知識點總結(jié)

知識點1常規(guī)計算

有理數(shù)混合運算的運算順序：

1、先乘方，再乘除，最后加減；

2、同級運算，從左到右進行；

3、如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號的順

序依次進行.

【方法總結(jié)】

根據(jù)有理數(shù)的混合運算順序和運算法則計算即可.本題主要考查有理數(shù)

的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算的順序和法則是解題的關(guān)鍵.

注意：絕對值符號有括號的作用.

知識點2運算律、規(guī)律計算

有理數(shù)的混合運算中，常用的運算律有：加法交換律、加法結(jié)合律、乘

法交換律、乘法結(jié)合律、乘法對加法的分配律、加法對乘法的分配律.

【方法總結(jié)】

本題主要考察了有理數(shù)混合運算的運算順序和分配律的使用，（1）和

（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟練掌握運算

律的使用是解本題的關(guān)鍵.

知識點3求代數(shù)式的值

重要結(jié)論：

互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,相反數(shù)等于自身的數(shù)是0;

互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1,倒數(shù)等于自身的數(shù)有T,1,倒數(shù)等

于自身的自然數(shù)是1;

最大的負整數(shù)是-1,最小的正整數(shù)是1,絕對值最小的有理

數(shù)是0;

有理數(shù)的混合運算:

1.有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級

運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運

算。

2.進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程

得到簡化。

有理數(shù)混合運算的四種運算技巧：

(1)轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三

是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算.

(2)湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相

同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組

求解.

(3)分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形

式，然后進行計算.

(4)巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往

使計算更簡便.

知識要點

1.計算的基本法則：包括：有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法、乘方

①加法：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.異號兩數(shù)相加，取

絕對值大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.一個數(shù)同0相

加，仍得這個數(shù)。

②乘法：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；當(dāng)負因數(shù)有奇數(shù)

個時，積為負；當(dāng)負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；有因數(shù)為零時，積就為零。

③除法：乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)；.兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，

絕對值相除；除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；0除以任何數(shù)等于0.0不能

做除數(shù)

④乘方：正數(shù)的任何次塞都是正數(shù)；負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正

數(shù).

2.運算的順序：

①有括號，先算括號里面的；

②先算乘方，再算乘除，最后算加減；

③對只含乘除，或只含加減的運算，應(yīng)從左往右運算。

3.去括號法則：括號前是一

4.運算律與運算技巧：包括加法的交換律、結(jié)合律；乘法的交換律、結(jié)合律；

分配律。小學(xué)階段的所有速算巧算技巧仍然適用。

5.特殊的運算：包括分數(shù)的裂項運算、等差數(shù)列的運算、

?特別強調(diào)：符號，符號，符號！??！

有理數(shù)混合運算的順序是：先算乘方，再算乘除，最后算

加減；如果有括號，要先算括號里面的；同級運算按從左

到右的順序進行。

例1計算：

16+(_2『-4x(-3)■O

分析：算式中含有減法、乘除、乘方運算，應(yīng)先算乘方，再算乘除，最

后算減法。但本題中(-2『與-4x(-3)可同時進行運算。

解：

原式=16+(-8)+2

=-2+12=10?

03

重視符號問題

有理數(shù)的運算都是先確定符號，再計算絕對值。

例2計算：

a

,(.3)+(_2^[(-3)-(-5)]o

分析：『是負數(shù)的偶次方，結(jié)果應(yīng)為正，而(：3『前面還有一個“」，，故

3)2的結(jié)果應(yīng)為負；『是負數(shù)的奇次方，結(jié)果應(yīng)為負；中括號里面是兩

個負數(shù)的減法運算，應(yīng)轉(zhuǎn)化為加法。

解：

原式=—9+(―8)+(―3+5)

=-9+(-8卜2=-9+(-4)=一13。

04

增強轉(zhuǎn)化意識

有時要根據(jù)實際情況，將除法轉(zhuǎn)化為乘法，將減法轉(zhuǎn)化為加

法，將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，甚至還要將帶分數(shù)轉(zhuǎn)化為加法，將

乘方轉(zhuǎn)化為乘法，甚至還要將帶分數(shù)轉(zhuǎn)化為假分數(shù)，將小數(shù)

轉(zhuǎn)化為分數(shù)，以方便運算。

例3計算：

分析：先將-［化為--1a,-1.4化為一-1弓，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法后面的減法

轉(zhuǎn)化為加法進行運算。

解：

原式一小斗.4+32

75

=-4x—x-+9=-5+9=4o

47

05

靈活使用運算律

有理數(shù)的運算律主要有：加法交換律、結(jié)合律，乘法交換

律、結(jié)合律和分配率。

例4計算：

2249

0.7xl9-+2-x(-14)+---14x3.25

9490

分析：這是一道有理數(shù)混合運算的綜合題，數(shù)比較復(fù)雜，要注意尋找特

49”7

—0.7x-

征，設(shè)法運用運算律簡化計算。注意到90可化為9,這樣，分別出現(xiàn)

了公因數(shù)0.7和-14,逆用乘法分配率可分別提取。

解：

原式=0.7*（吟+3-14、（2（+3.25

=0,7x20-14x6=14-84=-70

難點：處理混合運算中的運算順序，以及每一步運算的運算

符號

學(xué)法指導(dǎo)：混合運算出錯主要是以下三種，一是運算順序出

錯，二是符號出錯，三是計算出錯，由于七年級學(xué)生已有了

小學(xué)六年的計算基礎(chǔ)，所以第三種出錯率很少，基本就是第

一種和第二種，即順序出錯或符號出錯，那么我們在混合運

算中，主要就是圍繞這兩個易錯點進行反復(fù)強化，練就過硬

的運算技能.

對乘方的意義理解不到位，導(dǎo)致運算順序出錯

【例1】計算：-22-(-3)2X(-l)3-(-l)4

偌誤的解答..............................正確的解答。

—2^(—3yx—(—1/??????................—2?13)2乂(——(—1)4

=4—9X(—1)—1..................................................4—9X(—1)—1~

—4—(—9)—1......................................................——4—(—9)—

=-6....................................................................=4。

剖析：出錯的原因是把一2?當(dāng)成了(-2)2,正確的方法應(yīng)

該是先算2的平方，再算相反數(shù)；而這位同學(xué)是先算的2相

反數(shù)，再算一2的平方，從而造成的運算順序的錯亂，究其原

因是由于對乘方的意義理解不到位造成的.

應(yīng)對策略：因為加減法是最低級別的運算，所以可以保留

加減法，留待最后計算，為此可以將加號或減號作為分界

線，將算式分成若干段，如圖：

-r-c-sfxc-i^-c-i)4

計算3+22X(--)

解：原式=3+4x(—

3—3

=~=5

=11

■T

例1計算：18—6+(—2)x——

V3)

解：原式二18-(-3)x(--)

3

=18-1

=17

22,5

例2計算：(-3)x--+--

解法一：

解：原式=9x(一—)

=-11

解法二：「251

解：原式=9xq+(5)

=9x(-1)+9x(-t)

=一6+(-5)

=-11

計算：,、

-(八

8+(-3)2x(-2)100+(-2)--(-2)+--

解：解：',

8+(-3)2x(-2)100.(—2卜(―2)+j—1

=8+9x(-2)/3、

=8+(-18)=100+4-(-2卜1]

-—(18—8)=25-3

=—10=22

計算39X464646

787878

解:原式=39X案;案:

/O入1U1U1

46

=39X=23

78

計算

1998X199919991999-1999X199819981998

原式=1998X1999X100010001-

1999X1998X100010001

=0

計算18—6.(—2)x--

(1、

解:原式=18—(―3)x--

V3)

=18—1

=17

(2丫(

辨析:J-4-(-6)x1}

a

“)正確解法：

4

解源式=--4+2〃4r2>r1)

9解:原式二弓_--x-

3>

_4_2

-

149-9

V_2

-9

9(?、

計算(-3八--+--

JI力

(11}

解法一:原式=9x--

=-11

(2\，5、

解法二:原式=9x--+9x--

卜力kJ

=-6+(-5)

=—11

計算：

(2、

8+(-3)2X(-2)100+(-2『-(-2)——

I3J

解：解：

(

8+(-3)2X(-2)100.(-2)2—(—2).--

I3J

=8+9x(-2)(*

=8+(-18)=100+4-(-2)x--

I2J

=-(18-8)=25-3

=-10二22

18-6+(—2)x(—―)

解：18-6+(-2)x——

I3J

(

=18-(-3)x--

=18-1

=17

(-3)2X[-|+(-|)]

解法一(-3『x[一：+(一\)]=9x(一二)=一11

解法二(一3)2X[-；+(-，)]

25

=9x[——+(——)]

39

25

=9x(——)+9x(--)

39

=—6+(—5)=—11

6n5

算

計-X

524

6115

X?

53-2丁4

654

-XX

565

4

-

-一5

31

X--T

-164-8J

T3

=X8

同步習(xí)題

1Y

計算：—0.5?+—32+9+4-0.12

2;II

3

(n、/-.xlOO

計算：—32x--士(-0.5)2x-42x+(T)

I3J<-4y

1.填空

(1)(-L8)4-(-O.2)-(-2.3)

解：原式=-1.8-0.2+2.3=0.3；

⑵(一令2一(+盍1)+(5Y)

解：原式=____________

=；

(3)-3.8+1.2-(-7.2)

解：原式=_____________

(4)1.8+6.9-15.4+11.7-7.6

解：原式=_________________

(5)(—6)?(—3)X(-2)

解:原式=_________________

(6)(—X(——?*)

000

解：原式=_________________

⑺(T)X(_1力+(_2?

解:原式=_____________

(8)(-14)-r(-o.25)X1.75

解：原式=_________________

小靖:一微地，同，運，應(yīng)按從M___■■依次運算.

2.計算

(1)(-14

LtM0Lt

QXT11,2,,1.22

解：原式=-1yl-y+15=。n+5=寫；

(2)(-8)+44-(-2)+(-2)X(-3)?.

解:原式=_________________=_________；

(3)3X(-4)+(-28)-r(-7)-(-2)X(+6)^B包括，

解：原式==J/"些運算，先

23(算什么？

(4)42X(—^")十(—^")+(—0.25)

解:原式==;

(5)34-(-7)Xy-(-y)X2

解：原式=_________________

(6)一個十苧+(-2)X(一

解:原式=____________

=I

(7)35X(—*)+(-，)+(一().25)

74

解：原式=________________

=?

(8)6-r(-3)+17XO-(-^)X(-5-)

□L

解:原式，________________

小艷:含有加、■、乘、除四種運算時,應(yīng)先算，再尊.

7.<-',

3.計算

(1)3+23-32

解：原式=3+8-9-2；

(2)2X3-r(2)

解:原式-______________

(3)-24-r8x1

解:原式=

(4)3X1O3-2X1O4

解:原式=______________

(5)5X(-6)24-(-3)2X4

解:原式=5X36+9X4=

(6)2X(一3尸一3X(-2)'

解:原式=___________

解:原式=________________

(8)0.2+(-0.4)X(-0.5/+0?8+(-0.2)2

解：原式=.

小■:■■加■，、果、除方的海先，,再，

???_________________.

4.計算

(1)0+02+03+0，

解:原式==?

(2)0.1+0.1*12+0,F+0.V.

解：原式=____________________________

'=?

(3)0.5+0.52+0.5a4-0.545

解S原式=____________________________

(4)10+1024-103+101

解:原式==

(5)-14-(-1)2+(-1)3+(-1)<

解：原式==

解:原式==

(7)-5-X(4-)2X(—)3X(~)4

解:原式==

(8)(-y)-r(—"^-)2X(-y)3-i-(—y)4

解:原式=________________

思維導(dǎo)圖

稅的苻號：異號為-

同號為+

①ZE符同號取同m?取大號（大號：絕對值較為1口

代吟；

②定絕對值：同力礙減（同：同號兩數(shù)相加，力口：絕對值相

法則力口；異：異號兩數(shù)相加，減：絕對值相減）

、_交換律：a+b=b+a

運算律f-------------------

---------1結(jié)合律：，+（b+c）=（a+b）+c

加法同號先相加

同分母先拗口、

運算技巧互為相反數(shù)先相加

口物或者整十?dāng)?shù)的先相加

充分數(shù)叱為寫分敖或者看做整數(shù)部分加真分數(shù)部分

法則減去一于力吐這個數(shù)的相反數(shù)

a-（七）=a+b切忌：記成'負負得正”

減法

減法規(guī)律a+(-b)=a-(+b)=a-b

a-b看做的『b,運用加法法則直接做

同號得正,，異號得負,

切忌：與加法法*清！

三個及以上密相菊判斷結(jié)果的符號：奇負偶正

（奇偶：負的數(shù)的個數(shù)，正負：結(jié)果的符號）

axb=bxa

運算律克合律：ax(bxc)=(axb)XC

有分邨律：a*(b+c)=axb+axc

理①含有帶分數(shù)的乘法，必須先化成假分數(shù)；

數(shù)②分子分母全瞰汾沒了，結(jié)果是1,不是0；

注意③負號可以理解為上

的

混,除以擻

合''除法-----1——［便擻：女口果a禾口b的匹，另眩axb=1

運

一乘方：幾個相同因數(shù)的積的運算

算——■｛尋：乘方的結(jié)果谷高

書寫注意分數(shù)、鰻的乘方要加上括號（若不力嘴號/磁級了）

正數(shù)的嘉（底數(shù)為正數(shù)）正數(shù)的任何次募都是I璜?

負數(shù)的偶次幕（瞰為偶數(shù)）是正數(shù)

規(guī)律

^7?卜負數(shù)的奇次嘉是負數(shù)

0的尋0的任何I段級次募都是0

式：諫以1密n妨（1#|<10）

遇到億"字，楂百以10的8次方（萬'就是1。

的四次方），再把前面的數(shù)字移動〃康攵點，左