專題38事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式（理科）（核心考點精講精練）1.近幾年真題考點分布概率與統計近幾年考情考題示例考點分析關聯考點2022年全國乙（文科），第4題,5分莖葉圖計算平均數、中位數、概率2022年全國乙（文科），第14題,5分計數原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第10題,5分互斥事件、獨立事件求概率2022年全國乙（理科），第13題,5分計數原理、排列、組合與概率2022年全國乙（理科），第19題,12分2022年全國乙（文科），第19題,12分（1）求平均數；（2）求相關系數（3）估算樣本量2022年全國甲（文科），第17題,12分（1）求概率；（2）獨立性檢驗2022年全國甲（文科），第6題,5分古典概型2022年全國甲（理科），第19題,12分（1）求概率；（2）離散型隨機變量的分布列與數學期望2022年全國甲（理科），第15題,5分古典概型立體幾何2022年全國甲（理科），第2題,5分2022年全國甲（文科），第2題,5分眾數、平均數、中位數比較，求極差、方差、標準差2023年全國乙（文科），第9題,5分計數原理、排列、組合與概率2023年全國乙（理科），第5題,5分2023年全國乙（文科），第7題,5分幾何概型圓環面積2023年全國乙（理科），第9題,5分計數原理與排列、組合2023年全國乙（理科），第17題,12分2023年全國乙（文科），第17題,12分（1）求樣本平均數，方差；（2）統計新定義2023年全國甲（文科），第4題,5分計數原理、排列、組合與概率2023年全國甲（理科），第6題,5分條件概率2023年全國甲（理科），第9題,5分計數原理與排列、組合2023年全國甲（理科），第19題,12分（1）離散型隨機變量的分布列與數學期望；（2）獨立性檢驗2023年全國甲（文科），第20題,12分（1）求樣本平均數；（2）獨立性檢驗2.命題規律及備考策略【命題規律】1.事件的獨立性：事件的獨立性是指兩個或多個事件之間沒有關聯，即它們的發生互不影響。通常，如果兩個事件A和B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱它們是相互獨立的;2.相互獨立事件：兩個或多個事件之間沒有關聯，即它們的發生互不影響;3.條件概率：條件概率是指在事件B發生的條件下事件A發生的概率。通常，如果事件A和事件B滿足P(A|B)>0，則稱A在B的條件下發生;條件概率公式：P(A|B)=P(AB)/P(B);4.全概率公式：全概率公式是指對于一組互斥完備事件群，某個事件發生的概率可以分解成若干個事件發生的概率的加權和。通常，如果事件是互斥完備事件群中的某個事件，則對于任一事件E，有全概率公式：P(E)=∑P(E|A)P(A)，其中A為所有可能的事件;5.事件的相互獨立性、條件概率和全概率公式是概率論中的重要概念，它們在解決概率問題時具有廣泛應用。需要注意在解決具體問題時，要根據題目的特點靈活運用這些概念和公式;【備考策略】1.了解兩個隨機事件獨立性的含義,會利用獨立性計算概率;2.了解條件概率,能計算簡單隨機事件的條件概率;3.了解條件概率與獨立性的關系,會利用乘法公式計算概率;;【命題預測】1.事件的相互獨立性：這個概念通常會出現在對概率模型的理解和構建中;2.條件概率：這個概念在許多實際問題中有著廣泛的應用;3.全概率公式：這個公式在求解某些概率問題時非常有用;知識講解一、事件的相互獨立性1.定義設,為兩個事件,如果P(A)P(B),那么稱事件與事件相互獨立.

2.性質(1)若事件與相互獨立,則P(B),P(A),P(A)·P(B).

(2)如果事件與相互獨立,那么與,與,與也都相互獨立.二、條件概率與全概率公式1.條件概率(1)條件概率一般地,設,為兩個隨機事件,且,我們稱為在事件發生的條件下,事件發生的條件概率,簡稱條件概率.

(2)概率的乘法公式由條件概率的定義,對任意兩個事件與,若,則P(A)P(B|A).我們稱上式為概率的乘法公式.

(3)條件概率的性質設,則①1;

②若與是兩個互斥事件,則P(B|A)+P(C|A);

③設B和互為對立事件,則(B|)=1P(B|A).

2.全概率公式一般地,設,,…,是一組兩兩互斥的事件,,且,,則對任意的事件,有.我們稱上面的公式為全概率公式,全概率公式是概率論中最基本的公式之一.貝葉斯公式設,,…,是一組兩兩互斥的事件,,且,,則對任意事件,,有,其中.在貝葉斯公式中,和分別稱為先驗概率和后驗概率.

求相互獨立事件同時發生的概率的策略(1)列出題中涉及的各個事件,并且用適當的符號表示;(2)厘清事件之間的關系(兩個事件是互斥還是對立或者是相互獨立),列出關系式;(3)根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算;(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時,可先間接地計算其對立事件的概率,再求出符合條件的事件的概率.條件概率的求法1.定義法:先求和,再由求.2.基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件包含的基本事件數,再求事件所包含的基本事件數,得.應用全概率公式求概率的步驟(1)根據題意找出完備事件組,即滿足全概率公式的的一個劃分;(2)用來表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.是在沒有進一步信息(不知道事件是否發生)的情況下,人們對諸事件發生可能性大小的認識,當有了新的信息(知道事件發生)時,人們對諸事件發生可能性大小有了新的估計,貝葉斯公式從數量上刻畫了這種變化.考點一、相互獨立事件的概率1．在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2，3，4．連續拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事件為“兩次記錄的數字之和為奇數”，事件為“第一次記錄的數字為奇數”，事件為“第二次記錄的數字為偶數”，則下列結論正確的是（

）A．事件與事件是對立事件 B．事件與事件不是相互獨立事件C． D．【答案】C【分析】根據對立事件，獨立事件的概念及古典概型概率公式逐項分析即得.【詳解】對于A，事件與事件是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤；對于B，對于事件與事件，,事件與事件是相互獨立事件,故B錯誤；對于C，連續拋擲這個正四面體木塊兩次，記錄的結果一共有種，其中，事件發生，則兩次朝下的點數為一奇一偶，有種，所以，因為拋擲正四面體向下的數字為奇數和偶數的方法種數相同，所以，，所以，故C正確；對于D，事件表示第一次記錄的數字為奇數，第二次記錄的數字為偶數，故，故D錯誤.2．（2023屆山東省模擬數學試題）已知事件A、B滿足，，則（

）A． B．C．事件相互獨立 D．事件互斥【答案】C【分析】利用對立事件概率求法得，結合已知即獨立事件的充要條件判斷C，由于未知其它選項無法判斷.【詳解】由題設，所以，即相互獨立，同一試驗中不互斥，而未知，無法確定、.3．一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1，2，3，4.連續拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數字，記事件A為“第一次向下的數字為2或3”，事件B為“兩次向下的數字之和為奇數”，則下列結論正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C．事件A與事件B相互獨立 D．【答案】C【分析】利用互斥事件、相互獨立事件的意義及古典概率公式逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數字有1，2，3，4四個基本事件，則，A不正確；事件B含有的基本事件有8個：，其中事件發生時，事件A也發生，即事件A，B可以同時發生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個，，即事件A與事件B相互獨立，C正確；，D不正確.1．若，，，則事件與的關系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對立C．事件與相互獨立 D．事件與既互斥又相互獨立【答案】C【分析】結合互斥事件、對立事件、相互獨立事件的知識求得正確答案.【詳解】∵，∴，∴事件與相互獨立、事件與不互斥，故不對立.2．（2023屆山東省模擬數學試題）分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．兩兩不互斥 B．C．與B是相互獨立事件 D．【答案】B【分析】對于A，由互斥事件的定義判斷，對于B，由條件概率的公式求解即可，對于C，由獨立事件的定義判斷，對于D，由求解【詳解】對于A，由題意可知，，不可能同時發生，所以，，兩兩互斥，所以A不正確；對于B，由題意可得，所以，所以B正確；對于C，因為，，，所以，所以與B不是相互獨立事件，所以C錯誤；對于D，由C選項可知D是錯誤的.3．隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數有了突飛猛進的提升.某校為提升學生的綜合素養、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程.甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立【答案】C【分析】根據互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據古典概型的概率公式求出、、、、，根據相互獨立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故與互斥不對立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨立，與不相互獨立.考點二、條件概率1．（2023屆浙江省十校聯盟聯考數學試題）已知隨機事件A，B，，，，則.【答案】【分析】首先求出，則，則，最后利用對立事件的求法即可得到答案.【詳解】依題意得，所以故，所以.2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據概率的乘法公式計算可得.【詳解】因為，，所以.3．（2023年普通高等學校招生“圓夢杯”統一模擬考試數學試題）某人連續兩次對同一目標進行射擊，若第一次擊中目標，則第二次也擊中目標的概率為，若第一次未擊中目標，則第二次擊中目標的概率為，已知第一次擊中目標的概率為，則在第二次擊中目標的條件下，第一次也擊中目標的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出事件，利用全概率公式計算出，再利用條件概率公式計算出答案.【詳解】設第一次擊中目標為事件A，第二次擊中目標為事件B，則，，，所以，故，則.4．已知，，則.【答案】/【分析】由條件概率公式求解，【詳解】由題意得，而，得，而，解得.1．（2023屆江蘇省模擬數學試題）已知，為兩個隨機事件，，，，，則（

） B． D．【答案】B【分析】根據互斥、對立事件的加法公式和條件概率公式和乘法公式即可求解。【詳解】，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得.2．已知，分別為隨機事件A，B的對立事件，，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則A，B對立C．若A，B獨立，則D．若A，B互斥，則【答案】C【分析】利用條件概率的概率公式以及獨立事件與對立事件的概率公式，對四個選項進行分析判斷，即可得到答案；【詳解】對A，，故A錯誤；對B，若A，B對立，則，反之不成立，故B錯誤；對C，根據獨立事件定義，故C正確；對D，若A，B互斥，則，故D錯誤；3．（2023屆上海市模擬數學試題）據調查，某地市民大約有0.03%的人患某種疾病，該地大約有0.1%的市民有超過20年的時間有某種不良飲食習慣，這些人患這種疾病的人約為10%.現從飲食不良習慣不超過20年的市民中隨機抽取1名市民，則他患此疾病的概率約為%（精確到0.01）.【答案】0.02%【分析】由條件概率及乘法公式計算即可.【詳解】事件為不良習慣不超過20年，則，所以，又因為，所以.4．（2023屆湖南省新高考教學教研聯盟聯考數學試題）人群中患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有15%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.5%，則不吸煙者中患肺癌的概率是．（用分數表示）【答案】【分析】設患肺癌為事件A，吸煙為事件B，由題有，即可得答案.【詳解】設患肺癌為事件A，吸煙為事件B，則，不吸煙者中患肺癌的概率為.又由全概率公式有，則，解得．考點三、全概率公式的應用1．甲?乙兩個箱子里各裝有5個大小形狀都相同的球，其中甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則取出的球是紅球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據全概率公式進行求解即可.【詳解】設事件表示從甲箱中隨機取出一紅球放入乙箱中，事件表示從甲箱中隨機取出一白球放入乙箱中，設事件表示：從甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，再從乙箱中隨機取出一球，則取出的球是紅球，則有：，所以.2．（2023屆廣東省模擬數學試題）在三個地區爆發了流感，這三個地區分別有6%，5%，4%的人患了流感，假設這三個地區的人口數之比為，現從這三個地區中任意選取一人，則此人是流感患者的概率為（

）【答案】B【分析】由題意可知，分別求出此人來自三個地區的概率，再利用條件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.【詳解】設事件為“此人是流感患者”，事件分別表示此人來自三個地區，由已知可得，，由全概率公式得3．（2023年遼寧省模擬數學試題）盒中有2個紅球，3個黑球，2個白球，從中隨機地取出一個球，觀察其顏色后放回，并加入同色球1個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據條件概率的計算公式即可求解.【詳解】從盒中任取1球，是紅球記為，黑球記為，白球記為，則，，彼此互斥，設第二次抽出的是紅球記為事件B，則，，，，，，.4．（2023年山東省模擬數學試題）已知P（B）=0.3，，，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據已知利用全概率公式得，即可求解.【詳解】由全概率公式可得：可得，解得：.則.1．（2023年黑龍江省模擬考試數學試題）2023年3月24日是第28個“世界防治結核病日”，我國的宣傳主題是“你我共同努力，終結結核流行”，呼吁社會各界廣泛參與，共同終結結核流行，維護人民群眾的身體健康.已知某種傳染疾病的患病率為5%通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽性，患者中有2%的人診斷為陰性.隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結果為陽性的概率為（

）【答案】D【分析】應用全概率公式求解即可.【詳解】設隨機抽取一人進行驗血，則其診斷結果為陽性為事件A,設隨機抽取一人實際患病為事件B,隨機抽取一人非患為事件，則.2．（2023屆吉林省聯合模擬考試數學試題）長白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風光，查干冬漁，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季來的概率是，夏季來的概率是，如果冬季來，則看不到長白飛瀑，鶴舞向海和凈月風光，若夏季來，則看不到松江霧凇和查干冬捕，無論什么時候來，由于時間原因，只能在可去景點當中選擇兩處參觀，則某人去了“一眼望三國”景點的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據古典概型分別求出冬季去了“一眼望三國”和夏季去了“一眼望三國”的概率，再結合全概率公式即可求解.【詳解】設事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三國”，則，，在冬季去了“一眼望三國”的概率，在夏季去了“一眼望三國”的概率，所以去了“一眼望三國”的概率.3．（2023屆廣東省模擬數學試題）某批產品來自，兩條生產線，生產線占，次品率為4%；生產線占，次品率為，現隨機抽取一件進行檢測，若抽到的是次品，則它來自生產線的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.【詳解】因為抽到的次品可能來自于，兩條生產線，設“抽到的產品來自生產線”，“抽到的產品來自生產線”，“抽到的一件產品是次品”，則，由全概率公式得，所以它來自生產線的概率是.4．設驗血診?某種疾病的誤診率為，即若用表示驗血為陽性，表示受驗者患病，則，若已知受檢人群中有患此病，即，則一個驗血為陽性的人確患此病的概率為.【答案】【分析】結合條件概率的計算公式，得到，即可求解.【詳解】由題意，結合條件概率的計算公式，可得：.【基礎過關】1．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點數大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點數之和等于7”，則的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】本小題屬于條件概率所以事件B包含兩類：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率為.2．甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率均為，且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的情況下，比賽進行了三局的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用獨立事件乘法公式及互斥事件的概率求法求甲獲得冠軍的概率、甲獲得冠軍且比賽進行了3局的概率，再由條件概率公式求甲獲得冠軍的情況下比賽進行了三局的概率.【詳解】由題意，甲獲得冠軍的概率為，其中甲獲得冠軍且比賽進行了3局的概率為，∴所求概率為.3．拋擲兩枚均勻的硬幣，出現恰好有一枚硬幣正面向上的概率記為；有四個鬮，其中只有一個代表獎品，四個人按序依次抓鬮決定獎品的歸屬，第三個人中獎的概率記為．則與滿足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】拋硬幣利用列舉法可求得，因為只有一個獎品，第三個人中獎時，前兩人均沒有中獎，由此可求出，進而可得答案【詳解】解：設兩枚硬幣分別為A，B，則可能出現的情況只有4種：AB都是正面；AB都是反面；A正面B反面；A反面B正面，所以，四個人按序依次抓鬮，則第三個人中獎的概率，所以.4．長時間玩可能影響視力，據調查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學生每天玩超過1，這些人的近視率約為50%.現從每天玩不超過1的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定信息，結合全概率公式列式求解作答.【詳解】令“玩時間超過的學生”，“玩時間不超過的學生”，“任意調查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.【點睛】關鍵點睛：利用全概率公式求隨機事件B的概率問題，把事件B分拆成兩個互斥事件與的和，再利用條件概率公式計算是解決問題的關鍵.5．（2023屆福建省教學質量檢測數學試題）某醫用口罩生產廠家生產醫用普通口罩、醫用外科口罩、醫用防護口罩三種產品，三種產品的生產比例如圖所示，且三種產品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%．若從該廠生產的口罩中任選一個，則選到綁帶式口罩的概率為（

）【答案】D【分析】根據全概率公式進行分析求解即可.【詳解】由圖可知醫用普通口罩、醫用外科口罩、醫用防護口罩的占比分別為70%，20%，10%，記事件分別表示選到醫用普通口罩、醫用外科口罩、醫用防護口罩，則，且兩兩互斥，所以，又三種產品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%，記事件為“選到綁帶式口罩”，則所以由全概率公式可得選到綁帶式口罩的概率為.6．為了提升全民身體素質，學校十分重視學生體育鍛煉，某校籃球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，由全概率公式可求得結果.【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.【點睛】關鍵點點睛：本題考查利用全概率公式計算事件的概率，解題的關鍵就是弄清第球與第球投進與否之間的關系，結合全概率公式進行計算.7．甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．則投籃結束時，乙只投了1個球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，乙只投了1個球包括甲未投進乙投進結束，甲未投進乙未投進甲再投投進結束兩個互斥事件的和，由互斥事件的和的概率及獨立事件同時發生的概率求解.【詳解】設，分別表示甲、乙在第k次投籃時投中，則，，（，2），記“投籃結束時，乙只投了1個球”為事件D．則8，且各局比賽的勝負互不影響，則在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】甲以獲勝為事件，甲以勝為事件，則，互斥，利用互斥事件概率加法公式能求出在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率．【詳解】解：甲以獲勝為事件，甲以勝為事件，則，互斥，且，，所以在不超過4局的比賽中甲獲得冠軍的概率為：.9．2021年神舟十二號、十三號載人飛船發射任務都取得圓滿成功，這意味著我國的科學技術和航天事業取得重大進步．現有航天員甲、乙、丙三個人，進入太空空間站后需要派出一人走出太空站外完成某項試驗任務，工作時間不超過10分鐘，如果10分鐘內完成任務則試驗成功結束任務，10分鐘內不能完成任務則撤回再派下一個人，每個人只派出一次．已知甲、乙、丙10分鐘內試驗成功的概率分別為，，，每個人能否完成任務相互獨立，該項試驗任務按照甲、乙、丙順序派出，則試驗任務成功的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把試驗任務成功的事件拆成三個互斥事件的和，再求出每個事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式計算作答.【詳解】試驗任務成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，事件，，互斥，，，，所以試驗任務成功的概率.10．（2023屆陜西省模擬理科數學試題）某中學舉行疾病防控知識競賽，其中某道題甲隊答對該題的概率為，乙隊和丙隊答對該題的概率都是.若各隊答題的結果相互獨立且都進行了答題.則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據獨立事件的乘法公式計算即可.【詳解】解：記“甲隊答對該題”為事件A，“乙隊答對該題”為事件B，“丙隊答對該題”為事件C，則甲、乙、丙三支競賽隊伍中恰有一支隊伍答對該題的概率.11．設P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，則P(B)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可求出，再由即可求出.【詳解】，由，得.12．（2023屆浙江省模擬數學試題）隨著城市經濟的發展，早高峰問題越發嚴重，上班族需要選擇合理的出行方式．某公司員工小明上班出行方式由三種，某天早上他選擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為，而他自駕，坐公交車，騎共享單車遲到的概率分別為，結果這一天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率是．【答案】【分析】法1：設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，，利用貝葉斯公式即可得到答案；法2：直接在遲到的前提下計算概率.【詳解】法1：由題意設事件A表示“自駕”，事件B表示“坐公交車”，事件C表示“騎共享單車”，事件D“表示遲到”，則；，小明遲到了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是，法2：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率．13．加工某一零件需經過三道工序,設第一、二、三道工序的次品率分別為,且各道工序互不影響,則加工出來的零件的次品率為.【答案】【詳解】解析：加工出來的零件的次品的對立事件為零件是正品，由對立事件公式得加工出來的零件的次品率.14．已知隨機事件，有概率，，條件概率，則.【分析】根據條件概率公式計算即可.【詳解】∵，∴，.由乘法公式得.∴.15．（2023屆上海市模擬數學試題）設表示事件發生的概率，若，則.【答案】【分析】根據題意分別求出、進而利用即可求出結果.【詳解】因為，，則.16．（2023屆山西省模擬數學試題）在臨床上，經常用某種試驗來診斷試驗者是否患有某種癌癥，設“試驗結果為陽性”，“試驗者患有此癌癥”，據臨床統計顯示，．已知某地人群中患有此種癌癥的概率為，現從該人群中隨機抽在了1人，其試驗結果是陽性，則此人患有此種癌癥的概率為．【答案】【分析】根據已知得出，與，再由條件概率公式與全概率公式計算得出結果.【詳解】由題意可得：，，，，.17．（2023屆安徽省模擬考試（二模）數學試題）設某批產品中，甲、乙、丙三個車間生產的產品分別占45%、35%、20%，甲、乙車間生產的產品的次品率分別為2%和3%.現從中任取一件，若取到的是次品的概率為2.95%，則推測丙車間的次品率為.【答案】5%【分析】令A表示“取到的是一件次品”，，，分別表示取到的產品是由甲、乙、丙車間生產的，設，由全概率公式即可求解.【詳解】解：令A表示“取到的是一件次品”，，，分別表示取到的產品是由甲、乙、丙車間生產的，顯然是樣本空間S的一個劃分，且有，，.由于，，設，由全概率公式得：，而，故.18.【答案】/【分析】先分別求甲乙兩箱摸到紅球的概率，進一步求摸到紅球的概率.【詳解】甲箱摸到紅球的概率，乙箱摸到紅球的概率；硬幣正面向上時的概率，硬幣正面向下時的概率，故摸到紅球的概率為.19．有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，設棋子跳到第n站的概率為，若一枚棋子開始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，棋子向前跳動一次．若骰子點數小于等于3，棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第9站（失敗）或者第10站（獲勝）時，游戲結束．則；該棋手獲勝的概率為．【答案】/0.75；；【分析】根據題意找出與的關系即可求解.【詳解】由題，因為，故，由，所以，累加可得：．故答案為：；.20．已知第一層書架中有6本數學書，4本語文書；第二層書架中有8本數學書，12本語文書．隨機選取一層，再從該層中隨機取一本書，則它是數學書的概率為．【答案】【分析】利用獨立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式進行求解.【詳解】若選到第一層，則選到數學書的概率為，若選到第二層，則選到數學書的概率為，故隨機選取一層，再從該層中隨機取一本書，則它是數學書的概率為.21．（2023年浙江省模擬數學試題）甲乙兩個盒子中裝有大小、形狀相同的紅球和白球，甲盒中有5個紅球，2個白球；乙盒中有4個紅球，3個白球.先從甲盒中隨機取出一個球放入乙盒，再從乙盒中隨機取出一個球，則從乙盒中取出的是紅球的概率為.【答案】【分析】記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得出的值，然后根據全概率公式，即可得出答案.【詳解】記從乙盒中取出的是紅球為事件，從甲盒中取出的球為紅球為事件，取出白球為事件，由已知可得，，，，，根據全概率公式可得，.【能力提升】1．（2023屆江西省聯合考試數學（理）試題）一袋中有大小相同的個白球和個紅球，現從中任意取出個球，記事件“個球中至少有一個白球”，事件“個球中至少有一個紅球”，事件“個球中有紅球也有白球”，下列結論不正確的是（

）A．事件與事件不為互斥事件 B．事件與事件不是相互獨立事件C． D．【答案】D【分析】根據題意，取出的個球的可能情況為：個紅球；個紅球個白球；個紅球個白球；個白球，進而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再討論各選項即可得答案.【詳解】根據題意，取出的個球的可能情況為：個紅球；個紅球個白球；個紅球個白球；個白球.故事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個白球，且；事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球；個紅球，且；事件包含：個紅球個白球；個紅球個白球，且.所以，，，因為，則事件與事件不為互斥事件，A選項正確；，故事件與事件不是相互獨立事件，B正確；，故D錯誤；，故C正確；2．有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6．從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，A表示事件“第一次取出的球的數字是1”，B表示事件“第二次取出的球的數字是2”．C表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，D表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則下列命題正確的序號有．①A與C互斥；②；③A與D相互獨立；④B與C相互獨立．【答案】①③【分析】由互斥事件的定義可判斷①；分別列舉事件和事件的樣本點，可求得，，易知，，由相互獨立公式可判斷③，④；由條件概率公式可判斷②.【詳解】因為與不可能同時發生，所以與互斥，故①正確；包含：，，，，，共5個基本事件，包含：，，，，，，共6個基本事件，故，，，，則，故③正確；，故④錯誤；，故②錯誤；3．（2023屆浙江省適應性考試（三模）數學試題）一位飛鏢運動員向一個目標投擲三次，記事件“第次命中目標”，，，，則.【答案】【分析】由題意，計算條件概率，利用全概率公式，求得答案.【詳解】由題意，，，則；，，則；4．（2023年云南省模擬數學試題）流感病毒分為甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易發生變異，流感大流行就是甲型流感病毒出現新亞型或舊亞型重現引起的．根據以往的臨床記錄，某種診斷甲型流感病毒的試驗具有如下的效果：若以表示事件“試驗反應為陽性”，以表示事件“被診斷者患有甲型流感”，則有，．現對自然人群進行普查，設被試驗的人患有甲型流感的概率為，即，則．【答案】【分析】求出，，，，由條件概率公式和全概率公式可得答案.【詳解】因為，所以,因為，所以，所以，．5．（2023年湖北省聯考數學試題）2022卡塔爾世界杯比賽場地是在卡塔爾的8座體育館舉辦．將甲、乙、丙、丁4名裁判隨機派往盧賽爾，賈努布，阿圖瑪瑪三座體育館進行執法，每座體育館至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往盧賽爾體有館”；B表示事件“裁判乙派往盧賽爾體育館”；C表示事件“裁判乙派往賈努布體育館”，則（

）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C為互斥事件C． D．【答案】D【分析】先求出每個體育館至少派一名裁判總的方法數，再求出事件A，B分別發生的情況數與事件A，B同時發生的情況數，得到，判斷出A錯誤，同理可得B錯誤；利用條件概率求解公式得到C錯誤，D正確.【詳解】記三座體育館依次為①②③，每個體育館至少派一名裁判，則有種方法，事件A：甲派往①，則若①體育館分2人，則只需將乙、丙、丁與三個體育館進行全排列即可，有種，若①體育館分1人：則將乙、丙、丁分為兩組，與體育館②③進行全排列，有種，共有種，∴，同理，若甲與乙同時派往①體有館，則①體育館分兩人，只需將丙，丁與體育館②③進行全排列，有種，∴，故事件A與B不相互獨立，A錯誤；同理可得，，若甲派往①體有館與乙派往②體育館同時發生，若丙丁2人都去往體育館③，有種，若丙丁只有1人去往體育館③，剩余的1人去往體育館①或②，有種情況，綜上：甲派往①體有館與乙派往②體育館同時發生的情況有種，故，B錯誤；，D正確；事件C：裁判乙派往②體育館，若②體育館分2人，則只需將甲、丙、丁與三個體育館進行全排列，有種，若②體育館分1人，則則將甲、丙、丁分為兩組，與體育館①③進行全排列，有種，共有種，∴，若事件A，C同時發生，若丙丁2人都去往體育館③，有種，若丙丁只有1人去往體育館③，剩余的1人去往體育館①或②，有種情況，綜上：事件A，C同時發的情況有種，∴，，C錯誤；6．第24屆冬奧會奧運村有智能餐廳A、人工餐廳B，運動員甲第一天隨機地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.8．運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（

）【答案】A【分析】第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并，利用全概率公式求解.【詳解】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，則，且與互斥，根據題意得：，，，則.7．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球(球除顏色外，大小質地均相同)．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結論正確的個數是（

）①事件與相互獨立；②，，是兩兩互斥的事件；③；④；⑤A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先判斷出，，是兩兩互斥的事件，且不滿足，①錯誤，②正確，用條件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出結論.【詳解】顯然，，，是兩兩互斥的事件，且，，而，①錯誤，②正確；，，所以，③正確；④正確；，⑤錯誤，綜上：結論正確個數為3.8．（2023屆安徽省聯考數學試題）甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是（

）A． B．事件與事件B相互獨立C． D．【答案】D【分析】A選項，根據題意求出，判斷A選項；B選項，利用全概率公式求出，得到，判斷事件事件與事件B不相互獨立，得到D選項正確；C選項，利用條件概率公式求解即可.【詳解】由題意得，所以A錯誤；因為，，所以，即，故事件事件與事件B不相互獨立，所以B錯誤，D正確；，所以C錯誤；9．（2023屆江西省模擬考試數學（理）試題）三個元件，，獨立正常工作的概率分別是，，，把它們隨意接入如圖所示電路的三個接線盒，，中（一盒接一個元件），各種連接方法中，此電路正常工作的最大概率是．【答案】【分析】根據題意可知電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個正常工作，然后利用獨立事件乘法公式分類討論，，接入的元件不同的情況下電路正常工作的概率，結合，，的大小關系判斷最大概率.【詳解】由題意，元件，，不正常工作的概率分別為，，電路正常工作的條件為正常工作，，中至少有一個正常工作，（1）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（2）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是；（3）若，，接入的元件為，，或，，，則此電路正常工作的概率是因為，所以，所以此電路正常工作的最大概率是.10．（2010年普通高等學校招生全國統一考試（安徽卷）數學試題（理科））甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是________（寫出所有正確結論的編號）．①；②；③事件與事件相互獨立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因為它與中哪一個發生有關【答案】②④【分析】根據互斥事件的定義即可判斷④；根據條件概率的計算公式分別得出事件發生的條件下B事件發生的概率，即可判斷②；然后由，判斷①和⑤；再比較的大小即可判斷③.【詳解】由題意可知事件不可能同時發生，則是兩兩互斥的事件，則④正確；由題意得，故②正確；,①⑤錯；因為，所以事件B與事件A1不獨立，③錯；綜上選②④故答案為：②④【點睛】本題主要考查了判斷互斥事件，計算條件概率以及事件的獨立性，屬于中檔題.11．甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3個黑球（球除顏色外，大小質地均相同）.先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，下列說法正確的序號是.①事件，相互獨立；②；③；④；⑤．【答案】③④⑤【分析】首先判斷出，和是兩兩互斥事件，再判斷與是否相等，可確定①；求出可判斷②；利用全概率判斷③；再利用條件概率判斷④⑤.【詳解】依題意，，和是兩兩互斥事件，，，又，①②錯誤；又，，，③④正確；，⑤正確；故答案為：③④⑤.12．某商場經銷A，B兩種生活消耗品，顧客每次必買且只買其中一種，經過統計分析發現:顧客第一次購買時購買A的概率為.前一次購買A的顧客下一次購買A的概率為，前一次購買B的顧客下一次購買A的概率為那么某顧客第次來購買時購買A產品的概率為.【答案】【分析】設第次來購買時購買A產品的概率為，根據題設有，應用構造法及等比數列的定義判斷數列為等比數列，進而寫出通項公式即可.【詳解】設某顧客第次來購買時購買A產品的概率為，由題意，則，而，所以是首項為，公比為的等比數列，則，故.13．一學生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為．若已知他第二次已經及格，則他第一次及格的概率為．【答案】【分析】由條件概率的性質和全概率公式計算即可.【詳解】設“該學生第i次及格”為事件Ai，i＝1，2，顯然A1，A2為樣本空間的一個完備事件組，且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）．由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）．由貝葉斯公式得，P（A1|A2）．14．（2023屆山西省聯考數學試題）有甲、乙、丙三個開關和A，B，C三盞燈，各開關對燈的控制互不影響．當甲閉合時A，B亮，當乙閉合時B，C亮，當丙閉合時A，C亮．若甲、乙、丙閉合的概率分別為，，，且相互獨立，則在A亮的條件下，B也亮的概率為．【答案】【分析】若AB同時亮，則可能閉合甲開關或不閉合甲開關且同時閉合乙，丙開關.若AAB同時亮概率與A亮概率之