關于低速翼型的氣動特性5.1翼型的幾何參數及表示方法5.1.1翼型的幾何參數5.1.2NACA翼型5.1.3NACA五位數5.1.4層流翼型5.1.5超臨界機翼

第2頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.1.1翼型的幾何參數翼的橫剖面形狀，又稱為翼剖面。在空氣動力學中，翼型通常理解為二維機翼，即剖面形狀不變的無限翼展機翼。第3頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼型按速度分類有低速翼型亞聲速翼型超聲速翼型第4頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼型按形狀分類有圓頭尖尾形尖頭尖尾形圓頭鈍尾形第5頁,共100頁，2024年2月25日，星期天幾何弦長、前緣半徑、后緣角；翼面坐標、彎度分布、厚度分布5.1.1翼型的幾何參數前緣厚度中弧線后緣彎度弦線弦長c

后緣角第6頁,共100頁，2024年2月25日，星期天厚度

5.1.1翼型的幾何參數彎度

第7頁,共100頁，2024年2月25日，星期天1.翼型的發展通常飛機設計要求，機翼和尾翼的升力盡可能大、阻力小。對于不同的飛行速度，機翼的翼型形狀是不同的低亞聲速飛機：圓頭尖尾形提高升力系數高亞聲速飛機：超臨界翼型提高阻力發散Ma數，前緣豐滿、上翼面平坦、下翼面后緣向內凹；超聲速飛機：尖頭、尖尾形減小激波阻力5.1.2NACA翼型第8頁,共100頁，2024年2月25日，星期天對翼型的研究最早可追溯到19世紀后期帶有一定安裝角的平板能夠產生升力在實踐中發現彎板比平板好，能用于較大的迎角范圍平板翼型效率較低，失速迎角很小將頭部弄彎以后的平板翼型，失速迎角有所增加第9頁,共100頁，2024年2月25日，星期天鳥翼具有彎度和大展弦比的特征鳥類的飛行研究：彎曲的平板更接近于鳥翼的形狀能夠產生更大的升力和效率。第10頁,共100頁，2024年2月25日，星期天德國人奧托·利林塔爾設計并測試了許多曲線翼的滑翔機，他仔細測量了鳥翼的外形，認為試飛成功的關鍵是機翼的曲率或者說是彎度，他還試驗了不同的翼尖半徑和厚度分布。第11頁,共100頁，2024年2月25日，星期天萊特兄弟所使用的翼型與利林塔爾的非常相似，薄而且彎度很大。這可能是因為早期的翼型試驗都在極低的雷諾數下進行，薄翼型的表現要比厚翼型好。第12頁,共100頁，2024年2月25日，星期天隨后的十多年里，在反復試驗的基礎上研制出了大量翼型，如RAF-6，Gottingen387，ClarkY。這些翼型成為NACA翼型家族的鼻祖。第13頁,共100頁，2024年2月25日，星期天在上世紀三十年代初期，美國國家航空咨詢委員會（NationalAdvisoryCommitteeforAeronautics，NACA，NationalAeronauticsandSpaceAdministration，

NASA

）對低速翼型進行了系統的實驗研究。將當時的幾種優秀翼型的厚度折算成相同厚度時，厚度分布規律幾乎完全一樣。在當時認為是最佳的翼型厚度分布作為NACA翼型族的厚度分布。厚度分布函數為：最大厚度為第14頁,共100頁，2024年2月25日，星期天1932年，確定了NACA四位數翼型族。f為中弧線最高點的縱坐標，p為最大彎度位置。中弧線取兩段拋物線，在中弧線最高點二者相切。NACA

②④①②第15頁,共100頁，2024年2月25日，星期天1935年，NACA又確定了五位數翼型族。五位數翼族的厚度分布與四位數翼型相同。不同的是中弧線。它的中弧線前段是三次代數式，后段是一次代數式。例:

NACACL設：來流與前緣中弧線平行時的理論升力系數中弧線0：簡單型1：有拐點第16頁,共100頁，2024年2月25日，星期天1939年，發展了NACA1系列層流翼型族。其后又相繼發展了NACA2系列，3系列直到6系列，7系列的層流翼型族。層流翼型是為了減小湍流摩擦阻力而設計的，盡量使上翼面的順壓梯度區增大，減小逆壓梯度區，減小湍流范圍。第17頁,共100頁，2024年2月25日，星期天1967年美國NASA蘭利研究中心的Whitcomb主要為了提高亞聲速運輸機阻力發散Ma數而提出了超臨界翼型的概念。層流翼型超臨界翼型第18頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.2翼型的氣動參數1、翼型的迎角與空氣動力翼型繞流視為平面流動，翼型上的空氣動力簡稱氣動力可視為無限翼展機翼在展向取單位展長所受的氣動力。在翼型平面上，來流V∞與翼弦線之間的夾角定義為翼型的幾何迎角，簡稱迎角。對弦線而言，來流上偏為正，下偏為負。第19頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第20頁,共100頁，2024年2月25日，星期天當氣流繞過翼型時，在翼型表面上每點都作用有壓強p（垂直于翼面）和摩擦切應力

（與翼面相切），它們將產生一個合力R，合力的作用點稱為壓力中心，合力在來流方向的分量為阻力D，在垂直于來流方向的分量為升力L。第21頁,共100頁，2024年2月25日，星期天升力和阻力的比值l/d

稱為升阻比其值隨迎角的變化而變化，此值愈大愈好，低速和亞聲速飛機可達17～18，跨聲速飛機可達10～12，馬赫數為2的超聲速飛機約為4～8。把升力和阻力分別除以來流動壓頭與弦長，就得到升力系數cl和阻力系數cd

第22頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共100頁，2024年2月25日，星期天（1）在升力系數隨迎角的變化曲線中，在迎角較小時是一條直線，這條直線的斜率稱為升力線斜率，記為這個斜率，薄翼的理論值等于2

/弧度如果迎角較大，流動出現分離。迎角大到一定程度，翼型上表面出現大面積分離。由于流動分離，使得升力系數開始下降的迎角稱為最大升力迎角

。對應的升力系數稱為最大升力系數Clmax升力下降，意味著飛機可能下掉，失去飛行的正常速度。因此最大升力系數對應的迎角也稱失速迎角。升力突然下降的現象稱為失速。第24頁,共100頁，2024年2月25日，星期天（2）對于有彎度的翼型升力系數曲線是不通過原點的，通常把升力系數為零的迎角定義為零升迎角

0，而過后緣點與幾何弦線成

0的直線稱為零升力線。對有彎度翼型

0是一個小負數，一般彎度越大，

0的絕對值越大。第25頁,共100頁，2024年2月25日，星期天（3）阻力在二維情況下，主要是粘性引起的摩擦與壓差阻力。在小迎角時，翼型的阻力主要是摩擦阻力，阻力系數隨迎角變化不大；在迎角較大時，出現了壓差阻力的增量，分離區擴及整個上翼面，阻力系數大增。但應指出的是無論摩擦阻力還是壓差阻力都與粘性有關。第26頁,共100頁，2024年2月25日，星期天極曲線ClmaxCdminCdCl第27頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼面的氣動力R與翼弦的交點稱為壓力中心。壓力中心的位置和翼面上的壓力具體分布情況有關系。當迎角增大時(未出現大分離以前)，不僅上翼面的吸力和下翼面的壓力都增強了，而且吸力峰前移，結果壓力中心前移。

2、壓力中心，焦點，力矩第28頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼型上的分布壓力也可以分解成力和力矩，這個力矩稱為俯仰力矩。升力和阻力都會引起力矩。阻力本身就比升力小一個量級，阻力的力臂比升力力臂也小不少，阻力對力矩的貢獻是次要的。因此我們只考慮升力引起的力矩。壓力中心的位置與迎角有關。迎角增加，壓力中心可能前移，所以壓力中心的使用很不方便。在翼型上，有一個特殊的點，稱為氣動中心，或焦點。不論迎角多大，如果每次都把力系搬到焦點上，其俯仰力矩都一樣大。迎角增大，升力增大，壓力中心前移，壓力中心至氣動中心的距離縮短，結果力乘力臂的積，即俯仰力矩保持不變。這一點的理論位置，薄翼型在距前緣1／4弦長處。第29頁,共100頁，2024年2月25日，星期天俯仰力矩系數記為Cm，定義是規定抬頭力矩為正，低頭力矩為負。由于相對焦點的力矩與迎角無關，在失速迎角以下，基本是直線。迎角小到使升力為0時，力矩也是同樣大小。升力為0時，對于一般翼型，零升力矩一般為負(低頭力矩)。

但當迎角超過失速迎角，翼型上有很顯著的分離之后，低頭力矩大增，力矩曲線也變彎曲。第30頁,共100頁，2024年2月25日，星期天俯仰力矩系數是翼型的重要氣動參數之一，為了不使飛機出現俯仰翻滾，需要采用平尾產生升力來平衡力矩。由于平尾放在機尾上，距離重心很遠即力臂很大，所以小平尾(小升力)就可以產生足夠的平衡力矩。第31頁,共100頁，2024年2月25日，星期天(a)00迎角繞流(b)50迎角繞流翼型繞流圖畫5.3低速翼型的流動特點第32頁,共100頁，2024年2月25日，星期天低速翼型繞流圖畫低速圓頭翼型在小迎角時，其繞流圖畫如下圖示。總體流動特點是（1）整個繞翼型的流動是無分離的附著流動，在物面上的邊界層和翼型后緣的尾跡區很薄；第33頁,共100頁，2024年2月25日，星期天（2）前駐點位于下翼面距前緣點不遠處，流經駐點的流線分成兩部分，一部分從駐點起繞過前緣點經上翼面順壁面流去，另一部分從駐點起經下翼面順壁面流去，在后緣處流動平滑地匯合后下向流去。（3）在上翼面的流體速度從前駐點的零值很快加速到最大值，然后逐漸減速。根據Bernoulli方程，壓力分布是在駐點處壓力最大，在最大速度點處壓力最小，然后壓力逐漸增大（過了最小壓力點為逆壓梯度區）。（4）隨著迎角的增大，駐點逐漸后移，最大速度點越靠近前緣，最大速度值越大，上下翼面的壓差越大，因而升力越大。第34頁,共100頁，2024年2月25日，星期天（5）氣流到后緣處，從上下翼面平順流出，因此后緣點不一定是后駐點。第35頁,共100頁，2024年2月25日，星期天隨著迎角增大，翼型升力系數將出現最大，然后減小。這是氣流繞過翼型時發生分離的結果。在一定迎角下，當低速氣流繞過翼型時，過前駐點開始快速加速減壓到最大速度點（順壓梯度區），然后開始減速增壓到翼型后緣點處（逆壓梯度區），隨著迎角的增加，前駐點向后移動，氣流繞前緣近區的吸力峰在增大，造成峰值點后的氣流頂著逆壓梯度向后流動越困難，氣流的減速越嚴重。第36頁,共100頁，2024年2月25日，星期天這不僅促使邊界層增厚，變成湍流，而且迎角大到一定程度以后，逆壓梯度達到一定數值后，氣流就無力頂著逆壓減速了，而發生分離。這時氣流分成分離區內部的流動和分離區外部的主流兩部分。123S5第37頁,共100頁，2024年2月25日，星期天根據大量實驗，在大Re數下，翼型分離可根據其厚度不同分為以下三種分離形式：（1）后緣分離（湍流分離）這種厚翼型頭部的負壓不是特別大，分離是從翼型上翼面后緣近區開始的。隨著迎角的增加，分離點逐漸向前緣發展。這種分離對應的翼型厚度大于12%-15%。第38頁,共100頁，2024年2月25日，星期天起初升力線斜率偏離直線，當迎角達到一定數值時，分離點發展到上翼面某一位置時（大約翼面的一半），升力系數達到最大，以后升力系數下降。后緣分離的發展是比較緩慢的，流譜的變化是連續的，失速區的升力曲線也變化緩慢，失速特性好。第39頁,共100頁，2024年2月25日，星期天(2)前緣分離（前緣短泡分離）中等厚度的翼型（厚度6%-9%），前緣半徑較小。氣流繞前緣時負壓很大，從而產生很大的逆壓梯度，即使在不大迎角下，前緣附近發生層流邊界層分離，此后邊界層轉捩成湍流，從外流中獲取能量，然后再附到翼面上，由于翼型具有中等厚度，再附點相對靠前而形成分離短氣泡。這種短氣泡的存在對主流沒有顯著影響，壓強分布與無氣泡時基本一樣。第40頁,共100頁，2024年2月25日，星期天起初這種短氣泡很短，只有弦長的1%，當迎角達到失速角時，短氣泡突然破裂變成很長的氣泡，或者氣流不能再附，導致上翼面突然完全分離，使升力和力矩突然變化。第41頁,共100頁，2024年2月25日，星期天(3)薄翼分離（前緣長氣泡分離）薄的翼型（厚度4%-6%），前緣半徑更小。

氣流繞前緣時負壓更大，從而產生很大的逆壓梯度，即使在不大迎角下，前緣附近引起層流邊界層分離，此后層流邊界層轉捩成湍流，從外流中獲取能量，流動一段較長距離后再附到翼面上，由于翼型很薄再附點相對靠后，形成長分離氣泡。出現長氣泡分離時對翼面壓強分布有明顯影響。第42頁,共100頁，2024年2月25日，星期天起初這種氣泡不長，只有弦長的2%-3%，隨著迎角增加，再附點不斷向下游移動，當到失速迎角時，氣泡延伸到后緣，翼型完全失速，氣泡消失，氣流不能再附，導致上翼面完全分離。由于這種分離是由薄翼型較早出現的短氣泡逐步過渡到長氣泡再直至分離，其升力系數曲線偏離直線較早，CLmax也較低但失速特性好。第43頁,共100頁，2024年2月25日，星期天三種厚度翼型對應的三種分離以及升力系數曲線比較見下圖。另外，除上述三種分離外，還可能存在混合分離形式，氣流繞彎度大的薄翼型可能同時在前緣和后緣發生分離。（厚翼型）（薄翼型）（中等厚度翼型）第44頁,共100頁，2024年2月25日，星期天庫塔(MW.Kutta,1867-1944)，德國數學家

儒可夫斯基（Joukowski，1847~1921），俄國數學家和空氣動力學家。1906年儒可夫斯基引入了環量的概念，發表了著名的升力定理，奠定了二維機翼理論的基礎。5.4庫塔—儒可夫斯基后緣條件和環量確定第45頁,共100頁，2024年2月25日，星期天根據庫塔一儒可夫斯基升力定理，在定常、理想、不可壓流中，直勻流流過任意截面形狀翼型的升力為所以對給定的ρ和v∞值，只要確定了給定迎角和幾何外形翼型的環量值，根據升力定理即可求出作用在翼型上的升力。第46頁,共100頁，2024年2月25日，星期天但對于一定迎角下的給定翼型繞流，是否類似存在著：繞翼型的環量也可以不同，且前后駐點的位置也可隨環量不同而改變，并且都可以滿足翼面是流線的要求？對于不同的環量值，除升力大小不同外，繞流在圓柱上的前后駐點位置不同，并都可滿足柱面是流線的要求：第47頁,共100頁，2024年2月25日，星期天對于給定的翼型，在一定的迎角下，升力是唯一確定的。這說明對于實際的翼型繞流，僅存在一個確定的繞翼型環量值，其它均是不正確的。要確定這個環量值，可以從繞流圖畫入手分析。當不同的環量值繞過翼型時，其后駐點可能位于上翼面、下翼面和后緣點三個位置的流動圖畫。第48頁,共100頁，2024年2月25日，星期天就無粘位流而言，給定來流流速、迎角和翼型時，下面三種繞流情形都是可能的：(a)后駐點在上翼面，有逆時針后緣繞流；(b)后駐點在下翼面，有順時針后緣繞流；(c)后駐點在后緣，無后緣繞流。這表明，如無其它物理要求，環量無法確定。5.4.1庫塔—儒可夫斯基后緣條件第49頁,共100頁，2024年2月25日，星期天后駐點在翼面上而不在后緣時，繞尖后緣的流動流速理論上無窮大、壓強負無窮，物理上這是不可能的；只有后駐點在后緣，不出現尖后緣繞流，上下翼面流動在后緣平順匯合流向下游,后緣處流速為有限值，才合乎一般的物理要求。此時,有唯一的速度環量值與之相對應。再者，從翼型實際繞流形成過程來看，粘性的作用消除了后緣繞流，上下翼面流動在后緣平順匯合流向下游，產生了起動渦，使翼型繞流具有了明確的速度環量。

5.4.1庫塔—儒可夫斯基后緣條件第50頁,共100頁，2024年2月25日，星期天庫塔—儒可夫斯基后緣條件如下：(1)對于給定的翼型和迎角，繞翼型的環量值應正好使流動平滑地流過后緣去。(2)后緣角τ>0，后緣點是后駐點

V后上=V后下=0；(3)后緣角τ=0,

后緣點處流速為有限值,V后上=V后下5.4.1庫塔—儒可夫斯基后緣條件第51頁,共100頁，2024年2月25日，星期天真實翼型的后緣并不是尖角，往往是一個小圓弧。實際流動氣流在上下翼面靠后很近的兩點發生分離，分離區很小。VS上=VS下p后上

=p后下確定了無粘位流理論涉及的速度環量的唯一性，這是庫塔—儒可夫斯基后緣條件的實質。

第52頁,共100頁，2024年2月25日，星期天繞翼型無粘位流的升力問題，遵循儒可夫斯基升力定理。根據該定理，直均流流過任意截面形狀翼型的升力：L=ρV∞

Γ

可見，確定速度環量是關鍵。小迎角下，翼型繞流的壓力分布及升力，與繞翼型的無粘位流的壓力分布及升力無本質差別。因此，不計粘性作用，用繞翼型的無粘位流求解翼型壓力分布及升力，是合理的近似。5.4.2環量的產生和后緣條件的關系第53頁,共100頁，2024年2月25日，星期天根據海姆霍茲旋渦定理，在理想流中，渦的強度不隨時間變化，既不會增強，也不會削弱或消失。翼型都是從靜止狀態開始加速運動到定常狀態，根據旋渦守衡定律，翼型引起氣流運動的速度環量應與靜止狀態一樣處處為零，但庫塔條件得出一個不為零的環量值，這是乎出現了矛盾。環量產生的物理原因如何？第54頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼面鄰近的閉曲線（L1）上速度環量Γ1，離翼型足夠遠的閉曲線（L）上速度環量Γ，翼型前緣、后緣點分別為A、B起動渦

——起動前的靜止狀態5.4.2環量的產生和后緣條件的關系第55頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼型前后駐點分別為O、O1起動渦

——剛起動的極短時間內，粘性尚未起作用5.4.2環量的產生和后緣條件的關系第56頁,共100頁，2024年2月25日，星期天后緣繞流在上翼面出現分離，產生逆時針旋渦，后駐點O1移向后緣點B起動渦

——起動中，粘性起作用。5.4.2環量的產生和后緣條件的關系第57頁,共100頁，2024年2月25日，星期天后駐點O1移至后緣點B時，后緣繞流分離形成的渦脫離翼面流向下游，形成起動渦，后緣處上下翼面流動平順匯合流向下游。起動渦

——起動過程完結，翼型勻速前進5.4.2環量的產生和后緣條件的關系第58頁,共100頁，2024年2月25日，星期天第59頁,共100頁，2024年2月25日，星期天由上述討論可得出：（1）流體粘性和翼型的尖后緣是產生起動渦的物理原因。繞翼型的速度環量始終與起動渦環量大小相等、方向相反。（2）對于一定形狀的翼型，只要給定繞流速度和迎角，就有一個固定的速度環量與之對應，確定的條件是庫塔條件。（3）如果速度和迎角發生變化，將重新調整速度環量，以保證氣流繞過翼型時從后緣平滑匯合流出。（4）代表繞翼型環量的旋渦，始終附著在翼型上，稱為附著渦。根據升力環量定律，直勻流加上一定強度的附著渦所產生的升力，與直勻流中一個有環量的翼型繞流完全一樣。第60頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.5薄翼型理論理想不可壓流體流過一個翼型，如果迎角不大,翼型的厚度和彎度也很小，流場是小擾動位流場，所以翼面上的邊界條件以及壓強系數可以線化，厚度、彎度和迎角的影響可以分開考慮。翼型的這種位流解法在空氣動力學上稱為薄翼型理論。第61頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.5.1擾動速度位的線化方程采用體坐標軸Oxy，原點位于前緣點，x軸沿翼弦向后，y軸向上。翼型低速無粘位流問題，一般可描述如下：第62頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼型繞流速度位Φ滿足拉普拉斯方程，因此它可分解為直均來流速度位φ∞和翼型存在引起的擾動速度位φ，即于是，擾動速度位也滿足拉普拉斯方程：因有（2）5.5.1擾動速度位的線化方程第63頁,共100頁，2024年2月25日，星期天體軸坐標系翼面上x、y方向的流速分量記為則邊界條件為：將根據物面應是流線的邊界條件，有（6）5.5.1擾動速度位的線化方程因翼型薄，彎度和迎角小，即視為一階小量，則為二階小量

；因此（5-12）（5-11）第64頁,共100頁，2024年2月25日，星期天將（5-12）中的展開成如下級數，其中也是二階小量。保留一階小量下，,考慮到翼面坐標與厚度、彎度分布的關系，上式可寫為，（5-15）——翼面邊界條件線化近似5.5.1擾動速度位的線化方程因此在薄翼型前提下，翼面上y方向的擾動速度可近似用弦線上的值代替。這就是翼面邊界條件的線性化近似表達式。式（5-15）表示，在小擾動條件下可近似表示為彎度、厚度和迎角三部分的線性和。第65頁,共100頁，2024年2月25日，星期天————————————————————————————————————————————————————————————————++迎角問題彎板問題厚度問題_____________________________________________________________________________________________________________________________后緣條件后緣條件后緣條件——擾動速度位的線性疊加5.5.1擾動速度位的線化方程第66頁,共100頁，2024年2月25日，星期天——擾動速度位的線性疊加5.5.1擾動速度位的線化方程厚度問題因流動上下對稱，不能產生升力和力矩。彎度和迎角問題則流動上下不對稱，壓差作用產生升力和力矩。彎度和迎角問題可合在一起處理，稱為迎角—彎度問題。第67頁,共100頁，2024年2月25日，星期天根據伯努利方程，流場中任一點的壓強系數為若只保留一階小量，則有結果，

對翼面上的壓強系數進一步近似，則有

——壓強系數的線化近似5.5.1擾動速度位的線化方程第68頁,共100頁，2024年2月25日，星期天在中弧線布渦模擬升力問題5.5.2迎角彎度問題（升力問題）對于薄翼型問題，氣動特性只依賴于中弧線與迎角的作用。升力的產生從本質上來源于繞中弧線有環量，可以使用一個變強度的渦面來代替中弧線，并在物面上滿足邊界條件因為翼型的彎度一般很小，中弧線和弦線差別不大，因而在中弧線上布渦可近似用弦線上布渦來代替。第69頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.5.2迎角彎板問題（升力問題）在一級近似條件下求解迎角—彎度問題，或者說求薄翼型的升力和力矩問題，歸結為在滿足下列條件下求解沿弦線連續分布的渦強γ(s)（1）無窮遠處的邊界條件（2）物面邊界條件（3）庫塔—儒可夫斯基后緣條件因渦面在無窮遠處的擾動速度為零，所以無窮遠邊界條件自動滿足，求解時只需考慮物面邊界條件和后緣條件即可第70頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.5.2迎角彎板問題（升力問題）弦線上某點布置單位長度渦強為γ(ξ)的點渦，在dξ微段上的渦強為γ(ξ)dξ，即繞該微元段的環量為Γ＝γ(ξ)dξ該微元段的環量對弦線任一點x處產生的誘導速度為迎角—彎板的面渦模擬

第71頁,共100頁，2024年2月25日，星期天整個渦面在在弦線上誘導的y方向速度（即y方向的擾動速度）為

代入迎角—彎度問題的物面邊界條件得確定面渦強度γ(ξ)的積分方程

5.5.2迎角彎板問題（升力問題）（5-23）（5-24）這就是確定分布函數γ(ξ)的積分方程。式（5-24）稱為薄翼型理論的基本方程。確定γ(ξ)后，繞翼型總的環量為第72頁,共100頁，2024年2月25日，星期天為什么寫成這個樣子？點渦強度γ(ξ)的三角級數解變量變換：則積分方程（5-24）化為：

將點渦強度γ(θ)展成如傅立葉級數（易知該三角級數滿足后緣條件）(5-26)，5.5.3基本方程的求解其中，A0，A1，A2，……是待定系數，只要解出各系數，即找到了符合條件的渦強分布。(1)第一項是為了表達前緣處無限大的負壓（即無限大的流速）(2)在后緣處滿足庫塔條件第73頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.5.3基本方程的求解將上述級數代入積分方程，并利用三角函數半角公式與積化和差公式：積分方程化為第74頁,共100頁，2024年2月25日，星期天利用如下廣義積分公式（證明見附錄）：將積分方程各式積分出來得：為化簡上式，再利用三角函數積化和差公式：5.5.3基本方程的求解第75頁,共100頁，2024年2月25日，星期天先將上式兩邊乘dθ1并求θ1

從0～π的積分得：積分方程化為：由于上述第二項積分等于零，解得A0

等于：說明只要知道迎角和彎度分布即可求出渦強分布第一項系數A05.5.3基本方程的求解第76頁,共100頁，2024年2月25日，星期天再將(*)式兩邊分別乘cosnθ1

后，并求θ1

從0～π積分得:其中左邊第一項積分：5.5.3基本方程的求解第二項積分僅當求和符號中下標與外部標號一致時才存在：第77頁,共100頁，2024年2月25日，星期天回代可得：在給定了彎度函數yf(x)

和迎角α之后可將全部系數解出。有了渦強分布γ(θ)

就不難求得迎角-彎度問題的氣動特性。利用三角函數半角公式可將該積分求出：從而：5.5.3基本方程的求解第78頁,共100頁，2024年2月25日，星期天升力：5.5.4薄翼型的氣動特性環量：第79頁,共100頁，2024年2月25日，星期天升力系數：其中：可見升力和升力系數只取決于渦強分布級數的前兩項系數，代入系數A0

、A1的表達得：5.5.4薄翼型的氣動特性第80頁,共100頁，2024年2月25日，星期天升力線的斜率為上式說明，對于薄翼而言，升力線的斜率與翼型的形狀無關。其中，

0為翼型的零升力迎角，由翼型的中弧線形狀決定，對于對稱翼型

0=0，在正彎度時是僅取決于彎度函數的小負數.

5.5.4薄翼型的氣動特性第81頁,共100頁，2024年2月25日，星期天Ｃl～α是一條直線，其斜率為2π，截距為Ｃl0=-2πα0。當幾何迎角等于零升迎角時，翼型上有一條平行于來流v∞且通過后緣的直線，稱為零升力線。定義絕對迎角為v∞與零升力線間的夾角，用αa

表示,即：αa＝α-α0

,則5.5.4薄翼型的氣動特性第82頁,共100頁，2024年2月25日，星期天根據三角函數的積分性質，得俯仰力矩為俯仰力矩系數為力矩系數對前緣取矩(低頭為負)，得俯仰力矩為5.5.4薄翼型的氣動特性第83頁,共100頁，2024年2月25日，星期天將俯仰力矩系數作如下整理其中，Cm0為零升力矩系數，在正彎度時也是一個只取決于彎度函數的小負數：5.5.4薄翼型的氣動特性第84頁,共100頁，2024年2月25日，星期天Cm

～CL

也是一條直線，斜率－1/4，截距為Cm0。5.5.4薄翼型的氣動特性第85頁,共100頁，2024年2月25日，星期天翼型上空氣動力合力的作用點稱為壓力中心，通過該點的力矩為零，參見左圖。升力可以對翼型上任何點取矩（設抬頭為正），對前緣的取矩記為mz，對1/4弦點的取矩記為m1/4，則根據力矩的分解原理有壓力中心受力向前緣簡化向c/4處簡化對c/4取矩：對前緣取矩：5.5.4薄翼型的氣動特性第86頁,共100頁，2024年2月25日，星期天將級數解帶入上式，得到關于c/4點的力矩系數為5.5.4薄翼型的氣動特性第87頁,共100頁，2024年2月25日，星期天壓力中心受力向前緣簡化向b/4處簡化這個式子里沒有迎角，說明這個力矩是常數（不隨迎角變），即使升力為零仍有此力矩，可以稱為零升力矩或剩余力矩。只要對1/4弦點取矩，力矩都等于這個零升力矩。這說明1/4弦點就是薄翼型氣動中心的位置，是薄翼型升力增量的作用點。5.5.4薄翼型的氣動特性薄翼理論的優點是可用解析方法計算出翼型升力和力矩特性與迎角和中弧線彎度之間的關系，且與實驗比較吻合。但薄翼理論不能精確描述翼面速度和壓強分布。第88頁,共100頁，2024年2月25日，星期天壓力中心位置5.5.4薄翼型的氣動特性前緣力矩所以壓力中心位置可寫成第89頁,共100頁，2024年2月25日，星期天對于帶有彎度的大部分翼型，可以保證A1-A2>0因此，壓力中心一般在1/4弦長以后的地方。隨著攻角增大，壓力中心前移。5.5.4薄翼型的氣動特性第90頁,共100頁，2024年2月25日，星期天例

求有迎角平板翼型的氣動特性。解：對平板5.5.4薄翼型的氣動特性翼型產生的升力為故有升力系數為第91頁,共100頁，2024年2月25日，星期天5.5.4薄翼型的氣動特性前緣力矩系數對焦點的力矩系數壓力中心的位置第92頁,共100頁，2024年2月25日，星期天FLtV∞直勻氣流以小迎角α流過平板翼型的流線譜和渦強γ(x)分布如圖。平板翼型上的壓強總是垂直于板面，壓強合力Lt必定也垂直板面的，它在來流方向有一個分力Ltsinα，似應有阻力存在，但根據理想流理論，翼型阻力應為零。問題在于上面分析沒有考慮前緣的繞流效應，或者說漏算了一個名為前緣吸力的力。5.5.4薄翼型的氣動特性第93頁,共100頁，2024年2月25日，星期天迎角α＞０時前駐點在下