函數的應用（一）重點：了解函數模型（如一次函數、二次函數、分段函數、冪函數等）的廣泛應用；難點：能夠利用給定的函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題。一、一次函數模型1、一次函數為：2、求最值的方法：常轉化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數a的正負，也可以結合函數圖象或其單調性來求最值．3、解決實際應用問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；（3）求模：求解數學模型，得出數學結論；（4）還原：將數學問題還原為實際問題．以上過程用框圖表示如圖：二、二次函數模型1、二次函數：形如2、求最值的方法：在根據實際問題建立函數解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數的單調性等方法來求函數的最值，從而解決實際問題中的最值問題.二次函數求最值最好結合二次函數的圖象來解答.3、解決實際應用問題的注意事項（1）函數模型應用不當，是常見的解題錯誤．所以，要理解題意，選擇適當的函數模型．（2）要特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域．（3）注意問題反饋，在解決函數模型后，必須驗證這個數學解對實際問題的合理性．三、冪函數模型1、冪函數模型為y＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)，2、在計算冪函數解析式、求冪函數最值的時候，通常利用冪函數的圖象、單調性、奇偶性等解題.四、對勾函數模型解決“對勾”函數的實際應用問題時，需關注該函數的定義域、單調性、值域和圖像等，一般通過變形，構造利用基本不等式的條件求最值。五、應用分段函數時的三個注意點1、分段函數的“段”一定要分得合理，不重不漏；2、分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集；3、分段函數的值域求法為逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論。六、圖像信息應用題的解答策略1、明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義；2、由圖象判定函數模型；3、抓住特殊點的實際意義，特殊點一般包括最高點（最大值點）、最低點（最小值點）及折線的拐角點等；4、通過方程、不等式、函數等數學模型化實際問題。題型一一次函數模型的應用【例1】（2022秋·北京·高一校考期中）果蔬批發市場批發某種水果，不少于千克時，批發價為每千克元，小王攜帶現金3000元到市場采購這種水果，并以此批發價買進，如果購買的水果為千克，小王付款后剩余現金為元，則與之間的函數關系為（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·四川·高一校考開學考試）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉樣物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網店選中兩種玩偶，決定從該網店進貨并銷售，第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．（1）求兩種玩偶的進貨價分別是多少？（2）第二次小雅進貨時，網店規定冰墩墩玩偶的進貨數量不得超過雪容融玩偶進貨數量的倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【變式12】（2022秋·安徽合肥·高一?？计谥校┸嚬苷驹谀硞€星期日保管的自行車和電動車共有輛次，其中電動車保管費是每輛一次元，自行車保管費是每輛一次元．（1）若設停放的自行車的輛次為，總的保管費收入為元，試寫出關于的函數關系式（2）若估計前來停放的輛次自行車和電動車中，電動車的輛次數不小于，但不大于，試求該車管站這個星期日收入保管費總數的范圍．【變式13】（2023·全國·高一假期作業）某商場準備購進A，兩種型號電腦，每臺A型號電腦進價比每臺型號電腦多500元，用40000元購進A型號電腦的數量與用30000元購進型號電腦的數量相同，請解答下列問題：（1）A，型號電腦每臺進價各是多少元？（2）若每臺A型號電腦售價為2500元，每臺型號電腦售價為1800元，商場決定用不超過35000元同時購進A，兩種型號電腦20臺，且全部售出，請寫出所獲的利潤（單位：元）與A型號電腦（單位：臺）的函數關系式并求此時的最大利潤．題型二二次函數模型的應用【例2】（2023秋·江西·高一校聯考階段練習）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（）A．第4秒B．第5秒C．第秒D．第3秒【變式21】（2023·全國·高一專題練習）某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本（萬元）與年產量（噸）之間的函數關系式可以近似地表示為，已知此生產線年產量最大為噸.（1）求年產量為多少噸時，總成本最低，并求最低成本（2）若每噸產品平均出廠價為萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤最大利潤是多少【變式22】（2023秋·江蘇鎮江·高一統考階段練習）某企業生產甲、乙兩種產品所得利潤分別是（單位：萬元）和（單位：萬元），它們與投入資金（單位：萬元）的關系有經驗公式.今將4萬元資金投入生產甲、乙兩種產品，其中對甲種產品投資（單位：萬元）.（1）試建立總利潤（單位：萬元）關于的函數關系式；（2）如何安排投入資金使得該企業所獲利潤最大？并求出獲利潤的最大值.【變式23】（2023·全國·高一專題練習）已知銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是（單位：萬元）和）（單位：萬元），它們與投入資金t（單位：萬元）的關系有經驗公式分別為，，其中為常數．今將5萬元資金經營甲、乙兩種商品，設對甲種商品投入獎金x萬元，其中．（1）當時，如何進行投資甲、乙兩種商品才能使得總利潤y最大；（2）存在，使得甲、乙兩種商品投資總利潤等于，求a的取值范圍．題型三冪函數模型的應用【例3】（2023·全國·高一專題練習）2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（）A．10%B．20%C．22%D．32%【變式31】（2023秋·全國·高一隨堂練習）異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則為（）A．B．C．D．【變式32】（2022·全國·高一專題練習）為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統，其加密、解密原理為：發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現在加密密鑰為，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是（）A．B．C．2D．【變式33】（2021秋·高一?？颊n時練習）某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關系為(為常數)，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為萬元.題型四對勾函數模型的應用【例4】（2023秋·重慶·高一?？茧A段練習）第19屆亞運會2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節儉、文明”為辦會理念，展示杭州生態之美、文化之韻，充分發揮國際重大賽事對城市發展的牽引作用，從而促進經濟快速發展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放當地市場，已知該種設備年固定研發成本為50萬元，每生產一萬臺需另投入80萬元，設該公司一年內生產該設備萬臺且全部售完.當時，每萬臺的年銷售收入

（萬元）與年產量（萬臺）滿足關系式:;當時，每萬臺的年銷售收入

（萬元）與年產量（萬臺）滿足關系式:（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬臺）的函數解析式（利潤=銷售收入一成本）;（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大?并求最大利潤.【變式41】（2023秋·重慶·高一?？茧A段練習）某中學為了迎接建校100周年校慶，決定在學校校史館利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的榮譽室.由于榮譽室的后背靠墻，無需建造費用.甲乙兩支隊伍參與競標，甲工程隊給出的報價為：榮譽室前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計12600元，設榮舉室的左右兩面墻的長度均為米，乙工程隊給出的整體報價為元，綜合考慮各種條件，學校決定選擇報價較低的隊伍施工，如果報價相同，則選擇乙隊伍.（1）若，問學校該怎樣選擇；（2）在競爭壓力下，甲工程隊主動降價5400元，若乙工程隊想要確保自己被選中，求實數的最大值.【變式42】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習）某廠家擬在2023年舉行某產品的促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元滿足（k為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是4萬件.已知生產該產品的固定投入為24萬元，每生產一萬件該產品需要再投入18萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的倍（此處每件產品年平均成本按元來計算）（1）計算k的值為多少，并將2023年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數：（2）該廠家2023年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大?最大利潤是多少?【變式43】（2023秋·山東青島·高一?？茧A段練習）為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設一座購物中心，現在計劃對其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用P（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費用為9萬元．設S為隔熱層建造費用與40年的能源消耗費用之和．（1）求m的值及用x表示S；（2）當隔熱層的厚度為多少時，總費用S達到最小，并求最小值．題型五分段函數模型的應用【例5】（2022秋·山東菏澤·高一?？计谥校┖怂釞z測是新冠肺炎確診的有效快捷手段.某醫院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫院并開展檢測工作的第天，每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時（單位：小時）大致服從的關系為（、為常數）.已知第16天檢測過程平均耗時為16小時，第64天和第67天檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得到第49天檢測過程平均耗時大致為（）A．16小時B．11小時C．9小時D．7小時【變式51】（2023秋·湖北·高一校聯考階段練習）年，月日，華為在華為商城正式上線，成為全球首款支持衛星通話的大眾智能.其實在年月日，華為被美國列入實體名單，以所謂科技網絡安全為借口，對華為施加多輪制裁.為了進一步增加市場競爭力，華為公司計劃在年利用新技術生產某款新，通過市場分析，生產此款全年需投入固定成本萬，每生產千部，需另投入成本萬元，且由市場調研知此款售價萬元，且每年內生產的當年能全部銷售完.（1）求出年的利潤萬元關于年產量千部的表達式（2）年年產量為多少千部時，企業所獲利潤最大最大利潤是多少【變式52】（2023秋·山東·高一校聯考階段練習）今年中秋國慶雙節假期“合體”，人們的出游意愿進一步增強，國內長線游預訂人次占比為.數據顯示，中秋國慶假期，長線游預訂占比近六成預訂出游平均時長在5天以上.某旅游平臺上，跨省游訂單占比達，較2022年同期提升10個百分點.秋高氣爽最適合登高爬山，某戶外登山運動裝備生產企業，2023年的固定成本為1000萬元，每生產x千件裝備，需另投入資金（萬元）.經計算與市場評估得，調查發現，當生產10千件裝備時需另投入資金萬元.每千件裝備的市場售價為300萬元，從市場調查來看，2023年最多能售出150千件.（1）寫出2023年利潤W（萬元）關于產量x（千件）的函數；（利潤＝銷售總額－總成本）（2）當2023年產量為多少千件時，該企業所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【變式53】（2023秋·全國·高一專題練習）某服裝廠生產一批羽絨服，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，其次品率p與日產量x（萬件）之間滿足關系：（其中m為小于12的正整數）.已知每生產1萬件合格的羽絨服可以盈利3萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量（注：次品率＝次品數/生產量，如表示每生產10件產品，有1件為次品，其余為合格品）.（1）試將生產這批羽絨服每天的盈利額y（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？題型六圖象信息應用題【例6】（2023·全國·高一專題練習）（多選）某打車平臺欲對收費標準進行改革，現制定了甲?乙兩種方案供乘客選擇，其支付費用與打車里程數的函數關系大致如圖所示，則下列說法正確的是（）A．當打車距離為時，乘客選擇乙方案省錢B．當打車距離為時，乘客選擇甲?乙方案均可C．打車以上時，每公里增加的費用甲方案比乙方案多D．甲方案內（含）付費5元，行程大于每增加1公里費用增加元【變式61】（2023·全國·高一專題練習）（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數記為，關于的函數圖像如圖（1）所示．由于目