2024年中考數學總復習：：平面直角坐標系與一次函數、反比例函數--知識講解（提高）【考綱要求】⒈結合實例，了解常量、變量和函數的概念，體會“變化與對應”的思想；⒉會確定函數自變量的取值范圍，即能用三種方法表示函數，又能恰當地選擇圖象去描述兩個變量之間的關系；⒊理解正比例函數、反比例函數和一次函數的概念，會畫他們的圖象，能結合圖象討論這些函數的基本性質，能利用這些函數分析和解決有關的實際問題.【知識網絡】【考點梳理】考點一、平面直角坐標系

1.平面直角坐標系平面內兩條有公共原點且互相垂直的數軸構成了平面直角坐標系，坐標平面內一點對應的有序實數對叫做這點的坐標.在平面內建立了直角坐標系，就可以把“形”（平面內的點）和“數”（有序實數對）緊密結合起來.2．各象限內點的坐標的特點、坐標軸上點的坐標的特點點P(x,y)在第一象限；點P(x,y)在第二象限；點P(x,y)在第三象限；點P(x,y)在第四象限；點P(x,y)在x軸上，x為任意實數；點P(x,y)在y軸上，y為任意實數；點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）.3.兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等；點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數.4.和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同；位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同.5.關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征點P與點p′關于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數；點P與點p′關于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數；點P與點p′關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數.6.點P(x,y)到坐標軸及原點的距離（1）點P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點P(x,y)到y軸的距離等于；（3）點P(x,y)到原點的距離等于.7.在平面直角坐標系內兩點之間的距離公式如果直角坐標平面內有兩點，那么A、B兩點的距離為：.兩種特殊情況：（1）在直角坐標平面內，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：（2）在直角坐標平面內，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：要點詮釋：（1）注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限；（2）平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標.考點二、函數1.函數的概念設在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它相對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量.2.自變量的取值范圍對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義.對于純數學問題，自變量取值應保證數學式子有意義.3．表示方法⑴解析法；⑵列表法；⑶圖象法.4．畫函數圖象（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值；（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.要點詮釋：（1）在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量；（2）確定自變量取值范圍的原則：①使代數式有意義；②使實際問題有意義.考點三、幾種基本函數（定義→圖象→性質）1.正比例函數及其圖象性質（1）正比例函數：如果y=kx(k是常數，k≠0)，那么y叫做x的正比例函數．（2）正比例函數y=kx（k≠0)的圖象：過（0，0），（1，K）兩點的一條直線．（3）正比例函數y=kx（k≠0)的性質①當k＞0時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大；②當k＜0時，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小.2.一次函數及其圖象性質（1）一次函數：如果y=kx+b(k,b是常數，k≠0),那么y叫做x的一次函數．（2）一次函數y=kx+b（k≠0)的圖象（3）一次函數y=kx+b（k≠0)的圖象的性質一次函數y＝kx＋b的圖象是經過(0，b)點和點的一條直線．①當k>0時，y隨x的增大而增大；

②當k<0時，y隨x的增大而減小．

(4)用函數觀點看方程(組)與不等式①任何一元一次方程都可以轉化為ax＋b＝0(a，b為常數，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：一次函數y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)，當y＝0時，求相應的自變量的值，從圖象上看，相當于已知直線y＝kx＋b，確定它與x軸交點的橫坐標．②二元一次方程組對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線，從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數值相等，以及這兩個函數值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線的交點的坐標．③任何一元一次不等式都可以轉化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b為常數，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：當一次函數值大于0或小于0時，求自變量相應的取值范圍．要點詮釋：（1）當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例；（2）確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k.確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式（k0）中的常數k和b.解這類問題的一般方法是待定系數法.（3）直線y1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置關系．①k1≠k2y1與y2相交；②y1與y2相交于y軸上同一點（0，b1）或（0，b2）；③y1與y2平行；④y1與y2重合.3.反比例函數及其圖象性質（1）定義：一般地，形如（為常數，）的函數稱為反比例函數.三種形式：(k≠0)或(k≠0)或xy=k(k≠0).（2）反比例函數解析式的特征：①等號左邊是函數，等號右邊是一個分式.分子是不為零的常數（也叫做比例系數），分母中含有自變量，且指數為1；②比例系數；③自變量的取值為一切非零實數；④函數的取值是一切非零實數.（3）反比例函數的圖象①圖象的畫法：描點法列表（應以O為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數）；描點（由小到大的順序）；連線（從左到右光滑的曲線）.②反比例函數的圖象是雙曲線，（為常數，）中自變量，函數值，所以雙曲線是不經過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標軸，但是永遠不與坐標軸相交.③反比例函數的圖象是軸對稱圖形（對稱軸是和）和中心對稱圖形（對稱中心是坐標原點）.④反比例函數（）中比例系數的幾何意義是：過雙曲線（）上任意點引軸、軸的垂線，所得矩形面積為.（4）反比例函數性質：反比例函數k的符號k>0k<0圖像性質①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k>0時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限.在每個象限內，y隨x的增大而減小.①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k<0時，函數圖像的兩個分支分別在第二、四象限.在每個象限內，y隨x的增大而增大.（5）反比例函數解析式的確定：利用待定系數法（只需一對對應值或圖象上一個點的坐標即可求出）（6）“反比例關系”與“反比例函數”：成反比例的關系式不一定是反比例函數,但是反比例函數中的兩個變量必成反比例關系.（7）反比例函數的應用反比例函數中反比例系數的幾何意義，如下圖，過反比例函數圖像上任一點作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=.∴.(8)正比例函數和反比例函數的交點問題若正比例函數(≠0)，反比例函數，則當時，兩函數圖象無交點；當時，兩函數圖象有兩個交點，坐標分別為(，)，(，)．由此可知，正反比例函數的圖象若有交點，兩交點一定關于原點對稱．要點詮釋：（1）用待定系數法求解析式（列方程[組]求解）；（2）利用一次（正比例）函數、反比例函數的圖象求不等式的解集.【典型例題】類型一、坐標平面有關的計算 1．已知：如圖所示，

（1）寫出△ABC三個頂點的坐標；

（2）作出△ABC關于x軸對稱的△A′B′C′，并寫出△A′B′C′三個頂點的坐標；

（3）作出△ABC關于y軸對稱的△A″B″C″，并寫出△A″B″C″三個頂點的坐標．【思路點撥】（1）直接根據圖形寫出△ABC三個頂點的坐標；（2）找到△ABC的各頂點關于x軸對稱的對稱點并順次連接成圖形；（3）找到△ABC的各頂點關于y軸對稱的對稱點并順次連接成圖形．【答案與解析】（1）△ABC三個頂點的坐標分別為：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；

（2）所畫圖形如下所示，△A′B′C′即為所求，△A′B′C′三個頂點的坐標分別為：A′（4，-3），B′（3，-1），C′（1，-2）；

（3）所畫圖形如下所示，△A″B″C″即為所求，△A″B″C″三個頂點的坐標分別為：A″（-4，3），B″（-3，1），C″（-1，2）．

【總結升華】作軸對稱圖形找對稱點是關鍵.舉一反三：【變式】如圖所示，△ABC的頂點坐標分別為A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如將B點向右平移2個單位后再向上平移4個單位到達B1點，若設△ABC的面積為S1，△AB1C的面積為S2，則S1，S2的大小關系為()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能確定【答案】選B．（點B的平移是關鍵，平移后AB＝CB1，兩個三角形等底等高）．2．(1)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，…，以B1B2為對角線作第一個正方形A1B1C1B2，以B2B3為對角線作第二個正方形A2B2C2B3，以B3B4為對角線作第三個正方形A3B3C3B4，……如果所作正方形的對角線都在y軸上，且的長度依次增加1個單位，頂點都在第一象限內(n≥1，且n為整數)，那么A1的縱坐標為________，用n的代數式表示的縱坐標為_______；(2)若設的坐標為(x，y)，求y關于x的函數關系式．【思路點撥】作A1D⊥y軸于點D，可推出A1的縱坐標=B1D+B1O=1+1==2，A2的縱坐標==4.5，則An的縱坐標為．【答案與解析】(1)2，；(2)A1的橫坐標等于，A2的橫坐標等于，A3的橫坐標等于，A4的橫坐標等于，……∴的橫坐標等于，縱坐標等于．∵，，∴，代入消去n+1，得．∴y關于x的解析式為，說明點A1，A2，A3，A4，…，都在拋物線上．如圖所示．【總結升華】解決本題的關鍵是觀察圖形得到點的縱坐標的特點．類型二、一次函數3．（2015?泰州）已知一次函數y=2x﹣4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數的圖象上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2．（1）當P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當d1+d2=3時點P的坐標；（3）若在線段AB上存在無數個P點，使d1+ad2=4（a為常數），求a的值．【思路點撥】（1）對于一次函數解析式，求出A與B的坐標，即可求出P為線段AB的中點時d1+d2的值；（2）根據題意確定出d1+d2的范圍，設P（m，2m﹣4），表示出d1+d2，分類討論m的范圍，根據d1+d2=3求出m的值，即可確定出P的坐標；（3）設P（m，2m﹣4），表示出d1與d2，由P在線段上求出m的范圍，利用絕對值的代數意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據存在無數個點P求出a的值即可．【答案與解析】解：（1）對于一次函數y=2x﹣4，令x=0，得到y=﹣4；令y=0，得到x=2，∴A（2，0），B（0，﹣4），∵P為AB的中點，∴P（1，﹣2），則d1+d2=3；（2）①d1+d2≥2；②設P（m，2m﹣4），∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|，當0≤m≤2時，d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3，解得：m=1，此時P1（1，﹣2）；當m＞2時，d1+d2=m+2m﹣4=3，解得：m=，此時P2（，）；當m＜0時，不存在，綜上，P的坐標為（1，﹣2）或（，）；（3）設P（m，2m﹣4），∴d1=|2m﹣4|，d2=|m|，∵P在線段AB上，∴0≤m≤2，∴d1=4﹣2m，d2=m，∵d1+ad2=4，∴4﹣2m+am=4，即（a﹣2）m=0，∵有無數個點，∴a=2．【總結升華】此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，線段中點坐標公式，絕對值的代數意義，以及坐標與圖形性質，熟練掌握絕對值的代數意義是解本題的關鍵．舉一反三：【變式】已知：如圖所示，在直角坐標平面內，O為原點，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(0，4)，直線CM∥x軸．點B與點A關于原點對稱，直線y＝x+b(b為常數)經過點B，且與直線CM相交于點D，連接OD．(1)求b的值和點D的坐標．(2)設點P在x軸的正半軸上，若△POD是等腰三角形，求點P的坐標．【答案】(1)因為點B與點A關于原點對稱，點A的坐標為(1，0)，所以點B的坐標為(-1，0)．因為直線y＝x+b(b為常數)經過點B，所以0＝-1+b，解得b＝1，所以直線為y＝x+1．因為點C的坐標為(0，4)，直線CM∥x軸，所以點D的縱坐標為4．因為直線y＝x+1與直線CM交于點D，當y＝4時，4＝x+1，解得x＝3，所以點D的坐標為(3，4)．(2)因為O為原點，點D的坐標為(3，4)，點C的坐標為(0，4)，所以OC＝4，CD＝3，所以OD＝5．因為點P在x軸的正半軸上，若△POD是等腰三角形，則分三種情況：①當PD＝PO時，有，因為，所以，解得．所以點P的坐標為(，0)．②當PD＝OD時，PO＝2CD＝6，所以點P的坐標為(6，0)．③當OD＝PO時，PO＝5，所以點P的坐標為(5，0)．類型三、反比例函數4．如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且tan∠BOA=．（1）求邊AB的長；（2）求反比例函數的解析式和n的值；（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．【思路點撥】（1）由點E的縱坐標得出OA=4，再根據tan∠BOA=即可求出AB的長度；（2）根據（1）求出點B的坐標，再根據點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式求出反比例函數解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值；（3）利用反比例函數解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度.【答案與解析】解：（1）∵點E（4，n）在邊AB上，∴OA=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2.（2）由（1），可得點B的坐標為（4，2），∵點D為OB的中點，∴點D（2，1）.∵點D在反比例函數（k≠0）的圖象上，∴，解得k=2.∴反比例函數解析式為.又∵點E（4，n）在反比例函數圖象上，∴.（3）如圖，設點F（a，2），∵反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，∴，解得a=1.∴CF=1.連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12，解得t=，∴OG=t=.【總結升華】本題綜合考查了反比例函數的知識，包括待定系數法求函數解析式，點在函數圖象上，銳角三角函數的定義，以及折疊的性質，求出點D的坐標，然后求出反比例函數解析式是解題的關鍵．舉一反三：【高清課程名稱：反比例函數高清ID號：408332關聯的位置名稱（播放點名稱）：例5】【變式1】（2015?棗莊）如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=（x＞0）的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點．（1）求一次函數的解析式；（2）根據圖象直接寫出使kx+b＜成立的x的取值范圍；（3）求△AOB的面積．【答案】解：（1）∵點A（m，6），B（3，n）兩點在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，∴m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）．又∵點A（m，6），B（3，n）兩點在一次函數y=kx+b的圖象上，∴．解得，則該一次函數的解析式為：y=﹣2x+8；（2）根據圖象可知使kx+b＜成立的x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3；（3）分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點．直線AB交x軸于D點．令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．∵A（1，6），B（3，2），∴AE=6，BC=2，∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．【變式2】已知雙曲線和直線相交于點和點，且.求的值.【答案】由得．∴．故．∴．∴或.又即，舍去，故所求的值為.類型四、函數綜合應用5．如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和軸、軸分別交于點A和點B，且OA＝OB＝1.這條曲線是函數的圖像在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（、），由點P向軸、軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F.（1）分別求出點E、F的坐標（用的代數式表示點E的坐標，用的代數式表示點F的坐標，只須寫出結果，不要求寫出計算過程）；（2）求△OEF的面積（結果用含、的代數式表示）；（3）△AOF與△BOE是否一定相似，請予以證明.如果不一定相似或一定不相似，簡要說明理由；（4）當點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內角中，大小始終保持不變的那個角的大小，并證明你的結論.【思路點撥】在證明三角形相似時，∠EBO＝∠OAF是較明顯的，關鍵是證明兩夾邊對應成比例，這里用到了點P（，）在雙曲線上這一重要條件，挖掘形的特征，并把形的因素轉化為相應的代數式形式是解本題的關鍵.【答案與解析】（1）點E（，），點F（，）（2）＝＝（3）△AOF與△BOE一定相似，下面給出證明∵OA＝OB＝1∴∠FAO＝∠EBOBE＝AF＝∵點P（，）是曲線上一點∴，即AF·BE＝OB·OA＝1∴∴△AOF∽△BOE（4）當點P在曲線上移動時，△OEF中∠EOF一定等于45°，由（3）知，∠AFO＝∠BOE，于是由∠AFO＝∠B＋∠BOF及∠BOE＝∠BOF＋∠EOF∴∠EOF＝∠B＝45°.【總結升華】此題第（3）（4）問均為探索性問題，（4）以（3）為基礎，在肯定（3）的結論后，（4）的解決就不難了.舉一反三：【高清課程名稱：平面直角坐標系與一次函數高清ID號：\o"查看資源信息"406069關聯的位置名稱（播放點名稱）：例4-例5】【變式1】如圖所示，點A的坐標為(1，0)，點B在直線y＝-x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為()．A．(0，0)B．(,-)C．(，)D．(，)【答案】當AB與直線y＝-x垂直時，AB最短．(如圖所示)∵直線y＝-x，∴∠AOB＝45°．∴△AOB是等腰直角三角形．過B作BC⊥x軸于C．∵A(1，0)，∴OA＝1，．∴此題選B．【變式2】在同一坐標系中，一次函數y＝(1-k)x+2k+l與反比例函數的圖象沒有交點，則常數k的取值范圍是________．【答案】由題意知∴．∴兩函數圖象無交點，∴∴．6．如圖所示，點A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函數的圖象上．(1)求m、k的值；(2)如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的解析式．【思路點撥】（1）直接把A、B兩點的坐標代入解析式中就可以得到關于m的方程，解方程即可；

（2）存在兩種情況：當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時和當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時．無論哪種情況都可以利用平移知識求出M、N的坐標，然后利用待定系數法確定直線MN的解析式；【答案與解析】(1)由題意可知m(m+1)＝(m+3)(m-1)．解得m＝3．∴A(3，4)，B(6，2)．∴k＝4×3＝12．(2)存在兩種情況，如圖所示．①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，設M1點坐標為(x1，0)，N1點坐標為(0，y1)．∵四邊形AN1M1B為平行四邊形，∴點A對應點N1，點B對應點M1．∵點A的橫坐標為3，點B的縱坐標為2．∴線段N1M1可看做由線段AB向左平移3個單位，再向下平移2個單位得到的．∴N1點的坐標為(0，4-2)，即N1(0，2)；M1點的坐標為(6-3，0)，即M1(3，0)．設直線M1N1的函數表達式為y＝k1x+2，把x＝3，y＝0代入，解得．∴直線M1N1的函數表達式為．②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，設M2點坐標為(x2，0)，N2點坐標為(0，y2)．∵AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，∴N1M1∥M2N2，N1M1＝M2N2．∴線段M2N2與線段N1M1關于原點O成中心對稱．∴M1點坐標為(-3，0)，N2點坐標為(0，-2)．設直線M2N2的函數表達式為，把x＝-3，y＝0代入，解得．∴直線M2N2的函數表達式為．綜上所述，直線MN的函數表達式為或．【總結升華】本題主要考查了一次函數與反比例函數的綜合應用.中考總復習：全等三角形—鞏固練習【鞏固練習】一、選擇題1．如圖，△ABC是不等邊三角形，DE=BC，以D、E為兩個頂點畫位置不同的三角形，使所畫的三角形與△ABC全等，這樣的三角形最多可畫出().A.2個B.4個C.6個D.8個

2．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為AC的中點，AE⊥BD交BC于E，若∠BDE=，∠ADB的大小是（）．A．B．C．D．

3．如圖，△ABC中，∠C為鈍角，CF為AB上的中線，BE為AC上的高，若CF=BE，則∠ACF的大小是（）.A．45°B．60°C．30°D．不確定

4．如圖，△ABC中，∠BAC=90°AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=2∠C，∠DAE的度數是().A.45°B.20°C.30°D.15°

5．（2014春?安岳縣校級期中）如圖，六邊形ABCDEF中，每一個內角都是120°，AB=12，BC=30，CD=8，DE=28．求這個六邊形的周長為（）A．125 B．126 C．116 D．1086.如圖，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1＝∠2，AD＝AB，則（）.

A．∠1＝∠EFDB．BE＝ECC．BF＝DF＝CDD．FD∥BC

二、填空題7．如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC翻折180°形成的。若∠1:∠2:∠3=28:5:3，則的度數為______.8．如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉35°，得到，交于點，若，則∠A=______.

9．如圖，已知的周長是20，分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，

△ABC的面積是___________.

10．如圖，直線AE∥BD，點C在BD上，且點C為BD中點，若AE＝4，BD＝8，△ABD的面積為16，則的面積為______．11．（2015?綏化）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，△OEF是正三角形，且AE=BF，則∠AOE=．12．將一列有理數－1，2，－3，4，－5，6，……，如圖所示有序排列．根據圖中的排列規律可知，“峰1”中峰頂的位置（C的位置）是有理數4，那么，“峰6”中C的位置是有理數，2008應排在A、B、C、D、E中的位置.峰n峰1峰2……峰n峰1峰2……三、解答題13.已知：如圖，過△ABC的邊BC的中點M作直線平行于∠BAC的平分線AD，而且交直線AB、AC于E、F.求證：

14.如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分別交CE，AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的位置和數量關系，并說明理由.

15．如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點．（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿三邊運動，求經過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？

16.（2015?營口）【問題探究】（1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長．（3）如圖3，在（2）的條件下，當△ACD在線段AC的左側時，求BD的長．【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B.2.【答案】C.【解析】作關于BC的對稱圖形，作的中點，連接，則容易證明，說明和AE在同一條直線上的線段，根據對稱性交于E點，所以與DE在同一條直線上，容易證明．

所以．所以．3.【答案】C．【解析】延長CF到D，使CD=2CF，容易證明

△AFC≌△，所以∠D=∠FCA，所以AC∥BD，因為

CF=BE，所以CD=2BE，即AC與BD之間的距離等于CD的一半，

所以∠D=30°．所以內錯角∠ACF=30°．4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】如圖，分別作直線AF、ED、BC的延長線和反向延長線使它們交于點G、H、P．∵六邊形ABCDEF的六個角都是120°，∴六邊形ABCDEF的每一個外角的度數都是60°．∴△PGH、△BGA、△DHC、△EFP都是等邊三角形．∴GB=AB=AG=12，DH=CH=CD=8．∴GH=12+30+8=50，FE=PE=PH﹣ED﹣DH=50﹣28﹣8=14，AF=PG﹣PF﹣AG=50﹣14﹣12=24．∴六邊形的周長為：24+12+30+8+28+14=116．故選：C．6.【答案】D.二、填空題7．【答案】80°.【解析】由三角形內角和是180°知∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°,

由翻折知：∠ABE=∠2，∠ACD=∠3,∴．8．【答案】55°.【解析】由旋轉知：,，

∵，∴55,∴55°.9．【答案】30.【解析】提示：面積法．10．【答案】8.11．【答案】15°.【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°.故答案為15°．12．【答案】－29,B.三、解答題13.【答案與解析】證明：延長FM到G，使，連接

∵M為BC的中點，

∴△BMG≌△CMF∴∠G=∠2，CF=BG,

又∵平分，ME∥AD,

∴∠3=∠4，∠3=∠E，∠1=∠4，

∴∠1=∠E，即AE=AF,

∵∠1=∠2，∠G=∠2，∠1=∠E，

∴∠G=∠E，即BE=BG=CF,

∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+CF=BE+CF=2CF，即14.【答案與解析】猜測AE＝BD，AE⊥BD.

證明如下：

∵∠ACD＝∠BCE＝90°，

∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.

∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC＝CD，CE＝CB.

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.

∵∠AFC＝∠DFH，

∴∠DHF＝∠ACD＝90°，

∴AE⊥BD.15.【答案與解析】（1）①∵秒，

∴，

∵，點為的中點，

∴．

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴．

②∵，∴，

又∵，，則，

∴點，點運動的時間秒，

∴．

（2）設經過秒后點與點第一次相遇，

由題意，得，

解得．

∴點共運動了．

∵，

∴點、點在邊上相遇，

∴經過秒點與點第一次在邊上相遇.16.【答案與解析】解：（1）BD=CE．理由是：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE；（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE．∵AE=AB=7，∴BE==7，∠AEC=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴EC===，∴BD=CE=．（3）如圖3，在線段AC的右側過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延長線于點E，連接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=7，BE==7，又∵∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE，∵BC=3，∴BD=CE=7﹣3（cm）．中考總復習：全等三角形—知識講解【考綱要求】1.掌握全等三角形的概念和性質，能夠準確地辨認全等三角形中的對應元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進行證明，掌握綜合法證明的格式；3.善于發現和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等，靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等.【知識網絡】【考點梳理】考點一、基本概念1.全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性質（1）全等三角形對應邊相等；（2）全等三角形對應角相等.要點詮釋：全等三角形的周長、面積相等；對應的高線，中線，角平分線相等.3.全等三角形的判定方法（1）三邊對應相等的兩個三角形全等(SSS)；（2）兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）；（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS)；（4）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS)；（5）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL).考點二、靈活運用定理三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結論聯系起來．應用三角形全等的判別方法注意以下幾點：1.條件充足時直接應用判定定理要點詮釋：在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等.這種情況證明兩個三角形全等的條件比較充分，只要認真觀察圖形，結合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．2.條件不足，會增加條件用判定定理要點詮釋：此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析，探索結論成立的條件，從而得出答案．3.條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判定定理要點詮釋：在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．常見的幾種輔助線添加：①遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”；②遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”；③遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理；④過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”；⑤截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分之類的題目．【典型例題】類型一、全等三角形1．如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點P在BD的延長線上，BP=AC，點Q在CE上，CQ=AB．求證：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．

【思路點撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題．【答案與解析】證明：（1）∵BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，

∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．

∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，

∴△AQC≌△PAB．∴AP=AQ.

(2)∵AP=AQ，∠QAC=∠P，

∵∠PAD+∠P=90°，

∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．

∴AP⊥AQ．【總結升華】在確定全等條件時，注意隱含條件的尋找.舉一反三：【高清課堂：全等三角形例8】【變式】（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延長AD到E點，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．【答案與解析】（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．類型二、靈活運用定理2．如圖，已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF.【思路點撥】將所求的線段轉移到同一個或相關聯的三角形中進行求解．【答案與解析】證明：延長ED至M，使DM=DE，連接CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF（全等三角形對應邊相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）,∴BE＋CF＞EF.【總結升華】當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中.舉一反三：【變式】如圖所示，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：AC=BF.【答案】證明：延長AD到H，使得DH=AD，連結BH，

∵D為BC中點，

∴BD=DC，

在△ADC和△HDB中

，

∴△ADC≌△HDB(SAS)，

∴AC=BH,∠H=∠HAC，

∵EA=EF，

∴∠HAE=∠AFE，

又∵∠BFH=∠AFE，

∴BH=BF，

∴BF=AC．3．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，試判斷AB-AD與CD-CB的大小關系，并證明你的結論．

【思路點撥】解答本題的關鍵是熟練運用三角形中大邊對應大角的關系．【答案與解析】AB-AD＞CD-CB；證明：在AB上取一點E，使得AE=AD，連結CE．

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2．

∵在△ACE和△ACD中，

∴△ACE≌△ACD．

∴CD=CE．

∵在△BCE中，BE＞CE-CB，

即AB-AE＞CE-CB，

∴AB-AD＞CD-CB．【總結升華】本題也可以延長AD到E，使得AE=AB，連結CE．涉及幾條線段的大小關系時，用“截長補短”法構造全等三角形是常用的方法．舉一反三：【變式】如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MB－MC＜AB－AC．【答案】證明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對應邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．【思路點撥】在AC上取AF=AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再證得∠COF=∠COD，則根據全等三角形的判定方法AAS即可證△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得結論．【答案與解析】在AC上取AF=AE，連接OF，∵AD平分∠BAC、

∴∠EAO=∠FAO，

在△AEO與△AFO中，

∵

∴△AEO≌△AFO（SAS），

∴∠AOE=∠AOF；

∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，

∴∠ECA+∠DAC=（180°-∠B）=60°則∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；

∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（對頂角相等）

則∠COF=60°，

∴∠COD=∠COF，

又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，

∴△FOC≌△DOC（ASA），

∴DC=FC，

∵AC=AF+FC，

∴AC=AE+CD．【總結升華】本題考查了全等三角形的判定和性質，涉及到三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．類型三、綜合運用5（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路點撥】（1）由等邊三角形的性質可寫出結論．

（2）要證明以上結論，需創造一些條件，首先可從△ABC中分出一部分使得與△ACF的面積相等，則過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，就可創造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可．【答案與解析】證明：（1）延長DE交AB于點G，連接AD．∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC．∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED與△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）設AC與FD交于點O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【總結升華】本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．舉一反三：【高清課堂：全等三角形例9】【變式】如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四邊形ACDE是平行四邊形，連結CE交AD于點F，連結BD交CE于點G，連結BE.下列結論中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD·AE=EF·CG；一定正確的結論有()．A．1個 B．2個 C．3個D．4個AABCDEFG【答案】D.6．如圖，已知△ABC.（1）請你在BC邊上分別取兩點D、E(BC的中點除外)，連結AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；（2）請你根據使(1)成立的相應條件，證明AB+AC＞AD+AE．【思路點撥】考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關系．本題（2）中通過構建全等三角形將已知和所求條件轉化到相關的三角形中是解題的關鍵．【答案與解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面積相等.（2）取DE的中點O，連結AO并延長到F點，使得FO=AO，連結EF，CF．

在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,

可證△ADO≌△FEO．

所以AD=FE．

因為BD=CE，DO=EO，

所以BO=CO.

同理可證△ABD≌△FCO，

所以AB=FC.

延長AE交CF于G點,

在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，

在△EFG中，EG+FG＞EF,

可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,

即AC+CF＞AE+EF,

所以AB+AC＞AD+AE.【總結升華】正確構造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結論是關鍵.舉一反三：【變式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)當直線MN繞點C旋轉到圖①的位置時，求證：DE=AD+BE；(2)當直線MN繞點C旋轉到圖②的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉到圖③的位置時，試問：DE、AD、BE有怎樣的等量關系?請寫出這個等量關系，并加以證明．【答案】(1)證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．

∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=AD-BE．（3）證明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE．

又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，

∴△ADC≌△CEB．

∴CD=BE，AD=CE．

∴DE=BE-AD．中考總復習：銳角三角函數綜合復習—鞏固練習（基礎）【鞏固練習】一、選擇題

1.如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結論正確的是()A．sinA＝B．tanA＝C．cosB＝D．tanB＝第1題第2題2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（） A． B．C． D．3．在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（）A．B． C．D．4．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2，則tan∠CAD的值是（） A.2 B.C. D.第4題第6題5．（2015?大邑縣校級模擬）一個物體從A點出發，沿坡度為1：7的斜坡向上直線運動到B，AB=30米時，物體升高（）米． A．B．3C． D． 以上的答案都不對6．如圖，已知：45°＜A＜90°，則下列各式成立的是（）A.sinA=cosA B.sinA＞cosAC.sinA＞tanA D.sinA＜cosA二、填空題7．若∠α的余角是30°，則cosα的值是.8．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=_______.第8題第12題9．計算2sin30°﹣sin245°+tan30°的結果是.10．已知α是銳角，且sin(α+15°)=.計算的值為.11．（2015春?茅箭區月考）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為海里．（結果保留根號）12．如圖，正方體的棱長為3