微積分講義設計制作5/11/2024§2.5極限的運算法則變量極限的四則運算法則5/11/2024【定理2.8】在某一變化過程中，則

證總有那么一個時刻，刻以后，也總有那么一個時刻，第二章極限與連續在那個時恒有在那個時刻以后，恒有中較晚的那個時刻以后，在兩時刻兩式同時成立，即若5/11/2024所以證畢。

推論兩個無窮小量的代數和仍為無窮第二章極限與連續小量。到有限個，說明定理和推論中的“兩個”都可以推廣但不能推廣到無窮個。5/11/2024【定理2.9】在某一變化過程中，則

證利用變量極限與無窮小量的關系其中其中均為無窮小量，第二章極限與連續若小量（為什么？），則和仍為無窮證畢。所以5/11/2024

推論1兩個無窮小量的乘積仍為無窮

推論2（為常數）

推論3若是正整數，則說明定理和推論中的“兩個”都可以推廣第二章極限與連續小量。到有限個，但不能推廣到無窮個。5/11/2024【定理2.10】在某一變化過程中，則（證明略）

說明在應用極限運算法則時，第二章極限與連續若個變量的極限必須存在。要求每一5/11/2024設為多項式，則多項式的極限例1計算

解第二章極限與連續5/11/2024例2計算

解因為所以

有理分式的極限設，且，則第二章極限與連續5/11/2024例3計算

解因為，利用無窮小量與無窮大量之間的關系先求則設，且則第二章極限與連續的運算法則。不能直接用極限5/11/2024

解由于分子和分母的極限不存在，將分子和分母同除以未知數的最高次冪例4計算第二章極限與連續直接應用極限的運算法則。不能5/11/2024例5計算

解方法同例4。例6計算

解方法同例4。第二章極限與連續5/11/2024

當時，有理分式的極限

說明以后計算極限時可直接應用。第二章極限與連續5/11/2024例7計算

解因為分子和分母的極限都為0，由極限的定義，約去極限為0的公因子第二章極限與連續直接應用極限的運算法則。不能消去的因子。時，，分解因式5/11/2024例8計算

解因為分子和分母的極限都為０，將分子有理化將分子或分母有理化，再約去公因子第二章極限與連續直接應用極限的運算法則。不能5/11/2024例9計算

解因為兩個分式的極限都不存在，先通分先通分，再約去公因子第二章極限與連續不能直接應用極限的運算法則。5/11/2024例10已知計算

解即第二章極限與連續分段函數分點處的極限利用充要條件計算5/11/2024內容小結1.極限的運算法則2.利用運算法則求極限作業P9111---21------幾種特殊形式函數的極限第二章極限與連續5/11/2024備用題

1.若存在，不存在，是否存在，為什么？

解不存在。若存在，由極限的運算法則知，

思考本題條件改成和都不存在，第二章極限與連續問存在，矛盾。結論又如何？5/11/2024

2.計算

解所以

思考下列做法是否正確，為什么？第二章極限與連續5/11/2024

3.若求的值。

解由于分式的極限存在，即將其代入已知極限中得第二章極限與連續為0，而分母的極限則分子的極限必為0。5/11/2024

4.計算

解這是無窮個無窮小量的和，第二章極限與連續運算法則。不能用5/11/2024

5.設，（1979）

解第二章極限與連續求5/11/2024

6.設函數，（1999）

解第