第2講基本初等函數、函數與方程考點一考點二考點三考點一基本初等函數的圖象與性質——對比學習，類比應用

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2．指數函數與對數函數的圖象和性質指數函數y＝ax(a>0，a≠1)與對數函數y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質，分0<a<1，a>1兩種情況，當a>1時，兩函數在定義域內都為________，當0<a<1時，兩函數在定義域內都為________．增函數減函數答案：B答案：C答案：C歸納總結基本初等函數的圖象與性質的應用技巧(1)對數函數與指數函數的單調性都取決于其底數的取值，當底數a的值不確定時，要注意分a>1和0<a<1兩種情況討論：當a>1時，兩函數在定義域內都為增函數；當0<a<1時，兩函數在定義域內都為減函數；(2)由指數函數、對數函數與其他函數復合而成的函數，其性質的研究往往通過換元法轉化為兩個基本初等函數的有關性質，然后根據復合函數的性質與相關函數的性質之間的關系進行判斷；(3)對于冪函數y＝xα的性質要注意α>0和α<0兩種情況的不同．對點訓練1.[2023·內蒙古赤峰市八校高三聯考]納皮爾是蘇格蘭數學家，其主要成果有球面三角中的納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則(1614)和納皮爾算籌(1617)，而最大的貢獻是對數的發明，著有《奇妙的對數定律說明書》，并且發明了對數表，可以利用對數表查詢出任意對數值．現將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是T1(℃)，空氣的溫度是T0(℃)，經過t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式t＝4[log3(T1－T0)－log3(T－T0)]得出；現有一杯溫度為70℃的溫水，放在空氣溫度為零下10℃的冷藏室中，則當水溫下降到10℃時，經過的時間約為(參考數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(

)A．3.048分鐘B．4.048分鐘C．5.048分鐘D．6.048分鐘答案：C答案：B

考點二函數的零點——“零點”“實根”相互轉化考點二函數的零點——“零點”“實根”相互轉化1．函數的零點及其方程根的關系對于函數f(x)，使f(x)＝0的實數x叫做函數f(x)的零點．函數F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數y＝f(x)的圖象與函數y＝g(x)的圖象交點的橫坐標．2．零點存在性定理如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．2

解析：當x≤0時，x2－1＝0，解得：x＝－1，當x>0時，f（x）＝x－2＋lnx單調遞增，并且f（1）＝1－2＋ln1＝－1<0，f（2）＝2－2＋ln2>0，f（1）f（2）<0，所以在區間（1，2）內必有一個零點，所以零點個數為2個．(2)[2023·河南省高三上學期考試]已知函數f(x)＝log2(x－1)＋a在區間(2，3)上有且僅有一個零點，則實數a的取值范圍為________．（－1，0）解析：

由對數函數的性質，可得f（x）為單調遞增函數，且函數f（x）在（2，3）上有且僅有一個零點，所以f（2）·f（3）<0，即a·（a＋1）<0，解得－1<a<0，所以實數a的取值范圍是（－1，0）.歸納總結1．判斷函數在某個區間上是否存在零點的方法(1)解方程：當函數對應的方程易求解時，可通過解方程判斷方程是否有根落在給定區間上；(2)利用零點存在性定理進行判斷；(3)畫出函數圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷．2．判斷函數零點個數的方法(1)直接求零點：令f(x)＝0，則方程解的個數即為零點的個數．(2)利用零點存在性定理：利用該定理還必須結合函數的圖象和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點．(3)數形結合法：對于給定的函數不能直接求解或畫出圖形時，常會通過分解轉化為兩個能畫出圖象的函數交點問題．

答案：D

歸納總結利用函數零點的情況求參數的范圍的3種方法

答案：B

答案：D

考點三函數模型的應用——提取信息，合理建模

答案：C歸納總結解決函數實際應用題的兩個關鍵點(1)認真讀題，縝密審題，準確理解題意，明確問