x屆高三數(shù)學一輪復習（知識點歸納與總結）函數(shù)、導數(shù)及其應用x節(jié)函數(shù)及其表示[備考方向要明了]考什么怎么考1.考查方式多為選擇題或填空題,1.了解構成函數(shù)的要素,了解映射的概念,2.函數(shù)的表示方法是高考的常考內容,特別是圖象法不解析式更是高考的常客,如x年新課標全國T102.在實際情境中,會根據(jù)不同的等,需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函3.分段函數(shù)是高考的重點也是熱點,常以求解函數(shù)數(shù),值,由函數(shù)值求自變量以及不不等式相關的問題為主,如x年xT3等.3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.[歸納?知識整合]1(函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B是兩個非空數(shù)集A，B是兩個非空集合A，B對應關系按照某種確定的對應關系f，對于集合按某一個確定的對應關系f，對于集合f:A?BA中的任意一個數(shù)x，在集合B中有A中的任意一個元素x在集合B中都唯一確定的數(shù)f(x)和它對應有唯一確定的元素y與之對應f:A?B為從集合A到集合B的一個對應f:A?B為從集合A到集合B的名稱函數(shù)一個映射記法y,f(x)，x?A對應f:A?B是一個映射[探究]1.函數(shù)和映射的區(qū)別與聯(lián)系是什么,提示:二者的區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合～可以不是數(shù)集～而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集～二者的聯(lián)系是函數(shù)是特殊的映射(2(函數(shù)的有關概念(1)函數(shù)的定義域、值域:在函數(shù)y,f(x)，x?A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x?A}叫做函數(shù)的值域(顯然，值域是集合B的子集((2)函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應關系(3(相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)([探究]2.若兩個函數(shù)的定義域與值域都相同，它們是否是同一個函數(shù),提示:不一定(如函數(shù)y,x與y,x，1～其定義域與值域完全相同～但不是同一個函數(shù),再如y,sinx與y,cosx～其定義域都為R～值域都為[,1,1]～顯然不是同一個函數(shù)(因為定義域和對應關系完全相同的兩個函數(shù)的值域也相同～所以定義域和對應關系完全相同的兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)(4(函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法有:解析法、列表法和圖象法(5(分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)([自測?牛刀小試]1((教材習題改編)給出下列五個命題，正確的有()?函數(shù)是定義域到值域的對應關系;?函數(shù)f(x),x,4，1,x;2?f(x),5，因這個函數(shù)的值不隨x的變化而變化，所以f(t，1)也等于5;?y,2x(x?N)的圖象是一條直線;0?f(x),1與g(x),x表示同一個函數(shù)(A(1個B(2個C(3個D(4個,x,4?0～,,解析:選B由函數(shù)的定義知?正確,?錯誤,由得定義域為?～所以不1,x?0～,,2是函數(shù),因為函數(shù)f(x),5為常數(shù)函數(shù)～所以f(t，1),5～故?正確,因為x?N～所以函數(shù)y,2x(x?N)的圖象是一些離散的點～故?錯誤,由于函數(shù)f(x),1的定義域為R～函數(shù)0g(x),x的定義域為{x|x?0}～故?錯誤(綜上分析～可知正確的個數(shù)是2.2((教材習題改編)以下給出的對應是從集合A到B的映射的有()?集合A,{P|P是數(shù)軸上的點}，集合B,R，對應關系f:數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(?集合A,{P|P是平面直角坐標系中的點}，集合B,{(x，y)|x?R，y?R}，對應關系f:平面直角坐標系中的點與它的坐標對應;?集合A,{x|x是三角形}，集合B,{x|x是圓}，對應關系f:每一個三角形都對應它的內切圓;?集合A,{x|x是新華中學的班級}，集合B,{x|x是新華中學的學生}，對應關系f:每一個班級都對應班里的學生(A(1個B(2個C(3個D(4個解析:選C由于新華中學的每一個班級里的學生都不止一個～即一個班級對應的學生不止一個～所以?不是從集合A到集合B的映射(2,x，1，x?1，,,((x?x高考)若函數(shù)f(x),3則f(f(10)),(),lgx，x>1，,A(lg101B(2C(1D(0解析:選Bf(10),lg10,1～故f(f(10)),f(1),x，1,2.x，24((教材習題改編)已知函數(shù)f(x),，則f(f(4)),________;若f(a),2，則a,x,6________.x，24，2解析:?f(x),～?f(4),,,3.x,64,6,3，21?f(f(4)),f(,3),,.,3,69a，2?f(a),2～即,2～a,6解得a,14.1答案:1495((教材習題改編)A,{x|x是銳角}，B,(0,1)，從A到B的映射是“求余弦”，與A3中元素60?相對應的B中的元素是________;與B中元素相對應的A中的元素是2________(11解析:?cos60?,～?與A中元素60?相對應的B中的元素是.2233又?cos30?,～?與B中元素相對應的A中的元素是30?.221答案:30?2函數(shù)與映射的概念[例1]有以下判斷:,1，，x?0，,|x|,(1)f(x),與g(x),表示同一個函數(shù)(x,1，，x<0，,,(2)函數(shù)y,f(x)的圖象與直線x,1的交點最多有1個(22(3)f(x),x,2x，1與g(t),t,2t，1是同一函數(shù)(1,,,,(4)若f(x),|x,1|,|x|，則ff,0.,,,,2其中正確判斷的序號是________(|x|[自主解答]對于(1)～函數(shù)f(x),的定義域為{x|x?R且x?0}～而函數(shù)g(x),x,1，x?0，～,,的定義域是R～所以二者不是同一函數(shù),對于(2)～若x,1不是y,f(x)定義域,1，x<0，,,內的值～則直線x,1與y,f(x)的圖象沒有交點～若x,1是y,f(x)定義域內的值～由函數(shù)的定義可知～直線x,1與y,f(x)的圖象只有一個交點～即y,f(x)的圖象與直線x,1最多有一個交點,對于(3)～f(x)與g(t)的定義域、值域和對應關系均相同～所以f(x)與g(t)表示111,,,,,,同一函數(shù),對于(4)～由于f,,1,,0～,,,,,,2221,,,,所以f,f(0),1.f,,,,2綜上可知～正確的判斷是(2)(3)([答案](2)(3)———————————————————1(判斷兩個變量之間是否存在函數(shù)關系的方法要檢驗兩個變量之間是否存在函數(shù)關系，只需檢驗:(1)定義域和對應關系是否給出;(2)根據(jù)給出的對應關系，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能找到唯一的函數(shù)值y與之對應(2(判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)的方法判斷兩個函數(shù)是否相同，要先看定義域是否一致，若定義域一致，再看對應法則是否一致，由此即可判斷(1((1)以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù),為什么,1，x?1，,,x2，1<x<2，?f:y,;f:y,1.?f:y,,121x,3，x?2;,f:2x?11,x,2x?2xy123?f:y,2x;f:如圖所示(12解:?不同函數(shù)(f(x)的定義域為{x?R|x?0}～f(x)的定義域為R.12?同一函數(shù)(x與y的對應關系完全相同且定義域相同～它們是同一函數(shù)的不同表示方式(?同一函數(shù)(理由同?.2(2)已知映射f:A?B.其中A,B,R，對應關系f:x?y,,x，2x，對于實數(shù)k?B，在集合A中不存在元素與之對應，則k的取值范圍是()A(k>1B(k?1C(k<1D(k?122解析:選A由題意知～方程,x，2x,k無實數(shù)根～即x,2x，k,0無實數(shù)根(所以Δ,4(1,k)<0～解得k>1時滿足題意.求函數(shù)的解析式2[例2](1)已知f(x，1),x，4x，1，求f(x)的解析式((2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x，1),f(x),2x，9.求f(x)([自主解答](1)法一:(換元法)設x，1,t～則x,t,1～2?f(t),(t,1)，4(t,1)，1～2即f(t),t，2t,2.2?所求函數(shù)為f(x),x，2x,2.22法二:(配湊法)?f(x，1),x，4x，1,(x，1)，2(x，1),2～2?所求函數(shù)為f(x),x，2x,2.(2)(待定系數(shù)法)由題意～設函數(shù)為f(x),ax，b(a?0)～?3f(x，1),f(x),2x，9～?3a(x，1)，3b,ax,b,2x，9～即2ax，3a，2b,2x，9.,2a,2～,,由恒等式性質～得3a，2b,9～,,解得a,1～b,3.?所求函數(shù)解析式為f(x),x，3.22,,若將本例(1)中“f(x，1),x，4x，1”改為“f，1,lgx”，如何求解,,,x2解:令，1,t～?x>0～x2?t>1且x,.t,122?f(t),lg～即f(x),lg(x>1)(t,1x,1———————————————————求函數(shù)解析式的常用方法(1)配湊法:由已知條件f(g(x)),F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式;(2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法;(3)換元法:已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍;1,,(4)解方程組法:已知關于f(x)與f或f(,x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外,,x一個等式組成方程組，通過解方程求出f(x)(2(給出下列兩個條件:(1)f(x，1),x，2x;(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0),3，f(x，2),f(x),4x，2.試分別求出f(x)的解析式(解:(1)令t,x，1～2?t?1～x,(t,1).22則f(t),(t,1)，2(t,1),t,1～2?f(x),x,1(x?1)(2(2)設f(x),ax，bx，c～又?f(0),c,3.2?f(x),ax，bx，3～22?f(x，2),f(x),a(x，2)，b(x，2)，3,(ax，bx，3),4ax，4a，2b,4x，2.,,4a,4～a,1～,,2,,?解得?f(x),x,x，3.4a，2b,2～b,,1.,,,,分段函數(shù)求值1x,,,，x?4，,,,2[例3]已知函數(shù)f(x),,則f(2，log3)的值為()2,,f，x，1，，x<4，11A.B.241211C.D.63[解析]?2，log3<4～?f(2，log3),f(3，log3)(2221111113，log3log3,,,,?3，log3>4～?f(2，log3),f(3，log3),,×,×,.22222,,,,2828324[答案]A———————————————————解決分段函數(shù)求值問題的方法(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應根據(jù)所給自變量的大小選擇相應段的解析式求解，有時每段交替使用求值((2)若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值是否符合相應段的自變量的取值范圍，做到分段函數(shù)分段解決(x,2，1，x<1，,,3(已知函數(shù)f(x),若f(f(0)),4a，則實數(shù)a等于()2x，ax，x?1，,,14A.B.25C(2D(9x解析:選C?x<1～f(x),2，1～?f(0),2.2由f(f(0)),4a～得f(2),4a～?x?1～f(x),x，ax～?4a,4，2a～解得a,2.4種方法——函數(shù)解析式的求法求函數(shù)解析式常用的方法有:(1)待定系數(shù)法;(2)換元法;(3)配湊法;(4)解方程組法(具體內容見例2[方法?規(guī)律](2兩個易誤點——映射的概念及分段函數(shù)求值問題中的易誤點(1)判斷對應是否為映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”(但要注意:?A中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多;?B中元素可無原象，即B中元素可有剩余((2)求分段函數(shù)應注意的問題在求分段函數(shù)的值f(x)時，一定要首先判斷x屬于定義域的哪個子集，然后再代入相00應的關系式;分段函數(shù)的值域是其定義域內不同子集上對應的各關系式的值域的并集.數(shù)學思想——分類討論思想在分段函數(shù)中的應用當數(shù)學問題不宜用統(tǒng)一的方法處理時，我們常常根據(jù)研究對象的差異，按照一定的分類方法或標準，將問題分為“全而不重，廣而不漏”的若干類，然后逐類分別討論，再把結論匯總，得出問題答案的思想，這就是主要考查了分類討論的數(shù)學思想，由于分段函數(shù)在不同定義區(qū)間上具有不同的解析式，在處理分段函數(shù)問題時應對不同的區(qū)間進行分類求解，然后整合，這恰好是分類討論的一種體現(xiàn)(,2x，a，x,1，,,[典例](x?x高考)已知實數(shù)a?0，函數(shù)f(x),若f(1,a),f(1，a)，,,x,2a，x?1，,則a的值為________([解析]?當1,a,1～即a,0時～此時a，1,1～由f(1,a),f(1，a)～得2(1,a)，3a,,(1，a),2a～計算得a,,(舍去),?當1,a,1～即a,0時～此時a，1,1～由f(123,a),f(1，a)～得2(1，a)，a,,(1,a),2a～計算得a,,～符合題意～所以綜上所述～43a,,.43[答案],4[題后悟道]1(在解決本題時，由于a的取值不同限制了1,a及1，a的取值，從而應對a進行分類討論(2(運用分類討論的思想解題的基本步驟(1)確定討論對象和確定研究的區(qū)域;(2)對所討論的問題進行合理的分類(分類時需要做到不重不漏，標準統(tǒng)一、分層不越級);(3)逐類討論:即對各類問題詳細討論，逐步解決;(4)歸納總結，整合得出結論([變式訓練]logx，x>0，2,,1(設函數(shù)f(x),若f(a)>f(,a)，則實數(shù)a的取值范圍是(),log，,x，，x<0，1,,2A((,1,0)?(0,1)B((,?，,1)?(1，，?)C((,1,0)?(1，，?)D((,?，,1)?(0,1)解析:選C?當a>0時～?f(a)>f(,a)～1?loga>loga,log.221a21?a>～得a>1.a?當a<0時～?f(a)>f(,a)～1?log(,a)>log(,a),log.211,a221?,a<得,1<a<0～故C項為正確選項(,a,x,2，x?，,?，1，，,,2(設函數(shù)f(x),若f(x)>4，則x的取值范圍是2x，x?[1，，?，，,,________________(,x解析:當x<1時～由f(x)>4得2>4～即x<,2,2當x?1時～由f(x)>4得x>4～所以x>2或x<,2～但由于x?1～所以x>2.綜上～x的取值范圍是x<,2或x>2.答案:(,?，,2)?(2，，?)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(下列各組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是()525A(y,x與y,xxlnxB(y,lne與y,e，x,1，，x，3，C(y,與y,x，3x,110D(y,x與y,0x555252解析:選Dy,x,x～y,x,|x|～故y,x與y,x不表示相等函數(shù),B、C選項中的兩函數(shù)定義域不同,D選項中的兩函數(shù)是同一個函數(shù)(1,,,,2(設A,{0,1,2,4}，B,，0，1，2，6，8，則下列對應關系能構成A到B的映射,,2的是()32A(f:x?x,1B(f:x?(x,1)x,1f:x?2D(f:x?2xC(3解析:選C對于A～由于集合A中x,0時～x,1,,1?B～即A中元素0在集合B中沒有元素與之對應～所以選項A不符合,同理可知B、D兩選項均不能構成A到B的映射～C符合(x,2,2，x?0，,,3(已知函數(shù)f(x),則f(f(,10)),(),lg，,x，，x<0，,11A.B.241C(1D(,4解析:選A依題意可知f(,10),lg10,1～11,2f(1),2,.2x，x?0，,4((x?杭州模擬)設函數(shù)f(x),若f(a)，f(,1),2，則a,(),,,x，x<0，A(,3B(?3C(,1D(?1解析:選D?f(a)，f(,1),2～且f(,1),1,1～?f(a),1～當a?0時～f(a),a,1～?a,1,當a<0時～f(a),,a,1～?a,,1.25(已知函數(shù)f(x)滿足f(x)，2f(3,x),x，則f(x)的解析式為()122A(f(x),x,xx，18B(f(x),x,4x，63C(f(x),6x，9D(f(x),2x，322解析:選B由f(x)，2f(3,x),x可得f(3,x)，2f(x),(3,x)～由以上兩式解得f(x),12x,4x，6.31,,6((x?泰安模擬)具有性質:f,,f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”交換的函數(shù)，,,x下列函數(shù):x，0<x<1，,,110，x,1，?f(x),x,;?f(x),x，;?f(x),滿足“倒負”變換的函數(shù)是,xx1,，x>1.,,x()A(??B(??C(??D(只有?11,,解析:選B?f,,x,,f(x)滿足(,,xx11,,?f,，x,f(x)不滿足(,,xx1,,?0<x<1時～f,,x,,f(x)～,,x1,,x,1時～f,0,,f(x)～,,x11,,x>1時～f,,,f(x)滿足(,,xx二、填空題112,,7(已知fx,,x，，則函數(shù)f(3),________.2,,xx11122,,,,解析:?fx,,x，,x,，2～2,,,,xxx22?f(x),x，2.?f(3),3，2,x.答案:xf，2，f，3，f，2012，8(若f(a，b),f(a)?f(b)且f(1),1，則，，?，,________.f，1，f，2，f，2011，f，a，1，解析:令b,1～?,f(1),1～f，a，f，2，f，3，f，2012，?，，?，,20x.f，1，f，2，f，2011，答案:20x2,x，1，x?0，,2,9(已知函數(shù)f(x),則滿足不等式f(1,x)>f(2x)的x的取值范圍是,1，x<0，,________(2,x，1～x?0～,,解析:畫出f(x),的圖象～1,～x<0,如圖(2由圖象可知～若f(1,x)>f(2x)～2,1,x>0～,,則21,x>2x～,,,1<x<1～,即,,,1,2<x<,1，2.得x?(,1～2,1)(答案:(,1，2,1)三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分),x,1，x>0，,2,10(已知f(x),x,1，g(x),2,x，x<0.,,(1)求f(g(2))和g(f(2))的值;(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式(解:(1)由已知～g(2),1～f(2),3～因此f(g(2)),f(1),0～g(f(2)),g(3),2.(2)當x>0時～g(x),x,1～22故f(g(x)),(x,1),1,x,2x,當x<0時～g(x),2,x～22故f(g(x)),(2,x),1,x,4x，3.2,x,2x～x>0～,,所以f(g(x)),2x,4x，3～x<0.,,當x>1或x<,1時～f(x)>0～2故g(f(x)),f(x),1,x,2,當,1<x<1時～f(x)<0～2故g(f(x)),2,f(x),3,x.2,x,2～x>1或x<,1～,,所以g(f(x)),23,x～,1<x<1.,,x(二次函數(shù)f(x)滿足f(x，1),f(x),2x，且f(0),1.(1)求f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)>2x，5.2解:(1)設二次函數(shù)f(x),ax，bx，c(a?0)(?f(0),1～?c,1.把f(x)的表達式代入f(x，1),f(x),2x～有22a(x，1)，b(x，1)，1,(ax，bx，1),2x.?2ax，a，b,2x.?a,1～b,,1.2?f(x),x,x，1.22(2)由x,x，1>2x，5～即x,3x,4>0～解得x>4或x<,1.故原不等式解集為{x|x>4或x<,1}(x(規(guī)定[t]為不超過t的最大整數(shù)，例如[x.6],x，[,3.5],,4，對任意實數(shù)x，令f(x)1,[4x]，g(x),4x,[4x]，進一步令f(x),f[g(x)](217(1)若x,，分別求f(x)和f(x);1216(2)若f(x),1，f(x),3同時滿足，求x的取值范圍(1277解:(1)?x,時～4x,～1647，，?f(x),,1.1，，4773，，?g(x),,,.，，4443,,?f(x),f[g(x)],f,[3],3.211,,4(2)?f(x),[4x],1～g(x),4x,1～1?f(x),f(4x,1),[16x,4],3.21,1?4x<2～,71,???x<.162,3?16x,4<4～,1(“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到達終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點?，用s，s分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時間，則下圖與故事情節(jié)相12吻合的是()解析:選B根據(jù)故事的描述～烏龜是先于兔子到達終點～到達終點的最后時刻烏龜?shù)穆烦檀笥谕米拥穆烦獭⑶彝米又虚g有一段路程為零～分析知B圖象與事實相吻合(2(下列對應關系是集合P上的函數(shù)的是________(*(1)P,Z，Q,N，對應關系f:對集合P中的元素取絕對值與集合Q中的元素相對應;2(2)P,{,1,1，,2,2}，Q,{1,4}，對應關系:f:x?y,x，x?P，y?Q;(3)P,{三角形}，Q,{x|x>0}，對應關系f:對P中三角形求面積與集合Q中元素對應(解析:對于(1)～集合P中元素0在集合Q中沒有對應元素～故(1)不是函數(shù),對于(3)集合P不是數(shù)集～故(3)不是函數(shù),(2)正確(答案:(2)(試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):32(1)y,x,2?x，2，y,x,4;33(2)y,x，y,t;2(3)y,|x|，y,(x).解:?y,x,2?x，2的定義域為{x|x?2}～2y,x,4的定義域為{x|x?2或x?,2}～?它們不是同一函數(shù)(33(2)?它們的定義域相同～且y,t,t～33?y,x與y,t是同一函數(shù)(2(3)?y,|x|的定義域為R～y,(x)的定義域為{x|x?0}～?它們不是同一函數(shù)(x，2，x?,1，,,2x，,1<x<2，4(已知f(x),且f(a),3，求a的值(,2x，x?2，,,2解:?當a?,1時～f(a),a，2～由a，2,3～得a,1～與a?,1相矛盾～應舍去(?當,1<a<2時～f(a),2a～3由2a,3～得a,～滿足,1<a<2.22a?當a?2時～f(a),～22a由,3～得a,?6～2又a?2～故a,6.3綜上可知～a的值為或6.2第九節(jié)函數(shù)與方程[備考方向要明了]考什么怎么考1.結合二次函數(shù)的圖象,高考對本節(jié)內容的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面:了解函數(shù)的零點不方程根(1)結合函數(shù)與方程的關系，求函數(shù)的零點;的聯(lián)系,判斷一元二次方(2)結合根的存在性定理或函數(shù)的圖象,對函數(shù)是否存在零程根的存在性及根的個點及零點個數(shù)(方程是否存在實數(shù)根及方程根的個數(shù))進行數(shù),判斷,如x年xT5,湖北T3,xT9等,2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能(3)利用零點(方程實根)的存在性求相關參數(shù)的值或范圍.夠用二分法求相應方程的近似解.[歸納?知識整合]1(函數(shù)的零點(1)定義:對于函數(shù)y,f(x)(x?D)，把使f(x),0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y,f(x)(x?D)的零點((2)函數(shù)的零點與相應方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點間的關系:方程f(x),0有實數(shù)根?函數(shù)y,f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y,f(x)有零點((3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理):如果函數(shù)y,f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)?f(b)<0，那么函數(shù)y,f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c?(a，b)，使得f(c),0，這個c也就是方程f(x),0的根([探究]1.函數(shù)的零點是函數(shù)y,f(x)與x軸的交點嗎,是否任意函數(shù)都有零點,提示:函數(shù)的零點不是函數(shù)y,f(x)與x軸的交點～而是y,f(x)與x軸交點的橫坐標～也就是說函數(shù)的零點不是一個點～而是一個實數(shù),并非任意函數(shù)都有零點～只有f(x),0有根的函數(shù)y,f(x)才有零點(2(若函數(shù)y,f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，則y,f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否一定是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)?f(b)<0呢,提示:不一定(由圖(1)(2)可知(3(函數(shù)零點具有哪些性質,提示:對于任意函數(shù)～只要它的圖象是連續(xù)不間斷的～其函數(shù)零點具有以下性質:(1)當它通過零點且穿過x軸時～函數(shù)值變號,(2)相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號(22(二次函數(shù)y,ax，bx，c(a>0)的圖象與零點的關系Δ,0Δ,0Δ,02二次函數(shù)y,ax，bx，c(a,0)的圖象與x軸的交點(x0)，(x0)無交點(x0)1,2,1,零點個數(shù)兩個一個零個3(二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)?f(b)<0的函數(shù)y,f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法([自測?牛刀小試]1((教材習題改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()解析:選C由圖象可知～選項C所對應零點左右兩側的函數(shù)值的符號是相同的～不能用二分法求解(2((教材習題改編)若函數(shù)f(x)唯一的一個零點同時在區(qū)間(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)內，那么下列命題中正確的是()A(函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內有零點B(函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)或(1,2)內有零點C(函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,16)上無零點D(函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,16)內無零點解析:選C由題意可知～函數(shù)f(x)的唯一零點一定在區(qū)間(0,2)內～故一定不在[2,16)內(x3(根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程e,x,2,0的一個根所在的區(qū)間為()x,10123xe0.3712.727.3920.09x，212345A.(,1,0)B((0,1)C((1,2)D((2,3)x解析:選C令f(x),e,x,2～則f(,1),0.37,1<0～f(0),1,2<0～f(1),2.72,3<0～f(2),7.39,4>0～f(3),20.09,5>0～x所以方程e,x,2,0的一個根所在的區(qū)間為(1,2)(224(若函數(shù)f(x),x,ax,b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x),bx,ax,1的零點是________(2解析:?函數(shù)f(x),x,ax,b的兩個零點為2和3～,2，3,a～,,?即a,5～b,,6.,2×3,,b～,22?g(x),bx,ax,1,,6x,5x,1～11令g(x),0～得x,,或,.2311答案:,，,235(函數(shù)f(x),3ax，1,2a在區(qū)間(,1,1)上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是________(解析:?f(x),3ax，1,2a在區(qū)間(,1,1)上有零點～且f(x)為一次函數(shù)～?f(,1)?f(1)<0～即(1,5a)(1，a)<0.1?a>或a<,1.51答案:a>或a<,15確定函數(shù)零點所在的區(qū)間x[例1](1)(x?唐山模擬)設f(x),e，x,4，則函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間()A((,1,0)B((0,1)C((1,2)D((2,3)2x(2)(x?朝陽模擬)函數(shù)f(x),2,,a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數(shù)a的取值范圍是x()A((1,3)B((1,2)C((0,3)D((0,2)xx[自主解答](1)?f(x),e，x,4～?f′(x),e，1>0～?函數(shù)f(x)在R上單調遞增(對,1,1于A項～f(,1),e，(,1),4,,5，e<0～f(0),,3<0～f(,1)f(0)>0～A不正確～同理22可驗證B、D不正確(對于C項～?f(1),e，1,4,e,3<0～f(2),e，2,4,e,2>0～f(1)f(2)<0.(2)由條件可知f(1)f(2)<0～即(2,2,a)(4,1,a)<0～即a(a,3)<0～解得0<a<3.[答案](1)C(2)C若方程xlg(x，2),1的實根在區(qū)間(k，k，1)(k?Z)內，則k為何值,1解:由題意知～x?0～則原方程即為lg(x，2),～在同一直角坐標系中x1作出函數(shù)y,lg(x，2)與y,的圖象～如圖所示～由圖象可知～原方程有兩個x根～一個在區(qū)間(,2～,1)上～一個在區(qū)間(1,2)上～所以k,,2或k,1.———————————————————判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點，要根據(jù)具體題目靈活處理(當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷;當不能直接求出時，可根據(jù)零點存在性定理判斷;當用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷(,x1((x?武漢模擬)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x),e,4x,3的零點所在的區(qū)間為()3111,,,,A.,，,B.,，,,,,,422411,,,,C.,，0D.0，,,,,4433,,4解析:選B易知函數(shù)f(x)在R上是單調減函數(shù)(對于A～注意到f,,e,,,4311311,x,,,,,,4224×,,3,e>0～f,,e,4×,,3,e,1>0～因此函數(shù)f(x),e,4x,3的,,,,,,4221131111,,,,,,,,44零點不在區(qū)間,～,上,對于B～注意到f,>0～f,,e,4×,,3,e,,,,,,,,,42244111,x,,42<4,2<0～因此在區(qū)間,～,上函數(shù)f(x),e,4x,3一定存在零點,對于C～注意,,2411,x,,,,到f,<0～f(0),,2<0～因此函數(shù)f(x),e,4x,3的零點不在區(qū)間,～0上,對于D～,,,,4411,,11,x,,44注意到f(0),,2<0～f,e,4×,3,e,4<0～因此函數(shù)f(x),e,4x,3的零點,,441,,不在區(qū)間0～上(,,42(已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，g(x),[x]為取整函數(shù)，x是函數(shù)f(x),lnx,02的零點，則g(x)等于________(0x12解析:?函數(shù)f(x)的定義域為(0～，?)～?函數(shù)f′(x),，>0～即函數(shù)f(x)在(0～，2xx2?)上單調遞增(由f(2),ln2,1<0～f(e),lne,>0～知x?(2～e)～0e?g(x),[x],2.00答案:2判斷函數(shù)零點個數(shù)11x,,[例2](1)(x?x高考)函數(shù)f(x),x,的零點個數(shù)為(),,22A(0B(1C(2D(32,lnx,x，2x，x>0，，,,(2)函數(shù)f(x),的零點個數(shù)為()4x，1，x?0，,,A(0B(1C(2D(311x,,2[自主解答](1)因為y,x在x?[0～，?)上單調遞增～y,在x?R上單調遞減～,,2111x,,2所以f(x),x,在x?[0～，?)上單調遞增～又f(0),,1<0～f(1),>0～所以f(x),x,,2211x,,2,在定義域內有唯一零點(,,21(2)當x?0時～函數(shù)有零點x,,,當x>0時～作出函數(shù)42y,lnx～y,x,2x的圖象～觀察圖象可知兩個函數(shù)的圖象(如圖)有2個交點～即當x>0時函數(shù)f(x)有2個零點(故函數(shù)f(x)的零點的個數(shù)為3.[答案](1)B(2)D———————————————————判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程法:令f(x),0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點;(2)零點存在性定理法:利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)?f(b)<0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質;(3)數(shù)形結合法:轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題(先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(1，x>0，,,0，x,0，3((x?x模擬)已知符號函數(shù)sgn(x),則函數(shù)f(x),sgn(x,1),lnx的零點,,,1，x<0，,個數(shù)為()A(1B(2C(3D(4解析:選C依題意得～當x,1>0～即x>1時～f(x),1,lnx～令f(x),0得x,e>1,當x,1,0～即x,1時～f(x),0,ln1,0,當x,1<0～即x<1時～f(x),,1,lnx～令f(x)1,0得x,<1.因此～函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為3.e根據(jù)函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)[例3]定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足對?x?R，有f(x，2),f(x),f(1)，且當x?[2,3]2時，f(x),,2x，xx,18，若函數(shù)y,f(x),log(x，1)在(0，，?)上至少有三個零點，則aa的取值范圍是(),3,,2,A.B.0，0，,,,,32,5,,6,C.D.0，0，,,,,56[自主解答]在方程f(x，2),f(x),f(1)中～令x,,1得f(1),f(,1),f(1)～再根據(jù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可得f(1),0～由此得f(x，2),f(x),f(,x)～由此可得函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)～且其圖象關于直線x,1對稱～又當x?[0,1]時～x，2?[2,3]～所以當x?[0,1]時～222f(x),f(x，2),,2(x，2)，x(x，2),18,,2x，4x,2,,2(x,1)～根據(jù)對稱性可知函數(shù)2f(x)在[1,2]上的解析式也是f(x),,2(x,1)～故函數(shù)f(x)在[0,2]上的解析式是f(x),,2(x,21)～根據(jù)其周期性畫出函數(shù)f(x)在[0～，?)上的部分圖象(如圖)～結合函數(shù)圖象～只要實13數(shù)a滿足0<a<1且,2<log(2，1)<0即可滿足題意～故0<a<1且loga<,,log～即a332330<a<.3[答案]A———————————————————已知函數(shù)有零點，方程有根，求參數(shù)值常用的方法和思路，1，直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;，2，分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決;，3，數(shù)形結合:先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后觀察求解.2e24(已知函數(shù)f(x),,x，2ex，m,1，g(x),x，(x>0)(x(1)若y,g(x),m有零點，求m的取值范圍;(2)確定m的取值范圍，使得g(x),f(x),0有兩個相異實根(2e2解:(1)法一:?g(x),x，,2e～?2ex等號成立的條件是x,e～?g(x)的值域是[2e～，?)(因而只需m?2e～則y,g(x),m就有零點(2e法二:作出g(x),x，(x>0)的大致圖象如圖:x可知若使y,g(x),m有零點～則只需m?2e.(2)若g(x),f(x),0有兩個相異的實根～即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點～2e作出g(x),x，(x>0)的大致圖象(x2?f(x),,x，2ex，m,122,,(x,e)，m,1，e.2?其圖象的對稱軸為x,e～開口向下～最大值為m,1，e.22故當m,1，e>2e～即m>,e，2e，1時～g(x)與f(x)有兩個交點～即g(x),f(x),0有兩個相異實根(2?m的取值范圍是(,e，2e，1～，?)(1個口訣——用二分法求函數(shù)零點的方法用二分法求零點近似值的口訣為:定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看(同號去，異號算，零點落在異號間(周而復始怎么辦,精確度上來判斷(3種方法——判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法判斷函數(shù)y,f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點，常用以下方法:(1)解方程:當對應方程易解時，可通過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上;(2)利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷;(3)通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷(4個結論——有關函數(shù)零點的結論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調函數(shù)，則f(x)至多有一個零點((2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號((3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號((4)函數(shù)零點的存在定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.數(shù)學思想——利用數(shù)形結合思想解決與方程的根有關的問題在解決與方程的根或函數(shù)零點有關的問題時，如果按照傳統(tǒng)方法很難奏效時，常通過數(shù)形結合將問題轉化為函數(shù)圖象的交點的坐標問題來解決([典例](x?x高考)對于實數(shù)a和b，定義運算“*”:2,a,ab，a?b，,,a*b,設f(x),(2x,1)*(x,1)，且關于x的方程f(x),m(m?R)恰有2b,ab，a>b.,,三個互不相等的實數(shù)根x，x，x，則xxx的取值范圍是________(1231232,，2x,1，,，2x,1，，x,1，～x?0～,,[解析]由定義可知～f(x),(2x,1)*(x,1),2,，x,1，,，2x,1，，x,1，～x>0～,2,2x,x～x?0～,,即f(x),作出函數(shù)f(x)的圖象～如圖所示～2,x，x～x>0.,,關于x的方程f(x),m恰有三個互不相等的實根x～x～x～即1231函數(shù)f(x)的圖象與直線y,m有三個不同的交點～則0<m<.不妨設從4左到右交點的橫坐標分別為x～x～x.12322當x>0時～,x，x,m～即x,x，m,0～?x，x,1～23x，x123,,2?0<xx<～即0<xx<,2323,,2412,2x,x,～,1,34當x<0時～由得x,～,4,,x<0～1,3?<x<0.143,1?0<,x<.143,1?0<,xxx<.123161,3?<xxx<0.123161,,3,[答案]，0,,16[題后悟道]1(解決本題的關鍵有以下三點(1)根據(jù)新定義正確求出函數(shù)f(x)的解析式，并準確畫出其圖象((2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關系及基本不等式確定xx的范圍(23(3)正確確定x的取值范圍(12(函數(shù)y,f(x)有零點?方程f(x),0有實根?函數(shù)y,f(x)的圖象與x軸有交點(在解決函數(shù)與方程的問題時，要注意這三者之間的關系，在解題中充分利用這個關系與實際問題的轉化([變式訓練]21(若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x，2),f(x)，且x?[,1,1]時，f(x),1,x，函數(shù)lgx，x>0，,,0，x,0，g(x),則方程f(x),g(x),0在區(qū)間[,5,5]上的解的個數(shù)為(),1,，x<0，,,xA(5B(7C(8D(10解析:選C依題意得～函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)～在同一坐標系下畫出函數(shù)y,f(x)與函數(shù)y,g(x)的圖象～結合圖象得～當x?[,5,5]時～它們的圖象的公共點共有8個～即方程f(x),g(x),0在區(qū)間[,5,5]內的解的個數(shù)是8.2,,，x?2，x2(已知函數(shù)f(x),,若關于x的方程f(x),k有兩個不同的實根，則實3,,，x,1，，x<2.數(shù)k的取值范圍是________(解析:畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示～根據(jù)圖象可知當k?(0,1)時～方程f(x),k有兩個不同的實根(答案:(0,1)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)x,2,1，x?1，,,1(已知函數(shù)f(x),則函數(shù)f(x)的零點為()1，logx，x>1，,,21A.，0B(,2,021C.D(02x1時～由f(x),2,1,0～解得x,0,當x>1時～由f(x),1，logx解析:選D當x?21,0～解得x,～又因為x>1～所以此時方程無解(綜上函數(shù)f(x)的零點只有0.222((x?湖北高考)函數(shù)f(x),xcosx在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為()A(4B(5C(6D(7π3π5π7π9π22解析:選C?x?[0,4]～?x?[0,16](?x,0～～～～～～都是f(x)的零22222點～此時x有6個值(?f(x)的零點個數(shù)為6.x3(函數(shù)f(x),e，x,2的零點所在的一個區(qū)間是()A((,2，,1)B((,1,0)C((0,1)D((1,2),2解析:選C因為函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線～又f(,2),e,4<0～f(,1),12,e,3<0～f(0),,1<0～f(1),e,1>0～f(2),e>0～所以f(0)?f(1)<0～故函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是(0,1)(π14((x?濟寧模擬)函數(shù)f(x),3sinx,logx的零點的個數(shù)是()22A(2B(3C(4D(5π2π解析:選D函數(shù)y,3sinx的周期T,,4～由logx,3～12π221可得x,～由logx,,3～可得x,8.在同一平面直角坐標系中～182π作出函數(shù)y,3sinx和y,logx的圖象(如圖所示)～易知f(x)有5個零點(1221x,,5(已知函數(shù)f(x),,logx，若x是函數(shù)y,f(x)的零點，且0<x<x，則f(x)的值30101,,5()A(恒為正值B(等于0C(恒為負值D(不大于01x,,解析:選A注意到函數(shù)f(x),,logx在(0～，?)上是減函數(shù)～因此當0<x<x時～310,,5有f(x)>f(x)～又x是函數(shù)f(x)的零點～因此f(x),0～所以f(x)>0～即此時f(x)的值恒為正100011值～選A.6((x?洛陽模擬)若函數(shù)y,f(x)(x?R)滿足f(x，2),f(x)，且x?[,1,1]時，f(x),|x|，函sinπx，x>0，,,數(shù)g(x),,則函數(shù)h(x),f(x),g(x)在區(qū)間[,5,5]上的零點的個數(shù)為()1,，x<0，,,x10B(9A(C(8D(7解析:選B由f(x，2),f(x)可知～函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)(在同一直角坐標系中畫出函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖象～如圖所示(結合圖象可知～函數(shù)h(x)在[,5,5]上有9個零點((注意函數(shù)g(x)在x,0處無定義)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)x7(定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當x>0時，f(x),20x，logx，則在R上，函數(shù)20xf(x)零點的個數(shù)為________(x解析:函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)～因此f(0),0～當x>0時～f(x),20x，logx在區(qū)間20x1,,0～內存在一個零點～又f(x)為增函數(shù)～因此在(0～，?)內有且僅有一個零點(根據(jù),,2012對稱性可知函數(shù)在(,?～0)內有且僅有一解～從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3.答案:3x8(已知函數(shù)f(x),x，2，g(x),x，lnx，h(x),x,x,1的零點分別為x，x，x，則123x，x，x的大小關系是________(123xx解析:令x，2,0～得2,,x～令x，lnx,0～得lnx,,x.x在同一坐標系內畫出y,2～y,lnx～y,,x～如圖:x<0<x<1～12令x,x,1,0～2則(x),x,1,0～1，53，5?x,～即x,>1.所以x<x<x.312322答案:x<x<x12329(已知函數(shù)f(x)滿足f(x，1),,f(x)，且f(x)是偶函數(shù)，當x?[0,1]時，f(x),x.若在區(qū)間[,1,3]內，函數(shù)g(x),f(x),kx,k有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍為________(解析:依題意得f(x，2),,f(x，1),f(x)～即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)(g(x),f(x),kx,k在區(qū)間[,1,3]內有4個零點～即函數(shù)y,f(x)與y,k(x，1)的圖象在區(qū)間[,1,3]內有4個不同的交點(在坐標平面內畫出函數(shù)y,f(x)的圖象(如圖所示)～注意到直線y,k(x，1)恒過點(,1,0)～1,，由圖象可知～當k?0～時～直線與曲線y,f(x)在區(qū)間[,1,3]內有4個不同的交點～故實,，41,，數(shù)k的取值范圍是0～.,，41,，答案:0，,，4三、解答題(本大題共3小題，每小題x分，共36分)210(是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x),x，(3a,2)x，a,1在區(qū)間[,1,3]上與x軸有且只有一個交點(若存在，求出a的范圍;若不存在，說明理由(8822,,解:因為Δ,(3a,2),4(a,1),9a,，>0～,,99所以若存在實數(shù)a滿足條件～則只需f(,1)?f(3)?0即可～即f(,1)?f(3),(1,3a，2，a,1)?(9，9a,6，a,1),4(1,a)(5a，1)?0.1所以a?,或a?1.5檢驗:?當f(,1),0時～a,1.22所以f(x),x，x.令f(x),0～即x，x,0.得x,0或x,,1.方程在[,1,3]上有兩根～不合題意～故a?1.1?當f(3),0時～a,,～51362此時f(x),x,x,～551362令f(x),0～即x,x,,0～552解得x,,或x,3.51方程在[,1,3]上有兩根～不合題意～故a?,.51,,綜上所述～a的取值范圍為,?～,?(1～，?)(,,52x(若函數(shù)F(x),|4x,x|，a有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍(2解:若F(x),|4x,x|，a有4個零點～2即|4x,x|，a,0有四個根～2即|4x,x|,,a有四個根(2令g(x),|4x,x|～h(x),,a.則作出g(x)的圖象～2由圖象可知要使|4x,x|,,a有四個根～則需g(x)的圖象與h(x)的圖象有四個交點～?0<,a<4～即,4<a<0～a的取值范圍為(,4,0)(2x(已知關于x的二次方程x，2mx，2m，1,0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(,1,0)內，另一根在區(qū)間(1,2)內，求m的范圍;(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內，求m的范圍(2解:(1)由條件～拋物線f(x),x，2mx，2m，1與x軸的交點分別在區(qū)間(,1,0)和(1,2)內～f，0，,2m，1<0～,,f，,1，,2>0～如圖(1)所示～得,f，1，,4m，2<0～,,f，2，,6m，5>051,<m<,～6251,,m的取值范圍是,～,.,,62(2)拋物線與x軸交點均落在區(qū)間(0,1)內～如圖(2)所示f，0，>0～,,f，1，>0～得不等式組,Δ?0～,,0<,m<11m>,～2,,1m>,.?2,m?1，2或m?1,2～,,,1<m<0～11,，即,<m?1,2～m的取值范圍是,～1,2.,，221(若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x，2),f(x)，且當x?[0,1]時，f(x),x，則函數(shù)y,f(x),log|x|的零點個數(shù)是()3A(多于4B(4C(3D(2解析:選B由題意可知～函數(shù)y,f(x)是周期為2的偶函數(shù)～在同一直角坐標中作出函數(shù)y,f(x)和y,log|x|的圖象～如圖所示～3結合圖象可以知函數(shù)的零點有4個(2(判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(1(1)f(x),,x，x?(0,1)(x(2)f(x),log(x，2),x，x?[1,3](21解:(1)法一:令f(x),,x,0～解得x,?1～x又??1?(0,1)～1?f(x),,x～x?(0,1)不存在零點(x1法二:畫出函數(shù)f,與y,x的圖象～如右圖所示～x由圖象觀察可知此函數(shù)在(0,1)不存在零點((2)函數(shù)f(x),log(x，2),x的圖象在[1,3]上連續(xù)(2又f(1),log3,1>log2,1,0.22f(3),log5,3<log8,3,0.22?f(1)?f(3)<0.故函數(shù)f(x),log(x，2),x～x?[1,3]存在零點(2xx3(設函數(shù)f(x),log(2，1)，g(x),log(2,1)，若關于x的函數(shù)F(x),g(x),f(x),m22在[1,2]上有零點，求m的取值范圍(解:法一:令F(x),0～即g(x),f(x),m,0.xx所以有m,g(x),f(x),log(2,1),log(2，1)22x2,12,,1,,log,log.x2x2,,2，12，1x?1?x?2～?3?2，1?5.222123???～?1,?.xx2，2，513315213,,1,?log?log～?logx222,,2，13513即log?m?log.223513，，m的取值范圍是log～log.22，，35xx法二:log(2,1),m，log(2，1)(22xmx?log(2,1),log[2?(2，1)](22xmx?2,1,2?(2，1)(m2，1xmmx?2(1,2),2，1,2,～m1,2m2，1,,即x,log.2m,1,2,m2，1,,?1?x?2～?1?log?2.2m,1,2,m2，113m?2??4～解得?2?～m1,23513即log?m?log.223513，，m的取值范圍是log～log.22，，35第十節(jié)函數(shù)模型及其應用[備考方向要明了]考什么怎么考1.函數(shù)模型考查的重點是函數(shù)模型的建立1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的以及函數(shù)模型中的最值問題,命題的熱點增長特征,知道直線上升、指數(shù)增長、對是二次函數(shù)的最值或利用基本不等式求解數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義,最值,如x年xT17等,2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪2.考查題型以解答題為主.函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.[歸納?知識整合]1(幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x),ax，b(a，b為常數(shù)，a?0)2二次函數(shù)模型f(x),ax，bx，c(a，b，c為常數(shù)，a?0)xf(x),ba，c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a?1，指數(shù)函數(shù)模型b?0)f(x),blogx，c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a?1，a對數(shù)函數(shù)模型b?0)n冪函數(shù)模型f(x),ax，b(a，b，n為常數(shù)，a?0，n?0)2.三種函數(shù)模型性質比較xny,a(a>1)y,logx(a>1)y,x(n>0)a在(0，，?)上的單調遞增函數(shù)單調遞增函數(shù)單調遞增函數(shù)單調性增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)隨x值增大，圖象與y隨x值增大，圖象與x圖象的變化隨n值變化而不同軸接近平行軸接近平行[探究]1.直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長的增長特點是什么,提示:直線上升:勻速增長～其增長量固定不變,指數(shù)增長:先慢后快～其增長量成倍增加～常用“指數(shù)爆炸”來形容,對數(shù)增長:先快后慢～其增長速度緩慢(2(你認為解答數(shù)學應用題的關鍵是什么,提示:解答數(shù)學應用題的關鍵有兩點:一是認真讀題～縝密審題～將實際問題中的自然語言轉化為相應的數(shù)學語言,二是要合理選取變量～設定變量后～就要尋找它們之間的內在聯(lián)系～選用恰當?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關系～建立相應的函數(shù)、方程、不等式等數(shù)學模型([自測?牛刀小試]1((教材習題改編)在養(yǎng)分充足的情況下，細菌的數(shù)量會以指數(shù)函數(shù)的方式增加(假設細菌A的數(shù)量每2個小時可以增加為原來的2倍;細菌B的數(shù)量每5個小時可以增加為原來的4倍(現(xiàn)在若養(yǎng)分充足，且一開始兩種細菌的數(shù)量相等，要使細菌A的數(shù)量是B的數(shù)量的兩倍，需要的時間為()A(5hB(10hC(15hD(30h解析:選B假設一開始兩種細菌數(shù)量均為m～則依題意經(jīng)過x小時后～細菌A的數(shù)xxxx量是f(x),m?2～細菌B的數(shù)量是g(x),m?4～令m?2,2?m?4～解得x,10.25252((教材習題改編)在某種新型材料的研制中，x人員獲得了下列一組x數(shù)據(jù)(現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.953.003.945.106.xy0.971.591.982.352.61xA.y,2B(y,logx212C(y,(x,1)D(y,2.61cosx2解析:選B通過檢驗可知～y,logx較為接近(23(據(jù)調查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關于x的函數(shù)關系是()A(y,0.1x，800(0?x?4000)B(y,0.1x，1200(0?x?4000)C(y,,0.1x，800(0?x?4000)D(y,,0.1x，1200(0?x?4000)解析:選Dy,0.2x，(4000,x)×0.3,,0.1x，1200.4((教材習題改編)某種儲蓄按復利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關系式是________(x解析:因為儲蓄按復利計算～所以本利和y隨存期x變化的函數(shù)關系式是y,a(1，r)～*x?N.x*答案:y,a(1，r)，x?N5(某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，按九折出售，每件還獲利________元(解析:九折出售時價格為100×(1，25%)×90%,x2.5元～此時每件還獲利x2.5,100,x.5元(答案:x.5利用函數(shù)刻畫實際問題[例1]如圖下面的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止(用下面對應的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系，其中不正確的有()(A(1個B(2個C(3個D(4個[自主解答]將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中～容器中水面的高度h和時間t之間的關系可以從高度隨時間的變化率上反映出來～圖?應該是勻速的～故下面的圖象不正確～?中的變化率應該是越來越慢的～正確,?中的變化規(guī)律是先快后慢再快～正確,?中的變化規(guī)律是先慢后快再慢～也正確～故只有?是錯誤的([答案]A———————————————————用函數(shù)圖象刻畫實際問題的解題思路將實際問題中兩個變量間變化的規(guī)律(如增長的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(如單調性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可(1(一水池有兩個進水口，一個出水口，每個水口的進、出水速度如圖甲、乙所示(某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示(給出以下3個論斷:?0點到3點只進水不出水;?3點到4點不進水只出水;?4點到6點不進水不出水，則一定正確的是()A(?B(????D(???C(1解析:選A由甲、乙兩圖知～進水速度是出水速度的～所以0點到3點不出水～32點到4點也可能一個進水口進水～一個出水口出水～但總蓄水量降低～4點到6點也可能兩個進水口進水～一個出水口出水～一定正確的是?.利用已知函數(shù)模型解決實際問題[例2](x?x高考)如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平1面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點(已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y,kx,(1，2022k)x(k,0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標((1)求炮的最大射程;(2)設在x象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它,請說明理由(122[自主解答](1)令y,0～得kx,(1，k)x,0～由實際意義和題設條件知x,0～k,0～2020k2020故x,,?,10～當且僅當k,1時取等號(21，k12k，k所以炮的最大射程為10千米(122(2)因為a,0～所以炮彈可擊中目標?存在k,0～使3.2,ka,(1，k)a成立20222?關于k的方程ak,20ak，a，64,0有正根222?判別式Δ,(,20a),4a(a，64)?0?a?6.所以當a不超過6千米時～可擊中目標(———————————————————利用已知函數(shù)模型解決實際問題的步驟若題目給出了含參數(shù)的函數(shù)模型，或可確定其函數(shù)模型的圖象，求解時先用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式中相關參數(shù)的值，再用求得的函數(shù)解析式解決實際問題(2(某商品在近30天內每件的銷售價格p(元)與時間t(天)的函數(shù)關系式是p,,t，20，0<t<25，t?N，,,且該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關系式是Q*,,,t，100，25?t?30，t?N，,,t，40(0<t?30，t?N)(求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天,解:設日銷售金額為y(元)～則y,p?Q～2,,t，20t，800～0<t<25～t?N～,,即y,2,,t,140t，4000～25?t?30～t?N～2,,，t,10，，900～0<t<25～t?N～?,,,2,,，t,70，,900～25?t?30～t?N.?由?知～當t,10時～y,900,max由?知～當t,25時～y,1x5.max由1x5>900～知y,1x5～max即在第25天日銷售額最大～為1x5元.構建函數(shù)模型解決實際問題[例3]某特許專營店銷售西安世界園藝博覽會紀念章，每枚進價為5元，同時每銷售一枚這種紀念章還需向世博會管理處交特許經(jīng)營管理費2元，預計這種紀念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售2000枚，經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)每枚紀念章的銷售價格在每枚20元的基礎上每減少1元則增加銷售400枚，而每增加1元則減少銷售100枚，現(xiàn)設每枚紀念章的銷售價格為x(元)((1)寫出該特許專營店一年內銷售這種紀念章所獲得的利潤y(元)與每枚紀念章的銷售價格x的函數(shù)關系式(并寫出這個函數(shù)的定義域);(2)當每枚紀念章銷售價格x為多少元時，該特許專營店一年內利潤y(元)最大，并求出這個最大值([自主解答](1)依題意,[2000，400，20,x，]，x,7，～0,x?20～,,y,[2000,100，x,20，]，x,7，～20<x<40～,,,400，25,x，，x,7，～0,x?20～,,?y,,100，40,x，，x,7，～20<x<40.,此函數(shù)的定義域為(0,40)(2，81]～0,x?20～400[,，x,16，,,(2)y,,4710892，，,,100,x,，～20<x<40.,，,,，,24若0,x?20～則當x,16時～y,32400(元)(max47若20<x<40～則當x,時～2y,27225(元)(max綜上可得當x,16時～該特許專營店獲得的利潤最大為32400元(———————————————————把實際問題數(shù)學化、建立數(shù)學模型一定要過好的三關(1)事理關:通過閱讀、理解，明確問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題找出突破口((2)文理關:將實際問題的文字語言轉化為數(shù)學符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關系((3)數(shù)理關:在構建數(shù)學模型的過程中，對已知數(shù)學知識進行檢索，從而認定或構建相應的數(shù)學模型(3(某市居民自來水收費標準如下:每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元(某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x,3x(噸)((1)求y關于x的函數(shù);(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(解:(1)當甲的用水量不超過4噸時～即5x?4～乙的用水量也不超過4噸～y,1.8(5x，3x),14.4x,當甲的用水量超過4噸～乙的用水量不超過4噸～即3x?4～且5x>4時～y,4×1.8，3x×1.8，3(5x,4),20.4x,4.8.當乙的用水量超過4噸～即3x>4時～y,2×4×1.8，3×[(3x,4)，(5x,4)],24x,9.6.414.4x～0?x?～5,,44所以y,20.4x,4.8～<x?～,534,24x,9.6～x>.,3(2)由于y,f(x)在各段區(qū)間上均單調遞增～44，，,,當x?0～時～y?f<26.4,，，,,55444,，,,當x?～時～y?f<26.4,,，,,5334,,當x?～，?時～令24x,9.6,26.4～解得x,1.5.,,3所以甲戶用水量為5x,5×1.5,7.5噸～付費S,4×1.8，3.5×3,17.70(元),1乙戶用水量為3x,4.5噸～付費S,4×1.8，0.5×3,8.70(元)(21個防范——實際問題的定義域要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域(1個步驟——解決實際應用問題的一般步驟(1)審題:弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型;(2)建模:將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型;(3)求模:求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論;(4)還原:將數(shù)學問題還原為實際問題的意義(以上過程用框圖表示如下:答題模板——函數(shù)實際應用問題[典例](x?x高考)(本小題滿分x分)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位:米)，其中容器的中間為圓柱形，80π左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，3且l?2r.假設該容器的建造費用僅與其表面積有關(已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元(設該容器的建造費用為y千元((1)寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域;(2)求該容器的建造費用最小時的r.[快速規(guī)范審題]第(1)問1(審條件，挖解題信息觀察條件:中間為圓柱形，左右兩端均為半球形的容器，球的半徑為r，圓柱的母線3可根據(jù)體積公式建立關系式4πr80π2為l，以及容器的體積―――――――――――――?l,，πr33利用表面積公式，可求球及圓柱的表面積2―――――――――――――――――――?S,4πr，球S,2πrl.圓柱2(審結論，明確解題方向觀察所求結論:求y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域求總造價y，應求出球形部分及圓柱形部分各自的造價――――――――――――――――――――――――?2球形部分的造價為4πrc，圓柱型部分的造價為2πrl×3.3(建聯(lián)系，找解題突破口總造價y,球形部分的造價，圓柱型部分的造價，即3應消掉l，只保留r4πr80π804r22y,4πrc，2πrl×3――――――――?由，πrl,解得l,,，故可得建造費2333r3160π由l?2r可求r的范圍，即定義域22用y,,8πr，4πcr――――――――――――――――?0<r?2，問題得以解決(r第(2)問1(審條件，挖解題信息160π22觀察條件:建造費用y,,8πr，4πcr，定義域為(0,2](r2(審結論，明確解題方向建造費用最小，即y最小觀察所求結論:求該容器的建造費用最小時的r―――――――――――――?問題轉化為:當r為何值時，y取得最小值(3(建聯(lián)系，找解題突破口分析函數(shù)特點:含分式函數(shù)8π，c,2，20可利用導數(shù)研究函數(shù)的最值160π3,,r,――――――――――――――――?y′,,,16πr，8πcr,，22,,c,2rr3求導數(shù)為零的點200<r?2――――――――――?當r,時，y′,0c,2203討論與區(qū)間，的關系，求極值02，,c,2,,,,,,,,,,,332020分?2和0<<2兩種情況討論，并求得結論(c,2c,2[準確規(guī)范答題](1)設容器的容積為V～由題意知34π