8.6.1

直線與直線垂直課標定位素養闡釋1.借助正方體,在直觀認識直線與直線的垂直關系的基礎上,了解異面直線所成的角的概念.2.掌握異面直線所成的角(或夾角)的求法.3.刻畫及求異面直線所成的角(或夾角)的過程中,感受化歸與轉化數學思想,提升邏輯思維、直觀想象、數學運算等素養.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑思想方法隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、刻畫兩條異面直線的位置關系【問題思考】1.如圖,兩條去往不同方向的高速公路可抽象為直線a,直線b,它們是否在同一平面內?a,b的位置關系可以是垂直嗎?提示:不共面,既不相交也不平行,是異面直線.兩條直線的位置關系可以看成垂直.2.填空:(1)平面內兩條直線相交形成

4個角,其中不大于

90°的角稱為這兩條直線所成的角(或夾角),它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度.(2)我們也可以用“異面直線所成的角”來刻畫兩條異面直線的位置關系.3.做一做:若直線a,b,c滿足a∥b,b⊥c,則a與c的關系是(

)A.異面 B.平行

C.垂直 D.相交答案:C二、異面直線所成的角(或夾角)【問題思考】1.類比相交直線所成的角,是否異面直線也可以轉化為相交直線來刻畫兩條異面直線的位置關系?提示:可以,通過平移把異面直線轉化為相交直線,這樣就可以刻畫兩條異面直線的位置關系.2.填空:(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍:0°≤α≤90°.(3)當α=90°時,直線a與直線b垂直,記作a⊥b.3.做一做:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為AA1,AB,BB1,B1C1的中點,則異面直線EF與GH所成的角等于(

)°°°°解析:取A1B1的中點Q,連接GQ,HQ,則∠HGQ即為異面直線EF與GH所成的角,易求得∠HGQ=60°答案:B三、直線與直線的垂直關系【問題思考】1.兩直線互相垂直,一定要有交點嗎?異面直線可以說互相垂直嗎?提示:不一定,可以.2.填空:如果兩條異面直線所成的角是直角,那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.3.做一做:已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內,則“直線a和直線b垂直”是“平面α和平面β相交”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:D【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若兩條直線垂直,則這兩直線一定相交.(

×

)(2)異面直線所成的角不可能等于0°.(

√

)(3)若兩條直線都與第三條直線異面,則這兩條直線異面.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

找出異面直線所成的角(或夾角)【例1】

如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB的中點為M,DD'的中點為N,則異面直線B'M和CN所成角的大小是(

)

°°

°°解析:如圖,取AA'的中點E,連接BE,EN,則BE∥NC,所以異面直線B'M和CN所成的角就是直線BE與直線B'M所成的角,根據△ABE≌△BB'M可得∠B'MB=∠AEB,則BE⊥B'M,所以異面直線B'M和CN所成的角為90°.答案:A根據異面直線所成角的定義,在兩條異面直線中的某一條直線上取一點,作另一條直線的平行線,就可以找出異面直線所成的角(或夾角).另外,在作輔助線之前最好觀察圖形,看看在所給的圖形中,有沒有滿足定義的角,若沒有,則再著手作輔助線來刻畫找出兩條異面直線所成的角(或夾角).【變式訓練1】

如果兩條異面直線a,b所成的角是60°,那么過空間任意一點與a,b都成60°角的直線有(

)條

條

條 D.無數條解析:在正方體中,6個平面的對角線,找兩條所成的角是60°的異面直線,然后觀察計算.答案:B探究二

求異面直線所成的角【例2】

如圖,在空間四邊形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分別為BC,AD的中點,求EF和AB所成的角.解:如圖,取BD的中點G,連接EG,FG,∵E,F分別為BC,AD的中點,∴∠GFE就是EF與AB所成的角或其補角.∵AB⊥CD,∴GF⊥EG,∴∠EGF=90°.∵AB=CD,∴△EFG為等腰直角三角形.∴∠GFE=45°,即EF與AB所成的角為45°.若本例中條件“AB=CD,AB⊥CD”改為“AB=CD=2,EF=”,此時DC和AB所成的角又如何求?解:∵E,F,G分別是所在邊的中點,∴GE=GF=1.又EF=,∴∠GEF=∠GFE=30°,∴∠EGF=120°.∴異面直線AB與DC所成的角為60°.求兩異面直線所成的角的步驟(1)根據所成角的定義,用平移法作出異面直線所成的角;(2)證明作出的角就是要求的角;(3)求角的值,常利用解三角形得出.可用“一作二證三算”來概括.注意異面直線所成角的范圍是(0°,90°].探究三

作異面直線所成的角的另外常見方法【例3】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成的角的大小.解:如圖,在原正方體的右側補上一個全等的正方體,連接B1Q,DQ,A1C1,∵EF∥A1C1,而A1C1∥B1Q,∴EF∥B1Q.于是∠DB1Q就是異面直線DB1與EF所成的角或其補角.通過計算,不難得到B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90°.作異面直線所成的角,可通過多種方法平移產生,主要有三種方法:(1)直接平移法(可利用圖中已有的平行線);(2)中位線平移法;(3)補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).【變式訓練2】

已知ABCD-A1B1C1D1是正方體,求異面直線A1C1與B1C所成角的大小.解:如圖所示,連接A1D和C1D.∵B1C∥A1D,∴∠DA1C1即為異面直線A1C1與B1C所成的角.∵A1D,A1C1,C1D為正方體各面上的對角線,∴A1D=A1C1=C1D,∴△A1C1D為等邊三角形,即∠C1A1D=60°.∴異面直線A1C1與B1C所成的角為60°.思想方法化歸與轉化思想在求異面直線所成的角中的運用【典例】

如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,A1A=AB,E,F分別是BD1和AD中點,求異面直線CD1與EF所成的角的大小.∴四邊形EFDG是平行四邊形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角.又A1A=AB,∴四邊形ABB1A1,四邊形CDD1C1都是正方形,且G為CD1的中點,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴異面直線CD1與EF所成的角為90°.刻畫異面直線所成的角的本質為在某個平面中相交直線所成的角,求異面直線所成角的主要方法是平移直線,這體現了數學中化歸與轉化的思想.【變式訓練】

如圖,ABCD-A1B1C1D1是正方體,求:(1)A1C1與B1C所成的角;(2)若E,F分別為AB,AD的中點,求證:A1C1⊥EF.(1)解:如圖,連接AC,AB1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知AC∥A1C1,從而B1C與AC所成的角就是B1C與A1C1所成的角,由AB1=AC=B1C知∠B1CA=60°,即A1C1與B1C所成的角為60°.(2)證明:如圖,連接AC,BD,由AA1

C1C,知AC∥A1C1.又因為EF∥BD,所以AC與BD所成的角就是A1C1與EF所成的角,而AC⊥BD,所以A1C1與EF所成的角為90°.即A1C1⊥EF.隨

堂

練

習1.如果a⊥b,那么a與b(

)A.一定相交 B.一定異面C.一定共面 D.一定不平行答案:D2.已知直線a,b,c,下列三個命題:①若a與b異面,b與c共面,則a與c異面;②若a∥b,a和c相交,則b和c也相交;③若a⊥b,a∥c,則b⊥c.其中,正確命題的個數是(

)A.0 解析:①不正確,如圖;②不正確,有可能相交也有可能異面;③正確,故選B.

答案:B3.如圖,將無蓋正方體紙盒展開,直線AB,CD在原正方體中的位置關系是(

)

A.平行 B.相交且垂直C.異面 D.相交成60°角解析:首先把平面圖形還原為正方體,根據下圖可以很容易地看出△ABC是等邊三角形,故選D.

答案:D4.異面直線是指(

)A.空間中兩條不相交的直線B.分別位于兩個不同平面內的