福建省2021屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列十一數(shù)列存在問題及應(yīng)對策略（福建省高三畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)指導(dǎo)組周白生執(zhí)筆整理）數(shù)列是函數(shù)的延展，是為高等數(shù)學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)極限打好基礎(chǔ)，是高考必考內(nèi)容，是高考考查數(shù)學(xué)思想方法和能力、考查核心素養(yǎng)的重要載體．對數(shù)列考查，主要考查的核心知識為：利用等差、等比數(shù)列的公式、性質(zhì)求值；考查利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)；考查利用裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法對數(shù)列求和；考查等差等比數(shù)列的證明.基本上以等差、等比數(shù)列的交叉為主，融入一些創(chuàng)新點(diǎn)（結(jié)構(gòu)不良問題），求解這些新的復(fù)雜數(shù)列的和與通項(xiàng)公式，以及利用放縮法證明不等式．高考對數(shù)列的考查突出基礎(chǔ)性，重點(diǎn)考查考生對數(shù)列通性通法的理解與應(yīng)用，有時(shí)也考查綜合性較強(qiáng)的數(shù)列問題，將對基礎(chǔ)知識的考查和對能力的考查有機(jī)結(jié)合，解題方法靈活多樣，技巧性較強(qiáng)．但學(xué)生對數(shù)列心理上存在的畏懼感，導(dǎo)致在解題過程中還是會(huì)出現(xiàn)或多或少的錯(cuò)誤，如審題不清、概念理解的不透徹、計(jì)算上的錯(cuò)誤、轉(zhuǎn)化能力的欠缺等導(dǎo)致失分.復(fù)習(xí)時(shí)要針對存在的不同問題采取不同的應(yīng)對策略.一、存在問題（一）概念理解不透徹【例1】（2021年北京卷6）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A.64 B.96 C.128 D.160【解析】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)椋傻茫傻茫钟砷L與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：C.【評析】設(shè)等差數(shù)列公差為，求得，得到，結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和，列出方程，即可求解.【錯(cuò)因分析】對應(yīng)的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等概念不理解，不能得到相關(guān)等式，無法利用等式求得結(jié)果.（二）運(yùn)算能力欠佳【例2】（2021年浙江卷10）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B. C. D.【解析】因?yàn)椋裕桑锤鶕?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．【評析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進(jìn)而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到，從而得解．【錯(cuò)因分析】本題錯(cuò)誤的主要原因是考生無法通過倒數(shù)法先找到的不等關(guān)系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到，由于計(jì)算能力薄弱無法由裂項(xiàng)相消法求得。（三）歸納轉(zhuǎn)化意識不強(qiáng)【例3】（2021全國甲卷18）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡得對于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因?yàn)椋堑炔顢?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)椋裕獾没颍划?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式因?yàn)椋裕驗(yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.【評析】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時(shí)，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【錯(cuò)因分析】選①②作條件證明③時(shí)，處理出錯(cuò)，從而導(dǎo)致出錯(cuò)，項(xiàng)與和之間的靈活轉(zhuǎn)化意思不強(qiáng)，不能利用是等差數(shù)列得出；因此無法得到等量關(guān)系，使得證明出錯(cuò).選①③作條件證明②時(shí)，沒能正確表示出，從而無法完成證明；選②③作條件證明①時(shí)，由于對等差數(shù)列定義不理解，不能正確的設(shè)出，從而無法完成證明.（四）性質(zhì)掌握不到位【例4】（2021·全國甲卷7）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【解析】由題，當(dāng)數(shù)列時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程．【評析】當(dāng)時(shí)，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．【錯(cuò)因分析】思路不清晰，錯(cuò)誤的認(rèn)為各項(xiàng)的符號均為正，導(dǎo)致單調(diào)性判斷錯(cuò)誤。（五）抽象概括能力不足【例5】（2021·新高考1卷16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【評析】本題主要考查數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、抽象概括能力.【錯(cuò)因分析】閱讀能力欠缺，不能將數(shù)學(xué)情境題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題來解決．（六）綜合運(yùn)用能力較弱【例6】（2020年北京卷21）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【解析】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，⑧則．⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法

由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【評析】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.【錯(cuò)因分析】（1）不能正確利用等差數(shù)列性質(zhì)及得到；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.二、應(yīng)對策略（一）重視兩個(gè)特殊數(shù)列概念的深入理解和應(yīng)用，利用定義判定數(shù)列為等差或等比是這幾年高考的熱點(diǎn)，因此需要學(xué)生非常熟練地掌握．【例1】(2021年北京卷10)已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且，若，則的最大值為（）A.9 B.10 C.11 D.12【解析】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，所以.對于，，取數(shù)列各項(xiàng)為(，,則，所以n的最大值為11．故選：C．【評析】使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到的最大值．（二）重視通性通法，利用基本量解題意識，理清知識網(wǎng)絡(luò)，切實(shí)掌握數(shù)列的概念與性質(zhì)．【例2】(2021年全國新高考1卷17)已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和.【解析】（1）由題設(shè)可得又，，故，即，即所以為等差數(shù)列，故.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，則，因?yàn)椋?【評析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項(xiàng).（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得的前項(xiàng)和為可化為，利用（1）的結(jié)果可求.（三）強(qiáng)化合情推理的訓(xùn)練．?dāng)?shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)，這決定了數(shù)列解題中離不開規(guī)律性和技巧性的探究，故靈活應(yīng)用合情推理方法解決數(shù)列問題就顯得尤為重要．【例3】（2021年全國新高考2卷12）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.【解析】對于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【評析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【例4】(2020年浙江卷理7)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.D.【解析】對于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，，，，．，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對于D，，，．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以，D不正確．故選D【評析】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（四）重視公式的應(yīng)用．?dāng)?shù)列的運(yùn)算，除用有關(guān)公式和性質(zhì)求解一些基本量的問題外，特別是與的關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)．【例5】(2020年全國卷Ⅱ理12)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.【評析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【例6】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和是（）A．290 B． C． D．【答案】C【解析】（法一）由得，當(dāng)時(shí)，，整理得，所以是公差為4的等差數(shù)列，又，所以，從而，所以，數(shù)列的前10項(xiàng)的和.故選C（法二）當(dāng)時(shí)，整理得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，所以（下列同上略）【例7】已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式．【解析】因?yàn)椋裕瑑墒较鄿p得，即．因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椴贿m合上式，適合上式，所以(五)強(qiáng)化模式訓(xùn)練，提高學(xué)生應(yīng)變能力以及解題技巧．（1）裂項(xiàng)求和法：通項(xiàng)公式為分式型，分母為某兩個(gè)因式積的形式【例8】（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模擬（理））設(shè)數(shù)列滿足，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不滿足，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）因?yàn)椋裕裕?【例9】已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(diǎn)(4,2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2018＝________.【解析】由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝eq\f(1,2)，則.所以=eq\r(n＋1)－eq\r(n)，S2018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2018＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(2018)－eq\r(2017))＋(eq\r(2019)－eq\r(2018))＝eq\r(2019)－1.故答案為：eq\r(2019)－1.（2）錯(cuò)位相減法：形如是等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和.求和過程中注意項(xiàng)的對齊方式及相減后最后一項(xiàng)的符號.【例10】【2010年新課標(biāo)Ⅰ理17】設(shè)數(shù)列滿足a1＝2，an+1﹣an＝3?22n﹣1（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】（1）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，an+1＝[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1＝3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2＝32＝22（n+1）﹣1．而a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n﹣1．（2）由bn＝nan＝n?22n﹣1知Sn＝1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1①從而22Sn＝1?23+2?25+…+n?22n+1②①﹣②得（1﹣22）?Sn＝2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1．即．

【評析】本題考查累加法，即等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)的方法應(yīng)用于求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和，等比數(shù)列前n項(xiàng)和.易錯(cuò)的是=1\*GB3①-=2\*GB3②左邊式子和右邊最后一項(xiàng)的符號.（3）分組轉(zhuǎn)化求和：分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型【注】某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．【例11】（2021·陜西高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)有，由成等比數(shù)列可得，，由，所以，解得，，所以，；（2）由（1）可得，（六）關(guān)注新信息背景下的數(shù)列問題，含“新信息”背景的數(shù)列問題，往往使人感到是難題.難點(diǎn)通常為：一是對于新的概念與規(guī)則，學(xué)生在處理時(shí)會(huì)有一個(gè)熟悉的過程，不易抓住信息的關(guān)鍵部分并用于解題之中，二是學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)每一問所指向的知識點(diǎn).傳統(tǒng)題目通常在問法上就直接表明該用哪些知識進(jìn)行處理，例如“求通項(xiàng)，求和”.但新信息問題所問的因?yàn)榕c新信息相關(guān)，所以要運(yùn)用的知識隱藏的較深，不易讓學(xué)生找到解題的方向.三是此類問題的解答題，往往設(shè)計(jì)成為“連環(huán)題”，即前面問題的處理是為了后一問做好鋪墊.但學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)其中聯(lián)系，從而導(dǎo)致在處理最后一問時(shí)還要重整旗鼓，再加上可能要進(jìn)行的分類討論，解題難度陡然增加.本專題通過例題說明應(yīng)對這種“新信息”背景下數(shù)列問題的方法與技巧.【例12】(2021年全國新高考卷16)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對折次，那么______.【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)