第第頁專題6導數之構造函數（基本初等函數）對于不等式，構造函數對于不等式，構造函數對于不等式，構造函數對于不等式，構造函數對于不等式，構造函數對于不等式，構造函數對于不等式，構造函數對于不等式，構造函數9.對于不等式，構造函數10.對于不等式，構造函數11.對于不等式，構造函數12.對于不等式，構造函數

(一)、與一次函數或冪函數有關的構造函數例1、（2015新課標Ⅱ）設函數是奇函數的導函數，當時，，則使得f(x)0成立的的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，因為為奇函數，所以為偶函數，由于，當時，，所以在上單調遞減，根據對稱性在上單調遞增，又，，數形結合可知，使得成立的的取值范圍是．例2、（2021·安徽高三月考（理））設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數，利用它的導數確定單調性后可得不等式的解集．【詳解】由條件，∴在上單調遞減，所求不等式可化為，故，∴.故選：A．【點睛】本題考查用導數解不等式，解題關鍵是構造函數，利用函數的單調性解不等式．構造函數時一是根據已知導數的不等式，確定構造出的函數求導后能利用已知不等式確定正負，二是根據結論不等式的形式（一般需要適當變形）．例3、（2022·四川省眉山第一中學模擬預測（理））已知可導函數的定義域為，滿足，且，則不等式的解集是________．【答案】【分析】構造函數，由導數確定單調性，將已知不等式轉化為關于不等式，然后利用單調性即可求解．【詳解】設，則，因為，，所以，可得在上單調遞減，不等式，即，即，所以，因為在上單調遞減，所以，又因為，所以不等式的解集為：，故答案為：．例4、（2023下·四川綿陽·高二鹽亭中學校考階段練習）若函數滿足在上恒成立，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：設，則，由，可知，所以在上是增函數，又，所以，即，故選：B.1、定義在R上的可導函數滿足，記的導函數為，當時恒有．若，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】構造函數，所以構造函數，，所以對稱軸為，所以，是增函數；是減函數。，解得：【點睛】壓軸題，考查導數與函數，涉及到構造函數以及對稱軸的性質。難度比較大。2、（2023春·四川涼山）已知函數滿足，且的導函數，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，因為，所以，即函數在上單調遞減，則，即，即，所以，即的解集為.故選：D3、（2023下·陜西咸陽·高二統考期中）已知定義在上的函數，其導函數為，當時，，若，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，，則，∵當時，，即，在單調遞減，∴，∴，即，∴.故選：D.4．（2023上·江西萍鄉·高三統考期末）已知是定義在R上的奇函數,是其導函數.當x≥0時,且,則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構造函數，判斷所以在R上遞增，根據等價于，利用單調性求解即可.【詳解】設，可得因為當x≥0時,，所以在上遞增，又因為是定義在R上的奇函數，所以的圖像關于對稱，如圖，所以在R上遞增，又因為，所以，則等價于，所以，即的解集是，故選：C.(二)、與指數函數或對數函數有關的構造函數例5、（2023·廣東佛山·校考模擬預測）已知是函數的導函數，對于任意的都有，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】法一：構造特殊函數.令，則滿足題目條件，把代入得解得，故選：.法二：構造輔助函數.令，則，所以在上單調遞增，又因為，所以，所以，故選：D.例6、（2023·安徽黃山·統考三模）已知定義域為的函數，其導函數為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；，即，即，故C正確；，即，即，故D不正確；故選：C.例7、（2022·陜西·安康市高新中學三模（理））已知函數的定義域為，且對任意，恒成立，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造函數，利用導數分析函數的單調性，將所求不等式變形為，利用函數的單調性可求得原不等式的解集.【詳解】設，該函數的定義域為，則，所以在上單調遞增．由可得，即，又在上單調遞增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故選：D．例8、已知定義在R上的可導函數的導函數為，滿足，且為偶函數，，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為為偶函數，所以，，構造函數，，所以函數是R上的減函數.根據題意：，因為所以，解之得，.1．（2022·江西·南昌市八一中學三模（文））記定義在上的可導函數的導函數為，且，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】首先設函數，利用導數判斷函數的單調性，不等式等價于，利用函數的單調性，即可求解.【詳解】設，，所以函數單調遞增，且，不等式，所以.故答案為：.2．（2022·青海西寧·二模（理））已知定義在R上的可導函數的導函數為，滿足，且為偶函數，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】構造，利用導數研究單調性，由題設知對稱軸為，即可得，進而求，而原不等式等價于，即可求解集.【詳解】設，則，又，所以，即在R上是減函數，因為為偶函數，所以圖象關于y軸對稱，而向右平移3個單位可得，所以對稱軸為，則，所以，不等式等價于，故，所以不等式的解集為.故答案為：3．（2021·廣州市北大附中為明廣州實驗學校高二月考）已知對任意實數都有，，若恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由導數的運算求出，然后用分離參數法得出時，，時，，再設，求出在時最小值，在時的最大值，從而可得的范圍．【詳解】因為，所以，即，所以（為常數），，由，，不等式為，時，不等式為，成立，時，，時，，設，則，當或時，，當或時，，所以在和上是減函數，在和上是增函數，時，在時取得極小值也最小值，由恒成立得，時，在時取得極大值也是最大值，由恒成立得，綜上有．故選：D．【點睛】本題考查導數的運算，考查用導數研究不等式恒成立問題，用分離參數法轉化為求函數的最值是解題關鍵，解題時注意分類討論思想的應用．4．（2020·吉林高三月考（理））已知定義在R上的可導函數的導函數為，滿足，且為偶函數，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意構造函數，由可得在上恒成立，所以函數在為上單調遞減函數，由為偶函數，，可得，故要求不等式的解集等價于的解集，即可得到答案.【詳解】由題意構造函數，則，定義在上的可導函數的導函數為，滿足在上恒成立，函數在上為單調遞減函數；又為偶函數，則函數，即關于對稱，，則，由于不等式的解集等價于的解集，根據函數在上為單調遞減函數，則，故答案選B【點睛】本題考查函數的構造，利用導數研究函數的單調性、利用函數單調性解不等式、函數的奇偶性以及對稱性的綜合應用，屬于較難題．(三)、與三角函數有關的構造函數例9、（2023·青海海東·統考模擬預測）已知是奇函數的導函數，且當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，則由，得；當時，，則由，得．令，則，故g（x）在上單調遞增，在上單調遞減．又f（x）是奇函數，所以是偶函數，故，即，，即．與和的大小關系不確定．故選：A．例10、（2023秋·陜西西安）已知函數的定義域為，其導函數是.有，則關于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】構造函數，其中，則，所以，函數在上單調遞減，因為，則，由可得，即，所以，，解得，因此，不等式的解集為.故選：A.例11、（2021·全國高二課時練習）已知定義在上的函數的導函數為，對任意，有，且.設，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據可構造函數,再利用單調性判斷函數值的大小即可.【詳解】構造函數,則,又,故.在上單調遞減.又,故為奇函數,故為偶函數.又.又偶函數在上單調遞減.故.故.故選：D【點睛】本題主要考查了構造函數判斷函數值的大小問題,需要根據題意構造合適的函數,并分析單調性與奇偶性,從而求得函數值大小的關系等.屬于中等題型.例12、（2021·甘肅省武威第二中學高三期中（理））對任意，不等式恒成立，則下列不等式錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】構造函數，對其求導后利用已知條件得到的單調性，將選項中的角代入函數中，利用單調性化簡，并判斷正誤，由此得出選項.【詳解】解：構造函數，則，∵，∴，即在上為增函數，由，即，即，故A正確；，即，即，故B正確；，即，即，故C正確；由，即，即，即，故錯誤的是D．故選D．【點睛】本小題考查構造函數法，考查利用導數研究函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法.構造函數法主要應用于題目所給已知條件中含有，也含有其導數的不等式，根據不等式的結構，構造出相應的函數.如已知是，可構造，可得.1、（2019·四川·模擬預測）已知是定義在上的奇函數，其導函數為，，且當時，．則不等式的解集為__________．【答案】【分析】令，根據據已知條件及導函數符號與函數單調性的關系判斷出的單調性，根據函數的單調性和奇偶性求出不等式的解集．【詳解】令，則，所以在上為單調遞增，且，所以，解得．由是定義在上的奇函數得，所以在為偶函數，且所以不等式的解集為，故答案為．【點睛】本題主要考查不等式的求解，根據條件構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．2．（2021·東莞市東華高級中學高二期末）已知函數為上的偶函數，且對于任意的滿足，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，依題意知為偶函數，且在區間上是減函數，再由，結合條件分別判斷四個選項即可．【詳解】解：偶函數對于任意的滿足，令，則，即為偶函數．又，故在區間上是減函數，所以，即，故B正確；，故A錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B．【點睛】關鍵點睛：根據導函數不等式構成函數，利用函數的單調性進行判斷是解題的關鍵.3．（2022·安徽·合肥一中模擬預測（文））已知函數圖象關于點對稱，且當時，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題有兩個入手點：①關于點對