初中數學

知識歸納及典型例題講解

想學好數學其實并不難的

你比你想象的要更有力量

前言

本人對初中數學有一點淺薄的認識，想告訴同學們，數學其實是很美妙的一

門基礎學科，只要你掌握了學習方法，數學便不會成為你厭惡的學科，甚至你會

喜歡上它。那么，接下來我將試圖結合自己曾經學習初中數學的經驗進行系統總

結，將各知識點進行串聯起來，可能不會太全面，但起碼提供了一種學習方法。

對了，因為這是系統梳理，會將初中各年級的知識點串聯起來，并不是嚴格按學

科教學章節順序進行編排，低年級的同學讀起來可能會有點吃力，但也可作為提

前學習的資料。最后，希望這篇總結對各位同學們有所啟發，開啟輕松的數學之

旅。（待完善）

第一章數軸上的那些事

數軸：規定了原點（即數軸中心0）、正方向和單位長度的直線叫做數軸。

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1.1實數

1.1.1有理數

正數：在數軸中心點0正方向上（默認是右邊）的數（即大于0的數）為正

數。

負數：在數軸中心點0負方向上（默認是左邊）的數（即小于0的數）為負

數。

0既不是正數也不是負數。

正整數、0、負整數統稱為整數；正分數、負分數統稱為分數。

整數和分數統稱為有理數。

相反數：

（1）如數軸上的一a和a,這兩個點到數軸中心0點距離相等，相加為零,

這兩個數互為相反數。特別的，0的相反數是0。

（2）注意:a-b+c的相反數是-a+b-c；a-b的相反數是b-a；a+b的相反數

是一a-b；

（3）相反數的和為0<=>a+b=0<=>a、b互為相反數.

絕對值：

（1）正數的絕對值是其本身，0的絕對值是0,負數的絕對值是它的相反數;

注意：絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離；

（2）絕對值可表示為：同=06=0）或|a|=匕鼠*;絕對值的問題經

-a（a<0）1a‘a）

常分類討論；

（3）—=l<=>a>0;—=-l<=>a<0;

aa

(4)|a|是重要的非負數，即|a|20；注意：|a|?|b|=|a?b|,H=|^|.

互為倒數：乘積為1的兩個數互為倒數；注意：0沒有倒數；若aWO,那

么"的倒數是工；倒數是本身的數是±1；若ab=loa、b互為倒數；若ab=To

a

a、b互為負倒數.

1.1.2數軸上數的大小比拼

(1)不含絕對值的情況(如數軸上的數b<c<d)

在數軸上沿著正方向的數依次變大,默認正方向是向右，即越往右的數越大。

(2)含絕對值的情況(如數軸上的數c〈d〈|b|)

含負數的絕對值的數比大小，在數軸上標出所有參與比較的負數的絕對值

(關于0點對稱)再按(1)比較。

bcdIbl

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1.1.3有理數的加減乘除

(1)有理數的加法

1.同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大

的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€加數相加得Oo

3.一個數同0相加，仍得這個數。

加法交換律:a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)有理數的減法

有理數的減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。

a-b=a+(-b)

歸納

引入相反數后，加減混合運算可以統一為加法運算。

a+b-c=a+b+(-c)

(3)有理數的乘法

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

任何數與0相乘，都得0。

有理數中仍有：

乘積是1的兩個數互為倒數。

歸納

幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數

是奇數時，積是負數。

乘法交換律:ab=ba

乘法結合律：(ab)c=a(be)

乘法分配律:a(b+c)=ab+ac

(4)有理數的除法

除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。

a-rb=a?:(bWO)

b

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等

于0的數，都得0。

(5)有理數的乘方

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做累，在a"中，a叫

做底數，n叫做指數。

負數的奇次基是負數，負數的偶次幕是正數。

正數的任何次辱都是正數，0的任何正數次事都是0。

(1)求相同因式積的運算，叫做乘方；

(2)乘方中，相同的因式叫做底數，相同因式的個數叫做指數，乘方的結

果叫做幕；

(3)￡是重要的非負數，即￡20；若a2+|b|=0oa=0,b=0；

0.12=0.01

2

(4)據規律n底數的小數點移動一位，平方數的小數點移動

102=100

二位.

做有理數的運算時，應注意以下運算順序:

1.先乘方，再乘除，最后加減。

2.同級運算，從左到右進行。

3.如有括號，先做括號內的運算，按照小括號、中括號、大括號依次進行。

（6）科學記數法

把一個大于10的數表示成aX10。的形式（其中a大于或等于1且小于10,

n是正整數），使用的是科學記數法。

（7）近似數

“約有五百人參加了今天的會議。”五百這個數只是接近實際人數，但與實

際人數還有差別，它是一個近似數。

（精確到個位）

n^3.1（精確到0.1,或叫做精確到十分位）

口P3.14（精確到0.01,或叫做精確到百分位）

1.1.4典型例題解析

例1.（2021廣東）設6-布的整數部分為a,小數部分為6,則（2“+加”

的值是（）

A.6B.2曬C.12D.9>/10

［答案］:A

【解析】易得9<10<16,所以百<歷<7^即（3<V10<4）,2<6->/10<3,

因此可得a=2,h=6-屈-2=4-屈,所以（2°+而a=（4+亞）（4-如）=6,考

查實數的整數部分、小數部分的轉化，以及平方差公式的運算。

例2.（2018北京）實數在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確

的結論是

abc

-----1—?-i------------、——---?A―,------1~>

-47-2T01234

（A）同〉4（B）c-b>0（C）ac>0（D）a+c>0

［答案］:B

【解析】易得-41<-3,3<|a|<4：-Kb<0,2<c<3,2<c-b<4；ac<0；-2<a+c<0；

考查絕對值、實數的乘積符號判斷、實數的運算、數軸的應用。

例3.（2018江漢油田、潛江、天門、仙桃）計算:鬢+回2卜5

［答案］：0

【解析】本題考查了實數的大小估值2=">有，去絕對值、倒數及負指數（1/2）

K），<n

=2'o因此，A+|^-2|-（l）-'=^+（2-73）-2-=0

例4.（2018廣東）13.一個正數的平方根是戶1和『5,則產.

［答案］：2

【解析】本題考查的是正數的平方根的性質：兩個根互為相反數，和為0。因此,

x+l+x-5=0,x%而這個正數是（矛+1）2=9。

例5.有理數a,b,c滿足|a+b+c|=a-b+c,且bWO,則|a-b+c+51Tb

-2|的值為

［答案］：3

【解析】本題考查的是絕對值的性質：|a+b+c|=a-b+c,b符號改變了，說明

a+b+c小于0并且a-b+c大于0,則（a+b+c）+（a-b+c）=0,a+c=0,|b|=-b,則b

小于0,|b-21=-（b-2），所以|a-b+c+51-：b-21=a-b+c+5+b-2=3。

例6.若a+h>0,且/?<O,則“，b,-0的大小關系為（）

A-a<-b<b<aB.-a<b<-b<aQ-a<-b<a<bD.a<b<-b<-a

［答案］:B

【解析】本題考查的是數的大小比拼?！驹斀狻???a+b>0,...a>-b,-aVb,由

b<0,.\b<-b,.,.-a<b<-b<a；故選B.

1.2不等式

不等式的性質：

（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

用字母表示為：如果。>人，那么。土c>b±c：如果。<匕，那么a±cv/?±c：

如果〃之力，那么。土cN/?土c；如果那么々土cK〃土co

（2）不等式的兩邊乘（或除以）同一個正數,不等號的方向不變。

用字母表示為：如果a>b,c>0,那么拉:（或@>2）；如果那么〃c<儀?（或

cc

ab.

—<—）；

cc

如果aNA,c>0,那么〃c之〃c（或“22）；如果那么acKhc（或@?勺；

cccc

（3）不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數,不等號的方向改變。

用字母表示為：如果那么ac<Z?c（或@<2）；如果。<反。<0,那么。（或

cc

ab、

—>—）；

cc

如果。2Z?,cvO,那么（或@42）；如果aWb,cvO,那么acNbc（或處之2）；

cccc

解不等式的步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數

化為1。這與解一元一次方程類似，在解時耍根據一元一次不等式的具體情況

靈活選擇步驟。

1.2.1數軸上的一元一次不等式

x￡5l+x>?1

-aa

---------------1--------4-----1------1---------1------------>

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一元一次不等式x<-5、l+x>T如數軸所示，實心圓表示可取等號，空心圓

表示不可取等號。

1.2.2數軸上的一元一次不等式組

不等式組中含有一個未知數,并且所含未知數的項的次數都是1,這樣的不

等式組叫一元一次不等式組。使不等式組中的每個不等式都成立的未知數的值叫

不等式組的解，一個不等式組的所有的解組成的集合,叫這個不等式組的解集解

（簡稱不等式組的解）。不等式組的解集可以在數軸上表示出來。求不等式組的解

集的過程叫解不等式組。

解一元一次不等式組的一般步驟:①求出這個不等式組中各個不等式的解集;

②利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，得到這個不等式組的解集。如果

這些不等式的解集的沒有公共部分，則這個不等式組無解（此時也稱這個不等

式組的解集為空集）o

—CLQ

_______a_______I_________I______I---------1---L^_J--------1----->

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一元一次不等式組｛2x-320、3xT3W0｝的解如數軸所示，則整數解為

x=2\3\4o

接下來看下兩個試題：

①一元一次不等式組｛2x-a20、3x-bW0｝的解如數軸所示，問整數（a、b）

的組合有哪些？

一,II一一一一9T

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第一步，將不等式組求解出來，a/2WxWb/3,注意到x最小值在廣2之間，

x的最大值在4~5之間，則：Ka/2<2,4<b/3<5,得2<a<4,12<b<15,因為a、

b是整數，所以a=3,b=13、14,即（a、b）=（3、13）或（3、14）共2種情況。

②一元一次不等式組｛2x-a，0、3x-b^0｝的整數解僅為2、3、4,問整數（a、

b）的組合有哪些？

與上題的區別是告訴你整數解而不是在數軸上表示，其實這題中，x的最小

值可以是2,x的最大值可以是4,所以有：l〈a/2W2,4<b/3<5,得2<aW4,

12^b<15,因為a、b是整數，所以a=3、4,b=12、13、14,即（a、b）=（3、

12）或（3、13）或（3、14）或（4、12）或（4、13）或（4、14）共6種情況。

1.2.3典型例題解析

例L下列不等式變形中，一定正確的是（）

A.若ac>bc,則a>b

B.若a>b,則am2>bm2

C.若ac2>bc2,則a>b

D.若a>0,b>0,且!>1,則a>b

aD

［答案］:c

【解析】本題考查的是不等式的3個性質。A選項中，如果c小于0,則錯；

B選項若果m等于0,則錯；C選項，條件知c不為0,因此正確；D選項，正數

的倒數越大，那這個正數就越小，D錯。

x+2y=4k

例2.已知5l.-l<x-y<0,則k的取值范圍為

2x+y=2k+l

0<k<--<k<l

A.2B.2C.0<k<lD.2

［答案］:D

x+2y=4k①

【解析】本題考查含參數的不等式組的解法。詳解】

2x+y=2k+l②

???②一①，得x-y=-2k+1

將x-y=-2k+l代入一Ivx-y<0,得:

-l<-2k+l<0^-2<-2k<-l^-<k<l

2

故選D

例3..若不等式組，恰有兩個整數解，則的取值范圍是（）

x>m-\

A.—l<m<0B.—l<m<0C.-\<m<QD.

—l<m<0

［答案］:A

【解析】本題考查的是不等式組的整數解的性質，注意取等號的條件。

x<1…

?..不等式組I有解，

x>m-\

，不等式組的解集為

x<1

?..不等式組I恰有兩個整數解，

x>m—\

??-2Sm-1<-1,

解得一IV一<0。

例4.已知x=2是不等式(％-5)(以—3a+2)W0的解，且X=1不是這個不等式

的解，則實數a的取值范圍是()

A.a>lB.a<2C.l<a<2D,l<a<2

［答案］:C

【解析】本題考查的是對不等式的解得理解。.."=2是不等式

(x-5)(ax-3a+2)<0，(2—5)(2a—3a+2)40,解得：a42,

???x=l不是這個不等式的解，，(1-5)(a-3a+2)>0,解得：a>l,

，l<a42,

故選C

'2x-b>0

<

例5.若不等式組+的解集為3g,則不等式以+力V0的解集為

3

X>一

［答案］:2

【解析】本題考查的解含參數的不等式的應用。

b

2x-b>0,^x>-

2

解不等式x+aWO得

(2x-b>0b

.,.不等式組,八的解集為a

龍+a?02

［2x-b>0

?.?不等式組的解集為3士“,

x+a<0

一。二4

1Q=-4

b=6

：.不等式ax+b<0為-4x+6<0,

解得x>'.

故答案為：x>|.

例6..對羽>定義一種新運算T,規定外加霽(其中“，8均為非

零常數)，這里等式右邊是通常的四則運算,例：「?！?=嘿筌

已知T(L—1)=-2,T(4,2)=l,

(1)求a,b的值;

T(2zn,5-4m)<4,

(2)若關于〃2的不等式組二；o/恰好有3個整數解，求實數P的

l(m,3-27n)>p

取值范圍.

-2<〃<—

［答案］：(1)。的值分別為1，3；(2)3.

【解析】本題考查的是二元一次方程組的應用及不等式組的應用，理解題目

中新定義的運算是解題關鍵。

【詳解】(1)由T(l,—1)=-2,T(4,2)=l,

4口4ZX1+/?X(-1)ax4+hx2

得--------^=-2,

2x1-12x4+2

a-b=-2

整理得:

4。+乃=10

解得

b=3

即a,8的值分別為1,3；

x+3y

(2)由(1)得T(x,y)

2x+y

T(2zn,5-4nz)<4,

則不等式組<

T(/n,3-2m)>p

-10/n<5,

化為《

-5m>3p-9,

解得-gw

???不等式組二/Q。；恰好有3個整數解,

.?.2<d3,

5

解得-2Wp<--.

1.3數軸的妙用

當遇到函未知數X的絕對值的整式求最小值的問題時，可以利用數軸進行求

解。例如下面這個題。

已知X是實數，求IX-2I+Ix+3|的最小值？

利用數軸，在數軸上取一點x,由絕對值的含義，|x-2|表示數軸上點x到

數軸上點2的距離s2,|x+3|可以寫成Ix-(-3)|表示數軸上點x到數軸上

點-3的距離si,也就是求數軸上的點x到數軸上點2和-3的距離最小值。如數

軸所示，sl+s22s,當實數x在-3和2之間時，等號成立，因此|x-2|+|x+3

I的最小值為s,s=5o

S

K----s-i--------->?s2

-aa

■ii___?X.i____■1.___

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第二章關于實數的那些式子

2.1整式

2.1.1整式的概念

一、代數式

代數式的定義：用基本的運算符號把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式

注意點：

①單獨的一個數或字母也是代數式；

②n是一個數，也是一個代數式；

③可以含有絕對值符號

④代數式中不能出現,w,N,4等關系符號

代數式的書寫格式：

①數字在前字母在后

②帶分數系數化假分數

③數字乘以字母，字母乘以字母時乘號省略：

④除號變分數線

⑤單位帶括號

⑥系數1和-1省略

⑦相同字母寫成幕的形式

二、單項式

單項式的定義：數和字母的積

注意點：

①單獨一個數或一個字母也是單項式；

②分母中不含字母；

③不存在數與字母、字母與字母的加減.

單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數.

如單項式100m的系數是100,a3的系數是1,2.5vt的系數是2.5

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數.

如單項式100m中，m的指數是1,100m是一次單項式；單項式2.5vt中，v和t的

指數和是2,2.5vt是二次單項式

易錯點：①單項式的系數包括單項式前面的符號；

②F1是一個數，不要將它當作字母.

三、多項式

多項式的定義：

幾個單項式的和叫做多項式.

多項式的項：

每個單項式叫做多項式的項.多項式中的各項包括它前面的符號.

常數項：多項式中不含字母的項叫做常數項.

多項式的項數：多項式里含有幾項，就把這個多項式叫做幾項式.

多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數.

多項式的命名：幾次幾項式.（漢字）

整式的定義：

單項式與多項式統稱整式.

把多項式按某個字母升暮、降幕排列

四、同類項

同類項定義:如果兩個單項式，它們所含的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同，

那么就稱這兩個單項式為同類項

【注意】所有的常數項都是同類項

同類項的特征：“兩相同，兩無關”

"相同"：①所含實母②相同字母的指數

"無關"：①系數②字母排列順序

2.1.2整式的加減

(1)同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，幾個常數項也

是同類項。例如2a與5a是同類項，與-5m?是同類項，5與8是同類項。

(2)合并同類項

把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。

在書寫時，通常我們把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到小(降

辱)或從小到大(升募)的順序排列。

合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母連同它

的指數不變

(3)去括號

如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同。

如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反。

+120(u-0.5)=+120u-60-120(u-0.5)=-120u+60

(4)整式加減的運算法則

一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。

2.1.3整式的乘除

(1)同底數塞的乘法

同底數辱相乘，底數不變，指數相加。

a”?a"=a"n(m、n都是正整數)

(2)幕的乘方

寤的乘方，底數不變，指數相乘。

(a)n=am(m,n都是正整數)

(3)積的乘方

積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘。

(ab)"=a"b"(n是正整數)

(4)整式的乘法

一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數幕分別相乘，對于只

在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式。

ac"?bcJ=(a,b)(c3,c2)=abc'

一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所

有的積相加。p(a+b+c)=pa+pb+pc

一般地，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式

的每一項，再把所得的積相加。(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq

(5)同底數塞相除

同底數基相除，底數不變，指數相減。

a^a^a^Ca^O,m、n都是正整數，并且m>n)x7-rx2=x5

a"4-ara=lam4-a'"=a"m=a0于是規定a°=l(aWO)

任何不等于0的數的0次暴都等于lo

一般地，單項式相除，把系數與同底數累分別相除作為商的因式，對于只在

被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

28x'y'-r7x3y

=(28+7)?x*3?產

=4xy

一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再

把所得的商相加。

(12ai_6a2+3a)4-3a

=12a"4-3a—6a'4-3a+3a+3a

=4a-2a+l

2.1.4乘法公式

(1)平方差公式

兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。

(a+b)(a-b)=a2-b"

(2)完全平方公式

兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積

的2倍。

(a+b)'=a2+2ab+b；:(a-b)2=a2-2ab+b'

2.1.5因式分解

X2+x=x(x+1)x2-l=(x+l)(x-1)

上面我們把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這

個多項式的因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

2_因式分解

X'整式乘法(jr+D(jc—1).

(1)提公因式法

pa+pb+pc

它的各項都有一個公共的因式P,我們把因式P叫做這個多項式各項的公因

式。

pa+pb+pc=p(a+b+c)

一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項

式寫成公因式與另一個因式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。

(2)公式法

(利用平方差公式完全平方公式)

a2-b2=(a+b)(a-b)

a~+2ab+b::=(a+b)'a2-2ab+b=(a-b)2

我們把a、2ab+b2和￡-2ab+b?這樣的式子叫做完全平方式。

分解因式a3b~ab-x2+4xy-4y2

=ab(a2-l)=-(x2-4xy+4y2)

=ab(a+l)(a-l)=-(x-2y)2

2.1.6典型例題解析

例L已知單項式2笳加用與是同類項，則2根+3"=.

［答案］：13

【解析】本題考查的是同類項的定義。由于是同類項，3=m-2,n+l=2o所以

m=5,n=l,貝（J2m+3〃=13

例2.把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一

個底面為長方形（長為m,寬為n）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡

片覆蓋的部分用陰影表示.則圖②中兩塊陰影部分的周長和是（）

A.4nB.4mC.2（m+n）D.4（m-n）

［答案］:A

【解析】本題考查的是整式結合圖形關系的應用。可以設小長方形的短邊為

x,長邊為y。陰影部分的周長=2（n-2x+y）+2（2x+n-y）=4n。

238

例3.如圖，兩個大小正方形的邊長分別是4cm和xcm(0VxV4).用含x

的式子表示圖中陰影部分的面積為()cm、

A.B.C.；(4+x)-D.；(4+4

［答案］:B

【解析】本題考查的整式結合圖形關系的應用。陰影部分的面積=兩個正方

形的面積之和-空白三角形的面積=4%x2-4(4+x)/2-［4(4-x)/2+x?/2］=x2/2

例4.按一定規律排列的單項式:a2,-4a3,9a-16a5,25a6,...,第

〃個單項式是()

A.(-l)n+，n2a"+,B.(-l)Bn2an+,C.(-l)，，+，n2a-D.(—1)“〃”

［答案］:A

【解析】本題考查的單項式的性質及規律觀察。單項式包含系數、字母、字

母的指數。系數位上發現奇數位為正，偶數位為負，都是n的完全平方數，所以

系數上為(-1)"中，再看字母只有a,字母上的指數都是n遞增1,因此單項式為

(-1)-

例5.多項式4/y3-5x4y3_3x2->2+5》+2的次數是次.

［答案］：7

【解析】本題考查的是多項式和單項式的次數的判斷。多項式的次數多項式

里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。次數最高項是-5x4y3單項式，一個單項式中，

所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數，所以次數為70

2.2分式

2.2.1分式的概念

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子金A叫做

D

分式，分式A;中，A叫做分子，B叫做分母。

D

2.2.2分式的基本性質

(1)分式的基本性質

分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于。的整式，分式的值不變。

(2)分式的約分

把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

(3)最簡分式

分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。

(4)分式的通分

根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同

分母的分式，叫做分式的通分。

(5)最簡公分母

為通分，要先確定各分式的公分母，一般取各分母所有因式的最高次幕的積

作公分母，它叫做最簡公分母。

2.2.3分式的乘除

類似于分數，分式有：

乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

-ax-c=—ac

bdbd

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

_a_c—_a_d_——ad

bdbc__be

乘方:分式乘方要把分子、分母分別乘方。Q"=蓋

2.2.4分式的加減

類似分數的加減法，分式的加減法法則是：

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變為同分母的分式，再加減。

上述法則用式子表示為：

aba+b

一±一=^^

ccc

a.c_ad,bcad±bc

b-dbd-bdbd

2.2.5整數指數幕

把塞的指數推廣到了負指數

a二成冬民毛a34-a5=a3-5=a2所以a2=4

aba5azazaz

a"=4a#0這就是說，a"是a"的倒數。

an

歸納

a-a-=a"F這條性質對于m,n時任意整數的情形仍然適用。

整數指數幕的運算性質可以歸結為：

(1)a"?a"=a"n(m、n都是整數);

(2)(a")nuaRm、n都是整數)；

(3)(ab)"=a"b"(n是正整數)。

2.2.6分式方程

9060小

---------二-------(D

30+v30-V

方程①的分母中含未知數V,像這樣分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

我們以前學的都是整式方程，它們的未知數不在分母中。

在方程兩邊乘最簡公分母得到整式方程。

歸納

解分式方程①的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”,

即方程兩邊乘最簡公分母。這也是解方程的一般方法。

解分式方程要檢驗

一般地，解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分

母為0,因此應做如下檢驗：(30+v)?(30-v)#0。將整式方程的解帶入最簡公

分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則這

個解不是原分式方程的解。

2.2.7典型例題解析

例L下列分式中，最簡分式是()

2222

.x-lRx+1x-2xy+yx-36

x+\x-1x-砂2x+l2

［答案］:A

【解析】本題考查的分式的化簡。A選項，x2-l=(x+l)(x-l),與分母無公因

式，所以是最簡分式；B選項，分子與分母有公因式x+1,所以不是最簡分式；C

選項，分子=(x-y)2,分母=x(x-y),有公因式x-y,排除；D選項中，分子=(x+6)

(x-6),分母=2(x+6)，有公因式x+6,也不符合，排除。

例2..若關于x的分式方程二二二%-二-的解為正數，則滿足條件的正整

據一3，一相

數m的值為()

A1,2,3B,1,2C.1,3D.2,3

［答案］:C

【解析】本題考查的是分式方程的應用，注意分母不能為0o小-~L&三

解為x=4-m2l,m為正整數，所以lWmW3,因x-2不能為0,xW2,mW

2,所以m=l或3。

m-l1

例3.關于x的方程(x+l)(x—D-x—l=O無解，則m的值是.

［答案］：3或1

【解析】本題考查的分式方程無解的性質。方程解為x=m-2,要使分式方程

無解，則讓x的值使得分母為0。所以m-2=l或者T,則m=3或1.

2.3二次根式

2.3.1概念

1.二次根式：式子孔(。20)叫做二次根式。

2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：

⑴被開方數中丕含開方開的盡的因數或因武；⑵被開方數中丕食分母；⑶

分母中不含根式。

3.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類

二次根式。

2.3.2二次根式的性質

irJa>0(a>0).J.)“92。)；3."，葉卜

4.積的算術平方根的性質：g=6瘋。20,C0)；

、口=4(a20,b>0)

5.商的算術平方根的性質：力正

6.若a>2>>0,則石>

2.3.3二次根式的運算

(1)因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那么,

就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，那么

先解因式，回變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的

正因式平方后移到根號里面.

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次

根式.

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所

得的積（商）仍作積（商）的被開方數并將運算結果化為最簡二次根式.

\ub=\［（i,\h（a>0,b>0）；（———（b>0?a>0）.

（4）有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，回乘法對加法的

分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算.

2.3.4典型例題解析

例1.若|2004-4+Ja-2005=a,貝!Ja-ZOCM、；

若y=Jx-3+j3-x+4,則X+y=

［答案］：2005,7

【解析】本題考查二次根式的非負性質。a-200520,則原式轉化為

a-2004+Ja—2005=a,則Ja-2005=2004,所以0-2004?=2005；x-320,

3-x20,所以x=3,y=4,所以x+y=7。

例2.已知：a+^\-2a+a~=1>則a的取值范圍是（）。

A、a=0；B、a=\?,C、a=0或1；D、a<\

［答案］:D

【解析】本題考查的是二次根式的值是式子絕對值的性質以及絕對值的性質。

a+4］-2a+cr=a+|a-l|=l,所以|a-l|=l-a,則a-lW0,aWl。

例3.已知9+V13-^9-V13的小數部分分別是a和b,求ab—3a+4b+8的值

［答案］：8

【解析】本題考查的是二次根式的整數與小數部分的知識點。

3=V9<V13<V16=4,所以：9+而=12+a,9-V13=5+b,則a=VU-3,b=4-而

帶入式子ab—3a+4b+8=8o

例4.已知:x=2^二①V3+V2,求3x2-5xy+3y2的值

V3+V2，J-V3-V2

［答案］：289

【解析】本題考查的二次根式的化簡和計算，變換已知條件和所求式子進行

簡化計算。由已知條件得，xy=l,x-y=-4V6

所求式子=3(x-y)2+xy=288+l=289

傷!］5.已矢口J15+x—J19+x=—2，J19+x+J15+x

［答案］：2

【解析?】本題考查的二次根式的化簡和計算，變換已知條件.

J15+x-J19+x=-2兩邊都乘以J19+x+V15+x,

(15+X)-(19+X)=-2(J19+X+J15+X),所以J19+X+J15+X=2

2.4第二章加固例題解析

例L(2018臨沂)已知〃2+〃=/加2,貝I」("2—1)(〃—1)=.

［答案］:1

【解析】由得mn-(m+J2)=O(m-l)(n-l)=mn-(m+n)+l=l.本題

考查的是因式分解的應用。

例2.已知x+1~=6,貝!］12+4_=.

XX

［答案］：34

【解析】由》+工=6兩邊平方，得-+±+2=36。因此，一+二=34。本題考

XXX

查的是完全平方式的應用。

例3.(2018荷澤)10.若a+)=2,ah=-?>,則代數式/"z//+/的

值為.

［答案］：T2

【解析】++"3提取公因式ab,等于ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2=-2x

22=-12O本題考查的是公因式的提取，完全平方式。

例4.（2018淄博）4.若單項式式斤與獷的和仍是單項式，則獻，的值

2

是（）

A.3B.6C.8D.9

［答案］:C

【解析】由于單項式y與工后夕的和仍是單項式，單項式是都數或字母的乘

2

積，不存在加減運算符號。因此，與1/加,的為同類項，字母相同其指數

2

也相同。得:m-l=2,m=3,2=n；所以同=23=8.

例5.（2018株洲）11、單項式5利〃2的次數.

［答案］：3

【解析】所有字母的指數的和叫做單項式的次數，那多項式5〃〃?2+山〃+1的次數

又是多少呢？多項式的次數是單項式里的最高次數，也就是單項式5加〃2的次數

3。本題考查的是單項式、多項式的次數的定義。

例6.（2018寧波）在矩形A8CO內，將兩張邊長分別為。和伏。〉份的正方

形紙片按圖1,圖2兩種方式放置（圖1,圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），

矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分為5,

圖2中陰影部分的面積為邑.當-AB=2時，S2-E的值為（）

□a□b

A.2aB.2bC.2a-2hD.-2h

［答案］：B

【解析】如下圖所示，在CD邊上取b長度做虛線連接到小正方形邊；在BC邊上

取b的長度做虛線，圖1和圖2得到右下角的陰影圖像面積記為S,則S2=(AD-a)

b+S,Si=(AB-a)b+S,因此，S2-S尸(AD-a)b+S-［(AB-a)b+S］—(AD-AB)b=2b<>

本題考查的是因式分解的應用，關鍵是需要拆分S1和S2的面積。

例7.(2018威海)5.已知5、=3,5-'=2,則52"力=()

329

C

4-B.3-D.8-

［答案］:D

1Q

【解析】5f=5筋.5%=(力2?(5,『=32.27=9.m=耳。本題考查的是同底指

數基的運算。

例&(2018南充)9.已知工-1=3,則代數式2"3孫-2y的值是()

xyx_xy_y

71193

A.--B.--C.-D.-

2224

［答案］:D

【解析】由于工―工=3,而工—工=匕，因此y—x=3盯，

xyxy盯

2x+3盯-2)=3町-2(y-x)=3咫-2x3孫=*=3。本題考查的是分式的運

x—xy-y_('_1)一盯-3xy—xy—4xy4

算，分式的通分與約分。

例9.(2018自貢)14.化簡」上+-_的結果是

X+1X2-］

［答案］:—L

x-\

12111、1*日百壬詼

【解析】士+島----1----------=-----F()=---?本就主要

x+1(x+l)(x-l)x+1x-\x+1--x—\

考查平方差公式，關于1的平方是1本身，以及分式的拆分的應用；對任意a、

b有---------=―------—o對于上題b=-l,a=l

(x+b)(x+a)x+bx+a0

----<x+3

例10.（2020?重慶）若關于x的一元一次不等式結2~的解集為

x<a

X<a；且關于y的分式方程W+”=l有正整數解，則所有滿足條件的整數

y-Ly一，

a的值之積是（）

A.7B.-14C.28D.-56

［答案］:A

3x-l,卜《7

【解析】解不等式2，解得xW7,...不等式組整理的I%"。，

由解集為x〈a,得到aW7,分式方程去分母得：y~a+3yY=y母，即3y吆=a,

。+2

解得：y=3,由y為正整數解且yW2,得到a=l,7,1X7=7,故選：A.此

題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題

的關鍵。