專(zhuān)題五二次函數(shù)綜合題類(lèi)型五相似三角形問(wèn)題(2020.28)二階

綜合訓(xùn)練1.如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)是D，直線CD交x軸于點(diǎn)E，連接AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)M.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；第1題圖解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－3，0)和B(1，0)，∴解得

第1題圖∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2＋2x－3，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－1，C(0，－3).設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝ax＋d(a≠0)，將A(－3，0)，C(0，－3)代入，得

解得

∴直線AC的表達(dá)式為y＝－x－3，令x＝－1，得y＝－2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，－2)；(2)N是直線AC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NH∥y軸交AC于點(diǎn)H，求NH的最大值；第1題圖(2)由(1)知直線AC的表達(dá)式為y＝－x－3.∵點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n，n2＋2n－3)，∵NH∥y軸，∴點(diǎn)H與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)相同，∵點(diǎn)H是直線AC上一點(diǎn)，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(n，－n－3)，∴NH＝－n－3－(n2＋2n－3)＝－n2－3n＝－(n＋

)2＋

，∵－1<0，－3<n<0，∴當(dāng)n＝－

時(shí)，NH有最大值，最大值為

；(3)線段CE上是否存在點(diǎn)F，使得△FEO與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第1題圖(3)存在．點(diǎn)F使得△FEO與△ABC相似．∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，－4).設(shè)直線CD的表達(dá)式為y＝px＋q(p≠0)，將點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別代入，得

解得

∴直線CD的表達(dá)式為y＝x－3.當(dāng)y＝0時(shí)，即x－3＝0，解得x＝3，∴E(3，0).∵OE＝OC＝OA＝3，∴∠OEC＝∠OAC＝45°，在Rt△OAC中，AC＝＝3.如解圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，連接OF，分兩種情況討論：①當(dāng)△ABC∽△EFO時(shí)，

＝

，即

＝

，解得EF＝2.第1題解圖在Rt△EFG中，∠OEC＝45°，∴GF＝EF·sin45°＝2×＝2，∴GE＝GF＝2，∴OG＝OE－GE＝3－2＝1，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，－2)；②當(dāng)△ABC∽△EOF時(shí)，

＝

，即

＝

，解得EF＝

.在Rt△EFG中，∠OEC＝45°，∴GF＝EF·sin45°＝

×

＝

，∴GE＝GF＝

，第1題解圖∴OG＝OE－GE＝3－

＝

，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(

，－

).綜上所述，存在點(diǎn)F使得△FEO與△ABC相似，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，－2)或(

，－

).第1題解圖2.(2023錦江區(qū)模擬)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)，點(diǎn)B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，－3m)(m＞0)，頂點(diǎn)為D.(1)如圖①，當(dāng)m＝1時(shí)，①求該二次函數(shù)的解析式；第2題圖解：(1)①當(dāng)m＝1時(shí)，C(0，－3).∵拋物線與x軸交點(diǎn)為A(－3，0)，B(1，0)，∴二次函數(shù)的解析式為y＝a(x＋3)(x－1)，將點(diǎn)C(0，－3)代入上式，得a×3×(－1)＝－3，∴a＝1，∴二次函數(shù)的解析式為y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3；②點(diǎn)P為第三象限內(nèi)的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，OP相交于點(diǎn)Q，求

的最大值；第2題圖②二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x－3，則設(shè)P(x，x2＋2x－3)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，由題意可得

解得

∴直線AC的解析式為y＝－x－3，如圖，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交AC于N，則PN∥OC，N∴點(diǎn)N(x，－x－3)，∴PN＝(－x－3)－(x2＋2x－3)＝－x2－3x.∵PN∥OC，∴△PQN∽△OQC，∴＝

，∴＝

＝

，∵a＝－

<0，－3<x<0，∴當(dāng)x＝－

時(shí)，

有最大值，最大值為

；第2題圖N(2)如圖②，當(dāng)m取何值時(shí)，以A，D，C為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似．第2題圖(2)∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)B的拋物線解析式為y＝a(x＋3)(x－1)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得－3m＝a×3×(－1)，∴a＝m，∴y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，－4m)，如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∟F∟E則DE＝4m，OE＝1，AE＝OA－OE＝2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，則DF＝1，CF＝OF－OC＝4m－3m＝m.第2題圖∟F∟E由勾股定理得，AC2＝OC2＋OA2＝9m2＋9，CD2＝CF2＋DF2＝m2＋1，AD2＝DE2＋AE2＝16m2＋4，∵△ACD與△BOC相似，且△BOC為直角三角形，∴△ACD必為直角三角形，①若點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，則AD2＋CD2＝AC2，即16m2＋4＋m2＋1＝9m2＋9，整理得m2＝

，∵m＞0，∴m＝

，此時(shí)，可求得△ACD的三邊長(zhǎng)為AD＝2，CD＝

，AC＝

，△BOC的三邊長(zhǎng)為OB＝1，OC＝

，BC＝＝

，兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊不成比例，不可能相似，此種情況不存在；②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則AC2＋CD2＝AD2，即9m2＋9＋m2＋1＝16m2＋4，整理得m2＝1，∵m＞0，∴m＝1，此時(shí)，可求得△ACD的三邊長(zhǎng)為AD＝2，CD＝，AC＝3；△BOC的三邊長(zhǎng)為OB＝1，OC＝3，BC＝，第2題圖∟F∟E∵

＝