滬教版（上海）高中數學2019-2020學年度高三數學二輪復習函數方程專題之函數與方程思想②教學目標理解函數思想與方程思想的含義，以及它們之間的聯系，能熟練利用函數與方程的思想解題．知識梳理1．函數與方程思想的含義函數與方程是中學數學的重要概念，它們之間有著密切的練習。函數與方程的思想是中學數學的基本思想，主要依據題意構造恰當的函數或建立相應的方程來解決問題，是歷來高考的重點和熱點．（1）函數思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題，即善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題．（2）方程思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。方程的思想是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察、處理問題．（3）方程的思想與函數的思想密切相關：方程的解就是函數的圖像與軸的交點的橫坐標（零點）；函數也可以看作二元方程；通過方程進行研究，方程有解，當且僅當屬于函數的值域；與的圖像的交點問題，就是研究方程的實數解的問題，函數與方程的這種相互轉化關系十分重要．2．函數與方程的思想在解題中的應用（1）函數與不等式的相互轉化，對函數，當時，就化為不等式，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式；（2）數列的通項與前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要；（3）解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數的有關理論；（4）立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何與函數的關系更加密切．典例精講例1．（★★）關于的方程恒有解，求的取值范圍．解析：（法一）設原方程有解即方程有正根，即，解得（方法二）設①當；②.綜上可得，。點評：對于多元方程（含參數）通常有兩類辦法：一是換元，將問題轉化為二次方程，利用根與系數的關系或判別式，或者利用三角函數的有界性加以解決；二是分離變量構造函數，把方程有解轉化為求函數的值域，再根據函數的圖像和性質來解決。例2．（★★★）已知對任意都有意義，則的范圍是（）．；．；．；．．答案：．例3．（★★★）關于的不等式的解集是，求實數的值。答案：，．例4．（★★★）設集合.（1）若A中僅有一個元素，求實數的取值集合B；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．答案：（1）（2）例5．（★★★）對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：令，則原問題轉化為恒成立（）。當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。【對于含有兩個參數，且已知一參數的取值范圍，可以通過變量轉換，構造以該參數為自變量的函數，利用函數圖象求另一參數的取值范圍。】例6．（★★★★）已知定義在區間上的兩個函數和，其中（），．（1）求函數的最小值；（2）若對任意，恒成立，求的取值范圍．解：（1）由，得（2），當時，，又在區間上單調遞增（證明略），故．由題設，得，故或解得為所求的范圍．14分課堂檢測1．（★★）方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，則k的取值范圍為（）．－1≤k≤eq\f(5,4)； ．－eq\f(5,4)≤k≤0；．0≤k≤eq\f(5,4) ．－eq\f(5,4)≤k≤1．解析由方程sin2x＋cosx＋k＝0，得k＝－sin2x－cosx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，令t＝cosx，則t∈[－1,1]，∴k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－eq\f(5,4)，求得－eq\f(5,4)≤k≤1.答案．2．（★★★）函數在上為增函數，則實數的取值范圍為________．答案：．3．（★★★）已知關于的方程有解，則的取值范圍是________．答案：．4．（★★★★）已知函數f(x)＝cosx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3π))，若方程f(x)＝a有三個不同的根，且從小到大依次成等比數列，則a＝________．解析設方程的3個根分別是x1、x2、x3，如圖．因為y＝cosx的圖象是軸對稱圖形，所以x1＋x2＝2π，x2＋x3＝4π，又因為x1、x2、x3成等比數列，解得x1＝eq\f(2π,3)，故a＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)．5．（★★★）已知，對于值域內的所有實數，不等式恒成立，求的取值范圍．解：∵，∴f(t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，從而m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，原題可轉化為m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．當x＝2時，不等式不成立．∴x≠2，令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2為m的一次函數．問題轉化為g(m)在m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上恒大于0.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,g(3)>0.))解得x>2或x<－1.故x的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．（★★★★）設（），試找出最大的實數，使得恒成立．7．（★★★★）已知函數，（），若任意，存在，使得，則實數的取值范圍是________．答案：．8．（★★★★）是定義在上的以為周期的函數，對，用表示區間，已知當時，．（1）.求在上的解析式；（2）對自然數，求集合={|使方程在上有兩個不相等的實根}．答案：（1）（）．（2）．9．（★★★★）已知是定義在上的奇函數，且，若，，有恒成立．（1）判斷在上是增函數還是減函數，并證明你的結論；（2）解不等式；（3）若對所有，恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）設，且．由于，，有；又是奇函數，故，推得，即．所以在上是增函數．（2）利用在上是增函數，要研究的不等式轉化為，另外須滿足限制條件以及．不等式可表示為，即．上式左端三個因子的零點按從小到大順序為，由這三個點劃分出四個區間：，三因子在四個區間中的正負號情況分別為“---”，“+--”，“++-”和“+++”，故滿足不等式的．又第一個限制條件相當于，此時，第二個限制條件只要考慮左半部分，即，所以，合并兩限制條件相當于，綜合和得到．（3）利用在上是增函數，對所有恒成立等價于，注意到問題轉化為對所有恒成立．；或所有恒成立，；或所有恒成立，；綜上，．回顧總結1．借助有關函數的