河北省石家莊市第二職業中學高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設∈R，則“＞”是“2＋－1＞0”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A2.定義在(-1,1)上的函數，設,且的零點均在區間(a,b)內，其中a,b∈z，a<b，則圓x2+y2=b-a的面積的最小值為

A．π B．2π C．3π D．4π參考答案：A3.設拋物線上一點P到y軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是（

）A.4 B.6 C.8 D.12參考答案：試題分析：先根據拋物線的方程求得拋物線的準線方程，根據點P到y軸的距離求得點到準線的距離進而利用拋物線的定義可知點到準線的距離與點到焦點的距離相等，進而求得答案．解：拋物線y2=8x的準線為x=﹣2，∵點P到y軸的距離是4，∴到準線的距離是4+2=6，根據拋物線的定義可知點P到該拋物線焦點的距離是6故選B4.如圖，三行三列的方陣中有9個數aij（i=1，2，3；j=1，2，3），從中任取三個數，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】D9：排列、組合及簡單計數問題；CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】從9個數中任取3個數共有C93=84種取法，求得不滿足要求的選法共有6種，可得滿足條件的選法有84﹣6=78種，從而求得所求事件的概率．【解答】解：從9個數中任取3個數共有C93=84種取法，取出的三個數，使它們不同行且不同列：從第一行中任取一個數有C13種方法，則第二行只能從另外兩列中的兩個數任取一個有C12種方法，第三行只能從剩下的一列中取即可有1中方法，∴共有×=6種方法，即三個數分別位于三行或三列的情況有6種，∴所求的概率為

=．故答案選

D．【點評】本題考查簡單計數原理和組合數公式的應用、概率的計算公式，直接解法較復雜，采用間接解法比較簡單．5.在梯形ABCD中，=3，則等于（）A．﹣+ B．﹣+ C．﹣+ D．﹣﹣參考答案：A【考點】向量數乘的運算及其幾何意義．【分析】根據幾何圖形得出=+==，注意向量的化簡運用算．【解答】解：∵在梯形ABCD中，=3，∴=+==故選：A6.已知雙曲線x2+=1的焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】先由題中條件求出焦點坐標和漸近線方程，再代入點到直線的距離公式即可求出結論．【解答】解∵x2+=1表示雙曲線，∴b2＜4，方程x2+=1可化為，取一個焦點坐標為（，0），漸近線方程為：y=±∵焦點到漸近線的距離為2，∴=2，解得=2∴雙曲線的漸近線方程為y=±2x，故選：C7.為了從甲乙兩人中選一人參加校籃球隊，教練將二人最近6次籃球比賽的得分數進行統計，甲乙兩人的平均得分分別是、，則下列說法正確的是（

）A.，乙比甲穩定，應選乙參加比賽 B.，甲比乙穩定，應選甲參加比賽C.，甲比乙穩定，應選甲參加比賽 D.，乙比甲穩定，應選乙參加比賽參考答案：B【分析】先計算出甲乙兩個學生的平均得分，再分析得解.【詳解】由題得，，所以.從莖葉圖可以看出甲的成績較穩定，所以要派甲參加.故選：B【點睛】本題主要考查平均數的計算和莖葉圖，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知F是橢圓C：的左焦點，P為C上一點，，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．參考答案：D設橢圓的右焦點為，由，則，根據橢圓的定義可得，所以

9.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，當輸入x的值為-25時，輸出x的值為（

）（A）-1

（B）1

（C）3

（D）9參考答案：C10.設是直線的傾斜角，且，則的值為（

）

A．；

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.銳角△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=4，b=3，且△ABC的面積為，則c=________．參考答案：解：由題意得，又銳角，所以，由余弦定理得12.已知直線與互相垂直，則____________.參考答案：2或-3略13.已知無窮等比數列{an}中，，，則=．參考答案：【考點】數列的極限．【分析】設無窮等比數列{an}的公比為q，運用等比數列的通項公式解方程可得q，再由等比數列的前n項和的公式，結合極限公式，即可得到所求值．【解答】解：設無窮等比數列{an}的公比為q，由，，可得q?q2=﹣，解得q=﹣，則====．故答案為：．14.若曲線在點處的切線平行于軸，則

．參考答案：本題考查切線方程、方程的思想.依題意15.在矩形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點，且滿足，則的取值范圍是

參考答案：[1,4].設=（0≤≤1），則=,=，則===+++,又∵=0，∴=，∵0≤≤1，∴1≤≤4，即的取值范圍是[1,4].16.某企業有甲、乙兩個研發小組，他們研發新產品成功的概率分別為和．現安排甲組研發新產品A，乙組研發新產品B，設甲、乙兩組的研發相互獨立，則至少有一種新產品研發成功的概率為．參考答案：【考點】C9：相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】利用對立事件的概率公式，計算即可，【解答】解：設至少有一種新產品研發成功的事件為事件A且事件B為事件A的對立事件，則事件B為一種新產品都沒有成功，因為甲乙研發新產品成功的概率分別為和．則P（B）=（1﹣）（1﹣）=，再根據對立事件的概率之間的公式可得P（A）=1﹣P（B）=，故至少有一種新產品研發成功的概率．故答案為．17.已知可以表示為一個奇函數與一個偶函數之和，則

____________________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ex?cosx，g（x）=x?sinx，其中e為自然對數的底數；（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）若對任意x∈[﹣，0]，不等式f（x）≥g（x）+m恒成立，求實數m的取值范圍；（Ⅲ）試探究x∈[﹣，]時，方程f（x）﹣g（x）=0解的個數，并說明理由．參考答案：考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；函數零點的判定定理；利用導數求閉區間上函數的最值．專題：導數的綜合應用．分析：（Ⅰ）求出函數y=f（x）的導函數，得到函數在點（0，f（0））處的導數值，再求得f（0），然后利用直線方程的點斜式得切線方程；（Ⅱ）利用導數求出函數在[﹣，0]上的最小值，函數g（x）在[﹣，0]上的最大值，把不等式f（x）≥g（x）+m恒成立轉化為兩個函數最值間的關系求得實數m的取值范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）中的單調性即可說明方程f（x）﹣g（x）=0在[﹣，0]上有一解，再利用導數判斷兩函數在（0，]上的單調性，結合單調性與極值說明在（0，]上方程f（x）﹣g（x）=0也只有一解．解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ex?cosx，得f′（x）=excosx﹣exsinx=ex（cosx﹣sinx）．∴f′（0）=e0（cos0﹣sin0）=1，又f（0）=e0cos0=1，∴曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=x+1；（Ⅱ）∵f′（x）=ex?cosx﹣exsinx=ex（cosx﹣sinx），當x∈[﹣，0]時f′（x）＞0，f（x）在[﹣，0]上為增函數，則，g′（x）=sinx+xcosx，當x∈[﹣，0]時，g′（x）≤0，g（x）在[﹣，0]上為減函數，則．要使不等式f（x）≥g（x）+m恒成立，則恒成立，∴．故實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當x∈[﹣，0]時，f（x）為增函數，g（x）為減函數，且f（﹣）＜g（﹣），f（0）＞g（0），∴在[﹣，0]上方程f（x）﹣g（x）=0有一解；當x∈（0，]時，g′（x）=sinx+xcosx＞0，函數g（x）在（0，]上為增函數，當x∈（0，）時，f′（x）=ex（cosx﹣sinx）＞0，當x∈（，]時，f′（x）=ex（cosx﹣sinx）＜0，∴在（0，]上f（x）有極大值，而f（）=＞=g（），，g（）=1．∴在（0，]上方程f（x）﹣g（x）=0也只有一解．∴x∈[﹣，]時，方程f（x）﹣g（x）=0解的個數是2個．點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數求函數的最值，訓練了函數零點的判斷方法，分類討論是解答該提的關鍵，是壓軸題．19.如圖（1），在三角形中，，若，則；若類比該命題，如圖（2），三棱錐中，面，若點在三角形所在平面內的射影為，則有什么結論？命題是否是真命題．

參考答案：解析：命題是：三棱錐中，面，若點在三角形所在平面內的射影為，則有是一個真命題．證明如下：在圖（2）中，連結，并延長交于，連結，則有．因為面，，所以．又，所以．于是．20.如果存在常數a，使得數列{an}滿足：若x是數列{an}中的一項，則也是數列{an}中的一項，稱數列{an}為“兌換數列”，常數a是它的“兌換系數”.（1）若數列：是“兌換系數”為a的“兌換數列”，求m和a的值；（2）已知有窮等差數列{bn}的項數是，所有項之和是B，求證：數列{bn}是“兌換數列”，并用和B表示它的“兌換系數”；（3）對于一個不小于3項，且各項皆為正整數的遞增數列{cn}，是否有可能它既是等比數列，又是“兌換數列”？給出你的結論，并說明理由.參考答案：（1）a=6,m=5；（2）見解析；（3）本試題主要考查了數列的運用。解：（1）因為數列：1,2,4(m>4)是“兌換系數”為a的“兌換數列”所以a-m,a-4,a-2,a-1也是該數列的項，且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分故a-m=1,a-4=2-------------------3分即a=6,m=5-------------------4分（2）設數列的公差為d，因為數列是項數為項的有窮等差數列若即對數列中的任意一項-------------------6分同理可得：若，也成立，由“兌換數列”的定義可知，數列是“兌換數列”；-------------------8分又因為數列所有項之和是B，所以，即------10分（3）假設存在這樣等比數列，設它的公比為q,(q>1)，因為數列為遞增數列，所以又因為數列為“兌換數列”，則，所以是正整數故數列必為有窮數列，不妨設項數為n項，------------------12分則----------14分①n=3則有，又，由此得q=1，與q>1矛盾；-------------------15分②若。由，即()，故q=1，與q>1矛盾；-------------------17分綜合①②得，不存在滿足條件的數列。-------------------18分21.已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）若函數有兩個極值點且恒成立，求實數m的取值范圍.參考答案：（1）時，增區間為；時，增區間為；時，增區間為，；（2）.【分析】（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，令求得的范圍，可得函數增區間；（2）由（1）知，且，，恒成立，可化為恒成立，利用導數求出函數，的最小值即可得結果.【詳解】（1）函數的定義域為，，令，，若時，，在恒成立，函數在上單調遞增.若，，方程，兩根為，，當時，，，，單調遞增.當時，，，，，單調遞增，，，單調遞增.綜上，時，函數單調遞增區間為，時，函數單調遞增區間為，時，函數單調遞增區間為，.（2）由（1）知，存在兩個極值點時，且，，則，，且，.此時恒成立，可化為恒成立，設，，，因為，所以，，所以，