專題07解答中檔題：實際問題與解三角形1．（2023?上海）“中國石化”推出促銷活動，一張加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用這張加油卡加油，每一升油，油的單價降低0.30元．假設這張加油卡的面值能夠一次性全部用完．（1）他實際花了多少錢購買會員卡？（2）減價后每升油的單價為元升，原價為元升，求關于的函數解析式（不用寫出定義域）．（3）油的原價是7.30元升，求優惠后油的單價比原價便宜多少元？【答案】（1）實際花了900元購買會員卡；（2）；（3）優惠后油的單價比原價便宜1.00元【詳解】（1）由題意知，（元，答：實際花了900元購買會員卡；（2）由題意知，，整理得，關于的函數解析式為；（3）當時，，，優惠后油的單價比原價便宜1.00元．2．（2022?上海）我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿的長．（1）如圖（1）所示，將一個測角儀放置在距離燈桿底部米的點處，測角儀高為米，從點測得點的仰角為，求燈桿的高度．（用含，，的代數式表示）（2）我國古代數學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義．如圖（2）所示，現將一高度為2米的木桿放在燈桿前，測得其影長為1米，再將木桿沿著方向移動1.8米至的位置，此時測得其影長為3米，求燈桿的高度．【答案】（1）燈桿的高度為米；（2）燈桿的高度為3.8米【詳解】（1）如圖：由題意得：米，米，，，在中，（米，米，燈桿的高度為米；（2）由題意得：米，米，，，，，，，，，，，米，，米，燈桿的高度為3.8米．3．（2021?上海）現在手機非常流行，某公司第一季度總共生產80萬部手機，三個月生產情況如圖．（1）求三月份生產了多少部手機？（2）手機速度很快，比下載速度每秒多，下載一部的電影，比要快190秒，求手機的下載速度．【答案】（1）36萬部；（2）手機的下載速度是每秒【詳解】（1）（萬部），答：三月份生產了36萬部手機；（2）設手機的下載速度是每秒．則手機的下載速度是每秒．，解得：，（不合題意，舍去），經檢驗，是原方程的解，答：手機的下載速度是每秒．4．（2020?上海）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業額為450萬元，第七天的營業額是前六天總營業額的．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額；（2）去年，該商店7月份的營業額為350萬元，8、9月份營業額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業額與9月份的營業額相等．求該商店去年8、9月份營業額的月增長率．【答案】（1）504萬元；（2）該商店去年8、9月份營業額的月增長率為【詳解】（1）（萬元）．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業額為504萬元．（2）設該商店去年8、9月份營業額的月增長率為，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該商店去年8、9月份營業額的月增長率為．5．（2019?上海）圖1是某小型汽車的側面示意圖，其中矩形表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋可以繞點逆時針方向旋轉，當旋轉角為時，箱蓋落在的位置（如圖2所示）．已知厘米，厘米，厘米．（1）求點到的距離；（2）求、兩點的距離．【答案】（1）厘米；（2）、兩點的距離是厘米【詳解】（1）過點作，垂足為點，交于點，如圖3所示．由題意，得：厘米，．四邊形是矩形，，．在△中，厘米．又厘米，厘米，厘米，厘米．答：點到的距離為厘米．（2）連接，，，如圖4所示．由題意，得：，，是等邊三角形，．四邊形是矩形，．在中，厘米，厘米，厘米，厘米．答：、兩點的距離是厘米．6．（2023?徐匯區二模）小明家的花灑的實景圖及其側面示意圖分別如圖1、圖2所示，花灑安裝在離地面高度160厘米的處，花灑的長度為20厘米．（1）已知花灑與墻面所成的角，求當花灑噴射出的水流與花灑成的角時，水流噴射到地面的位置點與墻面的距離．（結果保留根號）（2）某店鋪代理銷售這種花灑，上個月的銷售額為2400元，這個月由于店鋪舉行促銷活動，每個花灑的價格比上個月便宜20元，因此比上個月多賣出8個的同時銷售額也上漲了400元，求這個此款花灑的原價是多少元？【答案】（1）水流噴射到地面的位置點與墻面的距離為厘米；（2）這個此款花灑的原價是120元【詳解】（1）如圖，過點作，作，，垂足分別為，，，，，厘米，厘米，厘米，厘米，，，，厘米，（厘米），答：水流噴射到地面的位置點與墻面的距離為厘米；（2）設每個花灑的原價是元，則現在的價格是元，根據題意得：，解得或（舍去），經檢驗：是原方程的解，答：這個此款花灑的原價是120元．7．（2023?楊浦區二模）如圖，某水渠的橫斷面是以為直徑的半圓，其中水面截線，小明在處測得點處小樹的頂端的仰角為，已知小樹的高為1.75米．（1）求直徑的長；（2）如果要使最大水深為2.8米，那么此時水面的寬度約為多少米．（結果精確到0.1米，參考數據：，【答案】（1）直徑的長為7米；（2）水面的寬度約為6.7米【詳解】（1）小明在處測得點處小樹的頂端的仰角為，，，，，米，，（米，答：直徑的長為7米；（2）過點作于，并延長交于，連接，如圖：，米，的直徑為7米，米米，在中，，（米，（米．答：水面的寬度約為6.7米．8．（2023?徐匯區一模）如圖，是一個放置于水平桌面的平板支架的示意圖，底座的高為，寬為，點是的中點，連桿、的長度分別為和，，且連桿、與始終在同一平面內．（1）求點到水平桌面的距離；（2）產品說明書提示，若點與的水平距離超過的長度，則該支架會傾倒．現將調節為，此時支架會傾倒嗎？（參考數據：，，，【答案】（1）；（2）此時支架不會傾倒【詳解】作于，于，，，，．點到水平桌面的距離是；（2）作交延長線于，作于，，，，，，，，此時支架不會傾倒．9．（2023?楊浦區一模）如圖，某條道路上通行車輛限速為60千米小時，在離道路50米的點處建一個監測點，道路的段為監測區．在中，已知，，車輛通過段的時間在多少秒以內時，可認定為超速？（精確到0.1秒）（參考數據：【答案】車輛通過段的時間在8.196秒以內時，可認定為超速【詳解】過作于，如圖：由已知可得，米，在中，，，米，在中，，米，米，千米小時米秒，而（秒，車輛通過段的時間在8.196秒以內時，可認定為超速．10．（2023?黃浦區二模）小麗與媽媽去商場購物，商場正在進行打折促銷，規則如下：優惠活動一：任選兩件商品，第二件半價（兩件商品價格不同時，低價商品享受折扣）；優惠活動二：所有商品打八折．（兩種優惠活動不能同享）（1）如果小麗的媽媽看中一件價格600元的衣服和一雙500元的鞋子，那么她選擇哪個優惠活動會更劃算？請通過計算說明；（2）如果小麗的媽媽想將之前看中的鞋子換成一條褲子，當褲子價格（褲子價格低于衣服價格）低于多少元時，小麗會推薦媽媽選擇優惠活動二？為什么？【答案】（1）她選擇優惠活動一會更劃算；（2）活動二【詳解】（1）選擇優惠活動一需支付費用為（元；選擇優惠活動二需支付費用為（元．，她選擇優惠活動一會更劃算；（2）當褲子價格（褲子價格低于衣服價格）低于400元時，小麗會推薦媽媽選擇優惠活動二，理由如下：設褲子的價格為元，則選擇優惠活動一需支付元，選擇優惠活動二需支付元，根據題意得：，解得：，當褲子價格（褲子價格低于衣服價格）低于400元時，小麗會推薦媽媽選擇優惠活動二．11．（2023?虹口區一模）如圖1是鋼琴緩降器，圖2和圖3是鋼琴緩降器兩個位置的示意圖．是緩降器的底板，壓柄可以繞著點旋轉，液壓伸縮連接桿的端點、分別固定在壓柄與底板上已知．（1）如圖2，當壓柄與底座垂直時，約為，求的長；（2）現將壓柄從圖2的位置旋轉到與底座成角（即，如圖3所示，求此時液壓伸縮連接桿的長．（結果保留根號）（參考數據：，，；，，【答案】（1）；（2）此時液壓伸縮連接桿的長為【詳解】（1）在中，，，，，．答：的長為；（2）在圖3中，過點作于點．在中，，，，，，，．在中，，，，．答：此時液壓伸縮連接桿的長為．12．（2023?嘉定區二模）、兩城間的鐵路路程為1800千米．為了縮短從城到城的行駛時間，列車實施提速，提速后速度比提速前速度每小時增加20千米．（1）如果列車提速前速度是每小時80千米，提速后從城到城的行駛時間減少小時，求的值；（2）如果提速后從城到城的行駛時間減少3小時，又這條鐵路規定：列車安全行駛速度不超過每小時140千米．問列車提速后速度是否符合規定？請說明理由．【答案】（1）（小時）（2）問列車提速后速度符合規定【詳解】（1）列車提速前速度是每小時80千米，提速后速度是每小時100千米，（小時）．（2）列車提速后速度符合規定，理由如下：設列車提速后速度是每小時千米，則列車提速前速度是每小時千米，根據題意得，解得，，經檢驗，，都是原方程的解，但不符合題意，舍去．提速后速度是每小時120千米，這個速度不超過每小時140千米．問列車提速后速度符合規定．13．（2023?普陀區一模）如圖，光從空氣斜射入水中，入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角；入射光線射到水池的水面點后折射光線射到池底點處，入射角，折射角．，、為法線．入射光線、和折射光線、及法線、都在同一平面內，點到直線的距離為6米．（1）求的長；（結果保留根號）（2）如果米，求水池的深．（參考數據：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取【答案】（1）米；（2）水池的深約為4米【詳解】（1）作，交的延長線于點，則，，，，，，，米，（米，（米，（米，即的長為米；（2）設水池的深為米，則米，由題意可知：，．米，（米，（米，，，解得，即水池的深約為4米．14．（2023?閔行區二模）如圖，在修建公路時，需要挖掘一段隧道，已知點、、、在同一直線上，，，米；（1）求隧道兩端、之間的距離（精確到個位）；（參考數據：，，．（2）原計劃單向開挖，但為了加快施工進度，從、兩端同時相向開挖，這樣每天的工作效率提高了，結果提前2天完工．問原計劃單向開挖每天挖多少米？【答案】（1）隧道兩端、之間的距離約為1200米；（2）原計劃單向開挖每天挖100米【詳解】（1），，，在中，，，（米，答：隧道兩端、之間的距離約為1200米；（2）設有原計劃每天開挖米，則實際每天開挖米，由題意得，，解得，經檢驗，是原方程的解，答：原計劃單向開挖每天挖100米．15．（2023?寶山區一模）如圖，某小區車庫頂部是居民健身平臺，在平臺上垂直安裝了太陽能燈．已知平臺斜坡的坡度，坡長為6米．在坡底處測得燈的頂端的仰角為，在坡頂處測得燈的頂端的仰角為，求燈的頂端與地面的距離．（結果保留根號）【答案】燈的頂端與地面的距離為米【詳解】過點作于點，過點作于點，由題意得，米，，，，，斜坡的坡度，，即，在中，由勾股定理得，解得，米，米，設米，則米，在中，，解得，米，在中，，，即，解得，米．燈的頂端與地面的距離為米．16．（2023?靜安區二模）已知小明家、街心公園、超市依次在同一直線上，小明家與街心公園相距900米，小明家與超市相距1200米，小明和媽媽從家里出發，勻速步行了20分鐘到達街心公園；兩人在公園停留20分鐘后，媽媽按原來相同的速度勻速步行返回家，小明則勻速步行5分鐘到達超市購買文具用品，停留10分鐘后，勻速騎自行車返回家，發現媽媽比他早到家10分鐘，如圖反映了這個過程中小明離開家的距離（米與離開家的時間（分鐘）的對應關系，請根據相關信息，解答下列問題：（1）小明從家到街心公園的速度為（米分）；（2）小明從街心公園到超市的速度為（米分）；（3）小明從超市騎車返回家時，求他離開家的距離（米與離開家的時間（分鐘）的函數解析式，并寫出的取值范圍．【答案】（1）45；（2）60；（3）【詳解】（1）由圖可得，小明從家到街心公園的速度為：（米分鐘），故答案為：45；（2）由圖可得，小明從街心公園到超市的速度為：（米分鐘），故答案為：60；（3）小明從超市騎車返回家時，設他離開家的距離（米與離開家的時間（分鐘）的函數解析式是，由圖可得，點在該函數圖象上，由題意可得，點在該函數圖象上，，解得，即小明從超市騎車返回家時，他離開家的距離（米與離開家的時間（分鐘）的函數解析式是．17．（2023?崇明區二模）在疫情防控常態化的背景下，某學校為了定期做好專用教室的消毒工作，計劃購買甲、乙兩種類型的消毒劑，預計購進乙種類型消毒劑的數量（瓶與甲種類型消毒劑的數量（瓶之間的函數關系如圖所示．（1）求關于的函數解析式（不必寫出自變量的取值范圍）；（2）該學校用2100元選購了甲種類型的消毒劑，用2400元選購了乙種類型的消毒劑，甲種消毒劑的單價比乙種消毒劑的單價貴30元，求選購的甲、乙消毒劑的數量．【答案】（1）；（2）選購甲消毒液30瓶，選購乙消毒液60瓶【詳解】（1）設與之間的函數關系式，把，代入，得：，解得：，與之間的函數關系式為；（2）根據題意得：，整理得，解得或，經檢驗，是原方程的根，當時，，答：選購甲消毒液30瓶，選購乙消毒液60瓶．18．（2023?長寧區一模）某校開展數學周系列活動，舉辦了“測量”為主題的實踐活動．小杰所在小組準備借助無人機來測量小區內的一座大樓高度．如圖所示：無人機從地面點處沿著與地面垂直的方向上升，至點處時，測得大樓底部的俯角為，測得大樓頂部的仰角為．無人機保持航向不變繼續上升50米到達點處，此時測得大樓頂部的俯角為．已知、兩點在同一水平線上，根據以上信息，請幫小杰小組計算大樓的高度．（結果保留根號）【答案】大樓的高度為米【詳解】如圖：由已知可得：，，米，設米，則米，米，，，解得，米，在中，，，米，答：大樓的高度為米．19．（2023?楊浦區三模）某商店購進了一種生活用品，進價為每件8元，銷售過程中發現，該商品每天的銷售量（件與每件售價（元之間存在一次函數關系（其中，且為整數），部分對應值如表：每件售價（元91113每天的銷售量（件1059585（1）求與的函數解析式；（2）如果該商店打算銷售這種生活用品每天獲得425元的利潤，那么每件生活用品的售價應定為多少元？【答案】（1），且為整數）；（2）每件生活用品的售價應定為13元【詳解】（1）設與的函數解析式為，將，代入得：，解得：，與的函數解析式為，且為整數）；（2）根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：每件生活用品的售價應定為13元．20．（2023?金山區一模）如圖，小睿為測量公園的一涼亭的高度，他先在水平地面點處用高的測角儀測得頂部的仰角為，然后沿方向向前走到達點處，在點處用高的測角儀測得頂部的仰角為．求涼亭的高度，，．結果精確到．（參考數據：，，，，，【答案】涼亭的高度約為【詳解】延長交于點，如圖所示，由題意可得，，，，，，，，，，解得，，即涼亭的高度約為．21．（2023?松江區一模）小明想利用測角儀測量操場上旗桿的高度．如圖，他先在點處放置一個高為1.6米的測角儀（圖中，測得旗桿頂部的仰角為，再沿的方向后退3.5米到點處，用同一個測角儀（圖中，又測得旗桿頂部的仰角為．試求旗桿的高度．（參考數據：，，【答案】旗桿的高度是12.1米【詳解】設直線交于，如圖：根據題意，，，米，的等腰直角三角形，，設米，則旗桿高度為米，米，在中，，，即，解得：，，答：旗桿的高度是12.1米．22．（2023?虹口區二模）某商店以20元千克的單價進貨了一批商品，經調查發現，每天的銷售量（千克）與銷售單價（元千克）之間的函數關系如圖中線段所示．（1）求與的函數表達式；（2）要使每天的銷售利潤達到800元，銷售單價應定為每千克多少元？【答案】（1）；（2）銷售單價應定為每千克40元或60元【詳解】（1）設與的函數表達式為，將，代入，得：，解得：，與的函數表達式為為．（2）根據題意得：，整理得：，解得：，．答：銷售單價應定為每千克40元或60元．23．（2023?青浦區一模）某校九年級數學興趣小組在實踐活動課中測量路燈的高度．如圖，在處測得路燈頂端的仰角為，再沿方向前行13米到達點處，在處測得路燈頂端的仰角為，求路燈頂端到地面的距離（點、、在一直線上）的長．（精確到0.1米）（參考數據：，，，，，【答案】路燈頂端到地面的距離的長約為8.7米【詳解】設的長為米，在中，，米，在中，，米，，解得（米，（米，路燈頂端到地面的距離的長約為8.7米．24．（2023?長寧區二模）為了測量某建筑物的高度，從與建筑物底端在同一水平線的點出發，沿著坡比為的斜坡行走一段路程至坡頂處，此時測得建筑物頂端的仰角為，再從處沿水平方向繼續行走100米后至點處，此時測得建筑物頂端的仰角為，建筑物底端的俯角為，如圖，已知點、、、、在同一平面內，求建筑物的高度與的長．（參考數據：【答案】建筑物的高度約為136.6米，的長為130米【詳解】過點作，垂足為，延長交于點，由題意得：，米，，，，是的一個外角，，，米，在中，（米，（米，在中，（米，米，（米，斜坡的坡比為，，（米，在中，（米，建筑物的高度約為136.6米，的長為130米．25．（2023?寶山區二模）“小房子”是一種常見的牛奶包裝盒（如圖，圖2是其一個側面的示意圖，由“盒身”矩形和“房頂”等腰三角形組成．已知厘米，厘米，厘米．（1）求“房頂”點到盒底邊的距離；（2）現設計了牛奶盒的一個新造型，和原來相比較，折線段的長度（即線段與的和）及矩形的面積均不改變，且，，求新造型“盒身”的高度（即線段的長）．【答案】（1）房頂”點到盒底邊的距離為7.5厘米；（2）新造型“盒身”的高度為6.5厘米【詳解】（1）作，垂足為，交于點，四邊形是矩形，厘米，，．厘米，厘米，厘米，（厘米），（厘米）答：房頂”點到盒底邊的距離為7.5厘米；（2）在中，，設厘米，厘米，（厘米），厘米，（厘米），厘米，矩形的面積不改變，，解得或，，或，，，．答：新造型“盒身”的高度為6.5厘米．26．（2023?奉賢區一模）九（1）班同學在學習了“解直角三角形”的知識后，開展了“測量學校教學大樓高度”的活動中，在這個活動中他們設計了以下兩種測量的方案：課題測量教學大樓的高度方案方案一方案二測量示意圖測得數據甲樓和乙樓之間的距離米，乙樓頂端測得甲樓頂端的仰角，測得甲樓底端的俯角甲樓和乙樓之間的距離米，甲樓頂端測得乙樓頂端的俯角，測得乙樓底端的俯角，參考數據，，，，，，，，請你選擇其中一種方案，求甲樓和乙樓的高度．（結果精確到1米）【答案】方案一，故甲樓和乙樓的高度分別為31米和17米【詳解】方案一，在中，由三角函數的定義可得：，（米；中，由三角函數的定義可得：，米，（米，米，米；故甲樓和乙樓的高度分別為31米和17米．27．（2023?崇明區一模）如圖，一根燈桿上有一盞路燈，路燈離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方點15.5米處有一坡度為的斜坡．如果高為3米的標尺豎立在地面上，垂足為，它的影子的長度為4米．（1）當影子全在水平地面上（圖．求標尺與路燈間的距離；（2）當影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（圖，求此時標尺與路燈間的距離為多少米？【答案】（1）標尺與路燈間的距離為8米；（2）14米【詳解】如圖1，連接并延長，交于點，由題意可知，米，米，米，，，，，，即，米，（米，標尺與路燈間的距離為8米；（2）如圖2，連接并延長，交于點，過點作于點，交于點，過點作交延長線于點，由題意可得，米，，設米，則米，米，米，米，米，米，米，米，米，，，，，，，，即，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），，則（米，（米，此時標尺與路燈間的距離為14米．28．（2023?普陀區二模）購物節期間，、兩家網店分別推出了促銷活動，店活動：當購買的商品總金額在200元及以內，不享受折扣，當購買的商品總金額超過200元，超過200元的金額打折，店購物的實付總金額（元與商品總金額（元之間的函數關系如圖所示；店活動：所有商品直接打七折．（1）當店購買的商品總金額超過200元時，求出與之間的函數解析式；（2）店推出的促銷活動中：；（3）某公司計劃購買某種型號的優盤，采購員發現店的單價要比店的單價貴1元，如果購買相同數量的優盤，在店的實付總金額是800元，而在店的實付總金額是819元請求出店這種型號優盤的單價．【答案】（1）；（2）6；（3）40元【詳解】（1）根據圖象設當時，與之間的函數解析式為，把，代入解析式得：，解得，當時，與之間的函數解析式為；（2）根據題意得：，解得，故答案為：6；（3）在店購買：當時，，解得，商品總金額為1200元；在店購買商品總金額為：（元，兩個商店商品總金額的差為（元，店的單價要比店的單價貴1元，購買優盤的數量相同，店的單價為（元．29．（2023?奉賢區二模）圖是某地下商業街的入口的玻璃頂，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，它的示意圖．經過測量，支架的立柱與地面垂直，米，點、、在同一水平線上，斜桿與水平線的夾角，支撐桿，垂足為，該支架的邊與的夾角，又測得米．（1）求該支架的邊的長；（2）求支架的邊的頂端到地面的距離．（結果精確到0.1米）（參考數據：，，，，，【答案】（1）該支架的邊的長7米；（2）6.5米【詳解】（1）由題意得，，米，，，米，，在中，，，即（米，（米，在中，，，即（米，答：該支架的邊的長7米；（2）過點作，垂足為，過點作，垂足為，，，，，，，在中，，，即（米，（米，（米，答：支架的邊的頂端到地面的距離為6.5米．30．（2023?靜安區校級一模）有一把長為6米的梯子，將它的上端靠著墻面，下端放