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文檔簡介
北師大版高中數學必修四
《三角函數》全冊導學案
目錄
第一章三角函數.........................................................................1
§1周期現象..........................................................................1
§2角的概念的推廣..................................................................2
§3弧度制..........................................................................6
§1一一§3綜合測評A.....................................................................................................................................10
§4正弦函數和余弦函數的定義與誘導公式............................................13
§4.1任意角的正弦函數、余弦函數的定義.............................................13
§4.2單位圓與周期性...............................................................18
§4.3單位圓與誘導公式(一)....................................................19
§4.3單位圓與誘導公式(二)......................................................23
§5正弦函數的性質與圖像........................................................26
§5.1從單位圓看正弦函數的性質...................................................26
§5.2正弦函數的圖像..............................................................26
§5.3正弦函數的性質..............................................................26
§6余弦函數的性質與圖像..........................................................30
§6.1余弦函數的圖像................................................................30
§7正切函數......................................................................34
§7.1正切函數的定義...............................................................34
§7.2正切函數的圖像與性質.........................................................34
§7.3正切函數的誘導公式...........................................................38
§8函數V=Asin(69+。)的圖象........................................40
§9三角函數的簡單應用............................................................46
第一章三角函數[基礎訓練A組]....................................................49
高一數學必修四三角函數檢測題A........................................................................................................51
第一章三角函數[綜合訓練B組]....................................................56
第一章三角函數[提高訓練C組]....................................................58
高考鏈接...........................................................................60
第一章三角函數
課標要求:
1.掌握角的概念,理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義.
2.掌握所有與a角終邊相同的角(包括a角)、象限角、終邊在坐標軸上的角的表示方法;理
解推廣后的角的概念;
3.理解弧度的意義;了解角的集合與實數集R之間的可建立起一一對應的關系;熟記特殊角
的弧度數.“角度制”與“弧度制”的區別與聯系
4.能正確地進行弧度與角度之間的換算,能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式,并
能運用公式解決一些實際問題
5.掌握任意角的三角函數的定義;
6.已知角a終邊上一點,會求角a的各三角函數值;
7.掌握2br土a,乃土a角的正弦、余弦、正切的誘導公式及其探求思路
8.掌握工±a,角的正弦、余弦、正切的誘導公式
22
及其探求思路
9.掌握正、余弦函數的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函數的最小正周期。
10.掌握正、余弦函數的奇、偶性的判斷,并能求出正、余弦函數的單調區間。并能求出正、余
弦函數的最大最小值與值域、
11、掌握正切函數的圖象和性質.
12、能正確應用正切函數的圖象和性質解決有關問題.
13.熟練掌握正切函數性質,同時要注意數形結合,借助單位圓或正切函數的圖象對問題,直觀
迅速作業解答.
14.會用“五點法”作出函數y=As〃?(vur+/)以及函數丫=Acos(w*+9)的圖象的圖象。
15.理解夕、W、A對函數y=Asin(械+9)的圖象的影響.
16.能夠將y=sinx的圖象變換到y=Asin(wx+夕)的圖象.
17.會根據條件求解析式..
18.靈活運用同角三角函數的兩個基本關系解決求值、化簡、證明等問題。
§1周期現象.
一、課前指導
學習目標
1了解周期現象在現實中廣泛存在;2感受周期現象對實際工作的意義;3理解周期函數的概念;
4能熟練地判斷簡單的實際問題的周期;5能利用周期函數定義進行簡單運用研究
學法指導
單擺運動、時鐘的圓周運動、潮汐、波浪、四季變化等,感知周期現象;從數學的角度分析這
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種現象,就可以得到周期函數的定義;根據周期性的定義,再在實踐中加以應用
要點導讀
1.是周期現象
二.課堂導學
例1若鐘擺的高度Mmm)與時間〃s)之間的函數關系如圖
1-3-1所示.
(1)求該函數的周期;
(2)求。=10s時鐘擺的高度.
解(D由圖象可知,該函數的周期為1.5s.
圖1—3-1
(2)設&=7?⑺,由函數fQ)的周期為1.5s,可知
/(10)=/(l+6Xl.5)=/(I)=20,
故t=10s時鐘擺的高度為20mm.
§2角的概念的推廣.
一.課前指導
學習目標
i.掌握角的概念,理解“正角”''負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義.
2.掌握所有與a角終邊相同的角(包括a角)、象限角、終邊在坐標軸上的角的表示方法;理
解推廣后的角的概念;
學法指導
1.在表示角的集合時,一定要使用統一單位(統一制度),只能用角度制或弧度制的一種,不
能混用。
2.在進行集合的運算時,要注意用數形結合的方法。
3.終邊相同的角、區間角與象限角的區別:
角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合。那么,角的終邊(除端點外)在第幾
象限,我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于
任何一個象限,稱為非象限角。
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終邊相同的角是指與某個角a具有同終邊的所有角,它們彼此相差2k“(kez),即
=2kn+a,kGZ},根據三角函數的定義,終邊相同的角的各種三角函數值都相等。
區間角是介于兩個角之間的所有角,如aW{a|2Waw2}=[Z,四
6666
要點導讀
1.角可以看成。。
按角叫正角,按叫負角。如
果一條射線零角。
2.
角的終邊所在位置角的集合
X軸正半軸
Y軸正半軸
X軸負半軸
Y軸負半軸
X軸
Y軸
坐標軸
2.a、巴、2a之間的關系。
2
若a終邊在第一象限則4n終邊在象限;2a終邊在
2
若a終邊在第二象限則人終邊在象限:2a終邊在
2
若a終邊在第三象限則4Cl終邊:2a終邊在。
2
若a終邊在第四象限則4a終邊象限;2a終邊在
2
二.課堂導學
例1:寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°WB<720°的元素B寫出來:
(1)60°;(2)-21°;(3)363°14,
例2.寫出終邊在下列位置的角的集合
(l)x軸的負半軸上;(2)y軸上;
類比:(1)終邊落在x軸上的角的集合如何表示?終邊落在坐標軸上的角的集合如何表示?
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(2)終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示?
思考:集合A={6|6=45°+k沏80°,kSZ},B={B|B=45°+kX90',k€Z}有何關系?
(圖形表示)
例3.已知角的頂點與直角坐標系原點重合,始邊落在x軸的非負半軸上,作出下列各角,并指
出它們是哪個象限的角?
(1)420°;(2)-75°;(3)855°;(4)-510°.
a
例4.若a是第二象限角,則2。,上分別是第幾象限的角。問:a是第二象限角,如何表示?
2
三.課后測評
課后測評A
選擇題(每小題5分)
1、下列角中終邊與330°相同的角是()
A.30°B.-30°C.630°D.-6300
2、-1120°角所在象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、把一1485°轉化為a+八360°(0°Wa<360°,k&Z)的形式是()
A.450-4X360°B.-45°-4X360°C.-45°-5X360°D.3150-5X3600
4、終邊在第二象限的角的集合可以表示為:()
A.{a|90°<a<180°}
B.(a|90°+k-180°<a<180°+k>180°,AGZ}
C.{a|-270°+4780°<a<-180°+A?180°,
D.{a|-270°+k-360°<a<-180°+k-360°,AGZ}
5、下列命題是真命題的是()
A.三角形的內角必是一、二象限內的角B.第一象限的角必是銳角
C.不相等的角終邊一定不同
D.{a|a=k-36(r±9(y,ZeZ}=3|a=Z:」8O。+9O',ZeZ}
6、已知A={第一象限角),B={銳角},C={小于90°的角},那么A、B、C關系是()
A.B=AACB.BUC=CC.AcCD.A=B=C
二.填空題(每小題5分)
1、寫出-720°到720°之間與-1068°終邊相同的角的集合.
2、與1991°終邊相同的最小正角是,絕對值最小的角是.
3、若角a的終邊為第二象限的角平分線,則a的集合為.
4、角a的終邊在坐標軸上,請用集合的形式表示a為.
三.解答題(每小題10分)
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已知角c是第二象限角,求:(1)角上a是第幾象限的角;(2)角2a終邊的位置。
2
課后測評B
一、選擇題(每小題5分)
1.下列命題中正確的是()
A.終邊在y軸非負半軸上的角是直角
B.第二象限角一定是鈍角
C.第四象限角一定是負角
D.若£=〃+A?360°(kGZ),則〃與£終邊相同
2.與120°角終邊相同的角是()
A.-600°+公360°,kQZB.-120°+4?360°,kGZ
C.120°+(2A+1)?180°,kGZD.660°+k?360°,kGZ
3.若角〃與£終邊相同,則一定有(
A.。+£=180°B.。+£=0°
C.B=k?360°,kQZD.〃+£=A?360°,kRZ
4.設A={例。為正銳角},B⑻。為小于90°的角}c={eIe為第一象限的角}
D={。?。為小于90°的正角},則下列等式中成立的是()
A.A=BB.B=C
C.A=CD.A=D
5.若。=-3,則角。的終邊在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.若。是第四象限角,則不一a一定在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限1).第四象限
二、填空題:(每小題5分)
7.角a=45°+在?90°的終邊在第象限.
三、解答題:(每小題10分)
8.寫出角的終邊在圖中陰影區域內的角的集合(不包括邊界)
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9.寫出終邊在直線y=Gx上所有的角的集合,并指出在上述集合中,最大負角是多少?
10.已知a是第二象限角,試求:
(1)里角所在的象限;(2)4角所在的象限;(3)2。角所在范圍.
§3弧度制.
學習目標
理解弧度的意義;了解角的集合與實數集R之間的可建立起一一對應的關系;熟記特殊角的弧
度數.“角度制”與“弧度制”的區別與聯系
能正確地進行弧度與角度之間的換算,能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式,并能運
用公式解決一些實際問題
學法指導
角度與弧度之間的轉換:
①將角度化為弧度:
IT
360°=2乃;180°=萬:1°=——“0.01745md;n°=—rad.
180180
②將弧度化為角度:
2%=360°;"=180°;\rad=(―)°?57.30°=57°18,;〃=
7171
要點導讀
1.規定把周角的人作為1度的角,用叫做角度制.
2.叫做]弧度的角;叫做弧度制,在弧度
制下,1弧度記做Irad.在實際運算中,常常將rad單位省略.
3.弧度制的性質:
2勿一
①半圓所對的圓心角為j二rr=萬;②整圓所對的圓心角為2乃.
rr
③正角的弧度數是.④負角的弧度數是.
⑤零角的弧度數是,⑥角a的弧度數的絕對值
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4.特殊角的弧度
角030456090120135150180270360
度°°°°°°°°°°°
弧
度
5.弧長公式
1?1=-------------
二.課堂導學
例1.將下列各角化成+。(4WZ0W。<2不)的形式,并確定其所在的象限.
⑴學;⑵一拳.
例2.利用弧度制證明扇形解公鄭=押其中/是扇形弧長R是圓的半徑
三.課后測評
課后測評A
一.選擇題(每小題5分)
1、下列各角中與240。角終邊相同的角為()
2、若角a終邊在第二象限,則n-a所在的象限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、把一1125°化成a+2〃冗(0WaV2n,A£Z)的形式是()
n7五n7冗
A.--——6nB.■—6nC.--——8五D.—7--8n
4444
jrTT
4、已知集合M-{x\x-k——,keZ},N={x|x二k?兀土一,kGZ),則()
22
A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集
C.M=ND.集合M與集合N之間沒有包含關系
5、若2弧度的圓心角所對的弧長為4cm,則這個圓心角所夾的扇形的面積是()
A.4cm~B.2cm2C.4ncm*D.2ncm2
k兀4
6、集合{a|a=———,4£Z}n{a|-為()
25
JI3nf7n4nn3冗7Ji4n、,3冗7n
I5,10i10'55'10'10'5110'10
二.填空題(每小題5分)
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1、若角a,夕關于y軸對稱,則a,夕的關系是;
2、若角a,夕滿足一萬<。<?<%,則a-尸的范圍
3、將分針撥快10分鐘,則分針轉過的弧度數是.
4、已知a是第二象限角,且|a+2區4,則a的集合是.
三.解答題(每小題10分)
已知a=1690",
(1)把a表示成2%乃+/的形式,其中kGZ,夕2[0,2萬).
(2)求。,使。與a的終邊相同,且。c(—4肛一2萬).
課后測評B
一、選擇題(每題5分共60分)
(1)在半徑不等的兩個圓內,1弧度的圓心角()
A.所對的弧長相等B.所對的弦長相等
C.所對的弧長等于各自的半徑D.以上都不對
⑵.把—1458°化為a+2k兀(keZ,O<?<2])的形式是()
A.--8^B.――71-^71C.---10^D.2^—10萬
4444
(3).把一?萬表示成6+26■(女eZ)的形式,使網最小的。的值是(
)
A.一包兀71n3%
B.一—C.—D.—
4444
(4).若9是第二象限角,那么葭和夕都不是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
(5).將分針撥慢十分鐘,則分針所轉過的弧度數是()
7171乃71
A、—B、C、—D、
3757
(6)圓弧長度等于其內接正三角形的邊長,其圓心角的弧度數是()
A、IB、rC、6I)、2
⑺已知集合A={a[2Z:〃WaW(2火+l)1,Z£Z},B={a\-4<a<4}
則AD8等于()
A、0B、{a|-4<a<4}C、{a10<tz<^-}
第8頁共66頁
D>{a|-4WaW—"或0<a<萬}
(8).設(乙,乙)且17。的終邊與。的終邊相同,則tan。等于()
63
A.V2-1B.V2C.V2+1D.1
(9).集合A=<x|x=&乃+(—1),8==2左乃+eZ
則A、B的關系為()
A.AuBB.A二C.A二BD,卜cB=(/)
(10)已知扇形的半徑為12cm,弧長為18cm,則扇形圓心角的弧度數為()
2
A.-BD
3-1-r
(11).終邊在第一、四象限的角的集合可表示為()
A.7t71B.3
2,2嗚)鳴2e
C.(Ikn-y,2ki+yj(Z:eZ)D.f2kw-1,2ki)u(2k兀2k九+'卜左£Z)
2
(12)若a是第四象限的角,則萬一0在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、填空題(每題5分共10分)
(13)已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對弧的弧長是
(14)用弧度制表示x軸上方的角的集合
(15)扇形的半徑是5cm,弧長是J27rem那么扇形的面積是cm
3
/、.4717171717C
(16)sin—?tan——Ftan——?cos---tan——-cos—
336642
三、解答題(每題10分共20分)
17.已知扇形的周長為40cm,當它的半徑和圓心角取什么值時,才能使扇形的面積最大?最大面積是
多少?
18.如圖,一條弦AB的長等于它所在的圓的半徑R,求弦AB和劣弧AB所組成的弓形的面積.
第9頁共66頁
綜合測評A
一、選擇題(每小題5分)
1.若。是第一象限角,則下列各角中一定為第四象限角的是()
(A)90°-a(B)90°+a(0360°-a(D)180°+a
2.終邊與坐標軸重合的角a的集合是()
(A){。|。=八360°,ASZ}(B){a|a=k>180°+90°,—}
(C){o|a=k>180°,A-GZ}(D){a|90°,ASZ}
3.若角。、萬的終邊關于y軸對稱,則£的關系一定是(其中%GZ)()
(A)a+j3=jr(B)a-fi=—(C)a-£=(2A+l)霏(D)a+£=(2A+l)不
2
4.若一圓弧長等于其所在圓的內接正三角形的邊長,則其圓心角的弧度數為()
(A)王(B)2(0V3(D)2
33
5.將分針撥快10分鐘,則分針轉過的弧度數是()
(A)石(B)—工(C)巴(D)—巴
3366
*6.已知集合於{第一象限角},左{銳角},俏{小于90°的角},下列四個命題:
①爐爐C②4uC③Cui④/neq其中正確的命題個數為()
(A)0個(B)2個?3個(D)4個
二.填空題(每小題5分)
7.終邊落在x軸負半軸的角a的集合為,終邊在一、三象限的角平分線上的角£的集合
是.
8.-仝nrad化為角度應為
12-----------------
9.圓的半徑變為原來的3倍,而所對弧長不變,則該弧所對圓心角是原來圓弧所對圓心角的
倍.
10.若角。是第三象限角,則3角的終邊在,2a角的終邊在
2----------------------------------
三.解答題(每小題10分)
11.試寫出所有終邊在直線丫=-0尤上的角的集合,并指出上述集合中介于-180°和180°之間的角.
12.已知0°<,<360°,且,角的7倍角的終邊和6角終邊重合,求9.
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13.已知扇形的周長為20cm,當它的半徑和圓心角各取什么值時,才能使扇形的面積最大?最大面
積是多少?
*14.如下圖,圓周上點/依逆時針方向做勻速圓周運動.已知1點1分鐘轉過《(0<。<加)角,2
分鐘到達第三象限,14分鐘后回到原來的位置,求0.
§1——§3綜合測評B
一、選擇題(每題5分共60分)
(1)在半徑不等的兩個圓內,1弧度的圓心角()
A.所對的弧長相等B.所對的弦長相等
C.所對的弧長等于各自的半徑D.以上都不對
(2).把—1458°化為a+2版■(女eZ,0Ke<2i)的形式是()
7T771D.*10%
A.---8%B.---%—8%C.-----107
444
(3).把—2乃表示成6+2女萬(攵eZ)的形式,
使網最小的。的值是()
A」7171n3萬
B.一一C.—D.—
4444
(4).若9是第二象限角,那么?^和夕都不是()
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
(5).將分針撥慢十分鐘,則分針所轉過的弧度數是()
(6)圓弧長度等于其內接正三角形的邊長,其圓心角的弧度數是()
JT2/""
A、—B、-71C、,x/3D、2
33
第11頁共66頁
⑺已知集合A={a|2&乃WaW(2&+1)應攵£Z},B={a\-4<a<4}
則AD8等于()
A^0B、{cir|-4<a<4}C、{a\0<a<7r}
D^{a|—4<a<一%或0WaW萬}
7TTT
(8).設6e(—,—)且17。的終邊與。的終邊相同,則tan。等于()
63
A.72-1B.V2C.V2+1D.1
(9).集合A={x|x=&乃+(-1)*?],&Gz},8={x|x=2br+5,%GZ
則A、B的關系為()
A.AuBB.A^BC.A=BD,Ac8=。
(10)已知扇形的半徑為12cm,弧長為18cm,則扇形圓心角的弧度數為()
八2萬八3
BC.—D.—7T
-f32
(11).終邊在第一、四象限的角的集合可表示為()
A.7171B.
2,^2嗚u(1乃2乃
C.[2左萬-,2左乃+yGZ)D.(2k7T-,2k:tjuf2k.7i2k冗+'71卜左wZ)
2
(12)若a是第四象限的角,則萬一7在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
二、填空題(每題5分共10分)
(13)已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對弧的弧長是
(14)用弧度制表示x軸上方的角的集合
24
(15)扇形的半徑是5cm,弧長是——cm那么扇形的面積是cm
3
兀兀nRJ[
(16)sin--tan——Ftan--cos--tan—cos—=
336642------------
三、解答題(每題10分共20分)
17.已知扇形的周長為40cm,當它的半徑和圓心角取什么值時,才能使扇形的面積最大?最大面積是
多少?
18.如圖,一條弦AB的長等于它所在的圓的半徑R,求弦AB和劣弧AB所組成的弓形的面積.
第12頁共66頁
AB
R
R
0
§4正弦函數和余弦函數的定義與誘導公式
§4.1任意角的正弦函數、余弦函數的定義
一.課前指導
學習目標
1.掌握任意角的三角函數的定義;
2.已知角a終邊上一點,會求角。的各三角函數值;
學法指導
三角函數線的定義:設任意角a的頂點在原點。,始邊與x軸非負半軸重合,終邊與單位
圓相交與點P(x,y),過尸作X軸的垂線,垂足為“;過點4(1,0)作單位圓的切線,它與角a的終
邊或其反向延長線交與點T.
(III)(IV)
由四個圖看出:
當角a的終邊不在坐標軸上時,有向線段=sina=)=)=y=MP,
r1
cosa=±=±=x=OM,tana=^-=-=—=
r1xOMOA
稱有向線段________________________________分別為正弦線、余弦線、正切線。
第13頁共66頁
要點導讀
1.三角函數另一種定義:
在直角坐標系中,設a是一個任意角,a終邊上任意一點P(除了原點)的坐標為(x,y),它與
原點的距離為r(r=+1y『=+y>o),那么
(1)比值上叫做a的正弦,記作sina,即;
r
Y
(2)比值一叫做a的余弦,記作cosa,即;
r
(3)比值上叫做a的正切,記作tana,即;
x
2.三角函數的符號
由三角函數的定義,以及各象限內點的坐標的符號
①正弦值』為正(y>0,r>0),
r
____________________________________為負(y<0/>0);
②余弦值為正(1>0/>0),
_______________________________為負(xv0/〉0);
③正切值上為正(龍,y同號),
X
__________________________________為負(x,y異號).
二.課堂導學
例1.已知角。的終邊經過點P(2,-3),求a的三個函數制值。
34
例2.求下列各角的三個三角函數值:(1)0;(2)n:(3)—.
2
例3已知角a的終邊過點(a,2a)(aw0),求a的三個三角函數值。
例4:已知角a的終邊上一點P(一6,加),且sina=——,求cosa,sina的值。
4
第14頁共66頁
補充:已知點P(3r,-4r)(r。0),在角a的終邊上,求sina、cosa>tana的值。
三.課后測評
課后測評A
一、選擇題(每小題5分)
1.若三角形的兩內角a,B滿足sinacos(}<0,則此三角形必為()
A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上三種情況都可能
2.已知點p(tana,cosa)在第三象限,則a的終邊在第幾象限()
A.一B.二C.三D.四
3.如果角a的終邊過點(2sin30°,一2cos30°),則sina的值等于()
c-且
42
4.Sin2cos3tan4的值()
A.大于0B.小于0C.等于0D.不存在
5.下列不等式中成立的是()
/兀、、/兀\
A.sin(——)>sin(——)B.cos(一一)>cos(一一)
5656
八/n、、/71、
C.tan(一一)>tan(一一)D.cot(一一)>cot(一一)
5656
6.已知集合E={6|cosevsina04,〈21},集合F={,|tan。vsin。},那么EcF為區間()
,,兀、八,乃3萬、C.(萬,浮c/3乃5萬、
A.(—,萬)B.(—,—)D.(—,—)
24444
二、填空題:(每小題5分)
3
7.已知角a的終邊過點(一x,4),且cosa=一g則x二.
COSXtanx
8.函數y=+:----:的值域為
cosxtanx
9.已知點P(tana,sina一cosa)在第一象限,且,則角a的取值范圍是,
sinaA/1-COS2a
10.若角a的終邊落在直線x+y=0上,則
Vl-sin2aCOS6Z
三、解答題:(每小題10分)
11.已知角a的終邊經過點一(2,-3),求a的兩個三角函數值.
第15頁共66頁
12.已知角a的終邊經過P(4a,-3a),(awO)求2sina+cosa的值
2m_3
13.若。為第三、四象限的角且sin6=—二,求m的取值范圍。
4-m
14.求值:sin(-1320°)coslllO°+cos(-1020°)sin7500+tan49500
15.利用單位圓求滿足下列條件的x的集合:cosx>-
2
課后測評B
一.選擇題(每小題5分)
1-z跖Isinxl,cosx,|tanx|./七心目/\
1.函數尸1---+------------1的值域是()
sinx|cosx|tanx
(A){-1,1)1,3}(0{-1,3}(D){1,3}
2.已知角0的終邊上有一點尸(-4a,3a)(aHO),則2sin〃+cos0的值是)
(A)-(B)--(C)2或-2(D)不確定
5
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