八年級數學上分層優化堂堂清一十三章軸對稱13.4課題學習最短路徑問題（解析版）學習目標：1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題。體會圖形的變化在解訣最值問題中的作用。2.感悟轉化思想。重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。難點：路徑最短的證明。老師對你說：老師對你說：垂直線段最短問題動點所在的直線已知型方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。將軍飲馬問題方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．①兩定一動②一定兩動③兩定兩動造橋選址問題A方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值．AMMNNBB基礎提升教材核心知識點精練知識點1垂直線段最短問題【例11】如圖，在銳角三角形中，，，的平分線交于點D，點M、N分別是和上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】D【分析】如下圖，先根據三角形全等的判定定理與性質可得，再根據兩點之間線段最短可得的最小值為，然后根據垂線段最短可得當時，取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得．解：如圖，在上取一點E，使，連接，是的平分線，，在和中，，，，，由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，又由垂線段最短得：當時，取得最小值，，，解得，即的最小值為5，故選D．【點撥】本題考查了角平分線的定義、三角形全等的判定定理與性質、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識點，正確找出取得最小值時的位置是解題關鍵．【例12】如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是（）A． B． C． D．【答案】．B【詳解】試題分析：在中，，AD是的中線，可得點B和點D關于直線AD對稱，連結CE，交AD于點P，此時最小，為EC的長，故選B.【例13】如圖，，是角平分線上一點，，垂足為，點是的中點，且，如果點是射線上一個動點，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．2C【分析】根據角平分線的定義可得∠AOP=∠AOB=30°，再根據直角三角形的性質求得PD=OP=4，然后根據角平分線的性質和垂線段最短得到結果．【詳解】解：∵P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中點，DM=2，∴OP=2DM=8，∴PD=OP=4，∵點C是OB上一個動點，∴PC的最小值為P到OB距離，∴PC的最小值=PD=4．故選：C．【點撥】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，直角三角形的性質，熟記性質并作出輔助線構造成直角三角形是解題的關鍵．知識點2將軍飲馬問題【例21】如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（

）A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】連接，根據線段垂直平分線性質得，周長，再根據等腰三角形的性質和三角形的面積求出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示．連接，∵是的垂直平分線，∴，∴周長．連接，∵，點F是的中點，∴，∴．∵，∴，，∴周長的最小值是．故選：A．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，根據軸對稱求線段和最小值等，判斷周長的最小值是解題的關鍵．【例22】如圖，是內一定點，點，分別在邊，上運動，若，，則的周長的最小值為.【答案】3【分析】如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據對稱的性質可以證得：△COD是等邊三角形，據此即可求解．解：如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵點P關于OA的對稱點為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【點撥】此題主要考查軸對稱最短路線問題，綜合運用了等邊三角形的知識．正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．【例23】如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是．【答案】【分析】分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接，當點M、N在上時，的周長最?。猓悍謩e作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．∵點P關于的對稱點為C，關于的對稱點為D，∴；∵點P關于的對稱點為D，∴，∴，，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值．故答案為：．【點撥】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定．作點P關于OA、OB的對稱點C、D是解題的關鍵所在．知識點3造橋選址問題【例31】如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．【答案】C【分析】根據兩點間直線距離最短，使EFP'P為平行四邊形即可，即P【詳解】解：作PP'垂直于河岸l2連接QP'，與另一條河岸相交于F，作FE⊥l則EF∥PP'且∴四邊形EFP∴P'根據“兩點之間線段最短”，QP'最短，即∴C選項符合題意，故選：C．【點睛】此題考查了軸對稱最短路徑問題，解題的關鍵是利用“兩點之間線段最短”．【例32】如圖，平行河岸兩側各有一城鎮P，Q，根據發展規劃，要修建一條橋梁連接P，Q兩鎮，已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應該選擇方案（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，根據平行線的判定與性質，易證得此時PM+NQ最短.【詳解】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項，選項C符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查最短路徑問題，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.【例33】在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．【答案】(1）見解析；(2)4；(3)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點P關于AD的對稱點F，作點Q關于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關系可求解．（1）解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；（2）如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設BP=x，則CQ=BCBPPQ=8x2=6x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6x=2，解得x=4，∴BP=4；（3）如圖③，作點P關于AD的對稱點F，作點Q關于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BCBPPQ=832=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH×PF×TM×QH×CN=×8×8×8×4×6×3=7．【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱求最短距離，直角三角形的性質；通過構造平行四邊形和軸對稱找到點P和點Q位置是解題的關鍵。能力強化提升訓練1.如圖，在五邊形中，，，，，在、上分別找到一點M、N，使得的周長最小，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據要使的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，A關于和的對稱點，，即可得出，進而得出即可得出答案．【詳解】解：作A關于和的對稱點，，連接，，交于M，交于N，則，即為的周長最小值．作延長線，∵，∴，∴，∵，，且，，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查了平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識，根據已知得出M，N的位置是解題關鍵．2.如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則α與β的數量關系為．【答案】【分析】作M關于的對稱點，N關于的對稱點，連接交于P，交于Q，則最小，易知，，根據三角形的外角的性質和平角的定義即可得到結論．【詳解】解：如圖，作M關于的對稱點，N關于的對稱點，連接交于P，交于Q，則最小，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱—最短問題、三角形的內角和定理．三角形的外角的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．3.如圖，在等腰中，，，作于點D，，點E為邊上的中點，點P為上一動點，則的最小值為．【答案】【分析】作點關于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，證明即可．【詳解】解：作點關于的對稱點，延長至，使，連接，交于，此時的值最小，就是的長，，，，，，，，，是等邊三角形，點E為邊上的中點，，，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱，最短路徑問題和直角三角形的性質，解題的關鍵是根據軸對稱的性質作出對稱點，掌握線段垂直平分線的性質和等邊三角形的性質與判定的靈活運用．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1．如圖，在中，是的垂直平分線，P是直線上的任意一點，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據線段的垂直平分線的性質可得，根據兩點之間線段最短即可求解．【詳解】解：設與于點,連接，如圖，∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，根據兩點之間線段最短，，最小，此時點P與點M重合．所以的最小值即為的長，為6．所以的最小值為6．故選：D．【點撥】本題考查了軸對稱最短路線問題，解決本題的關鍵是利用線段的垂直平分線的性質．2.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P為AC邊上的動點，過點P作PD⊥AB于點D，則A．154 B．245 C．5 【答案】B【分析】作點B關于AC的對稱點B'，過點B'作B'D⊥AB于點D，交AC于點P，點P即為所求作的點，此時PB+PD有最小值，連接AB'，根據對稱性的性質，可知：BP=B【詳解】解：如下圖，作點B關于AC的對稱點B'，過點B'作B'D⊥AB于點D，交AC于點P，連接AB根據對稱性的性質，可知：BP=B在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3，∴AB=A根據對稱性的性質，可知：△ABC?△AB∴S即12∴5B∴B故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，解題的關鍵是掌握軸對稱的性質3.如圖，直線a是一條輸氣管道，M，N是管道同側的兩個村莊，現計劃在直線a上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應天然氣．在下面四種方案中，鋪設管道最短的是（

）B．C．D．【答案】C【分析】利用對稱的性質，通過等線段代換，將所求路線長轉化為兩定點之間的距離．【詳解】解：作點M關于直線a的對稱點M'，連接M'N交直線a根據兩點之間，線段最短，可知選項C修建的管道，則所需管道最短．故選：C．【點睛】本題考查了最短路徑的數學問題．這類問題的解答依據是“兩點之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．4.如圖，OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線，MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm，一只小螞蟻從點M出發爬到OA邊上任意一點E，再爬到OB邊上任意一點FA．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【答案】B【分析】由題意可知CD與OA的交點為E，與OB的交點為F，根據垂直平分線的性質計算即可；【詳解】由題意可知CD與OA的交點為E，與OB的交點為F．∵OA,OB分別是線段MC,MD的垂直平分線，∴ME=CE,MF=DF，∴小螞蟻爬行的最短路徑為ME+EF+FM=CE+EF+FD=CD=10cm【點睛】本題主要考查了最短路線問題和垂直平分線的性質，準確計算是解題的關鍵．5.如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點G是BC邊的中點，E、F分別是AD和CD邊上的點，則四邊形BEFG周長的最小值為______．【答案】24【分析】作點G關于CD的對稱點G'，作點B關于AD的對稱點B'，連接B'G'、B'E、FG'，根據對稱的性質可得BE=B'E，FG=FG'，再由【詳解】解：如圖，作點G關于CD的對稱點G'，作點B關于AD的對稱點B'，連接B'G'∵BE=B'E∴BE+EF+FG+BG=B∵B'E+EF+F∴當B'E+EF+FG'=∵BG=CG=CG'=∴BB'=AB+A∴B'∴BG+B∴四邊形BEFG的周長的最小值為24，故答案為：24．【點睛】本題考查了正方形的性質、軸對稱的性質、勾股定理，三角形的三邊關系，熟練掌握軸對稱的性質，構造三角形是解題的關鍵．6.如圖，直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2．現要在這條河上建一座橋（橋與河的兩岸相互垂直），使得從村莊A． B．C． D．【答案】C【分析】根據兩點間直線距離最短，使EFP'P為平行四邊形即可，即P【詳解】解：作PP'垂直于河岸l2連接QP'，與另一條河岸相交于F，作FE⊥l則EF∥PP'且∴四邊形EFP∴P'根據“兩點之間線段最短”，QP'最短，即∴C選項符合題意，故選：C．【點睛】此題考查了軸對稱最短路徑問題，解題的關鍵是利用“兩點之間線段最短”．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于點E，F，若D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，若三角形CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（

）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，可得AD⊥BC，再根據EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，再根據三角形的面積公式即可得出結論．【詳解】解：如圖：連接AD，交EF于點M，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，CD=1∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，AM=CM，∴此時△CDM∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13?CD=13?3=10，∴S故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，等腰三角形的性質，三角形的面積，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．如圖，河道l的同側有M、N兩地，現要鋪設一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．它是相對于這點與直線上其他各點的連線而言．【詳解】解：依據垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節省材料的是：故選：D．【點睛】本題主要考查了垂線段最短的運用，實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個中去選擇．填空題（每小題4分，共20分）9.如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動點，則的最小值是．【答案】【分析】根據題意畫出符合題意的圖形，作N關于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據垂線段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.解：作N關于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上）∵平分，△ABC是銳角三角形∴R必在AC上∵N關于AD的對稱點是R∴MN=MR∴BM+MN=BM+MR∴BM+MN=BR≥BE（垂線段最短）∵，∴=18∴BE=cm即BM+MN的最小值是cm.【點撥】本題考查了軸對稱——最短路徑問題.解答此類問題時要從已知條件結合圖形認真思考，通過角平分線性質，垂線段最短，確定線段和的最小值.10.小華的作業中有一道題：“如圖，AC，BD在AB的同側，，，，點E為AB的中點．若，求CD的最大值．”哥哥看見了，提示他將和分別沿CE、DE翻折得到和，連接．最后小華求解正確，得到CD的最大值是．【答案】7【分析】根據對稱的性質得到，結合點E是AB中點，可證明是等邊三角形，從而有，即可求出CD的最大值．解：∵，點E為AB的中點，∴，∵，∴，∵將和分別沿CE、DE翻折得到和，∴，，，，，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵∴當點C，點，點，點D四點共線時，CD有最大值，即，【點撥】本題考查了翻折的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質．11.如圖，在中，，，點在直線上，，點為上一動點，連接，．當的值最小時，的度數為度．【答案】【分析】如圖，作B關于的對稱點D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱易證，結合證得是等邊三角形，可得，結合已知根據等腰三角形性質可求出，即可解決問題．【詳解】如圖，作B關于的對稱點D，連接，的值最小，則交于P，由軸對稱可知：，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形判定和性質、軸對稱的性質、最短路徑問題、等腰三角形的性質；熟練掌握相關性質的聯系與運用，會利用最短路徑解決最值問題是解答的關鍵．12.如圖，是內一定點，點，分別在邊，上運動，若，，則的周長的最小值為.【答案】3【分析】如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據對稱的性質可以證得：△COD是等邊三角形，據此即可求解．解：如圖，作P關于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵點P關于OA的對稱點為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=3．∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．【點撥】此題主要考查軸對稱最短路線問題，綜合運用了等邊三角形的知識．正確作出圖形，理解△PMN周長最小的條件是解題的關鍵．13.如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點，且AE＝CF，當BF＋CE取得最小值時，∠AFB＝_______°．【答案】105°【分析】如圖，作輔助線，構建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉化為FH，與BF在同一個三角形中，根據兩點之間線段最短，確定點F的位置，即F為AC與BH的交點時，BF＋CE的值最小，求出此時∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°?60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，∴當F為AC與BH的交點時，BF＋CE的值最小，此時∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故答案為105°.【點睛】此題考查全等三角形的性質和判定、等邊三角形的性質、最短路徑問題，關鍵是作出輔助線，當BF＋CE取得最小值時確定點F的位置，有難度．．三、解答題（共6小題，48分）14.（9分）如圖，平面上有五個點A，B，C，D，E．按下列要求畫出圖形．（1）連接BD；（2）畫直線AC交線段BD于點M；（3）請在直線AC上確定一點N，使B，E兩點到點N的距離之和最?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據題意連接BD即可；（2）根據題意畫直線AB交BD于點M；（3）根據兩點直線線段最短，連接BE交AC于點N，點N即為所求．【詳解】解：（1）如圖，連接BD；（2）如圖，畫直線AB交BD于點M；（3）如圖，連接BE交AC于點N，根據兩點之間線段最短可得點N即為所求．【點睛】本題考查了畫線段，畫直線，兩點之間線段最短，掌握基本作圖，理解線段和直線的區別是解題的關鍵．15.（6分）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．（1）請畫出ΔABC關于原點對稱的ΔA（2）在x軸上求作一點P，使ΔPAB的周長最小，請畫出ΔPAB，并直接寫出P的坐標．【答案】（1）答案見解析；（2）作圖見解析，P坐標為(2，0)【分析】（1）根據網格結構找出點A、B、C關于原點的對稱點A1、B1、（2）找出點A關于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸相交于一點，根據軸對稱確定最短路線問題，交點即為所求的點P的位置，然后連接AP、BP并根據圖象寫出點P的坐標即可．【詳解】解：（1）△A1（2）作點A(1，1)關于x軸的對應點A'1,?1，連接A'B交x軸于點P，則點P為所求的點，連接△APB此時點P坐標為(2，0)【點睛】本題考查了利用旋轉變換作圖，利用平移變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．16.（9分）如圖，在中，，的垂直平分線交于，交于．（1）若，則的度數是；（2）連接，若，的周長是．①求的長；②在直線上是否存在點，使的值最小，若存在，標出點的位置并直接寫出的最小值；若不存在，說明理由．【答案】（1）50°（2）①6cm②8cm【分析】（1）根據等腰三角的性質，三角形的內角和定理，可得∠A的度數，根據直角三角形兩銳角的關系，可得答案；（2）①根據垂直平分線的性質，可得AM與MB的關系，再根據三角形的周長，可得答案；②根據兩點之間線段最短，可得P點與M點的關系，可得PB＋PC與AC的關系．．【詳解】解：（1）若∠B＝70°，∵∴∠ABC=∠ACB=70°∴∠A=180°70°70°=40°∵的垂直平分線交于，∴MN⊥AB∴∠NMA=90°∠A=50°，故答案為：50°；（2）如圖：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周長是14cm，∴AC＋BC＝14cm，∴BC＝6cm．②當點P與點M重合時，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．故P點為所求，的最小值是8cm．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質，利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得出PB＝PA．17.（8分）如圖1、圖2和圖3，A、B兩點在直線l同側，且點A、B所在直線與l不平行，在直線l上畫出符合要求的點P（不寫做法與理由，保留作圖痕跡）．（1）為最大值，在圖1中的直線l上畫出點的位置；（2），在圖2中的直線l上畫出點的位置；（3）為最小值，在圖3中的直線l畫出點的位置．（1）的位置見解析；（2）的位置見解析；（3）的位置見解析．【分析】（1）根據三角形兩邊之差小于第三邊可得，且當P在AB的延長線上時等號成立，由此可得點的位置；（2）根據垂直平分線上的點到線段兩端距離相等，作AB的垂直平分線與l的交點即為點的位置；（3）作B點關于直線l的對稱點，連接與l的交點即為點的位置，原理是兩點之間線段最短和軸對稱的性質．【詳解】解：（1）如圖，點的位置如下；（2）如圖，點的位置如下；（3）如圖，點的位置如下．【點撥】本題考查作線段的垂直平分線，涉及的知識點有三角形三邊關系、垂直平分線的性質和軸對稱——最短路徑問題．掌握相關定理，能正確分析是解題關鍵．18.（8分）如圖，△ABC是等邊三角形，D為BC邊上一個動點（D與B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，當四邊形ADCE的周長取最小值時，求BD的長．（1）見詳解；（2）【分析】（1）由等邊三角形的性質可知,再利用等量代換可得，最后利用SAS可證全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,當四邊形ADCE的周長取最小值時,即AD取最小值時，此時AD⊥BC，求出此時BD的值即可得出答案.【詳解】（1）∵△ABC是等邊三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四邊形ADCE的周長為∴當四邊形ADCE的周長取最小值時,即AD取最小值時，此時AD⊥BC，【點撥】本題主要考查全等三角形的判定及性質，垂線段最短，掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵.19.（8分）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M，連接MB．（1）若∠ABC=70°，則∠MBC的度數是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長度；②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△PBC周長的最小值．（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周長的最小值為14cm．【分析】（1）根據等腰三角形的性質求出∠A，根據線段垂直平分線的性質可求∠MBA，然后用角的和差即可得到結論；（2）①根據線段垂直平分線上的性質可得AM=BM，然后求出△MBC的周長=AC+BC，再代入數據進行計算即可得解；②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，于是得到結論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵MN垂直平分AB，∴AM=MB，∴∠MBA=∠A=40°，∠MBC=∠ABC∠MBA=30°；故答案為：30°．（2）①由（1）可知，AM=BM，∴△MBC的周長=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，∵AB=8cm，△MBC的周長是14cm，∴BC=14－8=6（cm）；②當點P與M重合時，△PBC周長的值最小，如圖，∵MN垂直平分AB，∴PB=PA∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P與M重合時，PA+PC=AC，此時PB+PC最小，∴△PBC周長的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線上的點與線段兩端點的距離相等的性質，熟記并能熟練運用這些性質是解題的關鍵拓展培優*沖刺滿分1.如圖①，△ABC，△CDE都是等邊三角形．發（1）寫出AE與BD的大小關系.（2）若把△CDE繞點C逆時針旋轉到圖②的位置時，上述（1）的結論仍成立嗎？請說明理由．（3）△ABC的邊長為5，△CDE的邊長為2，把△CDE繞點C逆時針旋轉一周后回到圖①位置，求出線段AE長的最大值和最小值．（1）AE＝BD，理由見解析；（2）AE＝BD，理由見解析；（3）線段AE長的最大值為7，最小值3．【分析】（1）根據等邊三角形的性質可得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，利用SAS