軸;兩個函數圖象自身都是關于原點對稱的中心對稱圖形。

不同點：函數y=9的圖象位于一、三象限，且在每個象限內，y值隨x的增大而減小;

X

函數y=-9的圖象位于二、四象限內，且在每個象限內，y隨x的增大而增大。

X

由上，有：圖象位置與函數的增減性與《有關。

反比例函數y=4(kxO)的圖象與性質如下表:

X

k的符號圖象性質

1、由于xWO,kHO,所以y#0；

2、當k>0時，函數圖象的兩個分

k>0

支在一、三象限，在每個象限內，

卜y隨x的增大而減小。

1、由于x￥0,kHO,所以yWO；

2、當kVO時，函數圖象的兩個分

k<0

°支在二、四象限，在每個象限內，

y隨x的增大而增大。

三、小結：°/

1、掌握反比例函數圖象的畫

2、牢記反比例函數的性質。

四、作業：

1、課堂：《基礎訓練》

2、課外：同上，其他試題。

4

探究內容：1.2反比例函數的圖象與性質(2)

目標設計：1、鞏固反比例函數圖象的畫法及k的符號與函數圖象的關系；

2、能熟練依據反比例函數的圖象或點的坐標求解析式；

3、培養學生自主探究知識的能力。

重點難點：1、反比例函數的性質；

2、依據性質判斷函數圖象所在象限等。

探究準備：投影片、作圖工具等。

探究過程：

一、復習導入：

1、反比例函數的性質：

2、一次函數的性質：

3、反比例函數與一次函數之間的異同：(圖象、4的符號與函數值的關系)

二、新知探究：

例題：

已知反比例函數的圖象經過點A(-2,3)。

⑴求出這個反比例函數的解析式；

⑵經過點A的正比例函數y的圖象與此反比例函數還有其他交點嗎？若有，求出

交點坐標；若沒有，請說明理由。

分析：

⑴設此反比例函數的解析式為y=4(心0),貝II

X

3=-/.k=-6

-2

此反比例函數的解析式為

X

(2)TA點也在正比例函數y=的圖象上

：.3=k'(-2)則-=-|

.?.此正比例函數的解析式為y=~x

...此正比例函數的圖象經過二、四象限。

又由⑴可知，反比例函數的圖象在二、四象限內，設另一交點為A[x,y),則A[x,y)

與A(-2,3)是關于原點對稱兩點，而點A(-2,3)在第二象限內，所以點犬必在第四象

限內，其坐標為(2,-3)。

2、己知反比例函數丫=土土，分別依據下列條件確定A的取值范圍：

X

⑴函數圖象位于第一、三象限；

⑵在每一象限內，y隨x的增大而增大。

分析：

⑴：函數圖象位于第一、三象限

，4-%>0,即A<4

⑵依題意，有4一%<0,%>4

3、己知反比例函數y=(w-2)x"j"-'的圖象在每個象限內，y隨x的增大而減小，求

機的值并寫出解析式。

分析：

依題意，有

/m-2>0即Im>2

-m-7=-1=-2,/W2=3

/.m=3

此反比例函數的解析式為y=k,即丫=!。

X

探究：反比例函數〉=§儀工0)中的比例系數A的幾何意義。

如圖，過雙曲線上任一點作X軸、y軸的垂線PM、PN,所得矩形PMON的面積

S=PMU^\y\kl=M”

pl....N

*/y=—(ZwO)

X

??k=xy必。’X

-?s=聞=廠

即過雙曲線上任意一點作X軸、?軸的垂線，所得矩形的面積為網。

三、練習：

1、一個反比例函數在第三象限的圖象如圖所示，若A是

圖象上任意一點，AMJ.X軸與M,0是原點，如果%⑻=3,求!/0一

不

這個反比例函數的解析式。

2、已知正比例函數y=也與反比例函數y=3的圖象都經

X

過A(M,1)點，求此正比例函數的解析式及另一個交點的坐標。（2005?常德市）

四、小結：

在牢記圖象的基礎上靈活練習。

五、作業：

1、課堂：《基礎訓練》P34；

2、課外：同上。

5

探究內容：L2反比例函數的圖象與性質（3）

目標設計：1、能夠求反比例函數與一次函數的解析式及其交點坐標；

2、培養學生自主探究知識的能力。

重點難點：根據已知條件求函數解析式。

探究準備：作圖工具、小黑板等。

探究過程：

一、復習導入：

1、一次函數丫=履+〃（4片0）與x軸、y軸交點：

x軸：（--,0）y軸：（0,6）

k

反比例函數與x軸、y軸無交點。

2、當A>0時，一次函數圖象經過一、三象限，），隨x的增大而增大；反比例函數圖象

分兩支在一、三象限內，在每個象限內，y隨x的增大而減小。

當《<0時，類似。

二、新知探究：

題例：

1、如圖，一次函數y=ov+b的圖象與反比例函數的圖象交于M、N兩點。

⑴求反比例函數和一次函數的解析式；

⑵根據圖象寫出使反比例函數的值大于一次函數的值的x的取值范圍。

分析：

⑴?.?點N（-1,-4）在反比例函數y=&的圖象上

X

：.-4=A即&=4

—1

...反比例函數的解析式為。

X

又丁點M（2,M）也在雙曲線上

.4「

.?m=—=2

2

???點M的坐標為（2,2）。

又?.點M(2,2),點N(-1,-4)均在y=or+b的圖象上

2a+b=2a=2

J解得

+b=-4b=-2

?二一次函數的解析式為y=2九-2。

⑵由圖象可知，當0vxv2或x<-l時，反比例函數值大于一次函數的值。

解析如下：

4

y=—>y=2x-2

x

42

：.->2x-2BP->x-l①

XX

分兩種情況討論：

①當x>0時，①式可化為/一工一2<0E|J(x-2)(x+l)<0

x—2>0jx.Jx—2<0x>2x<2

x+l<0^|x+l>0即或

x<-\x>-l

/.0<x<2

②當x<0時，①式可化為￡一戶2>0Bp(x-2)(x+l)>0

.fx-2>0_?,[x-2<0[x>2x<2

..\或《H即《或《

[x+]>0[x+1<0[x>-l[x<-l

**?X<-1

綜上，當0<x<2或x<-1時，反比例函數值大于一次函數的值。

2、如圖，A、C是函數)，=■的圖象上任意兩點，過點A作y軸的垂線，垂足為B,過點

X

C作y軸的垂線，垂足為D,記R/A4OB的面積為岳，@ACOD的面積為邑，則鳥與邑的大

小關系怎樣？

分析：

,11?111

方法一：設A%:，則$=彳％-=-

\^1/ZX]Z

/1)c111

同理，設C/一，則$2=彳&一=彳

(須12上2

/.5=5,

方法二：由函數y=1可得9=l=k

X

，，二S2

三、練習：

b

如果反比例函數丫=人的圖象與一次函數y=的圖象的一個交點坐標為(2,3),

x

求反比例函數和一次函數的解析式。

四、小結：

1、求反比例函數的解析式只需一個點的坐標即可，而求一次函數解析式需知道兩個點

的坐標;

2、求函數解析式的方法一般是用待定系數法；

3、比較函數值的增減情況一般是依據自變量而定。

五、作業：

1、課堂：《基礎訓練》P.4；

2、課外：《基礎訓練》R,2。

探究內容：1.2反比例函數的圖象與性質（4）

目標設計：通過典型題例的分析講解，引導學生掌握反比例函數圖象的畫法，鞏固反比

例函數的概念和性質。

重點難點：1、熟練掌握反比例函數圖象的畫法；

2、能依據反比例函數的概念和性質求其解析式。

探究準備：作圖工具、投影片等。

探究過程：

一、復習導入：

1、反比例函數的概念、性質及其圖象畫法；

2、一次函數的解析式、性質及圖象畫法。

二、新知探究：

I、畫出函數y=^!■的圖象。

分析：

方法：描點法

過程：

1、列表：

2、描點、連線:

強調：描點時不能把橫縱坐標顛倒，單位長度應取合理、正確，便于描點。

2、如圖，在直角坐標系中，直線y=x+〃?與雙曲線丫=生在第一象限交于點A,與x軸

交于點C,AB垂直于x軸，垂足為B,且5Mo8=1。

⑴求M的值；

⑵求AABC的面積。

分析：

⑴設點4（國,%）（%>0，x>0）

；A點在y='的圖象上，

X

玉y二機>0

又_H_.

人,JAAOB~萬一1

.*?m=2

（2）由⑴知，m=2o

y=x+2

???取立直線與雙曲線的解析式，有2

）'二一

x

解得卜=GT或卜2=-8T

[X=G+I[%=-豆+1

Vx>0,y>0（需求第一象限內的交點坐標）

；.A點坐標為A（6-1,百+1）

又?.,直線y=x+2與X軸的交點為一2

/?BC=|A/3-1|+|-2|=>^+1

S*=；BCAfi=1（73+l）（V3+l）=2+^

三、練習：

《基礎訓練》P.,5

四、小結：

1、過雙曲線上任意一點作x軸或y軸的垂線，與坐標原點所構成的三角形的面積為

也

2，

2、雙曲線與直線若有交點，說明聯立其解析所組成的方程。

五、作業：

1、課堂：《基礎訓練》P510,11；

2、課外：同上6、7、8O

7

探究內容：L2反比例函數的圖象與性質（5）

目標設計：通過典型題例的分析講解，引導學生牢記反比例函數圖象與性質，掌握解題

方法。

重點難點：解題方法的分析引導。

探究準備：投影片、作圖工具等。

探究過程：

一、復習導入：

1、若A（a,w）、（”>1）在反比例函數y=9的圖象上，則機與N的關系怎樣？

X

2、己知y與（2x+l）成反比例，且x=1時，y=2,那么當x=0時，y為多少？

3、已知函數丫=-9的圖象過點（-2#）,試求函數y="-l的圖象與坐標軸圍成是三角

X

形的面積。

分析：

?.?點（-2㈤在函數y="的圖象上

X

...一次函數的解析式為：y=3x-l,此時，與x軸的交點坐標為（,0

與‘軸

的交點坐標為（0,-1）

直線y=3x-l與坐標軸圍成的三角形的面積為：S=lxlx|-l|=-!-

236

二、新知探究：

1、一次函數y=-x+4與雙曲線），=4在同一直角坐標系中無交點，試判斷々的取值范

X

圍。

分析:

y=r+4

由題意，有k

y=-

X

：.-x+4=-即d-4x=—Z亦即（x-2『=4一攵

x

又;直線與雙曲線無交點

???此時方程無解

.??4一女<0即k>4

2、已知如圖，C、D是雙曲線），=生在第一象限內的分支上的兩點，直線CD分別交x軸、

x

y軸于A、B兩點，設C（x，y）,￡>（x2,y2）,連結OC、0D,求證：<OC<y}+—

y

分析：

過點C作CG_Lx軸于G,則在RtZiCOG中，CG=yx<OC,OG=xl

???C點在雙曲線y=生上

x

mm

???Vi=日—n即%=一

My

??.OG=—

y

???在RtZXCOG中,GC+GO>OC,即y+'>0C

y

y1<OC<y]+—

y

3、如圖，在直角坐標系中，直線y=6-x與函數y=±（x>0）的圖象相交于點A、B,

X

設點A的坐標為（x?yj,那么寬為斗，長為x的矩形面積和周長分別為多少？

分析：

y=6-x

由題意，得4

丁=一

x

.%=3+^5_lx%?=3-

y1=3->/5"y2=3+>/5

?,?由圖象可知，A點坐標為（3-石,3+6）

???S矩形=（3-劃（3+⑹=4

C矩形=2（3-6+3+石）=12

4、如圖，一次函數丫=依+。（攵。0）的圖象與x軸、,軸分別交于A、B兩點，且與反

比例函數y=](〃2#0)的圖象在第一象限交于C點，CD垂直于x軸于D,若

OA=OB=。劇。

⑴求A、B、D的坐標；

⑵求一次函數與反比例函數的解析式。

分析：

(DVOA=OB=OD=]

AA(-1,0),B(0,1),D(1,0)

⑵?.?點A、B在一次函數y=^+b的圖象上

°解得P=1

[b=\[8=1

,一次函數的解析式為y=x+l

又YC點在在一次函數y=x+l的圖象上，CDLx軸，且0D=l

.?.CD=1+1=2,即C點坐標為(1,2)

又：C點也在反比例函數y='的圖象上

X

/.m=2

...反比例函數的解析式為y=2。

X

三、練習：

如圖，一次函數圖象分別與X軸、y軸

相交于A、B兩點，與反比例函數交于C、1)兩

點。如果點A(2,0),點C、D分別在第一、三

象限內，且。4=O8=AC=8￡>,試求兩函數的

解析式。

四、小結：

靈活運用已知條件和圖象找準坐標點，然后求解析式。

五、作業：

1、課堂：《基礎訓練》Pe5;

2、課外：同上。

8

探究內容：1.2反比例函數的圖象與性質(6)

目標設計：通過稍有難度的典型題例的分析講解，引導學生靈活運用本節知識及已學的

相關知識解決問題，注重學生自主探究知識能力的培養。

重點難點：1、運用綜合知識解題；

2、自主探究知識能力的培養。

探究準備：作圖工具、投影片等。

探究過程：

一、復習導入：

正比例函數與反比例函數在解析式、圖象、自變量取值范圍、圖象位置、性質上的區另h

二、新知探究：

題例：

1、如圖，已知Rt^ABC的頂點A是一次函數y=x+〃?與反比例函數y='的圖象在第

X

一象限內的交點，且5.加=3。

⑴該一次函數與反比例函數的解析式是否能完全確定？如果能確定，請寫出它們的解析

式；如果不能確定，請說明理由。

⑵如果線段AC的延長線與反比例函數的圖象的另一支交點D點，過D作DELx軸于E,

那么△()口￡的面積與AAOB的面積的大小關系能否確定？

⑶請判定為何特殊^,并證明你的結論。

分析：

⑴能。

1m

設Ax0,—(x0>0,m>0),則SMOn=/一

2%

m=6

，一次函數的解析式為y=x+6；反比例函數的解析式為y=9o

X

⑵能。SMOB-5皿把

丁點D也在雙曲線上，且DEJ.x軸。

??S^DOE=]X6=3而5AA08=3

?"SMOB=S^QE

⑶aAOD為鈍角等腰三角形。由題意，有

y=x+6

X.=-3+\/1~5-馬=-3-715

6解得＜_或

）'=一y=3+VL5〉=3-屈

x12

：.^（-34-715,3+715）,。（-3-厲3-婀

???在RtAAOB與RtADOE中,AO=DO=4g

又由圖象可知NA0D>90°

/.△AOD是鈍角等腰三角形。

2、如圖，一次函數y=ar+8的圖象與反比例函數y=A的圖象交于A、B兩點，與x軸、

X

y軸交于C、D,已知。4=石，tanNAOC=g,點B的坐標為（；，加）。

⑴求反比例函數和一次函數的解析式；

⑵求△AOB的面積。

分析：

⑴過A作AE_Lx軸于E

VOA=>/5,tanZAOC=1,則可設4E=|XJ,EO=|2XJ

222

.?.在RtZXAOE中，X,+（2X1）=（V5）

/.|xj=l,|2xJ=2即AE=1,￡0=2/.A（-2,l）

又?:A點在反比例函數y=4的圖象上

X

；.1=與即4=_2.?.反比例函數的解析式為廣二

又?.?4;，〃?）在雙曲線上

._2_彳.J1八

??//?=——=—4??o—，—4

1（2）

2

...把4（-2,1）,代入y=tu+8中，有

-2a+b=\

[a=-2

7解得

—a+b=-4[/?=-3

12

，一次函數的解析式為），=-21-3

⑵,一次函數y=-2x—3與y軸交于D

??OD=|-3|=3??S^OB=SgoD+S^OB=—弓35=3+0.75=3.75

三、練習:

如圖，反比例函數），=-§與一次函數y=-x+2的圖象交于A、B兩點。

X

⑴求A、B兩點坐標；

⑵求AAOB的面積。

四、小結：

1、直角坐標系中圖形的面積一般以坐標軸為底邊分成△來求；

2、點不在第一象限內，線段長度應加絕對值符號。

五、作業：

1、課堂：《基礎訓練》Pn1.2;

2、課外:同上。

9

探究內容：1.3實際生活中的反比例函數（1）

目標設計：1、能夠依據實際問題建立通過反比例函數模型；

2、能夠依據實際問題確定自變量的取值范圍；

3、體會數學與生活的聯系，培養自主探究知識的能力與習慣。

重點難點：1、依據實際問題建立反比例函數模型；

2、在實際問題中確定自變量的取值范圍。

探究準備：投影片、作圖工具等。

探究過程：

一、復習導入：

反比例函數y=4（k是常數,左=0）的圖象與性質：

X

①2>0時...

②％<0時...

二、新知探究：

實際生活中的反比例函數：

問題1:使勁踩氣球時，氣球為什么會爆炸？

VPV=k（A為常數，k>0）

；?p=—（k>0）

壓強大到一定程度時，氣球便會爆炸。

問題2：小明的媽媽做布鞋，鈉鞋底時為什么要用大頭針而不用小鐵棍？

,:FC=PS

F

即當F一定時，S越小，P越大。

題例：

某單位為響應政府發出的“全民健康”的號召，打算在長和寬分別為20米和11米的矩

形大廳內修建一個60平方米的矩形健身房ABCD,該健身房的四面墻中有兩面沿用大廳的舊

墻壁。已知裝修舊墻壁的費用為20元/平方米，新建（含裝修）墻壁的費用為80元/平方

米。設健身房的高為3米，一面舊墻壁AB長為x米，修建健身房的總投入為y元。

⑴求y與x的函數關系式；

⑵為了合理利用大廳，要求自變量x必須滿足條件84x<12,當投入資金為4800元時,

問利用舊墻壁總長度為多少米？

分析：

⑴?矩形ABCD的面積為60平方米，43=萬米

...另一面舊墻BC=的米

X

...舊墻壁總長為1+F）米，等于新墻壁總長。

修建健身房的費用y=3x[x+的）20+31+的）80即y=300（x+的）

（2）由題意，有300[x+的）=4800

解得占=6.x,=10

經檢驗，x,,當都是方程的根，但84x412

.,?x=10

即利用舊墻壁的總長為10+巴=16（米）

10

三、練習：

某件商品的成本價為15元，據市場調查知，每天的銷售量y（件）與銷售價格x（元）

有下列關系：

銷售價格X202.53050

銷售量y1512106

仔細觀察，你能發現什么規律？你能寫出y與x的關系式嗎？它們之間是什么函數關

系？畫出它的圖象。

四、小結：

根據實際問題，找準函數關系，再確自變量范圍。

五、作業：

1、課堂：

某商場出售一批名牌襯衣，襯衣進價為80元，在銷售中發現，該襯衣的月銷售量y（件）

是銷售價x（元）的反比例函數，且當售價定為100元/件時，每月可銷出30件。

⑴求y與x之間的函數關系式；

⑵若商場計劃月賺利潤2000元，則其單價應定為多少元？

2、課外：《基礎訓練》P>o1,2。

10

探究內容：L3實際生活中的反比例函數（2）

目標設計：1、分析實例，了解反比例函數在實際生活中的應用；

2、能夠運用所學知識分析解決生活實例。

重點難點：培養學生分析問題、解決問題的能力。

探究準備：投影片、作圖工具等。

探究過程：

一、復習導入：

分別寫出下列問題中兩個變量間的函數關系式，指出哪些是正比例函數，哪些是反比例

函數，哪些既不是正比例函數，也不是反比例函數。

1、小紅1分鐘可以制作2朵花，x分鐘可以制作y朵花；

2、體積為100cm，的長方體，高為hem時，底面積為Sen?;

3、用一根長50cm的鐵絲彎成一個矩形，一邊長為xcm,面積為yen?；

4、小李接到對長為100m的管道進行檢修的任務，設每天能完成10m,x天后剩下的未

檢修的管道長為ym。

二、新知探究：

題例：

1、請你編寫一道反比例函數在實際生活中的應用題，并運用反比例函數的性質進行解

答。

分析:

強調須用“反比例函數的性質進行解答”。如：

小明家離學校S千米，上學時，小明每小時走％千米，他弟弟每小時走V2千米。

（1）小明和弟弟上學所用的時間t（小時）與他們各自的速度V（千米/時）是反比例函

數嗎？如果是，請寫出他們各自的解析式；如果不是，請說明理由；

⑵如果乂>匕，那么他們倆誰花的時間少？試說明理由。

解：⑴均是反比例函數，解析式分別為

■(V>0)

⑵如果匕>匕，那么小明花的時間少。因為在反比例函數r=士中，S>0，且匕>%,

所以/隨V的增大而減小。

2、為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒。已知藥物燃燒時，室內每立

方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例；藥物燃燒后，y與x成反比例。

觀測得藥物8分鐘燃燒完畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量為6毫克。請根據題中提供

的信息，解答下列問題：

⑴藥物燃燒時，y關于x的函數關系式為，自變量x的取值范圍

是,藥物燃燒后，y關于x的函數關系式為,此時自變量x的取值

范圍是。P

⑵研究表明，當空氣中的每立方米含藥量低于1.6毫克6--------yi

時，學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經過―/卜

一分鐘后，學生才能回到教室；/!

⑶研究表明，當空氣中的每立方米含藥量不低于3毫克/,

且持續時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，邛8二

那么此次消毒是否有效？為什么？

分析：

⑴由圖中（8,6）既在正比例函數圖象上，也在反比例函數圖象上，很容易求出它們的

解析式；y=-x,（0<x<8）；y=一，（x>8）；

4x

⑵將y=1.6代入反比例函數解析式中求出至少需要的時間；（y=1.6時，1.6=史即

x=3O（分鐘））；

⑶將y=3分別代入兩函數解析式中，求出相應的兩個X值，再求其差并與10比較，若

達到或超過10,則本次消毒有效；否則無效。（把y=3代入y=3x中，得x=4；把y=3代

4

入>=史中，得x=16。：16—4=12>10,.?.本次消毒有效）

三、練習：

你吃過拉面嗎？實際上在做拉面的過程中，就滲透

著數學知識。一定體積的面團做成拉面，面條的總長度

y（m）是面條粗細（橫截面積）S（〃⑺『的反比例函數,

P(4,32)

其圖象如圖:

⑴寫出y與S的函數關系式；

⑵當面條粗16〃加時，求面條的總長度是多少？

四、小結：

1、讀懂題意，看清圖象；

2、特別注意自變量的取值