2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)空間位置關(guān)系的判斷與證明考情預(yù)覽

明確考向1.[空間線線位置關(guān)系](2021·浙江卷)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則(

)A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1√解析:法一連接AD1(圖略),則易得點(diǎn)M在AD1上,且AD1⊥A1D.因?yàn)锳B⊥平面AA1D1D,A1D?平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,又AD1∩AB=A,AD1,AB?平面ABD1,所以A1D⊥平面ABD1,又D1B?平面ABD1,所以A1D與D1B異面且垂直.在△ABD1中,由中位線定理可得MN∥AB,所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BB1D1D成45°角,所以MN與平面BB1D1D不垂直,所以選項(xiàng)A正確.故選A.2.[空間平面的平行與垂直](2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則(

)A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D√解析:如圖,對(duì)于選項(xiàng)A,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,從而EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)槠矫鍭1BD∩平面BDD1=BD,所以由選項(xiàng)A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,由題意知直線AA1與直線B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC不平行,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,連接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1,所以平面A1C1D與平面B1EF不平行,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.(1)求證:EF∥平面ADO;(2)若∠POF=120°,求三棱錐P-ABC的體積.4.[空間面面垂直的判定](2023·全國甲卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(1)證明:因?yàn)锳1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以A1C⊥BC.因?yàn)椤螦CB=90°,所以AC⊥BC,又A1C,AC?平面ACC1A1,A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又因?yàn)锽C?平面BB1C1C,所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)設(shè)AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.(2)解:如圖,過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1,垂足為O,因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1C,平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1O?平面ACC1A1,所以A1O⊥平面BB1C1C,所以A1O為四棱錐A1-BB1C1C的高.考法聚焦

講練突破熱點(diǎn)一空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷,解決問題.(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型,如從長方體、正四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系,并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷.典例1

(1)(2023·河南焦作模擬)設(shè)m,n,l是三條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是(

)A.若m?α,n∥β,α⊥β,則m⊥nB.若m∥α,α∩β=n,則m∥nC.若α∩β=l,α⊥β,m?α,m⊥l,m∥n,則n⊥βD.若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α∥β√解析:(1)若m?α,n∥β,α⊥β,則m與n的位置關(guān)系可能是平行、相交或異面,故A錯(cuò)誤;若m∥α,α∩β=n,則m與n的位置關(guān)系可能是平行或異面,故B錯(cuò)誤;若α∩β=l,α⊥β,m?α,m⊥l,則m⊥β,因?yàn)閙∥n,所以n⊥β,故C正確;因?yàn)閙⊥n,m⊥α,n∥β,所以α與β相交或平行,故D錯(cuò)誤.故選C.(2)(2023·浙江紹興模擬預(yù)測(cè))如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是線段CD1上的動(dòng)點(diǎn),則(

)A.AP∥平面BC1D B.AP∥平面A1BC1C.AP⊥平面A1BD D.AP⊥平面BB1D1√解析:(2)如圖,連接AD1,AC,A1C1,A1B,BC1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,由AA1與CC1平行且相等得四邊形ACC1A1是平行四邊形,則A1C1∥AC,又AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,得AC∥平面A1BC1,同理AD1∥平面A1BC1,而AD1,AC是平面AD1C內(nèi)兩條相交直線,因此有平面AD1C∥平面A1BC1,又AP?平面AD1C,所以AP∥平面A1BC1.故選B.(1)根據(jù)定理判斷空間線面位置關(guān)系,可以舉反例,也可以證明,要結(jié)合題目靈活選擇.(2)求角時(shí),可借助等角定理先利用平行關(guān)系找到這個(gè)角,然后把這個(gè)角放到三角形中去求解.熱點(diǎn)訓(xùn)練1

(1)(2022·四川瀘州模擬)已知O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O關(guān)于平面A1B1C1D1的對(duì)稱點(diǎn),則下列說法中正確的是(

)A.O1C1與A1C是異面直線B.O1C1∥平面A1BCD1C.O1C1⊥ADD.O1C1⊥平面BDD1B1√解析:(1)連接A1C,AC1,交于點(diǎn)O,連接A1C1,B1D1,交于點(diǎn)P.連接AC,BD,A1B,D1C,O1O.由題可知,O1在平面A1C1CA上,所以O(shè)1C1與A1C共面,故A錯(cuò)誤;在四邊形OO1C1C中,O1O∥C1C且O1O=C1C,所以四邊形OO1C1C為平行四邊形,所以O(shè)1C1∥OC.因?yàn)镺C?平面A1BCD1,O1C1?平面A1BCD1,所以O(shè)1C1∥平面A1BCD1,故B正確;由正方體的性質(zhì)可得A1C1⊥B1D1,因?yàn)镺1B1=O1D1,所以O(shè)1P⊥B1D1,又因?yàn)镺1P∩A1C1=P,O1P,A1C1?平面O1A1C1,所以B1D1⊥平面O1A1C1,又O1C1?平面O1A1C1,所以B1D1⊥O1C1,又因?yàn)锽1D1∥BD,所以BD⊥O1C1,而AD與BD所成角為45°,顯然O1C1與AD不垂直,故C錯(cuò)誤;顯然O1C1與O1B1不垂直,而O1B1?平面BDD1B1,所以O(shè)1C1與平面BDD1B1不垂直,故D錯(cuò)誤.故選B.(2)(多選題)(2023·廣東廣州統(tǒng)考三模)如圖,在矩形AEE1A1中,點(diǎn)B,C,D與點(diǎn)B1,C1,D1分別是線段AE與A1E1的四等分點(diǎn),且AA1>AB.若把矩形AEE1A1卷成以AA1為母線的圓柱的側(cè)面,使線段AA1,EE1重合,則(

)A.直線AB1與DC1異面B.直線AB1與CD1異面C.直線B1C1與平面CDD1垂直D.直線CD1與平面ADC1垂直√√解析:(2)對(duì)于A,因?yàn)辄c(diǎn)B,C,D與點(diǎn)B1,C1,D1分別是線段AE與A1E1的四等分點(diǎn),取O,O1分別為下底面和上底面的圓心,根據(jù)對(duì)稱性可知直線AB1∥DC1,故A不正確;對(duì)于B,連接CD1,直線AB1與CD1既不平行也不相交,故直線AB1與CD1為異面直線,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)辄c(diǎn)B,C,D與點(diǎn)B1,C1,D1分別是線段AE與A1E1的四等分點(diǎn),連接DD1,D1C,DC,BC,AB,AD,BB1,A1C1,A1B1,BD,由圓柱的性質(zhì)知,DD1∥CC1,DD1=CC1,所以四邊形D1DCC1為平行四邊形,所以DC∥D1C1,同理BC∥B1C1,因?yàn)锽D為圓O的直徑,所以CD⊥BC,即DC⊥B1C1,又因?yàn)镈D1⊥底面A1B1C1,B1C1?底面A1B1C1,所以DD1⊥B1C1,DD1∩DC=D,DD1,DC?平面CDD1,所以B1C1⊥平面CDD1,故C正確;熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明(1)平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化(2)利用向量證明空間位置關(guān)系①利用向量證明平行問題.a.線線平行:方向向量平行.b.線面平行:平面外的直線的方向向量與平面的法向量垂直.c.面面平行:兩平面的法向量平行.②利用向量法證明垂直問題的類型及常用方法.線線垂直問題證明兩直線所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問題直線的方向向量與平面的法向量共線,或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直問題兩個(gè)平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直典例2如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,M為AB的中點(diǎn),N為B1C1的中點(diǎn),H是A1B1的中點(diǎn),P是BC1與B1C的交點(diǎn),Q是A1N與C1H的交點(diǎn).(1)求證:A1C⊥BC1;證明:(1)法一連接AC1(圖略),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有AA1⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以AA1⊥AB.又∠BAC=90°,則AB⊥AC,因?yàn)锳A1∩AC=A,AA1,AC?平面ACC1A1,所以AB⊥平面ACC1A1.因?yàn)锳1C?平面ACC1A1,所以AB⊥A1C.因?yàn)锳C?平面ABC,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC,又AC=AA1=2,所以四邊形AA1C1C為正方形,所以A1C⊥AC1.因?yàn)锳B∩AC1=A,AB,AC1?平面ABC1,所以A1C⊥平面ABC1,因?yàn)锽C1?平面ABC1,所以A1C⊥BC1.(2)求證:PQ∥平面A1CM.證明:(2)法一連接BH,MH.在正方形AA1B1B中,M為AB的中點(diǎn),H為A1B1的中點(diǎn),所以BM∥A1H且BM=A1H,所以四邊形BMA1H是平行四邊形,所以BH∥A1M.因?yàn)锽H?平面A1CM,A1M?平面A1CM,所以BH∥平面A1CM.又H為A1B1的中點(diǎn),所以四邊形AA1HM是矩形,所以MH∥AA1且MH=AA1.因?yàn)锳A1∥C1C且AA1=C1C,所以MH∥CC1,MH=C1C,所以四邊形MHC1C為平行四邊形,所以C1H∥CM.因?yàn)镃1H?平面A1CM,CM?平面A1CM,所以C1H∥平面A1CM,因?yàn)镃1H∩BH=H,C1H?平面BHC1,BH?平面BHC1,所以平面BHC1∥平面A1CM,又PQ?平面BHC1,所以PQ∥平面A1CM.(1)證明線線平行的常用方法:①三角形的中位線定理等平面幾何中的定理;②平行線的傳遞性;③線面平行的性質(zhì)定理;④面面平行的性質(zhì)定理;⑤線面垂直的性質(zhì)定理.(2)證明線線垂直的常用方法:①等腰三角形三線合一等平面幾何知識(shí);②勾股定理的逆定理;③利用線面垂直證線線垂直.熱點(diǎn)訓(xùn)練2

(2023·廣東深圳模擬預(yù)測(cè))在正三角形ABC中,E,F,P分別是AB,AC,BC邊上的點(diǎn),滿足AE