1/12022北京師達中學初二（下）期中數學一、選擇題（本題共20分，每小題2分）1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．2．計算的結果為A．2 B．4 C． D．3．以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是A．2，3，4 B．，，2 C．6，8，10 D．1，，4．如圖，數軸上點表示的數為1，，且，以原點為圓心，為半徑畫弧，交數軸正半軸于點，則點所表示的數為A． B． C． D．5．在中，，則的度數為A． B． C． D．6．如圖，等邊的邊長為6，于點，則的長為A．3 B．6 C． D．7．如圖，長方形內，兩個小正方形的面積分別是18，2，則圖中陰影部分的面積為A．4 B．9 C．6 D．8．如圖，在中，，，的平分線交于點，則的長為A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，四邊形中，、分別是，邊的中點，、分別是對角線，的中點，若，則線段的長是A．3 B．4 C．6 D．1210．如圖，中，，．沿著中線將剪開得到兩個直角三角形，然后再將這兩個直角三角形拼成一個平行四邊形（無縫隙不重疊），則所拼成的平行四邊形的周長不可能是A．12 B．14 C．16 D．18二、填空題（本題共24分，每小題3分）11．（3分）若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是．12．（3分）用一組，的值說明命題“如果，那么”是假命題，這組值可以是，．13．（3分）如圖，平面直角坐標系中，的頂點，，在坐標軸上，，，點在第一象限，則點的坐標是．14．（3分）圖1中的直角三角形斜邊長為4，將四個圖1中的直角三角形分別拼成如圖2所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為，，則的值為．15．（3分）《九章算術》中有“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原來高1丈丈尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？如圖，設折斷處距離地面尺，根據題意，可列方程為．16．（3分）當，代數式的值是．17．（3分）如圖，的對角線交于點，點，，，分別是四條邊上不重合的點．下列條件能判定四邊形是平行四邊形的有（填序號）．①，；②，均經過點；③經過點，．18．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點，，點是軸上的一個動點．（1）用含的式子表示線段的長是；（2）結合圖形，判斷式子的最小值是．三、解答題（共56分，第19題8分，20、21每題5分，22-25每題6分，27、28每題7分）19．（8分）計算：（1）；（2）．20．（5分）下面是小東設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規作圖過程．已知：直線及直線外一點．求作：直線，使得．作法：如圖，①在直線上取一點，作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點；②在直線上取一點（不與點重合），作射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交的延長線于點；③作直線．所以直線就是所求作的直線．根據小東設計的尺規作圖過程，（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：，，（填推理的依據）．21．（5分）如圖，四邊形是平行四邊形，點，分別是，邊上的點，且．求證：．22．（6分）如圖，在正方形網格中，每個小方格的頂點叫做格點，設每個小正方形的邊長為1．以格點為頂點分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫一個直角三角形，使它的斜邊長為；（2）在圖2中，畫一個等腰三角形，使它的底邊長為，腰長為5；（3）在圖3中，畫一個等腰直角三角形，使它斜邊長為．23．（6分）如圖，四邊形中，，，，，求的度數．24．（6分）我們規定用表示一對數對，給出如下定義：記，（其中，，將與稱為數對的一對“和諧數對”．例如：的一對“和諧數對”為，和．（1）數對的一對“和諧數對”是；（2）若數對的一對“和諧數對”相同，則的值為；（3）若數對的一個“和諧數對”是，，則的值為．25．（6分）如圖，點，是對角線上的兩點，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，，，．①線段長為．②四邊形的面積為．26．（7分）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在中，分別交于，交于．已知，，，求的值．小明發現，過點作，交延長線于點，構造，經過推理和計算能夠使問題得到解決（如圖．請回答：的值為．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，已知和矩形，與交于點，，求的度數．27．（7分）在中，為邊上的中線，點在邊上（不與點重合），若，那么線段的中點稱為關于的“斜等點”（如圖1所示）．在平面直角坐標系中，的頂點與原點重合，點的坐標為，，點在軸上方．（1）當時，若存在關于的“斜等點”點，①下列各點中，符合題意的點可能是（不必寫出坐標）．，，，，．②設關于的“斜等點”的坐標為，若，則的取值范圍是，的取值范圍是．（2）若關于的“斜等點”為定點，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共20分，每小題2分）1．【分析】利用最簡二次根式：分母中不含根號，根號中不含分母，被開方數不含能開方的因數，判斷即可．【解答】解：、原式，不符合題意；、原式，不符合題意；、原式，不符合題意；、原式為最簡二次根式，符合題意．故選：．【點評】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關鍵．2．【分析】根據二次根式的性質即可求出答案．【解答】解：原式，故選：．【點評】本題考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質，本題屬于基礎題型．3．【分析】根據勾股定理的逆定理，進行計算即可解答．【解答】解：、，，，以三條線段2，3，4為邊不能組成直角三角形，故不符合題意；、，，，以三條線段，，2為邊不能組成直角三角形，故不符合題意；、，，，以三條線段6，8，10為邊能組成直角三角形，故符合題意；、，，，以三條線段1，，為邊不能組成直角三角形，故不符合題意；故選：．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．4．【分析】根據勾股定理，結合數軸即可得出結論．【解答】解：如圖，在中，，則．以為圓心，以為半徑畫弧，交數軸的正半軸于點，，點表示的實數是．故選：．【點評】本題考查的是勾股定理，實數與數軸以及復雜作圖，熟知實數與數軸上各點是一一對應關系是解答此題的關鍵．5．【分析】由平行四邊形的性質可得，，即可求的度數．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，．．．解得：，．．故選：．【點評】本題主要考查的是平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．6．【分析】根據等邊三角形的性質可知是的中點，再根據勾股定理，即可求出的長．【解答】解：在等邊中，，為的中點，等邊三角形的邊長為6，，，根據勾股定理，得，故選：．【點評】本題考查了等邊三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．7．【分析】根據兩個小正方形的面積分別是18，2，可以得到和的長，然后即可表示出陰影部分的長和寬，然后即可計算出圖中陰影部分的面積．【解答】解：兩個小正方形的面積分別是18，2，，，陰影部分的長為：，寬為：，圖中陰影部分的面積為：，故選：．【點評】本題考查二次根式的應用，解答本題的關鍵是表示出陰影部分的長和寬．8．【分析】由四邊形是平行四邊形，可得，，，得，又由平分，可得，根據等角對等邊，可得，所以求得．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，，平分，，，，．故選：．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、角平分線的定義與等腰三角形的判定定理．解決本題的關鍵是注意當有平行線和角平分線出現時，會出現等腰三角形．9．【分析】根據三角形中位線定理解答即可．【解答】解：、分別是，邊的中點，，、分別是，邊的中點，，故選：．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．10．【分析】根據等腰三角形的性質以及平行四邊形的判定，可以動手拼湊，得出答案．【解答】解：過點作于點，，，，故，如圖1所示：，，則平行四邊形的周長為：18；如圖2所示：，，則平行四邊形的周長為：14；如圖3所示：，，則平行四邊形的周長為：16；綜上所述：用這兩個三角形拼成平行四邊形，則其周長為：14或16或18．故選：．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定以及等腰三角形的性質，通過動手操作得出答案是解決問題的關鍵．二、填空題（本題共24分，每小題3分）11．【分析】直接利用二次根式的定義得出答案．【解答】解：在實數范圍內有意義，，解得：．故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確得出的值是解題關鍵．12．【分析】當，時，，滿足，但，由此即可說明命題“如果，那么”是假命題．【解答】解：若，，則，但，故命題“如果，那么”是假命題，故答案為：，1．【點評】本題考查的是命題的真假判斷、有理數的乘方，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．13．【分析】根據等腰三角形的性質得出，再利用平行四邊形的對邊相等解答即可．【解答】解：，，，，，四邊形是平行四邊形，，點的坐標為，故答案為：．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，同時考查了坐標與圖形特點，關鍵是根據等腰三角形的性質得出解答．14．【分析】根據勾股定理即可得到結論．【解答】解：如圖，是直角三角形，，故答案為：16．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．15．【分析】由竹子的原高可得出竹梢到折斷處的長度為尺，利用勾股定理，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：竹子原高一丈丈尺），折斷處離地面的高度為尺，竹梢到折斷處的長度為尺．依題意得：．故答案為：．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．16．【分析】將所求式子進行配方處理，再將已知條件代入即可．【解答】解：，，，故答案為25．【點評】本題考查二次根式求值；能夠將所求式子進行配方處理是解題的關鍵．17．【分析】若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形，②③不能證明對角線互相平分，只有①④可以，即可得出結論．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，①，，，，，，，，則四邊形是平行四邊形；故①能判定四邊形是平行四邊形；②的對角線交于點，，均經過點，，，則四邊形是平行四邊形；故②能判定四邊形是平行四邊形；③經過點，．，的位置未知，故③不能判定四邊形是平行四邊形；綜上所述：能判定四邊形是平行四邊形的有①②．故答案為：①②．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．18．【分析】（1）由兩點間的距離公式可得答案；（2）作點關于軸的對稱點，連接，由圖形可得式子表示，再根據的最小值即線段的長可得答案．【解答】解：（1），故答案為：；（2）由圖形可得式子表示，如圖，作點關于軸的對稱點，連接，根據對稱性可得的最小值即線段的長，由兩點間的距離公式可得．故答案為：5．【點評】本題考查軸對稱最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合本節所學軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．三、解答題（共56分，第19題8分，20、21每題5分，22-25每題6分，27、28每題7分）19．【分析】（1）先把每一個二次根式化成最簡二次根式，然后再進行計算即可解答；（2）利用平方差公式，進行計算即可解答．【解答】解：（1）；（2）．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地把每一個二次根式化成最簡二次根式是解題的關鍵．20．【分析】（1）根據題目要求作出圖形即可；（2）利用三角形中位線定理證明即可；【解答】（1）解：直線如圖所示；（2）證明：，，（三角形中位線定理）．故答案為：，，三角形中位線定理；【點評】本題考查作圖復雜作圖，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．21．【分析】由平行四邊形，則可得，且，又有，則可得，且，即可得四邊形是平行四邊形，進而可得出．【解答】證明：四邊形是平行四邊形，，且，又，，且，四邊形是平行四邊形，．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵．22．【分析】（1）根據直角三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；（2）根據等腰三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；（3）根據等腰直角三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可；【解答】解：（1）如圖1中，即為所求；（2）如圖2中，即為所求；（3）如圖3中，即為所求．【點評】本題考查作圖應用與設計作圖，等腰三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題關鍵是學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型．23．【分析】連接，根據等腰直角三角形的性質可得，，然后再利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，然后進行計算即可解答．【解答】解：連接，，，，，，，，，，是直角三角形，，，的度數為．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．24．【分析】（1）根據新定義即可得出結論；（2）根據新定義，列等式，解方程進而得出結論；（4）根據新定義，列方程組，解出進而得出結論．【解答】解：（1），，數對的一對“和諧數對”是，和，，故答案為：，和，；（2）數對的一對“和諧數對”相同，；故答案為：；（3）數對的一個“和諧數對”是，，或，解得或，或2．故答案為：或2．【點評】此題主要考查了新定義，解方程組，解方程，理解和應用新定義是解本題的關鍵．25．【分析】（1）連接交于．只要證明，即可．（2）①在中，，由推出，即可得；②過點作于，利用面積法得，根據平行四邊形的性質得，，證明，則，由此即可解決問題．【解答】（1）證明：連接交于．四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：①在中，，，，，，故答案為：2；②過點作于，，，，，，，解得，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，，．故答案為：．【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質、勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質，靈活運用勾股定理解決問題嗎，屬于中考常考題型．26．【分析】由，，可證得四邊形是平行四邊形，即可得，，即可得，然后利用勾股