班級姓名學號班級姓名學號PAGE72PAGE1高等數學（少學時）習題解答第一章函數與極限習題1-11.求下列函數的定義域:(1);解：；(2)解：；(3);解：由，得；(4).解：由.2.設的定義域為，求的定義域.解：3.設,求.解：；；4.判斷下列函數的奇偶性:(1);解：；非奇非偶；(2);解：；偶函數；(3);解：；奇函數；(4).解：；偶函數.5.求的反函數.解：；反函數為：6.對于下列每組函數寫出的表達式:(1);解：；(2),.解：7.火車站收取行李費的規定如下：當行李不超過50kg時，按基本運費計算，如從上海到某地以0.15元/kg計算基本運費,當超過50kg時，超重部分按0.25元/kg收費.試求上海到該地的行李費y（元）與重量x(kg)之間的函數關系.解：8.某產品共有1500噸，每噸定價150元，一次銷售不超過100噸時，按原價出售，若一次銷售量超過100噸，但不超過500噸時，超出部分按9折出售；如果一次銷售量超過500噸，超過500噸的部分按8折出售，試將該產品一次出售的收入y表示成一次銷量的函數.解：設一次銷售量為x噸，習題1-21.觀察下列數列的變化趨勢,判斷它們是否有極限,若有極限寫出它們的極限:(1);解：極限是1；(2);解：極限不存在；(3);解：極限是；(4).解：極限不存在；2．判斷下列各題是否正確，并說明原因.(1)如果數列發散，則必是無界數列.解：錯，反例：(2)數列有界是數列收斂的充分必要條件.解：錯，必要但不充分條件（3）且當時有則解：對，夾逼定理（4）.解：錯，極限是0（5）.解：錯，極限是e3*.用數列極限的定義證明.證明：，存在既.習題1-31.判斷下列各題是否正確,并說明原因.(1）如果=5，但，則不存在.解：錯，=4（2）存在的充分必要條件是和都存在.解：正確(3)如果在的某一去心鄰域內,且則解：正確2.設求;是否存在,為什么?解：，，，不存在.3.設,求.解：；.左右極限不相等，極限不存在.4*.根據函數的定義證明:(1),解：(2).解：5*.根據函數極限的定義證明:的充要條件是.證明：必要性：有。特別的，當有成立，又有，所以。充分性：，則當有成立，又有成立，則取顯然有成立。所以習題1-41．判斷下列各題是否正確,并說明原因.（1）零是無窮小.解：對，（2）兩個無窮小之和仍是無窮小.解：對.（3）兩個無窮大之和仍是無窮大.解：錯，，，（4）無界變量必是無窮大量.解：錯（5）無窮大量必是無界變量.解：對2.當時,指出下列函數哪些是無窮小?哪些是無窮大?(1);解：既不是無窮大也不是無窮小(2);解：,無窮小(3);解：,無窮大(4);解：=1，既不是無窮大也不是無窮小(5);解：,無窮小(6).解：,無窮大.3.求下列極限:(1);解：=(2).解：,4.函數在內是否有界?這個函數是否為時的無窮大?為什么?解：在內無界，在內總可以找到,使得，.它不是時的無窮大，取，，但此時5.求函數的圖形的漸近線.解：.習題1-51.求下列極限:(1);解：(2);解：(3);解：(4);解：(5);解：(6);解：=(7);解：==(8)解：=(9);解：=(10).解：=2.求下列極限:(1);解：=(2);解：=(3);解：=(4);解：(5);解：=(6).解：=習題1-6當時,與相比,哪一個是較高階的無窮小?解：當時,無窮小和是否是同階無窮小?是否是等價無窮小?解：，所以.證明:當時,有.證明：。所以當時，4.利用等價無窮小的性質求下列極限:(1);解：(2).解：習題1-71．判斷下列各題是否正確，并說明原因.（1）在其定義域內一點處連續的充分必要條件是在既左連續又右連續.解：正確，連續定義。（2）在連續，在不連續，則在一定不連續.解：正確。（3）在處連續，在處不連續，則在一定不連續.解：錯誤，不一定。2.討論的連續性,并畫出其圖形.解：又3.指出下列函數的間斷點屬于哪一類.若是可去間斷點,則補充或改變函數的定義使其連續.⑴;解：(2).解：為其跳躍間斷點。4.求函數的連續區間,并求.解：5.求下列極限：⑴;解：⑵;解：=1⑶.解：=6.，7.證明方程在1與2之間至少有一個根.證明：設，則顯然，，由零點定理可以得到，在1與2之間至少有一個根。8.證明:若使.習題1-81．熟悉MATLAB的窗口操作：利用“demo”命令演示MATLAB的使用方法．2．通過上機練習，熟悉數組的各種輸入方式，了解各種數組運算符的含義．3．某零售店9種商品的進價（元）、售價（元）及一周的銷售量如表1-6所示，問哪種商品的利潤最大，哪種商品的利潤最小；求這一周該9種商品的總收入和總利潤．表1-6貨號12345單件進價7.158.253.2010.306.68單件售價11.1015.006.0016.259.90銷量5681205753580395貨號6789單件進價12.0316.8517.519.30單件售價18.2520.8024.1515.50銷量210415388106944．畫出的圖形，由此總結冪函數的性質．5．在極坐標系中畫出心形線，阿基米德螺線，對數螺線，三葉玫瑰線的圖形．6．利用MATLAB求下列極限：（1）；（2）；（3）．7．利用求極限命令說明時，與是等價無窮小，并畫圖比較它們收斂到0的速度．8．某顧客向銀行存入本金元，年后他在銀行的存款額是本金及利息之和．設銀行規定年復利率為，試計算連續復利情況下顧客的最終存款額（連續復利即銀行連續不斷地向顧客付利息）．解：設，則第二章導數與微分習題2-11.設質點作變速直線運動，在時刻的位置為，求下列各值：（1）質點從1秒到秒這段時間內的平均速度；解：（2）質點從秒到秒這段時間內的平均速度；解：（3）質點在1秒時的瞬時速度；解：當=0時，（4）質點在秒時的瞬時速度.解：2.下列各題中均假定存在，按導數定義觀察下列極限，指出這些極限表示什么,并將答案填在括號內.⑴（）；⑵（），其中,且存在.⑶（）.3.求下列函數的導數：⑴;解：⑵;解：⑶;解：⑷.解：4.求曲線上點處的切線方程和法線方程.解：，所以切線方程為化簡得，法線方程為化簡得5.曲線上哪一點處的切線與直線平行,求過這一點的切線方程.解：，當時，，所以過點（2，4）的切線方程與直線平行，切線方程是：，。6.討論函數在點處的連續性與可導性.解：因為（有界量乘以無窮小）所以函數在處連續因為所以函數在處可導.7.設討論取何值時,在點處可導.解：要使得在點處可導，則必有，而；所以，又因為在點連續，既左連續又右連續，所以8.設表示重1單位的金屬從加熱到時所吸收的熱量，當金屬從升溫到時，所需熱量為，與之比稱為到的平均比熱，試解答下列問題：（1）如何定義在時金屬的比熱；解：時金屬的比熱既時的平均比熱，（2）當（其中均為常數）時，求比熱.解：習題2-21.求下列函數的導數：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）;解：（7）解：（8）;解：（9)；解：（10）.解：2.已知,求.解：因為所以3.求下列函數的導數：（1）;解：（2）;解：（3）;解：（4）;解：（5）;解：（6）;解：（7）;解：（8）;解：（9）;解：（10）.解：4.求下列函數的導數：（1）解：（2）解：（3）解：（4）;解：（5）；解：（6）;解：(7)；解：（8）；解：（9）；解：（10）解：5.設可導，求下列函數的導數：（1）解：（2）解：6.求下列方程所確定的隱函數的導數:（1）;解：方程兩邊關于求導得：所以(2);解：方程兩邊關于求導得：所以（3）；解：方程兩邊關于求導得：（4）.解：方程兩邊關于求導得：7.求曲線在點處的切線方程和法線方程.解：方程兩邊關于求導得：所以，從而：切線斜率，法線斜率，所以切線方程為，即；法線方程為，即。8.用對數求導法求下列函數的導數:（1）;解：方程兩邊同時求導得：（2）.解：所以9.求由參數方程所確定的曲線在處的切線方程和法線方程.解：當時，法線方程是：10*.注水入深，上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為.當水深為時,其表面上升的速率為多少？解：設水面高度為h米，水面圓半徑是r米，上頂半徑，、由相似三角形得，所以，，所以11*.一人以的速度通過一座高為的橋,在此人的正下方有一小船以的速度與橋垂直方向前進，求末人與小船的分離速度.解：設時間為t秒，則在t秒內船走過路程,人走過路程是，又因為是空間的，所以人船相距，所以，分離速度，代入t=5得到。習題2-31.求下列函數的二階導數：（1）；解：，（2）；解：（3）；解：（4）.解：2.設求解：逐項求導得：3.求下列函數的階導數的一般表達式：（1）；解：（2）.解：（3）；解：（4）.解：4.求由方程所確定的隱函數的二階導數.解：兩邊同時關于x的導數，得到，。5.求下列參數方程所確定的函數的二階導數:（1）解：，(2)解：，習題2-41.已知，求當分別為1，0.1，0.01時的.解：，所以當=1時，當=0.1時，當=0.01時，2.求下列函數的微分:（1）；解：（2）；解：（3）；解：（4）.解：3.求由下列方程所確定的隱函數的微分：（1）；解：兩邊同時求導：則，（2）.解：兩邊同時求導：，所以4.將適當的函數填入下列括號內，使等式成立：（1）（2）（3）（4）（5）;（6）;（7）;（8）.5.計算三角函數值的近似值.解：因為所以6.計算根式的近似值.解：因為所以7.當較小時，證明下列近似公式：（1）;解：，，所以（2）.解：，，所以。習題２-51．用“diff”命令求下列導數：（1），求；（2），求；（3）．2．求高階導數：（1），求；（2）的50階導數．3．某人高1.8米，他在水平路面上以每秒1.6米的速度走向一街燈，若此街燈在路面上方5米，當此人與燈的水平距離為4米時，人影端點移動的速率為多少？解，如圖：以DE，BC分別表示人高和燈高，設DE=x，AB=y表示人和人影端點到燈的水平距離，則,，于是，所以4．已知，完成以下任務：（1）直接求，畫出圖形，并求出的值；（2）用一次多項式擬合，并求出的值；（3）用多項式求導法求（分別取），并在同一坐標系中畫出各圖形；（4）對照（1）和（3）的圖形，能得出什么結論？第三章中值定理與導數的應用習題３-１1.驗證羅爾定理對函數在區間上的正確性.解：在區間上滿足羅爾定理的條件.2.驗證拉格朗日中值定理對函數在區間上的正確性.解：函數在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，則，又因為，所以且有3.對函數及在區間上驗證柯西中值定理的正確性.解：及在區間上連續，在內可導，在內有：，所以及滿足柯西定理的全部條件，有4.證明恒等式：.解：取函數，則.則取，所以同理，所以5.若方程有一個正根，證明方程必有一個小于的正根.證明：取函數。上連續，在內可導，且由羅爾定理知至少存在一點使即方程必有一個小于的正根。6.證明方程只有一個正根.證明：設在[0,1]上連續，且，由零點定理，在（0,1）至少存在一個正根。假設存在兩個正根，有，顯然在上連續可導，則由羅爾定理得到：存在，使得，這是矛盾的。所以方程只有一個正根。7.證明：若函數在內滿足關系式，且，則.證明：則，又習題3－21.用洛必達法則求下列極限：(1)；解：=(2)；解：=(3)；解：=(4)；解：(5)解：(6)；解：=(7)；解：(8)；解：=(9)；解：=(10).解：設，則，所以=2.驗證極限存在，但不能用洛必達法則得出.解：由于不存在，故不能使用洛必達法則來求此極限，但不表示此極限不存在，此極限可如下求得：3.討論函數在點處的連續性.解：，習題3－31.判定函數的單調性.解：，等號當且僅當在時成立，所以在上單調遞減。2.確定下列函數的單調區間：(1)；解：令，所以在在；在在。(2)解：，令，所以在；在。(3)；解：，所以在上單調遞增。(4).解：，，3.證明下列不等式：(1)當時，；證明：設，因為所以在上單調遞增，又因為，所以，既。(2)當時，；證明：設，則，，當時，，同(1)題可證，所以，在上單調遞增，既。(3)當時，.證明：兩邊取對數，等價得到；設，同上可證在上單調遞增，既。4.試證方程只有一個實根.證明：顯然有實根，就是方程的根。下證實根具有唯一性。，使得，這是些孤立奇點，不夠成區間，所以單調遞減，從而零點唯一。5.判定下列曲線的凹凸性：(1)；解：，所以函數在正半軸上是凹的。(2).解：所以在定義域R上都是凹的。6.求下列曲線的拐點及凹或凸的區間：(1)；解：，解得，又因為上是凸區間，上是凹區間，所以是函數的拐點。(2)；解：， ，所以凸區間是，凹區間是，拐點是（2，）。 7.問、為何值時，點為曲線的拐點？解：，因為是拐點，所以，又因為點在曲線上，所以，解得。8.求出曲線的各種漸近線.解：水平漸近線；垂直漸近線。9.描繪函數的圖形.解：函數定義域為無奇偶性。，，分段討論函數性質，畫圖略。習題3－41.求下列函數的極值：(1)；解：，此函數沒有不可導點，極小值是，極大值是。(2)；解：得，所以存在極小值(3)；解：，，，； (4)；解：，所以極大值是，極小值是。(5)；解：，， ， (6).解：，所以函數沒有極值。2.試問為何值時，函數在處取得極值？它是極大值還是極小值？解：當時，，根據的正負性可得。3.求下列函數的最大值、最小值：(1)，；解： (2)，.解：。4.？解：。5.某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋,現有存磚只夠砌20米長的墻壁,問圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？解：設垂直于墻壁的巨型長為x，則另一邊長為20-2x，小屋面積是：，，從而，這時面積平方米。6.某公司每件產品的價格是1500元，一年生產件產品的總成本是假設產品當年都能售出，求此公司的最大年利潤.解：設生產x件產品的利潤是S,則，，所以最大年利潤是7.一銀行的統計資料表明,存放在銀行中的總存款量正比于銀行付給存戶利率的平方.現在假設銀行可以用的利率再投資這筆錢.試問為得到最大利潤,銀行所支付給存戶的利率應定為多少?解：假設銀行支付給存戶的年利率是r(0<r≤1),這樣銀行的總存款量為(為比例系數)把這筆錢以的年利率貸出一年后可得款額為,而銀行支付給存戶的款額為,銀行獲利為-，又因為是(0,1)中唯一的極值點，故取8%的年利率付給存戶銀行可獲得最大利潤。習題3－51.試證明方程在區間內有唯一的實根，并用二分法求這個根的近似值，使誤差不超過.解：2.試證明方程在區間內有唯一的實根，并用切線法求這個根的近似值，使誤差不超過.解：3.求方程的近似根，使誤差不超過.解：習題3—61．解方程組2．某地區現有人口200萬，10年前為100萬，又知平均每年凈遷入人口8萬，問10年來人口的平均增長率是多少?解：3．分別用二分法和牛頓迭代法求方程在的實根，要求誤差不超過，并比較兩種方法哪一種速度更快？4．分別求出在點和點的7階泰勒展開式．5．求的極值．6．一房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少元時可獲得最大收入？解：設租金為x元/月，則總所入，，從而是最大值點。此時習題4－1求下列不定積分：⑴；解：=⑵；解：=⑶；解：=-⑷；解：=⑸；解：=⑹；解：⑺；解：⑻；解：=⑼；解：=3⑽；解：⑾；解：=⑿；解：⒀；解：⒁；解：⒂；解：⒃.解：=一曲線通過點，且在任一點處的切線的斜率等于該點橫坐標的倒數，求該曲線方程．解：設該曲線的方程為,則由題意得,所以.又因為曲線通過點(e2,3),所以有3f(e2)lne2C2C321.于是所求曲線的方程為習題4－2在下列各式等號右端的空白處填入適當系數，使等式成立。⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻(9)⑽⑾⑿.求下列不定積分：（其中均為常數）⑴；解：=⑵；解：⑶；解：⑷；解：⑸；解：=⑹；解：⑺；解：=⑻；解：⑼；解：=⑽；解：=⑾；解：⑿；解：=⒀；解：=⒁；解：=⒂；解：⒃；解：⒄；解：⒅；解：=⒆；解：令，=⒇．解：x>3時，x<-3時，令x=-u，==習題4－3求下列不定積分：⑴；解：=⑵；解：=⑶；解：⑷；解：=⑸；解：⑹；解：因為,所以⑺；解：=⑻；解：=⑼；解：==⑽；解：==⑾；解：令，==⑿；解：=所以=⒀；解：=⒁.解：=所以=習題4-4一、求下列不定積分:⑴；解：=⑵；解：⑶；解：==⑷；解：==⑸；解：⑹；解：=⑺；解：=⑻.解：令，則,,代入得=⑼；解：=⑽；解：令，==⑾；解：⑿；解：習題4-51、利用積分表求下列不定積分：(1)解：=(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)解：(8)解：習題5-1按定積分定義證明：．證明：利用定積分的幾何意義，說明下列等式：（1）；解：所圍成的四分之一圓的面積，既圓（2）．解：的代數和為零，既：3．設及在上連續，證明：（1）若在上，，且，則在上；證明：假如不成立，則必有,根據在上的連續性，在上存在一點，再由連續性，存在這與條件矛盾，所以在上.（2）若在上，，且，則．證明：因為則只有，根據結論（1），.矛盾，因此4．不求出定積分的值，比較下列各對定積分的大小：（1）與 ； 解：當時，有，且不恒等于，，即。（2）與．解：當時，有，且不恒等于，，即。5．估計下列積分的值。（1）；解：因為當既（2）．解：令，，所以在上單調增加，，，即6．證明不等式：．證明：因為當既習題5-21．計算下列各導數：（1）；解：=（2）；解：=（3）．解：=2．設函數由方程所確定，求．解：方程兩邊對求導，得：，所以.3．求下列極限：（1）；解：=（2）．解：=4．計算下列定積分：（1）；解：=（2）；解：=（3）；解：（4）．解：5．設求和．解：==6．設求在內的表達式．解：當時，當時，當時，7．．解：是偶函數，8．設上連續且，，證明：（1）；（2）方程在內有且僅有一個根．證明：(1)(2)，則根據零點定理，在內有根。又因為，所以上單調遞增，顯然只有一個根。習題5-３1．用換元積分法和分部積分法計算下列定積分： （1）；解：=（2）；解：=（3）；解：=（4）；解：=（5）；解：=（6）；解：令=（7）；解：（8）．解：（9）；解：==（10）.解：2．利用函數的奇偶性計算下列定積分：（1）；解：被積函數是奇函數，積分區間關于原點對稱，所以=0（2）；解：被積函數是奇函數，積分區間關于原點對稱，所以=0（3）．解：被積函數是偶函數，所以=3．設求．解：令，==4．設函數在上連續，試證明：．證明：令，則左邊右邊5．設為上以為周期的連續函數，證明對任何實數，恒有證明：令，則，所以是與無關的常數。6．已知，求．證明：==47．用三種定積分近似計算的方法計算的近似值(將積分區間十等分)．解：矩形法：ln2=0.6688；梯形法：ln2=0.6938；拋物線法：ln2=0.6931習題5-４1．判別下列廣義積分的收斂性，若收斂，算出它的值：（1）；解：發散（2）；解：即廣義積分收斂于.（3）；解：=所以廣義積分發散。（4）；解：=（5）；解：而所以（6）；解：所以廣義積分發散.（7），其中解：2．討論的斂散性。解：因為的無窮間斷點，所以，又因為，所以發散，從而發散。3．當為何值時，廣義積分收斂？當為何值時，該廣義積分發散？解：，，所以=，（1），。（2），。（3），廣義積分收斂。習題5-５1．求正弦曲線和直線及x軸所圍成的平面圖形的面積．解：S=32．設曲線，（1）求過曲線上點（2，2）處的切線方程；解：代入（2，2），得（2）求由曲線、切線、軸所圍成的平面圖形的面積．解：3．求對數螺線（）及射線所圍成的圖形的面積．解：4．求位于曲線下方，該曲線過原點的切線的左方以及軸上方之間的圖形的面積．解：5．設有一截錐體，其高為，上、下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為、和、，求這截錐體的體積．解：由△∽△得，所以，同理.故截面橢圓的面積為：所求截錐體體積為：6．求由拋物線，與直線所圍成的圖形繞軸旋轉而成的旋轉體的體積．解：，由得，由得，則7．求曲線上相應于的一段弧的長度．解：8．計算拋物線從頂點到這曲線上的一點的弧長．解：9．計算星形線，的全長．解：利用對稱性，只計算第一象限的部分，然后乘以四倍即可：對應，對應，習題5-６1．由物理知識知道，彈簧在拉伸過程中，所需的力（單位：N）與伸長量（單位：cm）成正比，即（是比例常數），如果把彈簧由原長拉伸8cm，計算所作的功．解：功2．半徑為米的半球形水池充滿了水，要把池內的水完全吸盡，需作多少功？解：將位于處、厚度為的薄層水抽出來，其質量3．一塊矩形木板長10米，寬5米．木板垂直于水平面，沉沒于水中，其一寬與水面一樣高，求木板一側受到的壓力．（水的密度）解：木板在處所受的壓強為。位于處、長為5米、寬為米的小矩形受到的壓力元素（噸）。整塊木板一側受到的壓力（噸）。4．等腰三角形薄板，鉛直沉入水中，其底與水面相齊，薄板的高為，底為．（1）計算薄板一側所受壓力；（2）若倒轉薄板，使頂點與水面相齊，而底平行于水面，則水對薄板一側的壓力增加了多少？解：（1）木板在處所受的壓強為。位于處、寬為的小矩形長是受到的壓力元素整塊木板一側受到的壓力。(2)木板在處所受的壓強為。位于處、寬為的小矩形長是受到的壓力元素,整塊木板一側受到的壓力：，所以壓力增大一倍。5．有一根長為的細棒，其上任一點處（棒的一端與原點重合）的密度為，求棒的平均密度．解：6．一質量為的質點位于原點，一根密度為、長為的均勻細棒區間在x軸上，求細棒對質點的引力解：位于處、長為的小段，其質量為，對質點的引力元素。細棒對質點的引力習題5-71．利用MATLAB求下列積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．2．某制造公司在生產了一批超音速運輸機之后停產了．但該公司承諾將為客戶終身供應一種適于該機型的特殊潤滑油．一年后該批飛機的用油率（單位：升／年）由下式給出：，其中表示飛機服役的年數（），該公司要一次性生產該批飛機一年以后所需的所有潤滑油并在需要時分發出去，請問需要生產此潤滑油多少升？解：（升）3．半徑為的球沉入水中，其最高點與水面相接，球的密度為１，現將球從水中取出，問要做多少功？解：4．用不同的命令分別計算，并比較所得結果，說明哪一種近似計算方法所得結果更接近于實際值．習題6-11．求下列微分方程的階數.（1）；解：二階（2）；解：二階（3）；解：一階（4）；解：一階（5）.解：一階2.指出下列題目中的函數是否是所給微分方程的解.（1）；解：是（2）；解：是（3）；解：是（4）；解：是3.驗證（其中C是任意常數）是微分方程的通解，并求出滿足初始條件的特解.解：，4.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程.（1）曲線在點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方；解：（2）曲線上點處的法線與x軸的交點為Q，且線段PQ被y軸平分.解：5.一質點由原點開始（t=0）沿直線運動，已知時刻t的加速度為，t=1時的加速度為，求位移x與時間t之間的關系.解：，且t=1時的加速度為，所以,又因為t=0時，，所以所以習題6-21.求下列微分方程的通解.（1）；解：兩端積分得得（2）；解：得（3）；解：（4）；解：分離變量得，兩端積分得，整理得，，即（5）；解：得：（6）。解：得2.求下列微分方程滿足所給初值問題的特解.（1）；解：因為所以（2）；解：得cosy=Ccosx又因為，所以C=（3）；解：（4）;解：所以3.求下列齊次方程的解.（1）解：原方程可表示成,這是齊次方程.令,則,.原方程可轉化為,兩邊積分得,進而得,或（2）；解：原方程可表示成,這是齊次方程.令,則,.原方程可轉化為，兩邊積分解得：（3）解：方程可變形為，令，則代入方程得，分離變量得，兩端積分化簡得，將代入得通解為即（或）（4）；解：令，則，代入方程得分離變量得，兩端積分整理得，即，將代入得，故所求特解為4.求下列一階線性微分方程的解.（1）；解：，設是原方程的解，代入原方程得：所以原方程的解為：（2）；解：方程變形為，，故方程的通解為（3）；解：5.求一曲線的方程，這曲線通過原點，并且它在點處的切線斜率等于解：解：由題意得微分方程,,,故通解為，把代入得，所以曲線方程為6.一曲線通過點（2，3），它在兩坐標軸之間的任意一切線段均被切點平分，求這曲線的方程.解：由已知的微分方程為，方程的通解為，將帶入通解得,故所求曲線方程為。7.小船從河邊點O出發駛向對岸（兩岸為平行直線），設船速為a，船行方向始終與河岸垂直，又設河寬為h，河中任意一點處的水流速度與該店到兩岸距離的乘積成正比（比例系數為k），求小船的行船路線.解：設動點為船的位置，則因為，所以：習題6-31.求下列微分方程的通解.（1）；解：，（2）；解：（3）；解：令，原方程化為，分離變量得，故，即，亦即，所以原方程的通解為.（4）；解：令，原方程化為，即，分離變量得，故，即，亦即，分離變量得，所以，即原方