I奧數專題第一講工程問題(1)

【學習方法指導】

學習奧數能夠鍛煉孩子得思維能力。對于小升初得孩子們來說,奧數得學習還能增加升學得

籌碼。

記筆記

這方法其實很普遍也很簡單，但恰恰就是很多同學不容易做到得,記筆記有很多好處,一

就是可以把老師得精華記錄下來方便復習，二就是練習學生得書寫能力,三就是可以讓學生

養成邊聽邊寫得學習能力，這對于提高學習效率就是非常有效得。

錯題本

很多孩子都馬虎,但有些馬虎其實就是同學對知識點理解不清晰造成得,這類得題目一

定要記錄下來。還有得就是出題者故意設計得陷阱,這也可以記錄下來,定時復習，久了之后

很多馬虎自然而然地就避免了。

題目分類本

與錯題本一樣,專門記錄自己做過得試題,分類指得就是將自己做過得試題分為幾大類,

一類就是極其簡單，自己一瞧就會得。一類就是有一定難度，需要思考找到突破口得,還有一

類就就是難度很大,需要綜合運用很多知識并進行推理才能解答得,后兩類都應該就是我們

得記錄重點。在對試題分類得過程中同學自然地就增強了對試題得進一步理解。

舊題新解

不定時得翻翻原來做過得試題,但就是重點就是思考有沒有新得解題思路與解題技巧。

這樣不斷地增加思考有利于形成學生思考習慣得形成,也有利于學生發散思維得形成,多角

度考察問題得思路,并隨時利用新學知識去解決問題。

學習討論

定期地與我分享好試題,好方法,好技巧,好經驗,學習到新得東西,提高學習效率,培養

合作精神，增強協調能力。

小學奧數工程問題試題專項練習(一)

【知識點】

工程問題:顧名思義，工程問題指得就是與工程建造有關得數學問題。其實,這類題

目得內容已不僅僅就是工程方面得問題，也括行路、水管注水等許多內容。

在分析解答工程問題時，一般常用得數量關系式就是：

工作量=工作效率義工作時間，

工作時間=工作量+工作效率，

工作效率=工作量4-工作時間。

工作量:指得就是工作得多少，它可以就是全部工作量，一般用數1表示，也可

以是部分工程量，常用分數表示。伊技比工程的一半表示成;，工程的三分

之一表示為g.

工作效率:指得就是干工作得快慢，其意義就是單位時間里所干得工作量。單位時

間得選取,根據題目需要，可以就是天，也可以就是時、分、秒等。工作效率得單位

就是一個復合單位,表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會

得情況下,一般不寫工作效率得單位。

【典型例題】

例1單獨干某項工程,甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50

天后，剩下得工程乙隊干還需多少天？

分析與解:以全部工程量為單位lo甲隊單獨干需100天，甲得工作效

率是京；同理，乙隊的工作效率是高。兩隊合干的工作效率是（++焉

由“工作量=工作效率X工作時間”，50天的工作量是

,11、M115

k100150，236

剩下的工作量是（1-由“工作時間=工作量+工作效率”，剩下的工

作量由乙隊干還需（1-3+焉=25（天）。

例2某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙

兩隊合做,中途甲隊退出轉做新得工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問:甲

隊干了多少天？

分析:將題目得條件倒過來想，變為“乙隊先干18天，后面得工作甲、

乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。

解：（1弓、詞+（￡+$）

213

=^~5^20=5X20=12（天）。

答:甲隊干了12天。

例3單獨完成某工程,甲隊需10天,乙隊需15天,丙隊需20天。開始三個隊一起

干，因工作需要甲隊中途撤走了,結果一共用了6天完成這一工程。問:甲隊實際工

作了幾天?

分析與解:乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天得工

作量，剩下得就是甲隊干得，所以甲隊實際工作了

【Y+力6產5=3（天）o

例4一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，

那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？

分析與解:這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要得時間，

L號+表為2（時）。

再求出每小時張比王多做的零件數，60-12=5（個）。

最后求出這批零件的，蟋，5+號-5=300（個）。

例5一水池裝有一個放水管與一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿,單開排

水管7時可將滿池水排完。如果一開始就是空池，打開放水管1時后又打開排水

管，那么再過多長時間池內將積有半池水？

分析與解：以滿池水為單位1。1時放水管可使水增加，排水管可使水

減少;，同時開1時，可使水增加（g-6。放水管打開1時后，池內已經有:

的水，與半池水還差6-所以要達到半池水，還需

（時）o

例6甲、乙二人同時從兩地出發，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。

出發后5分鐘,甲因忘帶東西而返回出發點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發后

多長時間兩人相遇？

分析:這道題瞧起來像行程問題，但就是既沒有路程又沒有速度，所以

不能用時間、路程、速度三者得關系來解答。甲出發5分鐘后返回，路上

耽誤10分鐘，再加上取東西得5分鐘，等于比乙晚出發15分鐘。我們將題

目改述一下:完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘,乙先干15分鐘后，

甲、乙合干還需多少時間？由此瞧此這道題應該用工程問題得解法來解

答。

膈（l'xl5）+啟+%、+呆15（分）。

答:甲再出發后15分鐘兩人相遇。

小學奧數工程問題試題專項練習（一）

參考答案與試題解析

一、填空:

1.（3分）工程隊6天完成一項工程得2照這樣計算.完成全部工程要15天.

5

考點:簡單得工程問題.

分析:首先求出一天完成這件工程得幾分之幾（工作效率），再求出全部完成需要得時間即可.

解答:解：1+（&6）,

5

=1』

15

=15（天）；

答:完成全部工程要15天.

故答案為:15.

點評:此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間得數量關系，解答時往往把工作

總量瞧作“1”,再利用它們得數量關系解答.

2.（3分）打一篇稿件，甲單獨打要10小時，乙要12小時.甲乙工作時間得比就是5:6，工作效

率得比就是6:5.

考點:比得意義;簡單得工程問題.

分析:⑴求甲乙工作時間得比，用甲得工作時間比乙得工作時間，化簡即可;

（2）求工作效率得比,把這份稿件得總量瞧做單位“1”,根據題意，甲得工作效率為」■，乙

10

得工作效率為工二者相比即可.

12

解答:解:⑴10:12=5:6;

答:甲乙工作時間得比就是5:6.

⑵。:』6:5;

1012

答:工作效率得比就是6:5.

故答案為：5:6,6:5.

點評:由此,我們得出結論:甲乙工作效率得比等于她們工作時間比得反比.

3.（3分）做同樣得零件，甲要工小時，乙要工小時，甲乙工作時間得比就是上匚,工作效率得比

68

就是3:4.

考點:簡單得工程問題.

分析:甲乙工作時間得比就是工工根據比得化簡方法化成最簡整數比，把工作量瞧作單位

68

“1”.根據工作量+工作時間=工作效率，再求出甲乙得工作效率得比.

解答:解:甲乙工作時間得比就是：

—：A=(_Lx24):(▲x24)=4:3;

6868

甲乙工作效率得比就是：

(1T)：(l+4)=6:8=3:4;

故答案為43,3:4.

點評：此題主要根據工作量、工作效率、工作時間三者之間得關系,與比得化簡方法解決問題.

4.(3分)加工一批零件，甲要12天，乙得工作效率就是甲得士甲乙同時加工一共要」2_天.

53

考點：簡單得工程問題.

分析：把這批零件得數量瞧作單位“1”,甲12完成，那么甲每天完成這批零件得上，又知乙得工

12

作效率就是甲得士由此可以求出乙得工作效率工x生工再根據工作量+工作效率

512515

之與=共同用得工作時間，列式解答.

解答：解:甲12完成，那么甲每天完成這批零件得工

12125

=1+(工」_),

12飛

=i+2

60

答:甲乙同時加工一共要62天.

3

故答案為:62

3

點評：此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間得數量關系，解答時要注意從問

題出發，找出已知條件與所求問題之間得關系，再從已知條件回到問題即可解決問題.

5.(3分)甲乙同時加工一批零件要20天,已知甲乙工作效率得比就是5:4.乙單獨加工要45

天.

考點：簡單得工程問題.

分析：要求乙單獨加工需要幾天，必須先求出乙得工作效率，己知甲乙同時加工一批零件要20

天,已知甲乙工作效率得比就是5:4,把這批零件得數量瞧作單位“1”,甲乙得工作效率與

就是工，乙得工作效率就是再根據工作量+工作效率=工作時間解答.

20205+445

="(占x§；

209

=45（天）；

答:乙單獨加工要45天.

故答案為：45.

點評：此題屬于工程問題,工作量沒有給出具體得數量，把工作量瞧作單位“1”,再根據工作量、

工作效率、工作時間三者之間得關系解答.

二、應用題

6.一項工程，甲單獨做要12天，乙要10天，丙要15天.

①甲乙丙同時做要多少天？

②甲乙丙同時加工多少天能完成工程得一半？

③甲乙丙同時加工多少天這項工程還剩」?

4

④如果甲先做5天，乙丙接著做，還要多少天？

⑤如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任務時一共用了多少天？

考點：簡單得工程問題.

分析：①根據題意,把這項工作得總量瞧作單位“1”,那么甲、乙、丙得工作效率分別就是工、

12

工、工三人合做需要得時間為1+（上+」+馬，計算即可；

1015121015

②要求甲乙丙同時加工多少天能完成工程得一半，用工除以三人效率之與即可；

2

③這項工程還剩工也就就是完成了W用口除以三人效率與即可；

444

④甲先做5天，做了這項工程得工＜5=且還剩工這時乙丙合做，求需要得時間,用工除

12121212

以乙丙效率與即可；

⑤甲丙合作做4天后，還剩1-（工+馬x4=2這2由乙來做，需要得時間就是

121555

天）,再加上甲丙合作做得4天，共8天.

510

解答：解:①1+（工工上），

121015

=1/，

4

二4（天）；

答:甲乙丙同時做要4天.

嗎F+需急

=2x4,

2

=2（天）;

答:甲乙丙同時加工2天能完成工程得一半.

一二

——3."1,

44

=34,

4

=3(天);

答:甲乙丙同時加工3天這項工程還剩工

4

@(1-

=(1-

答:還要多少天工天.

2

@[1-(_1_+JL.)X4]4-A.+4,

121510

=[1-AX4]X10+4

20

=口-xl0+4,

=2x10+4,

5

=4+4,

=8（天）；

答:完成任務時一共用了8天.

點評：此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間得數量關系，解答時要注意從問

題出發，找出已知條件與所求問題之間得關系，選擇正確得關系式解答.

7.一個水池安有甲乙兩個水管，單開甲水管8小時可以把空池注滿，單開乙水管12小時可以把

空池注滿，同時打開兩個水管，多少小時可以把空池注滿？

考點：簡單得工程問題.

分析：把這個水池得容積瞧成單位“1”,甲水管得工作效率就是工乙水管得工作效率就是」一

812

它們得與就是合作得工作效率,用工作量除以合作得工作效率就就是需要得工作時間.

解答：解:1+3

8

=1;二

24

=瑪小時）；

5

答:出小時可以把空池注滿.

5

點評：此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間得數量關系，解答時往往把工作

總量瞧做1,再利用它們得數量關系解答.

8.30立方米木料，單做桌子可以做50張，單做凳子可以做200把，如果同時做桌凳，可以做多少

套？（兩種方法解）

考點：整數、小數復合應用題.

分析：方法一，根據除法得意義可知，做一張桌子需要30+50=0、6立方米木料,做一個凳子需

要30+200=0、15立方米得木料，則做一套桌凳需要0、6+0、15=0、75立方米木料，所

以果同時做桌凳,可以做30+（0、6+0、15）套.

方法二，將這些木料瞧做單位“1”,單做桌子可以做50張，單做凳子可以做200把,則做一

張桌子要用掉全總木料得工做一張凳子要用掉全部木料得」一則做一套桌凳需要用

50200

掉全部木料得工+」一所以同時做桌凳,可以做套.

5020050200

解答：解:方法一，

30+（30+50+30-200）

=30+（0、6+0、15）,

=30+0、75,

=40（套）.

答:可以做40套.

方法二，

1+（」+_1_）

50200

=14

40

=40（套）.

答:可以做40套.

點評：完成本題要注意第二種方法不用具體得數量解答，而就是把具體得數量瞧做單位“1”.

9.一項工程，甲單獨做要20天，乙要30天，其間甲乙各休息了幾天，結果16天才完成任務，已知

甲休息了3天，乙休息了幾天？

考點：簡單得工程問題.

分析：由題意可知，甲乙得工作效率分別為工，工;16天才完成任務，甲休息了3天，則實際甲工

2030

作了16-3=13天.則甲完成了總工作量得」。13=爸則乙完成了總工作量得1-

2020

生二L所以乙工作了上-^=10、5天廁乙休息了16-10>5=5、5天.

20202C30

解答：解:16-[1-AX（16-3）]一」

2030

=16-[1-2<13戶工,

2030

=16-[1-赤x30,

=16--1x30,

20

=16-10、5,

=5、5(天).

答:乙休息了5、5天.

點評：明確這一過程中甲工作了13天，并根據工作效率x工作時間=工作量求出甲完成得工作

量就是完成本題得關鍵.

10.周五爸爸拿回了兩份稿件回家,為了趕交稿件，兄妹二人決定利用星期六幫爸爸打完稿件，

具體情況如下:哥哥打甲稿件要3小時，打乙稿件要6小時;妹妹打甲稿件要8小時，打乙稿件

要4小時，問:如何巧妙安排能使打完稿件得時間最短？

考點：最優化問題.

分析：由題意可知，哥哥打甲稿件較快，妹妹打乙稿件較快.因此可分工讓哥哥打甲稿件，妹妹

打乙稿件.由于哥哥打甲稿件3小時完成,妹妹打乙稿件4小時完成,則哥哥完成時，妹妹

還有』沒有打完,則這』可與哥哥合打.由于妹妹每小時打全部得工哥哥每小時打全部

444

得!所以這工還需要打工(2+2)=心小時，所以共需3+13衛小時.

64446555

解答：解:根據題意，可分工讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件.

哥哥完成后,再與妹妹合打乙稿件剩下得部分.

(1-lx3)^(l+l)+3

446

心魯吉，

絲+3,

45

=2+3,

5

=3耳小時).

5

答:讓哥哥打甲稿件，妹妹打乙稿件.哥哥完成后，再與妹妹合打乙稿件剩下得部分用時

最少，需要3馬、時.

5

點評：完成本題得關鍵要注意哥哥打完后，要與妹妹合打剩下得部分，這樣用時最少.

作業詳解1、某工程甲單獨干10天完成，乙單獨干15天完成，她們合干多少天

才可完成工程得一半？

2、某工程甲隊單獨做需48天,乙隊單獨做需36天。甲隊先干了6天

后轉交給乙隊干,后來甲隊重新回來與乙隊一起干了10天，將工程做完。求

乙隊在中間單獨工作得天數。

3、一條水渠，甲、乙兩隊合挖需3