第9次課2學時

第二章導數與微分

上次課復習：

本次課題（回力教材章節題目）：第二章導數與微分

第一節導數的概念

教學要求：理解導數的定義，理解導數的幾何意義，掌握函數在一點可導與連續的區別，會

利用導數的定義求一些簡單函數的導數

重點：導數的定義，可導與連續的聯系和區別

難點：導數的定義及不同形式的掌握

教學手段及教具：板演式，使用電子教案

講授內容及時間分配：

引例15分鐘

導數的定義25分鐘

倒數的幾何意義10分鐘

連續與可導的關系15分鐘

求導舉例35分鐘

習題2—1345(57)91112131518

課后作業

參考資料高等數學同步精講一書

導數和微分是高等數學中的重要內容之一，也是今后討論一切問題的基礎。導數反映出函數相對

于自變量的變化快慢的程度，而微分則指明當自變量有微小變化時函數大體上變化多少，它從根本上

反映了函數的變化情況。本章主要學習和討論導數和微分的概念以及它們的計算方法，以后將陸續的

介紹它們的用途。

§2、1導數的概念

一、引例

1、切線問題：切線的概念在中學已見過。從幾何上看，在某點的切線就是一直線，它在該點和曲線

相切。準確地說，曲線在其上某點尸的切線是割線PQ當。沿該曲線無限地接近于尸點的極限位置。

設曲線方程為y=/(%),設P點的坐標為POO，%)，動點。的坐標為Q(x,y),要求出曲線

在尸點的切線，只須求出尸點切線的斜率左。由上知，左恰好為割線PQ的斜率的極限。我們不難求

得尸。的斜率為：/⑴一小。)；因此，當PFQ時，其極限存在的話，其值就是左，即

x-x0

XTX。X-xo

若設a為切線的傾角，則有左=tanc。

2、速度問題：設在直線上運動的一質點的位置方程為s=s?)(/表示時刻)，又設當t為％時刻時，

位置在s=s(fo)處，問：質點在f=4時刻的瞬時速度是多少？

為此，可取。近鄰的時刻t,t>t0,也可取在由"到/這一段時間內，質點的平均速度

為,顯然當/與越近,用代替'的瞬時速度的效果越佳,特別地，當

tT。t—t。

ff玲時，S⑺T&)T某常值V。，那么Vfl必為。點的瞬時速度，此時，

tTo

二、導數的定義

綜合上兩個問題，它們均歸納為這一極限lim—/(x。)(其中X-與為自變量X在X。的

XTXoX-xo

增量，/(X)-/(/)為相應的因變量的增量)，若該極限存在，它就是所要講的導數。

定義：設函數y=/(x)在/點的某鄰域內有定義，且當自變量在/點有一增量AX(%+―仍

在該鄰域中)時，函數相應地有增量Ay,若增量比極限：lim包即lim〃“)一八"°)存在,就稱

“一。Ax%-%。x-x0

函數y=/(x)在x。處可導，并稱這個極限值為y=/(x)在x=x0點的導數，記為廣(為)，

如。或黑『。

即/'(/)=lim/(x)―/(x。)等等,這時，也稱y=/(x)在x=X0點可導或有導數，導數存在。

%-%oX-XQ

注1：導數的常見形式還有：/(Xo)=lim/(/+―/Go)；

-Ax

［(X。)；

7/5)h

/(Xo)=lim一丸)；(h即自變量的增量Ax)

°Dh

2：”反映的是曲線在［/，x］上的平均變化率，而/■'(%)=電|\：是在點與的變化率，它反映了

Axdx''0

函數y=/(x)隨x->/而變化的快慢程度。

3：這里，與與|>而中的牛與，是一個整體記號，而不能視為分子辦或療與分母dx,待

到后面再討論。

4：若極限lim包即lim"x)-"x。)不存在,就稱y=/(x)在x=x0點不可導。特別地，若

^^-0AxX7X。x-x0

lim—=00,也可稱y=/(x)在x=%的導數為oo,因為此時y=/(x)在/點的切線存在，它

A10A%

是垂直于X軸的直線X=X。o

若y=/(x)在開區間/內的每一點處均可導，就稱y=/(x)在/內可導，且對X/xw/,均有

一導數值/''(X),這時就構造了一新的函數，稱之為y=/(x)在/內的導函數，記為y=/'(x),或

y,電，df(X)等。

'dxdx

,f(x+Ax)-y(%),f(x+/i)-y(x)

事實上，y'=rhm-------------匕—或y'=hm-----------幺雪

Ax->0AxhfOh

注5：上兩式中，X為/內的某一點，一旦選定，在極限過程中就為不變，而Ax與〃是變量。但在導

函數中，%是變量。

6：y=/(x)在x=x0的導數廣(工0)就是導函數y=/'。)在x=Xo點的值，不要認為是

7：為方便起見，導函數就稱為導數，而/'(4)是在/點的導數。

【例1】設/'(0)=0,證明欲=那么A=/'(0)。

0%

證明：因為――~)―――—~=――~lim~)―――———A

x-0%%—0x-0

所以A=/(0)。

若/(X)在X。點可導，問：于(x0+h)—于(x°-h)

【例2】

h

f(x0+h)-f(xQ-h)/(x0+/i)-/(x0)/(x0)-/(x0-h)

斛：--------------------=-------------------1---------------------------------

hhh

―廣(%)+/(%)=2/(X。)。

反過來，亦證明：/(/+")一一上一"；小)。

2h

三、求導數舉例

【例1】求函數y(x)=c(。為常數)的導數。

解：7?'(x)=lim/(X+乙—八必=二=0即(C)，=0

小。hh

注：這里是指/(九)=。在任一點的導數均為0,即導函數為0。

［例2］求f(x)=xnCn為正整數)在x=〃點的導數。

解：/'(a)=lim-...-=lim(xn-1+axn~2+....+an~2x+an~x)-nan~x即/'(〃)=nan~l,

x—>aJQ—ax—>a

亦即(龍")'|『="尸，若將。視為任一點，并用工代換，即得尸(X)=(X")'=WC〃T

注：更一般地，/(x)=x"(〃為常數)的導數為尸(x)=/"T,由此可見，

(V^)'=彳―,(一)'=(XH0)。

27xxx

【例3】求/(%)=sinx在％=a點的導數。

切a，、rsin%-sin。nnz.

解：f(a)=hm----------=cosa,即(sinx)x=a=cosa

i%一Q

同理：若視a為任意值，并用x代換，使得/'(x)=cosx,即(sin%)'=cos%。

r

注：同理可證：(cosx)=-sinxo

【例4】求/(%)=優(〃>0,〃w1)的導數。

解：尸（x）=lim/（X+/?）-/（也=11mg"'_優=4.lim

力90h0—°h2°h

xx

所以（ay=ainao

注：特別地，(/)'=?"

【例5】求/(x)=bg°x(a>0,awl)的導數。

解：/?,/)=lim2+0T(x)=描bga(x+。T%x==叫"。+?

/ifohA—>ohA—>oh

r11k：11

=hm--log(l+-)/,=-loge=——。

「。冗flxxflxlna

注1：等最后講到反函數求導時，可將log/作為優的反函數來求導；

2：一般地說，求導有四步：

一、給出Ax；

-算出Ay；

三、求增量比空；

Ax

四、求極限。

3、(In%)'——o

x

【例6】討論/(X)=W在X=0處的導數。

解：考慮lim，(0+7)一^21=Jim—=limsgn/z,由§1.4例4知limsgn/z不存在，故國在

oh力.。h入.o11

x=0點不可導。

然而，limsgn/z=一1及limsgn/z=1,這就提出了一個單側導數的問題，一般地，若

0-0/z->0+0

lim/(—(X。),即11m—)[11m/(—。)即

/if0+0h%f%o+OX—XQ九一0-0h

lim/(x—(x。)]存在，就稱其值為/(x)在x=x0點的右(左)導數，并記為

X-Xo

/+(%0)，%)),即以小二艘J-2一"/)=叫

/z-0+0h%->%o+OX—XQ

[f.(%)L嗎1c""———=lim—]o

無fo—oh%f%o—ox-x0

定理1：/(%)在%=/點可導0/(%)在％=/點的左導數和右導數均存在且相等，即

/.(Xo)=/+(x0)o

注1：［例6］/(x)的左導數為-1,右導數為1。因為一1W1,所以在x=0點不可導；

2：［例6］也說明左可導又右可導，也不能保證可導；

3：左、右導數統稱為單側導數；

4：若了(%)在(。力)內可導，且在x=a點右可導，在x=6點左可導，即7+(a),￡(A)存在，就

稱/(x)在［a,切上可導。

四、導數的幾何意義

由前面的討論知：：函數y=/(x)在x=/的導數/'(與)就是該曲線在x=/點處

的切線斜率左，即左=/'(x()),或/'(x())=tana,a為切線的傾角。從而，得切線方程為

JT7T

y-X)=/(％0)(》一叫))。若/(%)=co,na=e或一Q=＞切線方程為：x=x()。

過切點「(叫)，兒)，且與尸點切線垂直的直線稱為y=/(x)在此點的法線。如果

r(/)#0,法線的斜率為———，此時，法線的方程為：

/(%)

1,、

y-y=--^—(x-x).

0/(%)0

如果/'Oo)=0,法線方程為X=Xo。

【例7】求曲線y=/在點尸(飛,如)處的切線與法線方程。

解：由于(尤3)［『=3司-=302,所以＞=/在Pao，%)處的切線方程為：

當X。N0時，法線方程為：y—X)=-----(%-/)

..3/2

當％)=0時，法線方程為：x=0o

【例8】求等邊雙曲線y=!在點處的切線的斜率，并寫出在該點處的切線方程和法線方程。

解根據導數的幾何意義知道，所求切線的斜率為

K=?匕由于曠=〔［=一《，于是

吊=—z-=-4從而所求的切線方程為

九」

y-2=-4（x一〈）即4%+y一4二0

所求的法線斜率為k=--=-于是所求的法線方程為

2k[4

y—2=—fx——j,即2%—8,+]5=0

五函數的可導性與連續性的關系

定理2：如果函數y=/(x)在x=x0點可導，那么在該點必連續。

Ay

證明：由條件知：hm=/(%0)是存在的，其中Ax=x—x(),Ay=/(x)—/(x()),

Arf0AX

Ay

AX

由§1、5定理i(i)n=f'(x0)+a(a為無窮小)=>Aj=f'(x0)Ax+tzAx

顯然當Ax—>0時，有Ayf0,所以由§1、9定義1",即得函數y=/(x)在x=x0點連

續，證畢。

注：本定理的逆定理不成立，即連續未必可導。

反例：y=W在x=0點連續，但不可導。

【例9】求常數見。使得/(%)=<-在％=0點可導。

ax+bx<0

解:若使/(%)在％=0點可導，必使之連續，故lim/(%)=limjf(x)=/(0)

x->0+x-?0-

=>e°—a-0+b=>b—la

又若使/(x)在尤=0點可導，必使之左右導數存在，且相等，由函數知，左右導數是存在的,

且￡(。)=既"*入，斗。)=既皆入°=1

所以若有a=1,則￡(0)=力(0),此時/Xx)在x=0點可導，所以所求常數為

a=b=lo

由以上討論知，函數在某點連續是函數在該點可導的必要條件，但不是充分條件。

小結本節講述了導數的定義、導數的幾何意義、函數可導和連續的關系。同學們一定要掌握和理

解導數的定義，并會用定義求一些簡單函數的導數。

第10次課2學時

0§2、2函數的和、差、積、商的求導法則

上一節學習了導數定義，利用定義可求一些簡單的函數的導數。但對比較復雜的函數直接用

上次課復習：導數的定義

導數的幾何意義

函數的可導與連續的關系

導數定義的幾種不同形式

0

本次課題（或教材章節題目）第二節函數的和、差、積、商的求導法則

教學要求：掌握導數的四則運算法則，掌握基本初等函數的的求導公式

會計算初等函數的導數

重點：求導法則

難點：法則的證明

教學手段及教具：板演式教學，以講授為主，使用電子教案

講授內容及時間分配：

函數和、差、的求導法則15分鐘

函數的積的求導法則15分鐘

0函數的商的求導法則25分鐘

運算法則的應用舉例25分鐘

處理習題1——1120分鐘

0習題2—22、(258121419)3、(3)

課后作業

參考資料高等數學同步精講一書

定義求導往往很困難。下面介紹求導數的幾個基本法則和公式。

法則1:若函數“（X）和v（x）在點項）都可導，則/（X）="（X）土v（x）在點也可導，且

/（%0）=/（無0）土/（X0）°

即兩個可導函數之和（差）的導數等于這兩個函數的導數之和（差）。

工叩r/(x)-/(xo)±v(x)]-[z/(x)±v(x)]

證明：Jim----------=lrim----------------0-......-0

x-XQx-XQ

w(x)-z/(x0)v(x)-v(x0)

二lim---------—±lim--------—=u(x0)±v(x0)

%-與x-XQx-XQ

所以尸(%o)=/(/)±M(/)o

注⑴：本法則可推廣到任意有限個可導函數的情形。

⑵：本法則的結論也常簡記為(〃±V)'=Ur±Vfo

例如(》+v-w)-u+v'-w'

法則2：若w(x)和v(x)在x=/點可導，則/(x)="(x)v(x)在與點可導，且有

尸(%0)=/(%)v(x0)+w(x0)v(x0yo

、丁口目rf(x)—于w(x)v(x)-w(x)v(x)

證明：lim----------=lim------------o-....o-

x-XQx-XQ

山^w(x)v(x)-w(x0)v(x)+w(x0)v(x)-w(x0)v(x0)

a%0x-XQ

M(無)一M(無0)/、「?/V(X)-V(X0)

=lim---------—v(x)+limz/(x0)---------

x-XQx-XQ

w(x)-z/(x0)/、I/、rV(x)-V(xo)

=lim----------hmv(x)+M(X0)lim---------

X7X。X-XoXfX。X7X。X-xo

=u\x0)v(xo)+M(xo)v'(Xo)

，，

即/(X。)=M(xo)v(xo)+i/(xo)v(xo)

函數積的求導法則：兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數與第二個因子的乘積，

加上第一個因子與第二個因子的導數的乘積。

注⑴：若取v(x)三C為常數，則有：(cu)'=cu';

⑵：本法則可推廣到有限個可導函數的乘積上去，例如：

(uvws)'=u'vws+uv'ws+uvw's+avwy'等。

法則3：若〃(x),v(x)都在x=Xo點可導，且v(Xo)wO,則/(x)=凹區在點也可導，且

v(x)

M'(XO)V(XO)-M(XO)V'(XO)

u(x)u(x0)

,/(x)-/(^o)v(x)v(Xo)u(x)v(x)-u(x)v(x)

證TB明R：Jrim----------=Jrim----------=Jrim------0-------0-----

Xf*oX-Xoax。X-XoXH。(A：-XO)V(X)V(A：O)

rM(X)-M(X0)1V(X)-V(X0)11

=Jim[-----------------M(X0)--------------------]

XT'Ox-xov(x)x-xov(x)v(xo)

v(x0)V(/)

，，

M(xo)v(xo)-w(%o)v(xo)

2

v(x0)

M，(x)v(x)-w(x)v，(x)

即/(%)=oooo

2

v(x0)

函數商的求導法則：兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母的乘積減去分母的導數與分

子的乘積，再除于分母的平方。

注⑴：本法則也可通過/(X)=M(X)-‘，及［」一］的求導公式來得;

v(x)v(x)

⑵：本公式簡化為;

VV

(3)：以上法則廣3中的/，若視為任意，并用X代替，使得函數的和、差、積、商的求導函數公

式。

【例1】設/(x)=x+2y[x，求廣(X)。

解：f'(x)=(x+2^[x--j=y=(x)f+-(—/=)'=1+—,—；=-2(--)?—j=

G6262T7

1+vi+>

【例2】設/(%)=%e*ln%,求/'(%)。

解：f\x)=(%e*In%)'=(x)rexIn%+x(exyinx+xex(Inx)r

=exInx+xexInx+xex-—=e%(l+lnx+xlnx)。

x

【例3】y=tan%求;/

解

22

,_/J(sinxA_(sinx)cos%-sinx(cos%)_sinx+cosx_1_

y=(tanx)——-二—二--二sec2x

VcosxJCOSXCOSCOSX

即(tanx)'=sec?x正切函數求導公式

【例4】丁=560%求；/

小，//1、⑴cosX-1.(cosSinx

解y=(secx)=----=--------T-3-----=----=secxtanx

^cosx)cosXCOSX

即(sec%)=sec%tanx正割函數求導公式

用類似的方法，還可求得余切函數及余割函數的求導公式：

第垣次課工學時

注：本頁為每次課教案首頁

0

§2.3反函數的導數、復合函數的求導法則

上次課復習：導數的四則運算法則

基本初等函數的求導公式

本次課題(或教材章節題目)：第三節反函數的導數、復合函數的求導法則

教學要求：掌握反函數的求導法則，掌握復合函數的求到發則，會求常見的反函數和復合函

數的導數，會求初等函數的導數

重點：反函數的求導復合函數的求導

難點：復合函數的求導

教學手段及教具：板演式教學，使用電子教案

講授內容及時間分配：

反函數的求導法則20分鐘

復合函數的求導法則30分鐘

反三角函數和對數函數的導數20分鐘

復合函數的求導法則應用舉例20分鐘

習題2--31（7、9、10）2（7、8、9、10）3（5、7、8）45

課后作業

參考資料高等數學同步精講一書

一、反函數的導數

定理1：設y=/(x)為x=°(y)的反函數，若°(y)在九的某鄰域內連續，嚴格單調，且

9'(%)/0,則/Xx)在/(即/(%)點有導數)，且尸=

9(%)

、工用r/(x)—/(xo)y-y1

證明：lim----------=lrim-------0----=lrim———--------

%?%。x-x0y-%0(y)一夕(y())二%。(丁)一。(%)

y一%

---------7~\---；r=--—，所以f'(x0)=-—o

11m9(y)一4(為)。(為)。(先)

fy-y0

注⑴：x-/<=>y-y(),因為°(y)在九點附近連續，嚴格單調;

(2)：若視為為任意，并用x代替，使得/(%)=「^或包=」一，其中蟲，蟲均為整體

°(p'(y)dx(dxdxdy

dy

記號，各代表不同的意義；

(3)：/(無)和d(y)的"均表示求導,但意義不同；

(4)：定理1即說：反函數的導數等于直接函數導數的倒數；

(5)：注意區別反函數的導數與商的導數公式。

【例1】求y=arcsinx的導數，

解：由于y=arcsinx,xe[-1,1],是兀=5111,，ye[——，一]的反函數，由定理1得:

71兀

,.v1111

(arcsinx)=------=-----=.==/。

(siny)'cosyJl—sin2yJl——

注⑴：同理可證：(arccosx)'=——,,(arctanx)'--7，(arcctan=---

71-x21+，1+x

(2)：arcsinx+arccoStY=arctanx+arcctanx=—。

2

【例2】求y=logaX的導數(a>0,a/I)。

解：利用指數函數的導數，自己做。

二、復合函數的求導公式

22x

到目前為止，對于Intanx,ex,sin----那樣的函數我們還不知其可導否，若可導怎樣

1+%

求導數。這就是要學習的復合函數的求導問題。

復合函數的求導問題是最最常見的問題，對一復合函數往往有這二個問題：1.是否可導2.即使可

導，導數如何求？復合函數的求導公式解決的就是這個問題。

定理2(復合函數求導法則)：如果u=(p(x)在X=/點可導，且y=/(沅)在M=uQ=9(項))點

也可導，那么，以y=/(〃)為外函數，以〃=9(x)為內函數，所復合的復合函數

y=/(。(％))在%=/點可導，且乎|戶&=/'(%)9'(與),或

dx]

-4=/(劭)9’(4)

?/(9(%))-/(9(/))/(M)-/(M)9(x)-。(%)

RBr證明：Um--------r---------=U0m------------------------

Xf%oX-Xoa%0U-UQx-XQ

U

=lim于(-(u。).lim2“)-f\u0).9,(x0)

U-UQX7X。X-xo

所以"(9(x))r」=((Mo)d(Xo)。

注⑴：若視與為任意，并用工代替，便得導函數：

df(翌))=((夕(初.(p'{x},或"(e(x))]'=f'(<p(x))-(p'(x)

ax

dy_dydu

,o

dxdudx

(2)：/■'W(x))與"(9(x))]‘不同，前者是對變量M=9(X)求導，后者是對變量％求導。

(3)：注意區別復合函數的求導與函數乘積的求導。

(4)：復合函數求導可推廣到有限個函數復合的復合函數上去，如：

"(g-=/(g(〃(x))>g'(h(x)).h<x)等。

【例3】求y=arctan—的導數。

x

解：y=arctarJ"可看成arctanw與M=工復合而成，

xx

r

(arctanw)=,(』)'=--y,=>y'=(arctan』)'=~\----(--y)=——^-o

1+WXXX]+(與2Xl+x

X

【例4】求)=(〃為常數)的導數。

解：y==e""是y=eu,u=〃?v,v=Inx復合而成的。

所以yf=(x")'=(4)，?(//v)，?(Inx)，==pi.xA-1o

xx

這就驗證了前面§2、1的[例4]。

由此可見，初等函數的求導數必須熟悉(i)基本初等函數的求導；(ii)復合函數的分解；(iii)復

合函數的求導公式；只有這樣才能做到準確。在解題時，若對復合函數的復合過程非常熟悉，可不必

寫出中間變量，而直接寫出結果。

【例5】y=Jl——，求v。

解y'=(71-x2y=[(i-/)2y=：?/i.(i-犬y=o

2Vl-x271-%2

【例6】y=eg^,求V。

r

解：.(a-sinx)-71^1(l-sinx)

2Vl-sinx

_—cos%_1cosx

2Vl-sinx271-sinx

【例7】y=arcsin(2cos(x2-1)),求y'。

解：y，=(arcsin(2cos(x2-l))f-/1=r(2cos(x2-1))F

Vl-[2cos(x2-l)]2

,-2[-sin(x2-l)]-(x2-1/

Jl-4cos2(/-1)

-2sin(x2-1)4xsin(x2-1)

Jl-4cos2(%2-1)Jl-4cos2(/-1)

x

【例8】y=ln(ln(lntan—)),求)

|x|

解：y，=----------(ln(lntan—))，=---------------^(lntan$'

i“x、2i八九、

ln(lntan-)ln(lntan-)Intan--

2

11[1]111

22xx,x,,x

cos—tanIntanInIntansmxintanjInlntanj

2222

x-~x11

[例9]shrx=(-e--ey=-(ex-e-x)r=~[(ex)f-(e-xy]

1

=-[ex+e-x],

2[eA-g-A(-l)]2

即s/z'x=Mx。同理，chfx=shx0

【例10]y=ln(x+A/1+X2),求y'。

解：yr=[ln(x+71+x2)]'=----；?(x+Jl+x2y

x+A/1+%2

1八12x1

----/(1+-)=/=(arshx)’。

X+Jl+%22

上次課復習：

本次課題（或教材章節題目）：第四節初等函數的導數、雙曲函數和反雙曲函數的導數第五

節高階導數

教學要求：會計算雙曲和反雙曲函數的倒數、掌握萊布尼茲公式

會求簡單的高階導數

重點：初等函數的求導問題

難點：握萊布尼茲公式

教學手段及教具：板演式，使用電子教案

講授內容及時間分配：

初等函數的求導問題20分鐘

雙曲函數和反雙曲函數的導數25分鐘

高階導數35分鐘

處理前幾節課的部分習題20分鐘

習題2--42(38)3(29)習題2-51(3910)10(35)11(3)

課后作業

參考資料高等數學同步精講一書

1

同理：(ln(x+J%2_]y=―r=(^cLvchx)o

第次課2學時

注：本頁為每次課教案首頁

0

§2、4初等函數的求導公式雙曲函數與反雙曲函數的導數

一、初等函數的求導問題

1、數和基本初等函數的求導公式:

(1)(。)'=0(2)(/)'=必4T

(3)(sinx)r=cosx(4)(cosx)r=-sinx

(5)(tan%),=sec2x(6)(cotx)f=-esc2x

(7)(secx)r=secx-tanx(8)(esc%)'=-esc%?cot%

(9)(ax)f=axina(10)(ex)f=ex

(11)(log^x)f=--—(12)(lnx)r=—

—xlnax

1

(13)(arcsinx)'=.(14)(arccosx)r=-

(15)(arctanx)'=-(16)(arccotx)'=——二

1+%1+X

(17)(shx)f=chx(18)(chx)'=shx

(19)(thx)r=

ch2x

2r

(20)(arcshxY=(ln(x+Vx+l))=/1

G+i

(21)(arcchQ'—(ln(x+V-X2—1))(——/

(22)(arcthx)'=(—In^+X)'=—-

21-x1-x2

2、函數的四則運算的求導法則：

設〃="(x),v=v(x),則

(i)(〃土v)'-ur±V(ii)(c式)'=cur

、/、,,，/、/"、,UV-UV/八、

(ziii)(〃v)-uv+uv(iv)(—)=---------(v0)

VV

3、復合函數的求導法則：

設y=/("),“=。(％)=y=/(^(x))的導數為：蟲二包.”或

axduax

"(9(x)1=/W))-9'(x)或=竽|i'可

axdu1ax

二、雙曲函數與反雙曲函數的導數

雙曲函數和反雙曲函數都是初等函數，它們的導數都可有前面的求導公式和求導法則求出。

ex—e~xz"ex-e-x>/+二，

由snx=——-——，有（s/ix）=、2J-------=chx

2

所以，雙曲正弦的求導公式為(s/rr)=chx

X.-X

類似地，由chx=——-——得（chx）=shx

由thx=-得（加x）'="x-；hx即（湫/=1

ch2x

1

T77

1

1+x/\，1

得（"血）=-——-

21-x

以上幾個公式可由同學們自己推導出來。

§2.5高階導數

ds

前面講過，若質點的運動方程s=s?),則物體的運動速度為v?)=s'Q),或v?)=—，而

dt

加速度a(t)是速度v(f)對時間t的變化率，即a(t)是速度丫。)對時間f的導數:

a=a(t)=—=>a=一(一^)或a=M?)=(s'(/))',由上可見，加速度a是s?)

dtdtdt

的導函數的導數，這樣就產生了高階導數，一般地，先給出下面的定義：

定義：若函數y=/(x)的導函數/''(X)在與點可導，就稱/■'(%)在點/的導數為函數y=/(x)在

點與處的二階導數，記為廣'(項))，即Um=/〃(/)，此時，也稱函數

X―

x-x0

y=/(%)在點/處二階可導。

注⑴：若y=/(x)在區間/上的每一點都二次可導，則稱/(x)在區間/上二次可導，并稱

%e/為/(%)在I上的二階導函數，簡稱二階導數;

⑵：仿上定義，由二階導數/■"(%)可定義三階導數/'"(%),由三階導數/Jx)可定義四階導數

尸4)(?，一般地，可由“一1階導數/("T)(x)定義"階導數—")(%)；

M(n)

⑶：二階以上的導數稱為高階導數，高階導數與高階導函數分別記為：f(x0),y(x0),

與"⑶,嚴⑺有dnf

nx=x或

dxl°dxn

（4）:開始所述的加速度就是S對f的二階導數，依上記法，可記&=r或。=5"?）;

dt

（5）：未必任何函數所有高階導數都存在；

（6）：由定義不難知道，對函數y=/（x）,其導數（也稱為一階導數）的導數為二階導數，二階導數的

導數為三階導數，三階導數的導數為四階導數，一般地，階導數的導數為〃階導數。因

此，求高階導數是一個逐次向上求導的過程，無須其它新方法，只用前面的求導方法就可以

了。

【例1】y=ax2+bx+c,求y",y",了⑷。

解：y'-2ax+b=>y"-2a=>ym-0,y⑷=。。

【例2】>=1,求各階導數。

解：y'=",y"^ex,y"=e"顯然易見，對任何“，有；/"）=",

即（1）（"）=e'

【例3】y=sinx,求各階導數。

,?/兀、

解：y=sinx,y-cosx=sin(x+—)

一般地，有y（〃）=sin（九+〃］）,即（sin%）（〃）=sin(x+n

同樣可求得（COSX嚴=cos（x+咤）。

【例4】y=ln（l+x）