廣東省云浮市羅定素龍第三高級中學高三數學理上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合A={1，2，4，6，8}，B={1，2，3，5，6，7}，則A∩B的子集個數為(

)A．3 B．6 C．8 D．16參考答案：C【考點】子集與真子集．【專題】集合．【分析】先求得A∩B={1，2，6}，再根據含n的元素的集合的子集個數共有2n個，得出結論．【解答】解：由于A∩B={1，2，6}，含有3個元素，故它的自己個數為23=8，故選：C．【點評】本題主要考查求兩個集合的交集，子集個數的運算，利用含n的元素的集合的子集個數共有2n個，屬于基礎題．2.設z=1﹣i（i為虛數單位），若復數﹣z2在復平面內對應的向量為，則向量的模是（）A． B．2 C． D．參考答案：D【考點】A4：復數的代數表示法及其幾何意義；A8：復數求模．【分析】把z=1﹣i代入﹣z2，利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出復數﹣z2在復平面內對應的點的坐標，的的坐標，再由向量模的公式求解．【解答】解：∵z=1﹣i，∴﹣z2=，∴復數﹣z2在復平面內對應的點的坐標為（1，3），向量為=（1，3），則||=．故選：D．3.函數的最大值與最小值之和為(

)

(A)(B)0(C)－1(D)參考答案：A當時，，，即，所以當時，函數有最小值，當時，函數有最大值，所以最大值和最小值之和為，選A.4.一只受傷的丹頂鶴在如圖所示（直角梯形）的草原上飛過，其中，它可能隨機在草原上任何一處（點），若落在扇形沼澤區域ADE以外丹頂鶴能生還，則該丹頂鶴生還的概率是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B【知識點】概率

K3解析：過點作于點，在中，易知，梯形的面積,扇形的面積，則丹頂鶴生還的概率，故選【思路點撥】幾何概型，可分別求出各部分的面積再求出概率.5.設M（，）為拋物線C：上一點，F為拋物線C的焦點，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則的取值范圍是

A．（0，2）

B．[0，2]

C．（2，+∞）

D．[2，+∞）參考答案：C本題考查了拋物線的定義以及轉化與數形結合的數學思想，難度中等。圓與準線相交，所以圓心到準線的距離小于半徑即，所以，故選C。6.函數的圖象大致是(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據函數表達式,把分母設為新函數,首先計算函數定義域,然后求導,根據導函數的正負判斷函數單調性,對應函數圖像得到答案.【詳解】設，，則的定義域為.，當，，單增，當，，單減，則.則在上單增，上單減，.選B.【點睛】本題考查了函數圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運算,同學們還可以用特殊值法等方法進行判斷.7.極坐標方程表示的曲線為（

）

A．一條射線和一個圓

B．兩條直線

C．一條直線和一個圓

D．一個圓參考答案：C略8.下列函數中，既是偶函數，又在區間上單調遞增的是A．

B．

C．

D．參考答案：D【考點】函數的奇偶性函數的單調性與最值，所以為偶函數，在上為減函數，不滿足題意；為開口向下的二次函數，關于軸對稱為偶函數，在上單調減，不滿足題意；，為偶函數，當時，在上為減函數，不滿足題意，，為偶函數，當時，函數為增函數，故選D.9.若實數滿足，則的最小值為0

1

9參考答案：B10.執行如圖所示的程序框圖，若輸入x的值為1，輸出n的值為N，則在區間[﹣1，4]上隨機選取一個數M，M≥N﹣1的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】計算循環中不等式的值，當不等式的值大于0時，不滿足判斷框的條件，退出循環，輸出結果N，再以長度為測度求概率即可．【解答】解：第一次循環，1﹣4+3=0≤0，x=2，n=1；第二次循環，﹣1≤0，x=3，n=2；第三次循環，0≤0，x=4，n=3；第四次循環，3＞0，不滿足條件，輸出n=3，故N=3，則M≥2，故滿足條件的概率p==，故選：B．【點評】本題考查循環結構的應用，注意循環的結果的計算，考查計算能力，考查概率的計算，確定N的值是關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同字母，則取到字母a的概率為．參考答案：0.4【考點】等可能事件的概率．【分析】求得從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同字母、取到字母a的情況，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：從字母a，b，c，d，e中任取兩個不同字母，共有=10種情況，取到字母a，共有=4種情況，∴所求概率為=0.4．故答案為：0.4．12.某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關系，隨機統計了某四天的用電量與當天氣溫，列表如下：氣溫（）181310-1用電量（度）24343864

由表中數據得到回歸直線方程．據此預測當氣溫為時，用電量為______（單位：度）．參考答案：6813.已知________.參考答案：－1【分析】利用向量垂直時相乘為0得到等式,解出答案.【詳解】，則【點睛】本題考察了向量的計算,屬于簡單題.14.已知的展開式中的系數為，則常數的值為______.參考答案：略15.在△ABC中，若sinA=2sinBcosC則△ABC的形狀為________。參考答案：等腰三角形在三角形中，即，所以，所以，即三角形為等腰三角形。16.若實數x、y滿足不等式，則的取值范圍是

.參考答案：略17.一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，其中有1件次品．用戶先對產品進行隨機抽檢以決定是否接受．抽檢規則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產品（抽檢后不放回），只要檢驗到次品就停止繼續抽檢，并拒收這箱產品；若3次都沒有檢驗到次品，則接受這箱產品，按上述規則，該用戶抽檢次數的數學期望是．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差．專題：概率與統計．分析：設ξ表示該用戶抽檢次數，ξ的取值可能為1，2，3．利用古典概型的概率計算公式和概率的性質、隨機變量的分布列和數學期望即可得出．解答：解：設ξ表示該用戶抽檢次數，ξ的取值可能為1，2，3．若抽到第一件產品為次品即停止檢查，則P（ξ=1）=．若抽到第一件產品為正品，第二件品為次品即停止檢查，則P（ξ=2）==．第3次無論抽到正品還是次品都停止檢查，則P（ξ=3）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．故ξ的分布列為∴Eξ==．故答案為．點評：熟練掌握古典概型的概率計算公式和概率的性質、隨機變量的分布列和數學期望是解題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數（1）設兩曲線與有公共點，且在公共點處的切線相同，若，試建立關于的函數關系式；（2）在（1）的條件下求的最大值；（3）若時，函數在（0，4）上為單調函數，求的取值范圍。參考答案：1）因為與在公共點處的切線相同。。由題意知即,………………2分解得或（舍去），……4分．

（2）令，則，當變化時，及的變化情況如下表：極大值所以，時，有最大值．………………7分（3）． 在上恒為單調函數，所以, 或恒成立， 或在時恒成立， （舍）或對恒成立．…9分 對恒成立，, 或． 綜上，或．………………12分19.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分．對于函數與常數，若恒成立，則稱為函數的一個“P數對”．設函數的定義域為，且．（1）若是的一個“P數對”，求；（2）若是的一個“P數對”，且當時，求在區間上的最大值與最小值；（3）若是增函數，且是的一個“P數對”，試比較下列各組中兩個式子的大小，并說明理由．①與；②與．參考答案：解：（1）由題意知恒成立，令，可得，∴數列是公差為1的等差數列，故，又，故．

………………3分（2）當時，，令，可得，由可得，即時，，

…………………4分可知在上的取值范圍是．

又是的一個“P數對”，故恒成立，當時，，…，

…………………6分故當為奇數時，的取值范圍是；當為偶數時，的取值范圍是．

……………8分由此可得在上的最大值為，最小值為．………………10分（3）由是的一個“P數對”，可知恒成立，即恒成立，

令，可得，

…12分即，又，∴是一個等比數列，∴，所以．

…………………15分當時，由是增函數，故，又，故有．…………………18分

略20.若存在實常數和，使得函數和對其定義域上的任意實數分別滿足：和，則稱直線為和的“隔離直線”．已知，為自然對數的底數)．（1）求的極值；（2）函數和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．參考答案：解(1)，．

…………2分當時，．

…………3分當時，，此時函數遞減；

當時，，此時函數遞增；∴當時，取極小值，其極小值為．

…………6分(2)解法一：由（1）可知函數和的圖象在處有公共點，因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．

…………7分設隔離直線的斜率為，則直線方程為，即．

…………8分由，可得當時恒成立．，

由，得．

…………10分下面證明當時恒成立．令，則，

………Ks5u…………11分當時，．當時，，此時函數遞增；當時，，此時函數遞減；∴當時，取極大值，其極大值為．

從而，即恒成立．………13分

∴函數和存在唯一的隔離直線．

………14分解法二：由(Ⅰ)可知當時，

(當且當時取等號)．……7分若存在和的隔離直線，則存在實常數和，使得和恒成立，令，則且，即．

……Ks5u……………8分后面解題步驟同解法一．21.（本小題滿分14分）參考答案：第二問答案中更正：方程有兩個不等實根，第二問也可二次求導，請酌情給分。22.投擲四枚不同的金屬硬幣，假定兩枚正面向上的概率均為，另兩枚為非均勻硬幣，正面向上的概率均為，把這四枚硬幣各投擲一次，設表示正面向上的枚數.(Ⅰ