蘇科版七上

第二章有理數(shù)

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)m/n(m,n都是整數(shù)，

且n#0)的形式。

任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示。

無限不循環(huán)小數(shù)和開平方開不盡的數(shù)叫作無理數(shù)，比如IT,3.141592653589793

2384626……

而有理數(shù)恰恰與它相反，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

其中包括整數(shù)和通常所說的分?jǐn)?shù)，此分?jǐn)?shù)亦可表示為旬運1遨或無限循環(huán)小數(shù)。

有理數(shù)分為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)

正數(shù)又分為正整數(shù)、?分?jǐn)?shù)

負(fù)數(shù)又分為負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)

如3,-98.11,5.72727272……，7/22都是有理數(shù)。

全體有理數(shù)構(gòu)成一個集合,即有理數(shù)集,用粗體字母Q表示，較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)

書則用空心字母Q表示。

①加法的交換律a+b=b+a；

②加法的結(jié)合律a+(b+c)=(a+b)+c；

③存在數(shù)0,使0+a=a+0=a；

④對任意有理數(shù)a,存在一個加法逆元，記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0；

⑤乘法的交換律ab=ba；

⑥乘法的結(jié)合律a(bc)=(ab)c；

⑦分配律a(b+c)=ab+ac；

⑧存在乘法的單位元1黃0,使得對任意有理數(shù)a,1a=a；

⑨對于不為。的有理數(shù)a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a=0文字解釋：一個數(shù)乘0還等于0。

0的絕對值還是0.

有理數(shù)加減混合運算

1.理數(shù)加減統(tǒng)一成加法的意義：

對于加減混合運算中的減法，我們可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，

這樣就可將混合運算統(tǒng)一為加法運算，統(tǒng)一后的式子是幾個正數(shù)或負(fù)數(shù)的和的形式，

我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。

2.有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟：

(1)運用減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。

(2)運用加法法則，加法交換律，加法結(jié)合律簡便運算。

有理數(shù)范圍內(nèi)已有的絕對值,相反數(shù)等概念,在實數(shù)范圍內(nèi)有同樣的意義。

一般情況下，有理數(shù)是這樣分類的：

整數(shù)、分?jǐn)?shù)；正數(shù)、負(fù)數(shù)和零；負(fù)有理數(shù),非負(fù)有理數(shù)

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù),有理數(shù)可以用a/b的形式表達(dá)，其中a、b都是整數(shù)，且

互質(zhì)。我們II常經(jīng)常使用有理數(shù)的。比如多少錢，多少斤等。

凡是不能用a/b形式表達(dá)的實數(shù)就是無理數(shù)，又叫無限不循環(huán)小數(shù)

第三章用字母表示數(shù)

代數(shù)式:由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數(shù)運算所得

的式子，或含有字母的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為代數(shù)式。例如:ax+2b,-2/3等。

全部初等代數(shù)總起來有十條規(guī)則。這是學(xué)習(xí)初等代數(shù)需要理解并掌握的要點。

這十條規(guī)則是:

五條基本運算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；

兩條等式基本性質(zhì):等式兩邊同時加上一個數(shù)，等式不變；等式兩邊同時乘以一

個非零的數(shù)，等式不變；

三條指數(shù)律：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)

想乘；積的乘方等于乘方的積。

（1）代數(shù)式：代數(shù)式是由運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母

連結(jié)而成的式子.單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式.帶有“＜（4）”“＞佇）”“="￥”等

符號的不是代數(shù)式。

（2）代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果p叫做代數(shù)式

的值.

求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求

值.

（3）代數(shù)式的分類

把多項式中同類項合成?項,叫做合并同類項。

如果兩個單項式，它們所含的字母相同，并且各字母的指數(shù)也分別相同，那么就

稱這兩個單項式為同類項。如2ab與-3ab,m2n與nm2都是同類項。特別地，所

有的常數(shù)項也都是同類項。

把多項式中的同類項合并成一項，叫做同類項的合并（或合并同類項）。同

類項的合并應(yīng)遵照法則進(jìn)行：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母

的指數(shù)不變。

第四章一元一次方程

概述

只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)是1,這樣的方程叫做

一元一次方程。

一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式。一元指方程僅含有一個未知

數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1,且未知數(shù)的系數(shù)不為Oo我們將ax+b=0（其中x是未

知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且aHO）叫一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。這里a是未知數(shù)的

系數(shù)，b是常數(shù)，a的次數(shù)是1。

性質(zhì)

一.等式的性質(zhì)一:笠式兩邊加一個數(shù)或減一個數(shù)，等式兩邊相等。

二.等式的性質(zhì)二:等式兩邊乘一個數(shù)或除以一個數(shù)（。除外），等式兩邊相等。

三.等式的性質(zhì)二：兩邊都可以有未知數(shù)。

一元一次方程的解

1,當(dāng)aWO,b=O時，方程有唯一解，x=0；

2,當(dāng)aWO,bMO時，方程有唯一解,x=-b/a。

一元一次方程與實際問題

一元一次方程牽涉到許多的實際問題，例如：

工程問題、種植面積問題、比賽比分問題、路程問題。

第五章走進(jìn)圖形世界

有的面是平面、有的面是曲面。

我們知道，面與面相交成線，在棱柱與棱錐中，面與面的交線叫做棱。（edge）

其中，相鄰兩個側(cè)面的交線叫做側(cè)棱

棱柱的棱與棱的交點叫做棱柱的頂點（vertex）

棱錐的各側(cè)棱的公共點叫做棱錐的頂點。

棱柱的側(cè)棱長相等，棱柱的上下底面是相同的多邊形，直棱柱的側(cè)面都是長方形。

棱錐的側(cè)面都是三角形

圖形都是由點（point）、線（line）＞面（plane）構(gòu)成。

第六章平面圖形的認(rèn)識（一）

線段和直線的有關(guān)性質(zhì)：

兩點之間的所有連線中，線段最短。

經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

線段的中點：

線段的中點把線段分成兩條長度相等的線段。

角的平分線：

角的平分線把角分成兩個度數(shù)相等的角。

線段長度的比較：

（1）度量法（先量出長度，再比較長度大小）

（2）重合法（兩同條線段放在一條直線上，一個端點重合，觀察另一端點位置。）

角的比較：

（1）用量角器度量角。

（2）重合法（把角的頂點和一條邊分別重合，然后看另一邊的位置，另一邊在外面的角大）

角的兩種定義：

1、角是由兩條具有公共端點的射線組成的。

2、角也可以看成由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的。

角的有關(guān)性質(zhì)：

1、同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補(bǔ)角相等。

2、對頂角相等。

兩直線平行的有關(guān)知識：

1、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。

2、經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。

3、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。

兩直線垂直的有關(guān)知識：

1、如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直，兩條直線的交點叫做垂足，其中

一條直線叫做另一條直線的垂線。

2、經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3、過直線外一點作這條直線的垂線，這一點到垂足之間的線段叫垂線段。垂線段的長度，

叫做點到直線的距離。

4、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。

七年級下冊

第七章平面圖形的認(rèn)識（二）

同位角：兩條直線被第三條直線所截，在二條直線的同側(cè)，且在第三條直線的同旁的二個

角叫同位角。

內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，在二條直線的內(nèi)側(cè)，且在第三條直線的兩旁的二個

角叫內(nèi)錯角。

同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，在兩條直線的你側(cè)，且在第三條直線的同旁的兩

個角叫同旁內(nèi)角。

同位角相等兩直線平行。

內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

平移由兩個方面所決定：平移的方向與平移的距離

某圖形平移后所得的圖形稱為此圖形的對應(yīng)圖形

平移不改變圖形的大小與形狀

圖形經(jīng)過平移后，連結(jié)各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一直線上），并且相等

三角形的定義：

由3條不在同一直線上的線段，首尾依次相接組成的圖形稱為三角

邊：組成三角形的三條線段

如右所東：線段AB、AC、BC就是三角形

的三條邊

頂點：三角形任意兩邊的交點

如右所示：點A、B、C均為三角形的頂點

通常情況下，我們用三角形的三個頂點加以一個來表示一個

三角形，在表示三角形時，三個字母之間并無順序關(guān)系

如上圖中，此三角形可以表示為△ABC,或aACB或△BAC等等

內(nèi)角：三角形兩邊所夾的角，稱為三角形的內(nèi)角，簡稱角

例如aABC中，ZA,ZB,/C都是三角形的內(nèi)角

邊BC稱為/A所對的邊，或頂點A所對的邊，因此邊BC也可以

表示為a

三角形的分類

1）按角分

‘銳角三角形：三個角都是銳角的三角形

三角形，直角三角形：有一個角為直角的三角形

鈍角三角形：有一個角為鈍角的三角形

2）按邊分

.不等邊三角形：三個邊均不相等

三角形，等腰三角形：有兩個邊相等的三角形

等邊三角形：三邊均相等的三角形

三角形任意兩邊之和大于第三邊

高的定義：在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點與垂

足之間的線段稱為三角形的高

注：1）三角形的高必為線段

2）三角形的高必過頂點垂直于對邊

3）三角形有三條高

在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點間的線段稱為三

角形的角平分線

注：1）三角形的角平分線必為線段，而一個角的角平分線為一條射線

2）三角形的角平分線必過頂點平分三角形的一內(nèi)角

在三角形中，連結(jié)一個頂點與它對邊中點的線段，叫做

三角形的中線

1）三角形的中線必為線段

2）三角形的中線必平分對邊

直角三角形的兩個銳角互余。

三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。

n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）X180°

三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角。

多邊形的外角：多邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角。

多邊形每頂點處有兩個外角，這兩個角是對頂角，n邊形就有2n個外角。

多邊形的外角和：在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做這個多邊形的

外角和。

注：多邊形的外角和并不是所有外角的和。

第八章鬲的運算

①HXa"=a"".②③(a")"=a7④(ab)"=a"〃.⑤(：)"=〃.

⑥特別：⑦，=l(a#O).如：言乂舌=3,，+a2=a',(力2=d,

an

(3a3)3=27a,(—3)'=一才，5,'=彳=方，(不)—=(,)'=甲(-"3.14)°=1,(網(wǎng)一4一

)°=L

第九章從面積到乘法公式

完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

因式分解

定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解,

也叫作分解因式。

⑴提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公國式。

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成

兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當(dāng)各項系數(shù)都是整數(shù)時,公因式的系數(shù)應(yīng)取各項系數(shù)的最大公約數(shù);

字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項式，多項

式的次數(shù)取最低的。

如果多項式的第一項是負(fù)的，一般要提出號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正

數(shù)。提出號時，多項式的各項都要變號。

口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號，變形

看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)o

注意:把2aA2+1/2變成2(a"+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：aA2-bA2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式:a"2±2ab+bA2=(a±b)A2：

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成

兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍。

立方和公式：aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)；

立方差公式：aA3-bA3=(a-b)(aA2+ab+bA2)；

完全立方公式：aA3±3aA2b+3abA2±bA3=(a±b)A3.

公式：aA3+bA3+cA3-3abc=(a+b+c)(aA2+bA2+cA2-ab-bc-ca)

例如:aA2+4ab+4bA2=(a+2b)A2?

(3)分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左邊必須是多項式；

②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；

③每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)；

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個方面考

慮。

3.提公因式法基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；

②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另?個因式，可用原多項式除

以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項

式的每一項，求的剩下的另一個因式；

③「提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。

第十章二元一次方程組

含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元?次方程。把兩

個一次方程聯(lián)立在一起，那么這兩個方程就組成了一個二元一次方程組。

有幾個方程組成的一組方程叫做方程組。如果方程組中含有兩個未知數(shù)，且含未

知數(shù)的項的次數(shù)都是一次，那么這樣的方程組叫做二元一次方程組。

二元一次方程定義：?個含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的都指數(shù)是1的整式方程，

叫二元一次方程。

二元一次方程組定義：兩個結(jié)合在?起的共含有兩個未知數(shù)的?次方程，叫二元

一次方程組。

二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元

一次方程的解。

二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個公共解，叫做二元一次方程組的解。

一般解法，消元：將方程組中的未知數(shù)個數(shù)由多化少，逐一解決。

消元的方法有兩種：代入消元法加減消元法

二元一次方程組的解有三種情況：1.有一組解2.有無數(shù)組解3.無解

第十一章圖形的全等

全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

推論(AAS)有兩角和其中?角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

邊邊邊公理(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和?條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

第十二章數(shù)據(jù)在我們周圍

為了?定的目的而對考察對象進(jìn)行全面調(diào)查，稱為普查。其中所芍察處零的全體稱為總體

(population),而組成總體的每一個考察對象稱為個體(individual)?

人們從總體中抽取部分個體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查(samplinginvestigation),

其中從總體中抽取一部分個體叫做總體的一個樣本(sample),樣本中所抽取的這一部分個

體的數(shù)量稱為樣本容量。

第十三章感受概率

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它?定不會發(fā)生，這樣的事情是不可能事件。在一

定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會發(fā)生，這樣的事情是必然事件。在一定條件下，

生活中也有很多事情我們事先無法確定它會不會發(fā)生，這樣的事情是隨機(jī)事件。隨機(jī)事件發(fā)

生的可能性有大有小，一個時間發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為這個事件的概率。

八年級上冊

第一章軸對稱圖形

…一軸對稱與軸對稱圖形

1.什么叫軸對稱：

如果把一個圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于

這條直線成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應(yīng)點叫做對稱點。

2.什么叫軸對稱圖形：

如果把一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做

軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

3.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：

區(qū)別：

①軸對稱是指兩個圖形沿某直線對折能夠完全重合，而軸對稱圖形是指一個圖形的兩個

部分沿某直線對折能完全重合。

②軸對稱是反映兩個圖形的特殊位置、大小關(guān)系；軸對稱圖形是反映一個圖形的特性。

聯(lián)系：

①兩部分都完全重合，都有對稱軸，都有對稱點。

②如果把成軸對稱的兩個圖形看成是一個整體，這個整體就是一個軸對稱圖形；如果把

一個軸對稱圖形的兩旁的部分看成兩個圖形，這兩個部分圖形就成軸對稱。

常見的軸對稱圖形有：圓、正方形、長方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角

形、角、線段、相交的兩條直線等。

4.線段的垂直平分線：/

垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

（也稱線段的中垂線）

5.軸對稱的性質(zhì)：_________卜

⑴成軸對稱的兩個圖形全等。A

⑵如果兩個圖形成軸對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線。

6.怎樣畫軸對稱圖形：I

畫軸對稱圖形時，應(yīng)先確定對稱軸，再找出對稱點。

……線段、角的軸對稱性/

1.線段的軸對稱性：]M

①線段是軸對稱圖形，對稱軸有兩條；一條是線段所在的直線，

另一條是這條線段的垂直平分線。/卜

②線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。人I

③到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

結(jié)論：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合J

2.角的軸對稱性：y

①角是軸對稱圖形，對稱軸是角平分線所在的直線。/c

②角平分線上的點到角的兩邊距離相等。RZ

③到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。

結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的集合卜Q----

.....等腰三角形的軸對稱性~

1.等腰三角形的性質(zhì)：

①等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在直線是它的對稱軸；

②等腰三角形的兩個底角相等；（簡稱“等邊對等角”）

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。（簡稱“三線合一”）

2.等腰三角形的判定：

①如果一個三角形有2個角相等，那么這2個角所對的邊也相等；（簡稱“等角對等邊”）

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半。

3.等邊三角形：

①等邊三角形的定義：

三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。

②等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸；

等邊三角形的每個角都等于60°o

③等邊三角形的判定：

3個角相等的三角形是等邊三角形；

有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形；

有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

4.三角形的分類：

「斜三角形：三邊都不相等的三角形。

三角形彳r只有兩邊相等的三角形。

〔等腰三角形1

等向三角形

------等腰梯形的軸對稱性

1.等腰梯形的定義：

①梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行為梯形。

梯形中，平行的?組對邊稱為底，不平行的一組對邊稱為腰。

③等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2.等腰梯形的性質(zhì)：

①等腰梯形是軸對稱圖形，是兩底中點的連線所在的直線。

②等腰梯形同?底上兩底角相等。

③等腰梯形的對角線相等。

3.等腰梯形的判定：

④在同一底上的2個底角相等的梯形是等腰梯形。

⑤補(bǔ)充：對角線相等的梯形是等腰梯形。

第二章勾股定理與平方根

勾股定理、勾股定理的應(yīng)用

1、勾股定理：B

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

數(shù)學(xué)式子：a

ZC=90°=>a2+b2=c2L

CbA

2、神秘的數(shù)組（勾股定理的逆定理）：

如果三角形的三邊長a、b、c滿足/+y=c2,那么這個三角形是直角三角形.

數(shù)學(xué)式子：

a2+/?2=C2=>ZC=90°

滿足三個數(shù)小氏c叫做勾股數(shù)。

3.一般的，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根。

一個正數(shù)的平方根有兩個，他們互為相反數(shù)。

0只有一個平方根，它是0本身。負(fù)數(shù)沒有平方根。

一般的，如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的立方根，也稱為三次方根。

正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.

無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

常見的無理數(shù)有：⑴無限不循環(huán)小數(shù)：如0.010010001……

（2）開不盡的根號：如百、石、孤、近等

7T

⑶圓周率乃：如%-3.14、一等。

3

r整為

有理數(shù)\卜（都艮小數(shù)和無限循的、數(shù)）

r1分?jǐn)?shù)J

實數(shù)4

無理數(shù)（無限不循環(huán)w領(lǐng)）

4、近似數(shù)的認(rèn)識：

實際生產(chǎn)生活中的許多數(shù)據(jù)都是近似數(shù)，例如測量長度，時間，速度所得的結(jié)果都是近

似數(shù)，且由于測量工具不同，其測量的精確程度也不同。在實際計算中對于像“這樣的數(shù)，

也常常需取它們的近似值.請說說生活中應(yīng)用近似數(shù)的例子。

取一個數(shù)的近似值有多種方法，四舍五入是最常用的一種方法。用四舍五入法取一個數(shù)

的近似數(shù)時，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。

例如，圓周率“=3.1415926…

取n弋3,就是精確到個位（或精確到1）

取就是精確到十分位（或精確到0.1）

取JIQ3.14,就是精確到百分位（或精確到0.01）

取"23.142,就是精確到千分位（或精確到0.001）

5、有效數(shù)字:

對一個近似數(shù)，從左面第一個不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都稱為這

個近似數(shù)的有效數(shù)字。

例如：上面圓周率"的近似值中，3.14有3個有效數(shù)字3,1,4；

3.142有4個有效數(shù)字3,1,4,2.

第三章中心對稱圖形（一）

.....中心對稱與中心對稱圖形

1、圖形的旋轉(zhuǎn)：

在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，

這個定點稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中

心的距離相等。每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等。

2、中心對稱:

把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖

形關(guān)于這一點對稱。也稱這兩個圖形成中心對稱，這個點叫做對稱中心，兩個圖形中的對應(yīng)

點叫做對稱點。C7_

注意：①中心對稱是旋轉(zhuǎn)的一種特例，因此，7&

成中心對稱的兩個圖形具有旋轉(zhuǎn)圖形的一切性質(zhì)。/

②成中心對稱的2個圖形，對稱點的連線都經(jīng)過對稱中心，B--------￥D，

并且被對稱中心平分。

3-＞中心對稱圖形：

把一個平面圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重

合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點就是它的對稱中心。

中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分。

4、中心對稱與中心對稱圖形之間的關(guān)系：

區(qū)別：（1）中心對稱是指兩個圖形的關(guān)系，中心對稱圖形是指具有某種性質(zhì)的圖形。（2）成

中心對稱的兩個圖形的對稱點分別在兩個圖形上，中心對稱圖形的對稱點在一個圖形上。

聯(lián)系：若把中心對稱圖形的兩部分看成兩個圖形，則它們成中心對稱；若把中心對稱的兩個

圖形看成一個整體，則成為中心對稱圖形.

5、5?比軸對稱圖形與中心對稱圖形：

軸對稱圖形中心對稱圖形

有一條對稱軸——直線有一個對稱中心點

沿對稱軸對折繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°

對折后與原圖形重合旋轉(zhuǎn)后與原圖形重合

.......平行四邊形

1、平行四邊形的定義：/—D

2組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。/

B2C7

記作：OVBCD,讀作平行四邊形ABCD.

平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是它的對稱中心。

2、平行四邊形的性質(zhì)：

①平行四邊形的對邊平行；

②平行四邊形的對邊相等；

③平行四邊形的對角相等；

④平行四邊形的對角線互相平分。

3、平行四邊形的判定：

①2組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

②2組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③2組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

……矩形、菱形、正方形

1、矩形的定義：

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形，通常也叫長方形。

2、矩形的性質(zhì)：

①矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì);

②矩形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸是對邊中點連線所在直線，有兩條,

對稱中心是對角線的交點。

③矩形的對角線相等；

④矩形的四個角都是直角。

3、矩形的判定：

①有一個角是直角的平行四邊形是矩形;

②對角線相等的平行四邊形是矩形；

③有3個角是直角的四邊形是矩形。

4、菱形的定義：

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

5、菱形的性質(zhì)：

①菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在直線，對稱中心

是對角線的交點。

③菱形的四條邊相等；

④菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。b^__\d

6、菱形的判定：

①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②四邊都相等的四邊形是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

7、菱形的面積：八

A_________D

S?=|AC?BD/I

8、正方形的定義：

有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。/\

9、正方形的性質(zhì)：BC

①正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)。

②正方形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,對稱軸有四條,對稱中心是對角線的交點。

10、正方形的判定：

①有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形；

②有一組鄰邊相等矩形形是正方形；

③有一個角是直角的菱形是正方形。

11、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系：

1、三角形的中位線：

⑴連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做

區(qū)別三角形的中位線與三角形的中

⑵三角形中位線的性質(zhì)

三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.

2、梯形的中位線：

⑴連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

注意：中位線是兩腰中點的連線，而不是兩底中點的連線。

⑵梯形中位線的性質(zhì)

梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

第四章數(shù)量、位置的變化

數(shù)量、位置的變化、平面直角坐標(biāo)系

1、數(shù)量的變化：

⑴生活中處處有變化的數(shù)量關(guān)系，并且這些變化的數(shù)量之間往往有一定的聯(lián)系；感受

用變化的觀點分析數(shù)字信息的重要意義。

⑵實際問題中的數(shù)量常常會發(fā)生變化，表示這種變化通常有3種各具特色的表達(dá)方式

表格、圖形、式子，可根據(jù)實際情況靈活選用。

2、位置的變化:

現(xiàn)實生活中，人們既關(guān)心事物的數(shù)量變化，也關(guān)心事物的位置變化，如行駛中的車輛、

飛行中的火箭、航行中的船只、移動中的臺風(fēng)等位置的變化。

3、平面直角坐標(biāo)系:

⑴有關(guān)概念：平面上有公共原點且互相垂直的2條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱直角坐

標(biāo)系。

水平方向的數(shù)軸稱為x軸或橫軸;豎直方向的數(shù)軸稱為y軸或縱軸。

它們統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。公共原點。稱為坐標(biāo)原點。八y

⑵確定點的位置(點坐標(biāo))4-

3-P(a,b)

①若平面內(nèi)有一點P(如圖)，我們應(yīng)該如何確定它的位置？

(過點P分別作x、y軸的垂線，將垂足對應(yīng)的數(shù)組合起來形成一

對有序?qū)崝?shù)，這樣的有序?qū)崝?shù)對叫做點的坐標(biāo)，可表示為P(a,b)-i???i?i?>

4321013234

②若已知點Q的坐標(biāo)為(m,n),該如何確定點Q的位置？-----*

(分別過x、y軸上表示m、n的點作x、y軸的垂線，兩線的交點

即為點Q)

4、點坐標(biāo)的特征：

⑴四個象限內(nèi)點坐標(biāo)的特征：

兩條坐標(biāo)軸將平面分成4個區(qū)域稱為象限，按逆時針順序分別記作第一、二、三、四

象限。

⑵數(shù)軸上點坐標(biāo)的特征：

X軸上的點的縱坐標(biāo)為0,可表示為(a,0)；

y軸上的點的橫坐標(biāo)為0,可表示為(0,b)。

⑶象限角平分線上點坐標(biāo)的特征：

第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標(biāo)相等，可表示為(a,a)；第二、四象限角

平分線上點的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可表示為(a,-a)。

⑷對稱點坐標(biāo)的特征：

P(a,b)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(a,-b)；

P(a,b)關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為(-a,b)；

P(a,b)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(-a,上)。

-----函數(shù)

1、常量和變量：

在數(shù)量和位置的變化過程中，數(shù)值保持不變的量叫做常量，可以取不同數(shù)值的量叫做

變量。

2、函數(shù)：

⑴函數(shù)的定義：

一般的，設(shè)在?個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于變量x的每一個值，變量y

都有唯一的值與它對應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù)。其中x是自變量，y是因變量。

⑵函數(shù)的表示方法：

通常，表示2個變量之間的關(guān)系可用3種方法：表格、圖形、式子。表示2個變量之間

關(guān)系的式子通常稱為函數(shù)關(guān)系式。(函數(shù)解析式)

例如s=100t就是一個函數(shù)解析式。

⑶函數(shù)自變量的取值范圍：

自變量取使函數(shù)關(guān)系式有意義的值，叫做自變量的取值范圍。

例如式子y一中，能使它有意義的值是x=3的?切實數(shù)，所以函數(shù)y一的取

x—3x—3

值范圍是xw3的一切實數(shù)。

常見的使函數(shù)解析式有意義的式子有：

①函數(shù)的解析式是整式時，自變量可以取全體實數(shù)；

②函數(shù)的解析式是分式時，自變量的取值要使分母不為0；

③函數(shù)的解析式是二次根式時，自變量的取值要使被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；

④對實際問題中的函數(shù)關(guān)系，要使實際問題有意義。

第五章一次函數(shù)

.......一次函數(shù)

1、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義：

一般地，如果兩個變量x與y之間的關(guān)系，可以表示為y=kx+b(k,b為常數(shù)kWO)的

形式，那么稱y是x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)b=0時，y叫做x的正比例函數(shù)。

2、如何求一次函數(shù)與正比例函數(shù)的解析式：

①因為正比例函數(shù)y=kx(k#O)中的待定系數(shù)只有一個k,因此確定正比例函數(shù)的解析

式只需x、y-組條件，列出一個方程，從而求出k值。

②而一次函數(shù)尸kx+b(kWO)中的待定系數(shù)有兩個k和b,因此要確定一次函數(shù)的解析式

需x、y的兩組條件，列出一個方程組，從而求出k和b。

3、-次函數(shù)的圖象：

一般的，正比例函數(shù)產(chǎn)kx的圖象是經(jīng)過原點的一條直線，一次函數(shù)產(chǎn)kx+b的圖象是

由正比例函數(shù)產(chǎn)kx的圖象沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移問個單位長度得到的一條

直線。

因為一次函數(shù)的圖象是一條直線，由直線的公理可知：兩點確定??條直線。所以在畫一

次函數(shù)的圖象時，只要確定兩個點，再過這兩個點作直線就可以了，一次函數(shù)丫=1?+13的圖

象也稱為直線y-kx+bo

4、一次函數(shù)的性質(zhì)：

在一次函數(shù)尸kx+b中，

如果k>0,那么y的值隨x的增大而增大；

如果k<0,那么y的值隨x的增大而減小。

☆補(bǔ)充性質(zhì)：

在正比例函數(shù)y=kx中，

如果k>0,那么正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三象限;

如果k<0,那么正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過二、四象限;

在一次函數(shù)y=kx+b中，

如果k>0、b>0,那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限；

如果k>0、b<0,那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限；

如果k<0、b>0,那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限；

如果k<0、b<0,那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限；

--------一次函數(shù)的應(yīng)用

1、一次函數(shù)的應(yīng)用：

用一次函數(shù)解決實際問題的步驟：（1）認(rèn)真分析實際問題中變量之間的關(guān)系；（2）若具有

一次函數(shù)關(guān)系，則建立?次函數(shù)的關(guān)系式；（3）利用一次函數(shù)的有關(guān)知識解題。

在一些具體生活問題中，常常數(shù)據(jù)較多，反映的內(nèi)容也很復(fù)雜，如何把眾多的信息組織

起來是解題的核心，要認(rèn)真讀題，分析題意，理順關(guān)系，尋求解題途徑。在實際生活問題中，

如何應(yīng)用一次函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立一次函數(shù)關(guān)系式，然后再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，綜

合方程知識求解。

在一次函數(shù)應(yīng)用的過程中，要注意結(jié)合實際，確定自變量的取值范圍，求出對應(yīng)的函數(shù)

值時，也要結(jié)合實際舍去不符合題意的部分。

2、二元一次方程組的圖象解法

⑴一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：

?般地，-次函數(shù)y=kx+b圖象上任意一點的坐標(biāo)都是二元一次方程kx-y+b=O的解；

以二元一次方程kx-y+b=O的解為坐標(biāo)的點都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上。

⑵兩個一次函數(shù)與二元一次方程組的解的關(guān)系：

一般地，如果兩個一次函數(shù)的圖象有一個交點，那么交點的坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方

程組的解。

所以解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖像法。

用圖象法解二元詼方程組的步驟如下：

①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式；

②在直角坐標(biāo)系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點；

③交點坐標(biāo)就是方程組的解。

第六章數(shù)據(jù)的集中程度

.......數(shù)據(jù)的集中程度

1、平均數(shù)：

—v—x—???—x

一般地，對于n個數(shù)xi，X2,…，x我們把x=」一=--------叫做這n個數(shù)的

nn

算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，

平均數(shù)，它是顯示出一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)字，也就是說這組數(shù)據(jù)都“接近”哪個數(shù)。

補(bǔ)充公式:⑴如果在n個數(shù)中,XI出現(xiàn)6次，X2出現(xiàn)f2次,X3出現(xiàn)f3次,....Xn出現(xiàn)式次,

（其中fi+f2+f3+……+f『n），這n個數(shù)的平均數(shù)可表示為：

f,+xf+xf---+xf

X-X]2233nn

n

⑵如果一組數(shù)據(jù)X1，X2,X3,……,Xn的平均數(shù)為Y，則一組新數(shù)據(jù)：

X]+a,x2+a,x3+a,...，Xn+a的平均數(shù)為:

x=x'+a

舉例說明：某班第一小組的同學(xué)的身高如下:（單位：cm）；158,160,160,170,158,170,

168,158,160,160,168,170?計算這組同學(xué)的平均身高。（精確到1cm）

一，、—158x3+160x4+168x2+170x3…

方法⑴x=--------------------------------------------------?163

3+4+2+3

方法⑵將各個數(shù)據(jù)同時減去160,得到-2,0,0,10,-2,10,8,-2,0,0,8,8

再計算這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，得

—1

xf=—（-2+0+0+10-2+10+8-2+0+0+8+8）=3.2

x=?+160=163.2?163

2、加權(quán)平均數(shù)：

在實際問題中，一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)據(jù)的重要程度并平總是相同的，有時有些數(shù)據(jù)比其它

數(shù)據(jù)更重要。所以，我們在計算這組數(shù)據(jù)時,往往給每個數(shù)據(jù)一個“權(quán)

加權(quán)平均數(shù)：如果在n個數(shù)中，XI出現(xiàn)。次，X2出現(xiàn)f2次，X3出現(xiàn)f3次.....*|（出現(xiàn)￡14次，

（其中f1+f2+f?+......+fk=n）,則I=x￡+xf+X3f「TXkfk

n

其中6、f2、f3.........fk叫做權(quán)。（看例D

3、中位數(shù)和眾數(shù)：

一般地，n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于中間位置的一個數(shù)據(jù)（或中間兩個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

一般地，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

中位數(shù)、眾數(shù)都是用來描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是惟一的；?組

數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有。

八年級下冊

第七章一元一次不等式

一.等式的概念：

一般的，用符號“=”連接的式子叫做等式。

*等式的左右兩邊是代數(shù)式。

一般的，用符號（或（或、”），“尹連接的式子叫做不?等式。不等

式中可以含有未知數(shù)，也可以不含）

用不等號連接的，含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,系數(shù)不為0,左

右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式（linearineqalitywithoneunknown）。

不等式的性質(zhì)：

1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變。

2.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

3.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

4.不等式的兩邊都乘以0,不等號變等號。

不等式的基本性質(zhì)

1.性質(zhì)1：如果a>b,那么a±c>b士c

2.性質(zhì)2：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或a/c>b/c）

3.性質(zhì)3：如果a>b,c<0,那么ac<bc（或a/c<b/c）

解一元一次不等式的一般方法順序：

1、去分母（運用不等式性質(zhì)2,3）o

2、去括號。

3、移項（運用不等式性質(zhì)1）。

4、合并同類項。

5、將未知數(shù)的系數(shù)化為1（運用不等式性質(zhì)2,3）。

（6、有些時候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集）

一元一次不等式的解法及解集

1.解一元一次不等式的步驟：（1）去分母，（2）去括號，（3）移項，（4）合并同類項，

（5）求得解集。

2.一元一次不等式的解集

將不等式化為aX>b的形式

⑴若a>0,則解集為x>b/a

（2）若a<0,則解集為x<b/a

5.不等式的解集：

（1）能使