湖南省郴州市土地中學高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示的三視圖表示的幾何體的體積為，則該幾何體的外接球的表面積為A.12π B.24π C.36π D.48π參考答案：C由三視圖可得該幾何體為底面邊長為4、，一條側棱垂直底面的四棱錐，設高為4，則，，將該幾何體補成一個長方體，則其外接球半徑為，故這個幾何體的外接球的表面積為．故選C．2.實數x，y滿足，則xy的最小值為（）A．2 B． C． D．1參考答案：B【考點】函數的最值及其幾何意義；基本不等式在最值問題中的應用；三角函數的化簡求值．【分析】配方可得2cos2（x+y﹣1）==（x﹣y+1）+x﹣y+1，由基本不等式可得（x﹣y+1）+x﹣y+1≤2，或（x﹣y+1）+x﹣y+1≤﹣2，進而可得cos（x+y﹣1）=±1，x=y=，由此可得xy的表達式，取k=0可得最值．【解答】解：∵，∴2cos2（x+y﹣1）=∴2cos2（x+y﹣1）=，故2cos2（x+y﹣1）=x﹣y+1+，由基本不等式可得（x﹣y+1）+≥2，或（x﹣y+1）+≤﹣2，∴2cos2（x+y﹣1）≥2，由三角函數的有界性可得2cos2（x+y﹣1）=2，故cos2（x+y﹣1）=1，即cos（x+y﹣1）=±1，此時x﹣y+1=1，即x=y，∴x+y﹣1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x?x=（）2，當k=0時，xy的最小值，故選：B3.點P（x,y）在函數的圖像上，且x、y滿足，則點P到坐標原點距離的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知函數，若方程在(0,π)的解為，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】結合正弦型函數的圖像與性質可得，進而可得，明確的范圍得到結果.【詳解】因為，所以，又因為是的兩根，結合圖像可知，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以.故選：A【點睛】本題考查正弦型函數的圖像與性質，考查函數的對稱性及取值范圍，屬于中檔題.

5.函數的圖象繞過原點逆時針旋轉90°后得到新的圖象F，則F所表示的函數是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D6.已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B等于（）A．{﹣1} B．{﹣2，﹣1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，0，1}參考答案：C【考點】并集及其運算．【分析】先分別求出集體合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}={﹣1，0}，B={﹣2，﹣1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0}．故選：C．7.下列函數在定義域上單調遞減的是A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，則下列結論正確的是（）A．N?M B．M∩N=N C．M∪N=M D．M∩N={0}參考答案：D考點：交集及其運算．專題：集合．分析：利用已知條件求出結合的交集，判斷即可．解答：解：集合M={﹣1，0，1，2，3}，N={﹣2，0}，M∩N={﹣1，0，1，2，3}∩{﹣2，0}={0}．故選：D．點評：本題考查集合的交集的求法，考查計算能力．9.若,則的值是(

)A.2

B.3

C.4

D.6參考答案：A10.如果執行右面的程序框圖，那么輸出的（

）Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標系中，為曲線上的點，為曲線上的點，則線段長度的最小值是

．參考答案：212.若復數[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，（x，y∈R），則x+y=參考答案：0【分析】由復數代數形式的乘除運算化簡得方程組，求解即可得答案．【解答】解：由[x﹣1+（y+1）i]（2+i）=0，得2x﹣y﹣3+（x+2y+1）i=0，即，解得．則x+y=0．故答案為：0．13.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知其周長為10，面積為，，則c的值為___.參考答案：【分析】由三角形面積公式可求得，由余弦定理和周長構造關于的方程，解方程求得結果.【詳解】由三角形面積公式得：

由余弦定理得：又，即，可得：解得：本題正確結果：【點睛】本題考查余弦定理、三角形面積公式的應用，關鍵是能夠通過余弦定理構造出關于所求邊的方程，屬于常考題型.14.右方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數據的中位數為l5，乙組數據的平均數為16．8，則x+y的值為

參考答案：13略15.給出下列四個命題中：

①底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；②與不共面的四點距離都相等的平面共有４個。③正四棱錐側面為銳角三角形；④橢圓中，.離心率e趨向于0，則橢圓形狀趨向于扁長。其中所有真命題的序號是

▲

..參考答案：②③16.設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,令，則的值為________________.參考答案：-2略17.已知直線y=2x+1與曲線相切，則a的值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）如圖，設是由個實數組成的行列的數表，其中表示位于第行第列的實數，且．記為所有這樣的數表構成的集合．對于，記為的第行各數之積，為的第列各數之積．令．（Ⅰ）對如下數表，求的值；

（Ⅱ）證明：存在，使得，其中；（Ⅲ）給定為奇數，對于所有的，證明：．

參考答案：（Ⅰ）解：，；，，

所以．

………………3分（Ⅱ）證明：（ⅰ）對數表：，顯然．將數表中的由變為，得到數表，顯然．將數表中的由變為，得到數表，顯然．依此類推，將數表中的由變為，得到數表．即數表滿足：，其余．所以，．所以，其中．……………7分【注：數表不唯一】（Ⅲ）證明：用反證法．

假設存在，其中為奇數，使得．

因為，

，

所以，，，，，，，這個數中有個，個．

令．

一方面，由于這個數中有個，個，從而．

①

另一方面，表示數表中所有元素之積（記這個實數之積為）；也表示，

從而．

②①、②相互矛盾，從而不存在，使得．

即為奇數時，必有．

………………13分19.（本小題滿分12分）如圖，已知平行四邊形與直角梯形所在的平面互相垂直，且，，，，為的中點。（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積。參考答案：20.已知函數f（x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函數滿足f（1）=2，且在定義域內f（x）≥bx2+2x恒成立，求實數b的取值范圍；（2）若函數f（x）在定義域上是單調函數，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究函數的單調性．【專題】導數的綜合應用．【分析】（1）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．將不等式f（x）≥bx2+2x轉化為≥b．構造函數g（x）=，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函數f（x）在定義域上是單調函數，需f′（x）在定義域上恒非負或恒非正．考查f′（x）的取值情況，進行解答．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴a=1，f（x）=x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x?≥b．令g（x）=，可得g（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0．（2）f′（x）=2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，

令h（x）=，當x=e時，h（x）max=∴當時，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此時．函數f（x）在定義域上單調遞增．若，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣由g′（x）=0，得出x=，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x=時，g（x）取得極小值也是最小值．而當時，g（）=1﹣ln＜0，f′（x）=0必有根．f（x）必有極值，在定義域上不單調．綜上所述，．【點評】此題考查函數單調性與導數的關系的應用，考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，掌握函數恒成立時所取的條件，是一道綜合題．21.已知向量m＝(cosx，－1)，n＝(sinx，－)，設函數f(x)＝(m＋n)·m.（1）求函數f(x)的最小正周期；（2）已知a、b、c分別為三角形ABC的內角對應的三邊長，A為銳角，a＝1，c＝，且f(A)恰是函數f(x)在上的最大值，求A，b和三角形ABC的面積．參考答案：(1)f(x)＝(m＋n)·m＝cos2x＋sinxcosx＋＝＋sin2x＋＝cos2x＋sin2x＋2＝sin(2x＋)＋2，…….2分因為ω＝2，所以最小正周期T＝＝π……...4分(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋2，當x∈[0，]時，≤2x＋≤.由正弦函數圖象可知，當2x＋＝時，f(x)取得最大值3，又A為銳角，所以2A＋＝，A＝……….6分由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得，1＝b2＋3－2××b×cos，所以b＝1或b＝2，………….8分經檢驗均符合題意．從而當b＝1時，△ABC的面積S＝××1×sin＝；………….10分當b＝2時，S＝××2×sin＝……………..…..12分22.（本小題滿分13分）如圖，某工廠生產的一種無蓋紙筒為圓錐形，現一客戶訂制該圓錐紙筒，并要求該圓錐紙筒的容積為π立方分米．設圓錐紙筒底面半徑為r分米，高為h分米．（1）求出r與h滿足的關系式；（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，求最省時的值．參考答案：（1）設圓錐紙筒的容積為，