福建省廈門市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月份階段性檢測數(shù)學(xué)模擬試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共×頁，滿分為××分.考試用時(shí)××分鐘.注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；在試卷上作答無效.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔和平整.第Ⅰ卷（本卷共計(jì)58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的關(guān)系為，設(shè)其在內(nèi)的平均速度為，在時(shí)的瞬時(shí)速度為，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的大致圖像為（

）A． B．C． D．3．小張接到4項(xiàng)工作，要在下周一、周二、周三這3天中完成，每天至少完成1項(xiàng)，且周一只能完成其中1項(xiàng)工作，則不同的安排方式有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種4．已知二項(xiàng)式（其中且）的展開式中與的系數(shù)相等，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．回文聯(lián)是我國對(duì)聯(lián)中的一種．用回文形式寫成的對(duì)聯(lián)，既可順讀，也可倒讀．不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”．如44，585，2662等；那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為（

）A．30 B．36 C．360 D．12966．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知，則的大關(guān)系為（

）A． B．C． D．8．已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（

）A．16 B．24 C．32 D．48二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9．下列結(jié)論正確的是（）A．若，則正整數(shù)x的值是1 B．C． D．10．設(shè)函數(shù)，若不等式對(duì)任意的恒成立，則的可能取值是（

）A． B． C． D．11．設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則下列說法中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C． D．第II卷（本卷共計(jì)92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為和，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．13．已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，，，則不等式的解集為.14．為美化環(huán)境，某地決定在一個(gè)大型廣場建一個(gè)同心圓形花壇，花壇分為兩部分，中間小圓部分種植草坪，周圍的圓環(huán)分為等份種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花.要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.如圖①，圓環(huán)分成的等份分別為，，，有種不同的種植方法.

（1）如圖②，圓環(huán)分成的4等份分別為，，，，有種不同的種植方法；（2）如圖③，圓環(huán)分成的等份分別為，，，，有種不同的種植方法.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知函數(shù)在時(shí)取得極值.(1)求實(shí)數(shù)；(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值.16．從①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是；②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，再解決補(bǔ)充完整的題目．已知（），且的二項(xiàng)展開式中，____．(1)求的值；(2)①求二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)；②求的值．17．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.18．已知函數(shù).(1)求在的單調(diào)區(qū)間：(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.1．B【分析】根據(jù)平均變化率和瞬時(shí)變化率的定義，可分別計(jì)算求得，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)平均速度定義可知，在內(nèi)的平均速度為；在時(shí)的瞬時(shí)速度為；所以.故選：B2．B【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及導(dǎo)數(shù)求得正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù).，當(dāng)時(shí)，即，且在上遞增，也即在區(qū)間，導(dǎo)數(shù)為正數(shù)且越來越大，增加越來越快，但，所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.故選：B3．C【分析】先按照周一，再安排其他兩天，利用分步計(jì)數(shù)原理及排列組合知識(shí)進(jìn)行求解；【詳解】先從4項(xiàng)工作中選1項(xiàng)安排在周一完成，再從剩下的工作中選2項(xiàng)安排在周二或周三，所以不同的安排方式有種．故選：C4．A【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式建立等量關(guān)系可求答案.【詳解】因?yàn)榍遥深}意知，得，求得，故選.5．B【分析】依據(jù)回文數(shù)對(duì)稱的特征，可知有兩種情況：在6個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，在6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)排列，由分類計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意知：組成4位“回文數(shù)”，由對(duì)稱性可知，只需確定后兩位數(shù)字即可.可分為以下兩種情況：當(dāng)后兩位數(shù)字重復(fù)時(shí)，即由一個(gè)數(shù)組成回文數(shù)，在6個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，則有種；當(dāng)后兩位數(shù)字不同時(shí)，在6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)，按不同順序排列，有種.綜上，用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為.故選：B.6．D【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構(gòu)造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因?yàn)椋裕援?dāng)，即時(shí)，，所以，故選：D．7．B【分析】根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，得到，故有，再運(yùn)用作差法比較即得.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.8．B【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若和在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若、和在上單調(diào)遞增，則有個(gè)；綜上所述：共有個(gè).故選：B.方法點(diǎn)睛：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用技巧（1）在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理．（2）對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化．9．BCD【分析】選項(xiàng)A、C，根據(jù)組合數(shù)公式及性質(zhì)直接求解；選項(xiàng)B，根據(jù)排列數(shù)公式直接求解；選項(xiàng)D，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和各占一半得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)椋曰颍椿颍蔇錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)椋蔄正確；選項(xiàng)C，由，故B正確；選項(xiàng)D，由，，得，故D正確.故選：BCD.10．CD【分析】求得，得到函數(shù)的單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)椋遥瑒t且，所以不等式，即為在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，可得，所以，解得，即，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD.11．ABC【分析】借助二項(xiàng)式展開式，得到，后逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【詳解】由，，則，由為整數(shù)，且，故的整數(shù)部分即為，小數(shù)部分即為，即，；是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由，，故A、B正確；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于觀察出與的展開式特點(diǎn)，得到是整數(shù)，且，從而得出，.12．7【分析】首先由系數(shù)最大的項(xiàng)為和，得，再結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求含x項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】，因?yàn)橄禂?shù)最大的項(xiàng)為和，所以為奇數(shù)，，且，解得．所以含項(xiàng)的系數(shù)為．故713．【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再由，不等式即，結(jié)合單調(diào)性解得即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，不等式，即，即，所以，即不等式的解集為.故14．18且【分析】（1）分類討論不同色與同色兩種情況，由分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果；（2）由題意知圓環(huán)分為等份，對(duì)有3種不同的種法，對(duì)、、都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證與、3、不同顏色，但不能保證與不同顏色．在這種情況下要分類，一類是與不同色的種法，另一類是與同色的種法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【詳解】（1）如圖②，當(dāng)不同色時(shí)，有(種)種植方法，當(dāng)同色時(shí)，有(種)種植方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有(種)種植方法；（2）如圖3，圓環(huán)分為等份，對(duì)有3種不同的種法，對(duì)都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證與、3、不同顏色，但不能保證與不同顏色．于是一類是與不同色的種法，這是符合要求的種法，記為種．另一類是與同色的種法，這時(shí)可以把與看成一部分，這樣的種法相當(dāng)于對(duì)部分符合要求的種法，記為，共有種種法，這樣就有，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．則．由題意知：，則，.故18，（且．15．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，再檢驗(yàn)即可；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【詳解】（1）因?yàn)椋裕深}意得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）由（1）得，，則，由得或，得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以的極大值為，極小值為16．(1)條件選擇見解析，(2)①；②．【分析】（1）由題意，根據(jù)系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，列出等式，解出的值．（2）由題意，利用通項(xiàng)公式求出二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)，再判斷、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)，再給賦值，從而求出的值．【詳解】（1）若選擇①第4項(xiàng)的系數(shù)與第2項(xiàng)的系數(shù)之比是，則有，化簡可得，求得或（舍去）．若選擇②第3項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為36，則有，化簡可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)為．②二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，所以、、、、為正數(shù)，、、、為負(fù)數(shù)．在中，令．再令，可得，∴．17．(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，利用直線垂直列式求解即可；（2）求出導(dǎo)數(shù)方程的根，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列表即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋裕瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，故，解得；（2）因?yàn)椋裕睿獾没颍畹没颍畹茫斜砣缦拢?0+0↘極小值↗極大值↘故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.18．(1)答案見詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題知對(duì)于任意的恒成立，進(jìn)而分和兩種情況討論即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，且，則，當(dāng)，即，；當(dāng)，即，；所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）因?yàn)閷?duì)于任意的恒成立，所以對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，則，可知；當(dāng)時(shí)，，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則在上恒成立，可知在上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立可知在上單調(diào)遞減，則，可得.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．(1)不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)(3)證明見解析【分析】（1