初高中數學銜接讀本

嘛＜

各位新同學，歡迎來到應城一中，你們將在這里度過緊張而愉快的

三年。數學是一門重要的課程，其地位不容置疑，同學們在初中已經學

過很多數學知識，這是遠遠不夠的，而且現有初高中數學知識存在以下

“脫節”：

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的

涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解兒乎不作要求，但高中教材許多化簡

求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中

函數、不等式常用的解題技巧。

4.初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫

穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區間、求最

大、最小值，研究閉區間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方

法。

5.二次函數、二次不等式與二次方程的聯系，根與系數的關系（韋達定理）在

初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規運算和難度不大的應用題型，而在高中二

次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容，高中教材卻未安排專門

的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖

像的上、下；左、右平移，兩個函數關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。

7.含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這

部分內容視為重難點。方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。

8.兒何部分很多概念（如重心、垂心、外心、內心等）和定理（如平行線分線

段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分線定理等）初中生大都沒有學習，而

高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數法初中教學大大弱化，不利于高中知識的

講授。有鑒于此，特編寫該讀本，供教學之用，希望認真學習。

目錄

1.1數與式的運算

1.1.1絕對值

1.1.2乘法公式

1.13二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數的關系（韋達定理）

2.2二次函數

2.2.1二次函數尸a*+6x+c的圖像和性質

2.2.2二次函數的三種表示方式

2.2.3二次函數的簡單應用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

2.3.2一元二次不等式解法

3.1相似形

3.1.1.平行線分線段成比例定理

3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2幾種特殊的三角形

3.3圓

3.3.1直線與圓，圓與圓的位置關系

3.3.2圓基定理及其應用

1.1數與式的運算

1.1.1.絕對值

絕對值的代數意義：正數的絕對值是它的本身，負數的絕對值是它的相反數，

零的絕對值仍是零.即

a,a>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數的絕對值，是數軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數的差的絕對值的幾何意義：|a-b|表示在數軸上，數。和數b之間的距離.

例1解不等式：卜-1|+卜一3|>4.

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；

①若X<1,不等式可變為-(X-1)-(x—3)>4,

即—2x+4>4,解得x〈0,

又x<1,

?*.x<0；

②若14x<2,不等式可變為(x-l)-(x-3)>4,

即1>4,

???不存在滿足條件的X；

③若xN3,不等式可變為(x-l)+(x-3)〉4,

即2x-4>4,解得x>4.

又x>3,

?*.x>4.

綜上所述，原不等式的解為

x<0,或x>4.

解法二：如圖1.1—1,卜-1|表示x軸

上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間

的距離|網,即解|=|尤一3|表示x軸上點尸到坐標為3的點8之間的距離|尸引,

即|尸身=伏一3|.

所以，不等式|x-l|+|x-3]>4的兒何意義即為

\PA\+\PB\>4.

由HB|=2,可知

點P在點C(坐標為0)的左側、或點P在點。(坐標為4)的右側.

x<0,或x>4.

練習

1.填空：

(1)若兇=5,則尸；若兇=|一4|,貝U尸.

(2)如果時+網=5,且a=-1,則b=；若|l-c|=2,貝Uc=

2.選擇題:

下列敘述正確的是()

(A)若同=網，則a=((B)若|4>網,則a>(

(C)若a<b,則同<例(D)若同=同,則a=±C

3.化簡：\x—5|一\2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a—6)="2-/；

(2)完全平方公式(a±b)2^a2±2ab+b2.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+Z?)(a2-a/7+/72)=a3+b3；

(2)立方差公式(a-6)伍2+"+/)=/—/；

(3)三數和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)兩數和立方公式(a+=a^+3a2b+3ab2+b3；

(5)兩數差立方公式(a-b)3^a3-3a2b+3ab2-b3.

對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明.

例1計算：(X+1)(%—l)(x--X+l)(x*+X+1).

解法一：原式=(/-1)[(丁+1)2-犬]

2

=(X-1)(/+尤2+1)

=x6-1.

解:去二：原式=(x+l)(x2一x+l)(x-l)(x2+尤+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知。+。+。=4,ab+bc+ac=A,求〃之+^+/的值.

ft?：ci~+b~+c~=(a+/?+c)~—2(ab+he+ac)—8.

練習

1.填空:

(1)-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4〃？+)2=16m2+4/?:+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.選擇題：

(1)若x?+J■機x+左是一個完全平方式，貝必等于()

2

(A)m'(B)—m2(C)—m2(D)-m2

4316

(2)不論a,匕為何實數，/+從一2q—4b+8的值()

(A)總是正數(B)總是負數

(C)可以是零(D)可以是正數也可以是負數

1.1.3.二次根式

一般地，形如&(a20)的代數式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開

得盡方的式子稱為無理式.例如3a+yja2+b+2b,+方等是無理式,而

42x2+x+1,x2+yflxy+y2,等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)有

理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的

積不含有二次根式，我們就說這兩個代數式互為有理化因式，例如應與血，3所與

&,出+迎與6-瓜,2百-3在與26+3a,等等.一般地，a?與G,

aG+t)G與a&-bG，+b與a五-A互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號

的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根

號的過程.

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運

算中要運用公式—揚=”石(a20,620)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式

的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似,

應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式〃7的意義

[-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)V12^；(2)y/a^b(a>0)；(3)^4x6y(x<0).

解：(1)=2笈；

(2)yja2b-|a|yfb-ajb(a>0)；

6i

(3)y)4xy=2^x^y[y=-2xy/y(x<0).

例2計算：百+(3-G).

角星法一：6+(3—JJ)=——~i=

3—A/3

_V3-(3+V3)

―(3—6)(3+百)

_373+3

9-3

_3(73+1)

6

—出+1

2

解法二：6十(3—6)=

V3

V3(V3-1)

_1

V3-1

V3+1

(73-1)(73+1)

_V3+1

2

例3試比較下列各組數的大小：

(1)A/12-VH^VTT-VlO；(2)——和2亞一網.

V6+4

V12-VTT_(Vi2-VTT)(Vi2+VTT)_i

解:(1)vvii-vn

i712+711-Vii+ViT?

VTT-VTo(Vil-Vio)(Vn+V10)1

VTT-Vio

iVTT+VToVTi+Vio，

/.7i2-VTT<VH-Vi().

272-76(272-76)(272+76)2

(2)Y2五一娓=

12V2+V6-2&+折

又4>2啦，

*'."76+4>^6+2^2,

——<272-76.

V6+4

例4化簡：(G+夜產1(6-立嚴5.

解：(行+0嚴4.(0-行嚴$

=(V3+V2)2004.(A/3-V2)2004-(V3-V2)

2004

二[(0+V2).(A/3-V2)].(A/3->/2)

=l2004.(V3-V2)

=V3-V2?

(2)^x2+4—2(0<%<1).

例5化簡：（1）79-475；

解：（1）原式=加-4逐+4

=J(右)2-2x2x6+22

=J(2—后

=|2-V5|=V5-2.

1

（2）原式=x——

X

0<x<1,

**?一〉1>X,

X

所以，原式='—x.

例6已知x=W~9,y=孑+^,求3f-5盯+3產的值.

解:?；x+y=+省+J=(G-亞曰+(百+物2=1o,

-V3+V2V3-V2

V3-V2V3+V2,

”石方.忑F

...3x2-5孫+3/=3(x+y)2-llxy=3xl02-ll=289.

練習

1.填空：

1+V3

(2)若J(5-X)(X-3)2=(x-3)VT3,則x的取值范圍是.

(3)4V24-6V54+3V96-2V150=；

//、-StVsmilJx+1—yJx—\Jx+1+-s/x—1

(4)若x=--，貝U1------i-----+i-------I-----=_________________

2+—1，X+1—yjX—1

2.選擇題：

等式/衛=丁工成立的條件是

()

Vx-24x-2

(A)xw2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若6二至三他三，求a+b的值.

。+1

4.比較大小：2—仍____小一也(填“>”，或"V”).

1.1.4分式

1.分式的意義

AAA

形如4的式子，若8中含有字母，且8/0,則稱j為分式.當時，分式2

BBB

具有下列性質：

AAxM

~B~BxM；

A_A^-M

~B~'

上述性質被稱為分式的基本性質.

2.繁分式

a

像―匕，〃?："+〃這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1若上土=4+"-,求常數4,8的值.

x(x+2)xx+2

々力??ABA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4

??+===9

xx+2x(尤+2)x(x+2)x(x+2)

*A+8=5,

??《

2A=49

解得A=2,8=3.

例2(1)試證：-1—=』-——(其中〃是正整數);

n(n+1)n〃+1

11

(2)計算:-----1-----F…+

1x22x3------9x10

(3)證明：對任意大于1的正整數〃，有」一+」-+???+—1—<-.

2x33x4〃(幾+1)2

(1)證明：V-一一—+―1—,

n〃+1〃(“+1)〃(〃+1)

.?.」一=1---(其中〃是正整數)成立.

〃(幾+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知

111

----++???+-----

1x22739x10

223910

—=2

1010

11

(3)證明：V—+—+???+

2x33x471(71+1)

11A1

=(---)+(---)+-+

nn+1

11

271+1

又n>2,且〃是正整數,

.1

?定為正數,

1111

++???+<2.

2x33x4〃(〃+1)

例3設e=￡，且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2c2—5ac+2a2=0兩邊同除以“2,得

2e2—5e+2=0,

???(2e—l)(e—2)=0,

VI,舍去；或e=2.

?'?e=2.

練習

1.填空題：

對任意的正整數〃，一1一=___(--――);

n(n+2)n〃+2

2.選擇題：

若在二2=2,則土=()

X+y3y

546

(A)1(B)-(C)-(D)-

4

正數滿足》2—y2=2xy,求匕的值.

99x100

習題1.1

A組

1.解不等式:

(1)|x-l|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-l|+|x+l|>6.

2.已知x+y=l,求Y+)產+3xy的值.

3.填空：

(1)(2+V3)I8(2-V3)'9=；

(2)若7(1-?)2+，(l+a)2=2,則a的取值范圍是；

p1]]]1

1+V2+V2+V3+V3+V4+V4+V5+V5+V6-

B組

1.選擇題:

(1)若\]—u—b2,\/ub=\)—b~J—a,貝1J()

(A)a<b(B)a>h(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)計算等于()

(A)J—a(B)(C)—J—a(D)—yj~u

2.填空:

則3a1-ab

(1)a=—,b=—

233a2+5ah-2b2

(2)若/+盯-2y2=0,則三字二22

x+y

3.已知：x=-,y=-)求廠一.，)廠的值.

23y/x-y/yy/x+y/y

4.解方程2(X2+±)—3(X+L)—1=0.

XX

1111

5.計算:----1-----1+???d

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,

另外還應了解求根法及待定系數法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)%2—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如圖將二次項x2分解成圖中的兩個X的積，再將常數項2分

解成一1與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數乘積的和為一3x,就是f—3x+

2中的一次項，所以，有

x2—3x+2=(x—l)(x—2).

圖1.2—1圖1.2—2圖1.2—3圖1.2—4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖L2—1中的兩個

x用1來表示(如圖1.2—2所示).

(2)由圖1.2—3,得

X2+4X—12=Q—2)(X+6).

(3)由圖1.2—4,得

x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)v-1

yK)

(4)xy-l+x-y=xy+(x-y)-l圖].2—5

=。-1)6+1)(如圖1.2—5所示).

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)9+9+3x?+3x；(2)2x~+xy—y~—4x+5y-6.

解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

.v'+9+3x~+3x—(x，+3x2+3x+1)+8—(x+1)^+8

=(x+1)3+23

=[(A:+1)+2][U+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3).

(2)lx1+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x->,+2)(x+y-3).

或

2x2+xy-y2-4X+5)!-6=(2X2+xy-y2)-(4^-5y)-6

=(2x-y)(x+y)―(4x_5y)—6

=(2x-y+2)(x+y-3).

3.關于x的二次三項式af+Ax+cg#))的因式分解.

若關于x的方程ax2+bx+c=0(a/0)的兩個實數根是玉、x2,則二次三項式

2

ax+/?x+c(〃w0)就可分解為a(x-x1)(x-x2).

例3把下列關于x的二次多項式分解因式：

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

解:(1)令/+2彳-1=0,則解得玉=一1+正，x2=-l-V2,

'?x2+lx-1=[x-1+[x-(-1-

=(x+1—V2)(x+1+Vz).

(2)令犬+4盯-4)2=0,則解得石=(—2+2夜)y,x,=(-2-272)y

/./+4盯―4y2=[x+2(1-y/2)y][x+2(1+揚y].

練習

1.選擇題：

多項式2犬-xy-l5y之的一個因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)x?+6x+8；(2)Sa3-b3；

(3)x1-1x~1；(4)4(x—y+l)+y(y_2x).

習題1.2

1.分解因式：

(1)/+1；(2)4X4-13X2+9；

(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.在實數范圍內因式分解：

(1)X2-5X+3；(2)X2-2V2X-3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

3.MBC三邊滿足/+/+c2=“b+bc+ca,試判定A48c的形狀.

4.分解因式：x2+x-(a2—a).

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

我們知道，對于一元二次方程。，+云+。=0（”用），用配方法可以將其變形為

2

、2b-4ac

/b①

4a2

因為中0,所以，4?2>0.于是

（1）當廿一4m>0時，方程①的右端是一個正數，因此，原方程有兩個不相等

的實數根

_-b±yJb2—4ac

（2）當從一4ac=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數根

b

Xi=X2=——；

2a

（3）當好一4ac、V0時，方程①的右端是一個負數，而方程①的左邊（x+2產一

2a

定大于或等于零，因此，原方程沒有實數根.

由此可知，一元二次方程af+bx+cn。（a/0）的根的情況可以由從-4ac來判

定，我們把“一4ac叫做一元一二次方程/+法+?=0（“#））的根的判別式，通常用

符號“A”來表示.

綜上所述，對于一元二次方程公？+加;+，=0（々邦），有

（1）當A>0時，方程有兩個不相等的實數根

-b+ylb2-4ac

XI，2=----------------；

2a

（2）當A=0時，方程有兩個相等的實數根

（3）當A<0時，方程沒有實數根.

例1判定下列關于x的方程的根的情況（其中。為常數），如果方程有實數根,

寫出方程的實數根.

(1)X2-3X+3=0；(2)x2-ax-l=0；

(3)x2—tzx+(a-1)=0；(4)2x+a=0.

解：(1)VA=32-4xlx3=-3<0,，方程沒有實數根.

(2)該方程的根的判別式△=/—4x1x(—1)=/+4>0,所以方程一定有兩個

不等的實數根

a+y/a2+4a--\/a2+4

x,=---------,%,=---------.

122

(3)由于該方程的根的判別式為

222

A=a—4xlx(fl—i)=a—4a+4=(a—2),

所以，

①當a=2時，△=(),所以方程有兩個相等的實數根

X\=X2=1；

②當時，△>(),所以方程有兩個不相等的實數根

XI=1,X2=Q1?

(3)由于該方程的根的判別式為

△=22—4x"a=4—4a=4(l—a),

所以

①當A>0,即4(1一編>0,即時，方程有兩個不相等的實數根

X]=1+J1—a,Xj—1—J1—a;

②當△=(),即。=1時，方程有兩個相等的實數根

X\=X2=1；

③當△<(),即。>1時，方程沒有實數根.

說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號隨著。的取值的變化而變化,

于是，在解題過程中，需要對。的取值情況進行討論，這一方法叫做分類討論.分

類討論這一思想方法是高中數學中一個非常重要的方法，在今后的解題中會經常地

運用這一方法來解決問題.

2.1.2根與系數的關系(韋達定理)

若一,元二次方程云+c=0(〃#))有兩個實數根

-h+\h2-4ac-b-\Jb2-4ac

x=------------------，X)—-------------------,

}1la2la

則有

-b+\!b2-4ac-b-y/b2-4ac-2bb

X,4-Xj=-------------------1-------------------=-----=----;

2a2a2aa

_-b+db2-4ac-b-\b2-4ac_b2-(b1-4ac)_4ac_c

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數之間存在下列關系：

卜c

如果ax2+bx+c=0(?^0)的兩根分別是xi，Xi,那么xi+x=——，xrx=—.這

2a2a

一關系也被稱為韋達定理.

特別地，對于二次項系數為1的一元二次方程f+px+q=O,若沏，應是其兩根,

由韋達定理可知

xi+x2=—P，x\-xi=q,

即/?=-(X1+X2),q=X\'X2,

所以，方程f+px+qu。可化為7—(X[+x2)x+xrX2=0,由于X”X2是一元二

次方程f+px+q=O的兩根，所以，X1，X2也是一元二次方程X?—(Xi+x2)x+xrX2=

0.因此有

以兩個數X”X2為根的一元二次方程(二次項系數為1)是

X2—(Xi+x2)x+xrX2=0.

例2已知方程5/+依一6=0的一個根是2,求它的另一個根及人的值.

分析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由

方程解出另一個根.但由于我們學習了韋達定理，又可以利用韋達定理來解題，即

由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數和常數項，于是可以利用兩根之積求

出方程的另一個根，再由兩根之和求出女的值.

解法一：..二是方程的一個根，

.,.5X22+Z：X2-6=0,

：.k=~l.

a

-

所以，方程就為5f—7X—6=0,解得XI=2,x2=--

所以，方程的另一個根為一:，k的值為-7.

解法二：設方程的另一個根為xi，貝U2用=一(，.?.西=-1.

3k

由(一一)+2=--,得k=~7.

55

所以，方程的另一個根為一:，女的值為-7.

例3已知關于x的方程x2+2(m—2)x+m2+4=0有兩個實數根，并且這兩個

實數根的平方和比兩個根的積大21,求加的值.

分析：本題可以利用韋達定理，由實數根的平方和比兩個根的積大21得到關于

機的方程，從而解得機的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩

個實數根，因此，其根的判別式應大于零.

解：設修，X2是方程的兩根，由韋達定理，得

Xl+x2=—2(/?7-2),X/X2=〃/+4.

*/%]2+%22—XI-%2=21)

(X|+》2)2—3XrX2=21,

即[-2(/n-2)]2-3(w2+4)=21,

化簡，得m2—16m—17=0>

解得m=—\,或加=17.

當機=-1時，方程為*+6x+5=0,A>0,滿足題意；

當〃?=17時，方程為X2+30X+293=0,A=302-4X1X293<0,不合題意，舍去.

綜上，m=17.

說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對應

的〃，的范圍，然后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21”求出機的值，取滿

足條件的〃z的值即可.

(2)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的判別

式△是否大于或大于零.

例4已知兩個數的和為4,積為一12,求這兩個數.

分析：我們可以設出這兩個數分別為x，y,利用二元方程求解出這兩個數.也

可以利用韋達定理轉化出一元二次方程來求解.

解法一：設這兩個數分別是x,y,

則x+y=4,①

xy——12.②

由①，得y—4—x,

代入②，得

x(4—%)=—12,

即?-4x-12=0,

??%!——2,X2=6.

.*=-2,_p,X-,-6,

.或1一。

l%=6,[y2=-2.

因此，這兩個數是一2和6.

解法二：由韋達定理可知，這兩個數是方程

X2-4X-12=0

的兩個根.

解這個方程，得

%]=-2,》2=6.

所以，這兩個數是一2和6.

說明：從上面的兩種解法我們不難發現，解法二(直接利用韋達定理來解題)要

比解法一簡捷.

例5若r和必分別是一元二次方程+5x—3=0的兩根.

(1)求⑶一歷|的值；

(2)求4+4的值；

玉*2

(3)%]3+%23-

解：和X2分別是一元二次方程2f+5x—3=0的兩根，

?'一53

??X，+X-=—,x,x?=—.

(1)VIXj—X2|2=X12+X22—2X]X2=(^l+^2)2—4X]X2=-4x(-1)

=—+6=——，

44

...7

x2|=-.

11Z+k(%+々)2-2中2(-》、2x(一|)*3=37

X「xUE一(x內)2■(.|)2-9-9-

33222

(3)X]+%2=(XI+^2)(Xi—X1X2+X2)=(%1+%2)[(X]+x2)-'3X|X2]

=(/--5)x[(-y5)2_-r3x/(-3-)]=--215.

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經常會遇到

求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規律：

設X1和X2分別是一元二次方程。/+區+‘=0(4加)，則

-b+\]b2-4ac-b-ylb2-4ac

Xt—，-，

'2a22a

于是有下面的結論:

若X1和X2分別是一元二次方程《x2+》x+c=0(4制)，則|X[—詞=，^(其中A

\a\

=b2—4ac).

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結論.

例6若關于x的一元二次方程/—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零,

求實數。的取值范圍.

解：設制，X2是方程的兩根，則

x\X2~ci—4<0,(T)

且△=(_1)2_4(〃_4)>0.②

由①得。<4,

?17

由②得a<7.

：.a的取值范圍是aV4.

練習

1.選擇題：

(1)方程/-2限v+3A2=0的根的情況是()

(A)有一個實數根(B)有兩個不相等的實數根

(C)有兩個相等的實數根(D)沒有實數根

(2)若關于x的方程機》2+(2m+l)x+/n=0有兩個不相等的實數根，則實數機的取

值范圍是()

(A)m<—(B)m>——

44

(C)m<—,且聽0(D)m>——,且

44

2.填空:

(1)若方程？一3%—1=0的兩根分別是修和歷，則▲+'=.

玉乙

(2)方程加x?+x—2/”=0(m/0)的根的情況是.

(3)以一3和1為根的一元二次方程是.

3.已知，。2+8。+16+|6—1|=0,當上取何值時，方程h2+原+6=0有兩個不相等

的實數根？

4.已知方程3x—1=0的兩根為X］和X2，求(xi-3)(應一3)的值.

習題2.1

A組

1.選擇題：

(1)已知關于x的方程7+乙一2=0的一個根是1,則它的另一個根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個說法:

①方程x?+2x—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程％2—2》+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

③方程3%2—7=0的兩根之和為0,兩根之積為-(；

④方程3?+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說法的個數是()

(A)l個(B)2個(C)3個(D)4個(3)

關于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一個根是0,則a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空:

(1)方程依2+4x-1=0的兩根之和為一2,則憶=.

(2)方程2x?—x—4=0的兩根為a,0,則a2+1=.

(3)已知關于x的方程ax—3a=0的一個根是一2,則它的另一個根是

(4)方程2f+2x—1=0的兩根為?和刀2，則［X］一切=.

3.試判定當機取何值時，關于x的一元二次方程〃產X?—(2加+1)x+l=0有兩個不

相等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？

4.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程f—7x—1=0各根的相反數.

B組

1.選擇題：

(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2f—8x+7=0的兩根，則這

個直角三角形的斜邊長等于()

(A)V3(B)3(C)6(D)9

(2)若為，也是方程2x2—4x+l=0的兩個根，則&+王的值為()

x2X］

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果關于x的方程x?—2(1—〃?)x+加2=0有兩實數根a,0,則a+B的取值范

圍為()

(A)a+p>|(B)a+p<|(C)a+p>l(D)a+p<l

(4)已知a,b,c是MBC的三邊長,那么方程cd+(a+b)x+-=0的根的情況是()

4

(A)沒有實數根(B)有兩個不相等的實數根

(C)有兩個相等的實數根(D)有兩個異號實數根

(5)若關于x的方程x?+伙2-1?+左+1=0的兩根互為相反數，則&的值為()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：

(1)若機，n是方程X2+2005X—1=0的兩個實數根，則m2n+mif'—mn的值等

于.

(2)如果a,匕是方程』+x—1=0的兩個實數根，那么代數式

的值是.

3.已知關于x的方程/—丘-2=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；

(2)設方程的兩根為X1和X2，如果2(X1+X2)>X]X2，求實數人的取值范圍.

4.一元二次方程ax2+bx+c=0(存0)的兩根為Xi和也.求：

(1)⑶一對和g強；

(2)/+力.

5.關于x的方程,+4x+〃2=0的兩根為X],檢滿足|為一刈=2,求實數〃？的值.

6.已知X],尤2是關于九的一元二次方程4日2—4履+k+1=0的兩個實數根.

(1)是否存在實數&,使(2修一]2)(即-2X2)=—a成立？若存在，求出k的值；

若不存在，說明理由；

(2)求使2+區一2的值為整數的實數火的整數值；

M玉

(3)若k=-2,4=五，試求力的值.

X2

7.若關于x的方程f+x+a=o的一個大于1、另一根小于1,求實數。的取值范圍.

2.2二次函數

2.2.1二次函數y=a/+加；+。的圖像和性質

問題1函數y=a/與y=?的圖象之間存在怎樣的關系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2x2,y=-2f的圖象，通過這

些函數圖象與函數y=》2的圖象之間的關系，推導出函數與y=f的圖象之間

所存在的關系.

先畫出函數y=/,y=2f的圖象.

先列表：

X???-3-2-10123???

X2???941