13.4課題學習最短路徑問題〔第1課時〕一、教學內容分析本節課是人教版八年級數學上冊第十三章《軸對稱》的課題學習，在學習了三角形、全等三角形及軸對稱這三章后，學生全面掌握了軸對稱這一特殊全等形，從而具備了解決本課問題的知識根底。課題學習中，總共提出了兩個問題，分別利用軸對稱和平移解決，第1課時準備解決第一個問題。二、教學目標分析數學來源于生活，因此，要讓學生會將生活中的實際問題轉化成數學問題，用數學中的圖形、符號來表示生活中的實例。同時，根據本節課的要求，能夠利用軸對稱來解決此類問題。基于以上考慮，確定本節課的教學目標和重難點如下：1、能夠將實際問題轉化成數學問題，完成具體到抽象的轉換；2、能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題；3、通過具體實例感受數學來源生活、效勞生活，調動學生的數學學習興趣，培養學生的數學應用意識。重點：利用軸對稱解決兩條線段和最短問題難點：如何把問題轉化成“兩點之間，線段最短”三、教學過程設計1、知識儲藏軸對稱性質，跟“最短”有關的定理“兩點之間，線段最短”，“點到直線的所有連線中，垂線段最短”。如圖，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，到河邊的什么地方最近？假設牧馬人從A地出發，淌過筆直的小河l到另一邊的B地，怎樣的路徑最短？【設計意圖】讓學生回憶舊知，為解決問題準備好稱手的工具。2、問題鋪墊如圖，點A、B分別是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、B的距離和最短？容易尋找到方法：連接AB，與直線l的交點即為所求，根據“兩點之間，線段最短”可證明。【設計意圖】從已有知識出發，給出一個解決問題的根底。3、情景導入如圖，牧馬人從A地出發，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？轉換成數學問題：如圖，把河邊l近似地看成一條直線，在直線l上尋找一處點C，使得AC+BC的和最小。解決上述問題，困難在于所學的與“最短”有關的定理均為一條線段最短，而本問題中要求兩條線段和最短，那么，化兩條線段和為一條線段那么成為解決問題的關鍵。【設計意圖】會用數學圖形和符號將實際問題抽象成數學問題，以方便我們使用數學工具來解決。4、問題轉化把已經解決的問題與待解決的問題對照，發現不同之處僅在于“同側”和“異側”，那么，如何轉化呢？我們已經解決了當點A和點B在直線l異側時，找到直線上的點C，使得AC+BC和最小，能否在直線l另一側尋求到一個點B’，使得B’C=BC，就只需要找到直線上的點C，使AC+B’C的和最小即可。這樣的點B’怎么找？既然要求點C到B和B’的距離相等，說明點C一定在線段BB’的垂直平分線上，即直線l應是線段BB’的垂直平分線。那么，引導學生聯想到軸對稱知識，作出點B關于直線l的對稱點B’，正是我們所需要的轉化。下面我們只需要尋找點C，使A、B’之間的距離最短，與前一個問題解決方法相同。【設計意圖】利用軸對稱知識，將新問題轉化成已經解決的問題5、證明合理作點B關于直線l的對稱點B’，連接A、B’，得到與l的交點C，那么點C即為所求的點，為了證明AC+BC最短，我們在直線l上另取一點C’，再連接AC’、B’C’、BC’，如下圖：證明：由軸對稱性質得BC=B’C，BC’=B’C’在△AB’C’中，由兩邊之和大于第三邊，得AC’+B’C’>AB’即AC’+B’C’>AC+B’C∴AC’+BC’>AC+BC即AC+BC最短。【設計意圖】用標準的幾何語言證明解決問題的科學性。6、課堂小結通過本節課的學習，如何解決兩條線段的和最短問題，你學到了什么方法？【設計意圖】：及時的總結利于學生對所學知識的掌握。四、作業設計評講1、如圖，小河邊有兩個村莊A，B，要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水。(1)假設要使廠部到A，B村的距離相等，那么應選擇在哪建廠？(2)假設要使廠部到A，B兩村的水管最短，應建在什么地方？2、如圖，牧馬人從A地出發，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑.3、如圖，點A是∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM、ON上各取一點B、C，與點A組成三角形，使三角形周長最小.五、教學反思點評在從異側兩點路徑最短的問題過渡到同側兩點路徑最短的問題時，略顯不自然，如果此處由教師給出軸對稱的作法及證明，學生經過練習也能熟練完本錢課作業，但是知識未經消化，屬于灌輸，假設在九年級幾何綜合中，容易導致找不到思路的情況，因此，如何將利用軸對稱解決最短路徑問題由學生思考自然生成，是本節課的一個難點，也是組內老師們討論最劇烈的評課話題。方法一：事先在幾何畫板中作出點B與它關于直線l的對稱點B’，然后讓學生觀察拖動點C時，測量數據的變化情況，發現當A、C、B’三點共線時，路徑最短。優點是較容易讓學生聯想到軸對稱，并利用軸對稱來轉化問題，缺點是仍然顯得生硬，學生會有疑問：為什么是軸對稱？方法二：逐步引導學生，先讓學生思考同側兩點中，能否將其中一點轉換到直線另一側，并提出要求，轉換過去的點與原來的點，到直線l上任意一點的距離相等，假設學生仍然存在疑問，那么進一步引導，到兩點距離相等的點，都在這兩點連線的垂直平分線上，而這條直線就是l，從而引出作軸對稱點。優點是照顧了全體學生，能夠有效引導學生思考，促進學生將軸對稱知識的應用消化掉，缺點是耗時較多，有可能會影響整節課的進度，對教師的教學語言要求比擬高。關于尺規作圖在本節課中的使用，教材沒有提出要求，只要求能夠用繪圖工具完成即可，但個人認為，尺規作圖作為標準幾何作圖，其實質并不在于僅僅作出圖形，而是通過作圖，培養學生正確認知幾何圖形之間的幾種常用變換如旋轉、平移、軸對稱，從后續學段的教學來看，尺規作圖掌握較好的學生，在九年級學習這幾大幾何變換時，優勢非常明顯，他們對圖形的認知層次也較深，盡管本節課中并未要求尺規作圖，但堅持使用的學生往往在解決問題時顯得游刃有余，這又是另一個值得深思的問題。從學生反應的作業情況來看，作業的第1題第〔1〕小題出現了局部學生遺忘尺規作圖的情況，簡單的作線段垂直平分線，多數學生不會作，而第〔2〕小題完成情況較好，多數學生能夠準確繪出圖形。第2題只有少數學生能夠作出圖形，因為此題中有兩個點需要作對稱點，難度較高，如果在課堂上沒有消化用軸對稱解決最短路徑問題的方法，那么就會出現找不到思路的情況，同樣的第3題是將同一個點作關于不同直線的對稱點，難度也高于課本問題，完成情況同樣不理想，因此，本節課的教學目標只能說根本完成，而不能稱之為圓滿完成，是比擬遺憾的事。由于上課是在十中這個特殊的學生群體中，因此，對本節課的教學目標也存在一個標高的問題，按教材的要求，學生能夠獨立完成模仿作圖，并解決類似課本的問題，是第一層，能夠理解軸對稱在解決問題中的意義，并且能夠完成課本習題中的拓廣探索，是第二層，能夠熟練應用軸對稱在幾何、函數綜合