高級中學名校試卷PAGEPAGE2北京市昌平區2024屆高三上學期期末質量抽測數學試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意全集，集合，.故選：B.2.在復平面內，復數和對應的點分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，，則.故選：A3.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A.y=±2x B.y= C. D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.4.已知，則（）A. B.32 C.495 D.585〖答案〗C〖解析〗令，可得，解得；令，可得，則；令，可得，則；令，，則.故選：C.5.下列函數中，在區間上為減函數的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A選項，在上單調遞增，不合要求，錯誤；B選項，在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；C選項，在上恒成立，故在上單調遞增，C錯誤；D選項，令得，，在上單調遞增，而在上單調遞減，由復合函數單調性可知，在上單調遞減，D正確.故選：D6.設函數的定義域為，則“”是“為減函數”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則，作出函數圖象，，由圖象可知成立，但顯然不為減函數；若為減函數，又，則，所以“”是“為減函數”的必要不充分條件.故選：B7.已知點在圓上，點坐標為為原點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，因點的坐標為，所以，則，設，即，依題意，求t的范圍即求直線與圓有公共點時在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.8.“三斜求積術”是我國宋代的數學家秦九韶用實例的形式提出的，其實質是根據三角形的三邊長求三角形面積，即．現有面積為的滿足，則的周長是（）A.9 B.12 C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗根據正弦定理可知，不妨設，由，所以的周長是.故選：C9.已知函數，則（）A.B.不是周期函數C.在區間上存在極值D.在區間內有且只有一個零點〖答案〗D〖解析〗對于A，，所以，故A錯誤；對于B，，所以是以為周期的函數，故B錯誤；對于C，由復合函數單調性可知在區間上分別單調遞增、單調遞減，所以在區間上單調遞增，所以不存在極值，故C錯誤；對于D，令，得，所以，即該方程有唯一解（函數在內有唯一零點），故D正確.故選：D.10.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由題意以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為正方體棱長為1，，所以，不妨設，所以，而，所以點到直線的投影數量的絕對值為，所以點到直線距離，等號成立當且僅當，即點到直線距離的最小值為.故選：C.第二部分（非選擇題）二?填空題11.已知，則__________．〖答案〗〖解析〗由題知，，又，所以，所以.故〖答案〗為：12.拋物線上一點到焦點的距離為8，則點到軸的距離為_______．〖答案〗7〖解析〗設，拋物線的焦點為，則由拋物線的定義可得，所以，故點到軸的距離為7，故〖答案〗為：7.13.已知數列的前項和滿足，且成等差數列，則__________；__________．〖答案〗〖解析〗由數列的前項和滿足，當時，，兩式相減可得，又由成等差數列，所以，即，解得，所以數列是以2為公比的等比數列，所以數列的通項公式為.故〖答案〗為：；.14.若函數在定義域上不是單調函數，則實數的一個取值可以為__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題知，當時，遞增，當時，遞增，又在定義域上不是單調函數，所以，即.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數列．給出下列四個結論：①；②；③為遞增數列；④，使得．其中所有正確結論的序號是__________．〖答案〗①②④〖解析〗根據題意可知，因為，所以，即①正確；則，即，故③錯誤；依次遞推有，，，，故②正確；因為，所以，則，依次可知，所以，故④正確.故〖答案〗為：①②④三?解答題16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，點是中點，直線交平面于點．（1）求證：點是的中點；（2）求二面角的大?。?）證明：由題意，面，平面，所以面，又直線交平面于點，即面面，所以，又因為，所以，又因為點是的中點，所以點是的中點.（2）解：因為平面，平面，所以，又因為，所以兩兩垂直，所以以點為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為底面是直角梯形，，，點是的中點，點是的中點.所以，所以，不妨設面和面的法向量分別為，所以有和，不妨令，則解得，即取面和面的一個法向量分別為，不妨設面和面的夾角為，則，所以，而顯然二面角是鈍角，所以其大小為.17.在中，．（1）求角的大??；（2）再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇兩個作為己知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．解：（1）由正弦定理得，因為在中，，所以，又因為，所以，所以，可得；（2）由（1）知，若選條件①：，條件②：，則由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面積存在但唯一確定，故不符合題意；若選條件①：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以，符合題意；若選條件②：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以，符合題意.18.某汽車生產企業對一款新上市的新能源汽車進行了市場調研,統計該款車車主對所購汽車性能的評分,將數據分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）該汽車生產企業在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務項目．若為這3人提供的售后服務項目總價值為元，求的分布列和數學期望；（3）用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設這10人中評分不低于110分的人數為，問為何值時，的值最大？（結論不要求證明解：（1）由頻率分布直方圖可知；（2）根據頻率分布直方圖可知評分低于110分的占比，評分不低于110分的占比，任選3人中其評分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四種情況，，，，，故的分布列為：90008000700060000.0270.1890.4410.343則；（3）由題意可知，可知當時取得最大值.證明如下：設最大，即，所以，化簡得，因為，故.19.已知橢圓經過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與橢圓有兩個不同的交點（均不與點重合），若以線段為直徑的圓恒過點，求的值．解：（1）由題意可知，又離心率為，即橢圓方程為：；（2）設直線，，則，因為以線段為直徑的圓恒過點，所以，聯立直線與橢圓，所以，則，由，，整理得或，易知時不符題意，所以.20.已知函數．（1）求曲線在處的切線方程；（2）設函數，求的單調區間；（3）判斷極值點的個數，并說明理由．解：（1）由題意知，定義域為，所以，所以直線的斜率，，所以切線方程為，即.（2）由（1）知，所以，令，即，解得或，當，，當，，當，，所以在，單調遞增，在單調遞減.（3）個極值點，理由如下：由（2）知當時，區間上單調遞增，，，所以存在唯一，使；當時，在區間上單調遞減，，，所以存在唯一，使；當時，，，所以所以在區間無零點；綜上，當，，當，，當，，所以當時，取到極小值；當時，取到極大值；故有個極值點.21.已知為有窮正整數數列，且，集合．若存在，使得，則稱為可表數，稱集合為可表集．（1）若，判定31，1024是否為可表數，并說明理由；（2）若，證明：；（3）設，若，求的最小值．（1）解：31是，1024不是，理由如下：由題意可知，當時，有，顯然若時，，而，故31是可表數，1024不是可表數；（2）證明：由題意可知若，即，設，即使得，所以，且成立，故，所以若，則，即中的元素個數不能超過中的元素，對于確定的，中最多有個元素，所以；（3）解：由題意可設，使，又，所以，即，而，即當時，取時，為可表數，因為，由三進制的基本事實可知，對任意的，存在，使，所以，令，則有，設，由的任意性，對任意的，都有，又因為，所以對于任意的，為可表數，綜上，可知的最小值為，其中滿足，又當時，，所以的最小值為.北京市昌平區2024屆高三上學期期末質量抽測數學試題第一部分（選擇題共40分）一?選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意全集，集合，.故選：B.2.在復平面內，復數和對應的點分別為，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知：，，則.故選：A3.若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A.y=±2x B.y= C. D.〖答案〗B〖解析〗雙曲線的離心率為，漸進性方程為，計算得，故漸進性方程為.4.已知，則（）A. B.32 C.495 D.585〖答案〗C〖解析〗令，可得，解得；令，可得，則；令，可得，則；令，，則.故選：C.5.下列函數中，在區間上為減函數的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A選項，在上單調遞增，不合要求，錯誤；B選項，在上單調遞增，在上單調遞減，故B錯誤；C選項，在上恒成立，故在上單調遞增，C錯誤；D選項，令得，，在上單調遞增，而在上單調遞減，由復合函數單調性可知，在上單調遞減，D正確.故選：D6.設函數的定義域為，則“”是“為減函數”的（）A.充分必要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若，則，作出函數圖象，，由圖象可知成立，但顯然不為減函數；若為減函數，又，則，所以“”是“為減函數”的必要不充分條件.故選：B7.已知點在圓上，點坐標為為原點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設，因點的坐標為，所以，則，設，即，依題意，求t的范圍即求直線與圓有公共點時在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.8.“三斜求積術”是我國宋代的數學家秦九韶用實例的形式提出的，其實質是根據三角形的三邊長求三角形面積，即．現有面積為的滿足，則的周長是（）A.9 B.12 C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗根據正弦定理可知，不妨設，由，所以的周長是.故選：C9.已知函數，則（）A.B.不是周期函數C.在區間上存在極值D.在區間內有且只有一個零點〖答案〗D〖解析〗對于A，，所以，故A錯誤；對于B，，所以是以為周期的函數，故B錯誤；對于C，由復合函數單調性可知在區間上分別單調遞增、單調遞減，所以在區間上單調遞增，所以不存在極值，故C錯誤；對于D，令，得，所以，即該方程有唯一解（函數在內有唯一零點），故D正確.故選：D.10.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗由題意以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為正方體棱長為1，，所以，不妨設，所以，而，所以點到直線的投影數量的絕對值為，所以點到直線距離，等號成立當且僅當，即點到直線距離的最小值為.故選：C.第二部分（非選擇題）二?填空題11.已知，則__________．〖答案〗〖解析〗由題知，，又，所以，所以.故〖答案〗為：12.拋物線上一點到焦點的距離為8，則點到軸的距離為_______．〖答案〗7〖解析〗設，拋物線的焦點為，則由拋物線的定義可得，所以，故點到軸的距離為7，故〖答案〗為：7.13.已知數列的前項和滿足，且成等差數列，則__________；__________．〖答案〗〖解析〗由數列的前項和滿足，當時，，兩式相減可得，又由成等差數列，所以，即，解得，所以數列是以2為公比的等比數列，所以數列的通項公式為.故〖答案〗為：；.14.若函數在定義域上不是單調函數，則實數的一個取值可以為__________．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由題知，當時，遞增，當時，遞增，又在定義域上不是單調函數，所以，即.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）15.已知數列．給出下列四個結論：①；②；③為遞增數列；④，使得．其中所有正確結論的序號是__________．〖答案〗①②④〖解析〗根據題意可知，因為，所以，即①正確；則，即，故③錯誤；依次遞推有，，，，故②正確；因為，所以，則，依次可知，所以，故④正確.故〖答案〗為：①②④三?解答題16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，點是中點，直線交平面于點．（1）求證：點是的中點；（2）求二面角的大?。?）證明：由題意，面，平面，所以面，又直線交平面于點，即面面，所以，又因為，所以，又因為點是的中點，所以點是的中點.（2）解：因為平面，平面，所以，又因為，所以兩兩垂直，所以以點為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：因為底面是直角梯形，，，點是的中點，點是的中點.所以，所以，不妨設面和面的法向量分別為，所以有和，不妨令，則解得，即取面和面的一個法向量分別為，不妨設面和面的夾角為，則，所以，而顯然二面角是鈍角，所以其大小為.17.在中，．（1）求角的大??；（2）再從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇兩個作為己知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．解：（1）由正弦定理得，因為在中，，所以，又因為，所以，所以，可得；（2）由（1）知，若選條件①：，條件②：，則由余弦定理可得,即，解得或，可使得的面積存在但唯一確定，故不符合題意；若選條件①：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以，符合題意；若選條件②：，條件③：，則可得，在中由正弦定理可得，即，解得，，因為，所以，所以，符合題意.18.某汽車生產企業對一款新上市的新能源汽車進行了市場調研,統計該款車車主對所購汽車性能的評分,將數據分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）該汽車生產企業在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務項目．若為這3人提供的售后服務項目總價值為元，求的分布列和數學期望；（3）用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設這10人中評分不低于110分的人數為，問為何值時，的值最大？（結論不要求證明解：（1）由頻率分布直方圖可知；（2）根據頻率分布直方圖可知評分低于110分的占比，評分不低于110分的占比，任選3人中其評分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，所以可取四種情況，，，，，故的分布列為：90008000700060000.0270.1890.4410.343則；（3）由題意可知，可知當時取得最大值.證明如下：設最大，即，所以，化簡得，因為，故.19.已知橢圓經過點，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2