沖擊波基本理論2024/4/2522沖擊波基本理論

2.1一維等熵流動2.2正沖擊波基本關(guān)系式*#2.3沖擊波雨貢紐曲線及沖擊波的性質(zhì)2.4沖擊波的正反射2.5沖擊波的斜反射2024/4/253

①波：在彈性介質(zhì)中，某個局部受到作用后，由于物質(zhì)點的相互作用，由近及遠(yuǎn)地使物質(zhì)質(zhì)點陸續(xù)發(fā)生擾動，這種擾動在介質(zhì)的傳播就稱為波。常見的如：水波，音波，電磁波···

②波陣面：介質(zhì)的原始狀態(tài)與擾動狀態(tài)的交界面稱波陣面

③縱波與橫波：波陣面移動方向與介質(zhì)質(zhì)點振動方向平行的波稱縱波。

波陣面移動方向與介質(zhì)質(zhì)點振動方向垂直的波稱橫波。

④波速：波陣面在介質(zhì)中傳播的速度。

⑤波的傳播方向：波陣面的移動方向。

2.1一維等熵流動波的基本概念(復(fù)習(xí)）2024/4/254⑥壓縮波：波陣面到達(dá)之處，介質(zhì)的狀態(tài)（P、ρ、T）參數(shù)增加的波稱壓縮波，波的傳播方向與介質(zhì)運動方向相同。（圖5.1）

⑦膨脹波（稀疏波）：波陣面到達(dá)之處，介質(zhì)的狀態(tài)（P、ρ、T）參數(shù)減小的波稱膨脹波，波的傳播方向與介質(zhì)運動方向相反。（下圖5.2）

2024/4/255⑧音波：介質(zhì)質(zhì)點在原來的位置振動，而波向左右傳播，這種波稱音波，音波是弱壓縮波或膨脹波的合成。

⑨沖擊波：是波面以突躍面的形式在彈性介質(zhì)中傳播的壓縮波，波陣面上介質(zhì)的狀態(tài)參數(shù)變化是突躍的。

⑩爆轟波：是含有化學(xué)反應(yīng)能量支持的沖擊波，因為有化學(xué)反應(yīng)能量的支持，因此爆轟波所以具有穩(wěn)定的傳播特性。2024/4/256完全氣體，量熱完全氣體與等熵關(guān)系（補物理化學(xué)知識）理想氣體(完全氣體perfectgas)：不考慮分子間的作用力和分子的體積情況下，一種理想化后的氣體。它滿足：PV=nRT，e=e(T)和Cv=Cv(T)世上無理想氣體，熱完全氣體是真實氣體在一定溫度，壓力范圍內(nèi)的近似，即近似看成理想氣體來處理。對于熱完全氣體，有：de=CvdT=Cv(T)dT，dh=CpdT=Cp(T)dT，e=e(T)，h=h(T)可近似認(rèn)為一定溫度范圍內(nèi)，Cv，Cp，

（Cp-

Cv=R）保持不變。但一般說來，Cv=Cv(T)，Cp=Cp(T)2024/4/257多方氣體就是指量熱完全氣體(caloricallyperfectgas)：

Cp

，Cv

，保持不變的完全氣體。

e=Cv(T)，h=Cp(T)e=Cv(T)，h=Cp(T)8

：分子平動和轉(zhuǎn)動的總自由度（不包括振動）(因為，)所以：對單原子分子氣體：，，對雙原子分子氣體：，，對三原子分子氣體：，，

——γ為多方指數(shù)或絕熱指數(shù)adiabaticexponent）自由度解釋：決定一個物體位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)，這里指的是熱力學(xué)自由度亦稱準(zhǔn)自由度，不同于一般的力學(xué)自由度。2024/4/259等熵關(guān)系的建立：一般地：

（1）對可逆過程：（2）比較（1）和（2）有：（3）2024/4/2510對焓、Helmholtz自由能、Gibbs自由焓的表達(dá)式分別微分：

（4）

（5）

（6）而：，，，

——（7）hePVfeTSghTS=+=-=-2024/4/2511將（2）的第一式、（4）、（5）、（6）與（7）的4個式子比較有：

—（8）又因為：

（）

所以：2024/4/2512即：類似有：

——（9）（Maxwell關(guān)系）將（9）的第二式代入（1）的第一式有：[（1）的第一式]又由（3）式：，代入上式：有：（10）若，

，（11）

2024/4/2513而類似有：代入（11）的第1式：

（12）（10），（12）就是熵函數(shù)的一般表達(dá)式（微分形式），也可以寫成積分形式：

（13）2024/4/2514理想氣體：

（14）

（15）定義：——絕熱指數(shù)又因為：，

，代入（15）式：2024/4/2515

對絕熱可逆過程（必等熵）：，所以有：又因為：，所以：

或

或

——多方氣體的等熵關(guān)系，亦為絕熱關(guān)系。

（***）（***）（*****）2024/4/2516定容比熱，定壓比熱以及兩者之間的關(guān)系比熱的定義：，質(zhì)量比熱單位為：

由熱力學(xué)第一定律：（16）熱焓定義：

（17）對定容過程，由（16）得：對定壓過程，由（17）得：

（18）2024/4/2517因為：，所以：（19）即：（20）由（18）～（20）有：（21）與（1），（2）式比較，有：(22)

（2）（1）（22）2024/4/2518又由Maxwell關(guān)系：（23）故有：（24）對理想氣體：

故：，代入（24）式：(25)由定義（比熱比）：故:流場：流體運動所占據(jù)的空間，流場中任一質(zhì)點流體的物理量如等是空間的位置（）（或）和時間t的函數(shù)：或,

或

等。如果流場中的物理量只是位置函數(shù)，而與時間無關(guān)，則稱為定常流場，這種流動就稱為定常流動（steadyflow）,否則為不定常(unsteadyflow)的。如果流場中各物理量在空間分布只與一個幾何坐標(biāo)x有關(guān)，那么就稱為一維(onedimensional)流場，相應(yīng)的流動稱為一維流動(onedimensionalflow)。推導(dǎo)條件：忽略氣體的粘性，熱傳導(dǎo)（絕熱），無化學(xué)變化，不考慮體積力（如重力（對氣體可忽略），電磁力）對流動的影響，只有體積膨脹功。流場和定常流動方程組連續(xù)性方程的推導(dǎo)（質(zhì)量守恒方程）：取如下圖所示的控制體（開口系，當(dāng)?shù)赜^點即Euler方法），變截面流管。變截面流管中x1處的截面積為A，密度為，氣體流速為u單位時間內(nèi)流入控制體的質(zhì)量為：同樣時間內(nèi)從x2面流出的質(zhì)量為：微元dx中氣體質(zhì)量的變化率為：由質(zhì)量守恒，單位時間內(nèi)流入微元體Δx的質(zhì)量－流出Δx的質(zhì)量＝微元體Δx的質(zhì)量對時間的變化率。

Δxx1x2ρAuρAu+即：即：

（控制體體積不變，與t無關(guān)）

（1）

（，，）——連續(xù)方程（當(dāng)?shù)赜^點）物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（Lagrange導(dǎo)數(shù)）的變換關(guān)系：稱為Euler導(dǎo)數(shù)。物理量的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)（或稱隨體導(dǎo)數(shù)）是指某個封閉系統(tǒng)中的流體在運動過程中，它所具有的物理量F（如：）對時間的變化率,是物理量F隨流體質(zhì)點運動時的變化率。物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義：以求加速度為例，給出物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的微分變換關(guān)系：設(shè)流體質(zhì)點在流場中沿運動軌跡C運動，從當(dāng)?shù)赜^點出發(fā)，流體速度為：假定t時刻，流體微團(tuán)在M點，速度為，經(jīng)時刻后，運動到N點，速度為：加速度：（2）由于流場的非均勻性和不定常性，該微團(tuán)的速度在運動過程中不止經(jīng)歷了的變化，而且也經(jīng)歷了的變化。當(dāng)然也與時間長短有關(guān)。MN（2）式可寫為：

（3）代表沿S方向移動單位長度引起的速度變化，而如今單位時間移動了u的距離，所以S方向的速度變化為。對一維情況有：（4）對于等，亦有同樣的變化關(guān)系：

（5）這里，：全導(dǎo)數(shù)，物質(zhì)導(dǎo)數(shù)，隨體導(dǎo)數(shù)，Lagrange導(dǎo)數(shù)。：當(dāng)?shù)貢r間導(dǎo)數(shù)，局部導(dǎo)數(shù)，Euler導(dǎo)數(shù)。反映了流場的不定常性，反映了流體微團(tuán)流過空間固定點上量F對時間的變化率。：遷移導(dǎo)數(shù)，對流導(dǎo)數(shù)，反映了流場的非均勻性，是流體微團(tuán)運動到不同位置時所引起的F的變化。實際上，F(xiàn)=F(x,y,z,t),而x=x(t),y=(t),z=z(t)所以：三維（直角坐標(biāo)系）由（5）式，可將（1）式化為：（6）

——隨體觀點的連續(xù)方程注：歐拉方程—動量守恒方程（運動方程）的推導(dǎo)：取下圖的控制體（閉口系，隨體觀點，即Lagrange方法），設(shè)微元體dx的側(cè)面積為S，該質(zhì)點具有的速度為u，β為管壁切線與x軸的夾角（如果管壁是光滑的，則β是無窮小量）顯然：

，即：Δx微元體x1面受到壓力為PA，x2面受到的壓力為：側(cè)面所受力為：，即：ΔxPnPn該力在x方向投影為：在與x垂直方向投影為：（互相抵消）微元體受到的總壓力為（不考慮粘性力，重力等）：＝忽略二階小量，總壓力為：按Newton第二定律：(F＝ma)即：（7）或：（8）——歐拉方程（動量守恒方程）由開口體系（Euler觀點推導(dǎo)動量方程）：由x1面流入dx的動量：由x2面流出dx的動量：

（忽略二階以上小量）＝

＝微元體dx受的合外力為：單位時間內(nèi)，微元體動量變化為：

（忽略二階小量）凈流入的動量：流入－流出＝dxx1x2ρAuρAu+x動量定理：動量的增加率＝凈增加動量+微元體受的外力，即：

（與t無關(guān)）即：

（1）式，質(zhì)量守恒方程能量方程的推導(dǎo)（忽略熱損失，不考慮非體積力做功，只計體積功;開口系，Euler方法）：單位質(zhì)量氣體總能量為：（e：單位質(zhì)量內(nèi)能，：單位質(zhì)量動能）單位時間內(nèi)通過x1面進(jìn)入微元體Δx的能量：單位時間內(nèi)通過x2面流出微元體Δx的能量：x1面上，外力單位時間內(nèi)對微元所做的功為：（功率）x2面上微元體單位時間內(nèi)克服外力所做的功為：微元體Δx的總能量變化率為：由能量守恒：微元體Δx的總能量變化率應(yīng)等于單位時間內(nèi)流進(jìn)的凈能量加上外力做功的和。

與時間無關(guān)，（控制體體積不變）

（9）ΔxρAuρAu+x因為：((1)式－連續(xù)方程)故上式可簡化為：

或：（10）

——能量守恒方程

再由（8）式（動量方程）（11）由熱力學(xué)第一定律：：環(huán)境給封閉系統(tǒng)傳遞的熱量，：系統(tǒng)內(nèi)能的增加，：系統(tǒng)對外界（環(huán)境）所做的功。微分形式為：若只考慮體積功，則有：（E：內(nèi)能；Q：熱量；P：壓力）或：

（q：單位質(zhì)量的供熱量；e：單位質(zhì)量內(nèi)能；P：壓強）又因為：（對封閉體系的可逆過程），，

（12）（同除以dt

)將（11）式、（6）式代入（12）式有：即：或（13）可見，某封閉體系（流體微團(tuán)）絕熱可逆條件下的流動是等熵的（對于無粘流體）（完全氣體的絕熱流動必為等熵流動）：因為：所以：由以上推導(dǎo)的非定常流動的基本方程組為（變截面，一維）。(6)

連續(xù)方程（質(zhì)量守恒方程）

運動方程（動量守恒方程）

能量方程

方程組（?）

或

狀態(tài)方程守恒方程是普遍適用的，對任何流體都相同。狀態(tài)方程則反映了流體在流動中的特殊性。四個方程，四個未知數(shù)：，方程組封閉，可求解。對等熵過程（完全氣體的絕熱過程），方程組中的第三式（能量方程）（完全氣體的絕熱流動必為等熵流動）可用或來代替。對多方氣體，可用代替對定常流動，所有物理量（等）對時間的偏導(dǎo)數(shù)為零。同時用熱焓代替e，可得定常流動方程組：

或

或

或（等截面流管）或方程組（Ⅱ）質(zhì)量動量能量狀態(tài)2024/4/2538

音波是弱的壓縮波或膨脹波合成的結(jié)果，波的傳播速度僅取決于介質(zhì)狀態(tài)。音速可以看作是介質(zhì)的狀態(tài)參數(shù)，音速是弱擾動在介質(zhì)中的傳播速度。聲音的傳播2024/4/2539（1）①質(zhì)量守恒定律:流入波陣面的質(zhì)量等于流出波陣面的質(zhì)量音速公式推導(dǎo)（先以壓縮波）

PC,P+dPC-u,c（1）2024/4/2540②動量守恒定律（動量的變化=壓力變化×?xí)r間）公式變形化簡：（2）

由動量分析：流入的動量流出的動量（2）2024/4/2541

由（1）得

代入（2）所以2024/4/2542∵弱擾動

（3）∴同樣膨脹波也可導(dǎo)出（3）式∴弱的壓縮波的傳播速度只與壓力和介質(zhì)密度的比值有關(guān)。2024/4/2543如果弱擾動的傳播與周圍介質(zhì)是絕熱的。壓縮和膨脹過程可以看成是等熵的（物化）傳播表達(dá)式為：如果音波的傳播介質(zhì)是理想氣體由于，則由以上可知：則（4）

2024/4/2544在等熵過程中有：

代入（4）理想氣體∴（5）∴音速與介質(zhì)的溫度、壓力有關(guān)，與介質(zhì)種類有關(guān)。K-絕熱指數(shù)2024/4/25452.2正沖擊波基本關(guān)系式*#

活塞原理

圖2.1沖擊波形成原理示意圖

沖擊波的基本性質(zhì)

壓縮→密度↑→速度↑→壓縮迭加→P、

、T↑→壓縮追趕→強壓縮波形成→階躍變化（即沖擊波）∴介質(zhì)狀態(tài)發(fā)生突躍變化的波即是沖擊波。也就是說，沖擊波的波陣面是一個突躍面。2024/4/2547②特點

a.波陣面的兩邊介質(zhì)狀態(tài)參數(shù)差別很大，是突變的或稱有較大梯度。

b.波陣面運動的方向與介質(zhì)的運動方向相同。

c.波陣面?zhèn)鞑ヒ詨嚎s波形式傳播的。∴波后的>波前2024/4/2548③沖擊波與音波的區(qū)別①傳播速度：（未擾動介質(zhì)的音速）②狀態(tài)參數(shù)變化形式:突躍----接近于零③介質(zhì)移動:位移－平衡位置來回振動④波速影響因素：強度有關(guān)－僅與介質(zhì)狀態(tài)參數(shù)有關(guān)、T、P

⑤周期性：無周期－周期⑥熱力學(xué)特征：熵增大－等熵2024/4/2549

波陣面兩側(cè)介質(zhì)狀態(tài)參數(shù)（T、、P）和運動參數(shù)（、）之間的關(guān)系稱沖擊波基本關(guān)系式。建立依據(jù)，三大定律:

質(zhì)量守恒動量守恒能量守恒

2024/4/25502.2.2沖擊波的三大守恒定律

①質(zhì)量守恒（物質(zhì)量相等，物質(zhì)不滅）

——介質(zhì)擾動前的密度

——介質(zhì)擾動后的密度

——沖波的速度

——波陣面前介質(zhì)的移動速度——波陣面后介質(zhì)的移動速度（2-1）2024/4/2551②動量守恒動量的變化等于外合力作用的沖量（力×?xí)r間）（2-2）∴2024/4/2552（能量變化等于對外所作的功）能量=內(nèi)能+動能

流入能量

流出

③能量守恒

右側(cè)做功左側(cè)：

因作用力與運動方向相反，為負(fù)號

2024/4/2553化簡整理

（2-3）

沖擊波基本關(guān)系式（2-1）、（2-2）、（2-3）2024/4/2554

由沖擊波的三個基本關(guān)系式可導(dǎo)出沖擊波的有關(guān)參數(shù)計算公式由狀態(tài)參數(shù)（P、V、）計算沖擊波相關(guān)系數(shù)（）8個2.2.3沖擊波參數(shù)計算

2024/4/2555

由（5-11）式

解出有∴則(2-4)(2-5)2024/4/2556把（5-16）代入（5-13）

（5-17）（5-18）∴（2-6）（2-7）2024/4/2557由（2-3）整理得將（2－6）式代入得（5-19）把（2-2）代入化簡整理（2-8）2024/4/2558

計算沖擊波參數(shù)計算公式?jīng)_擊波速度方程式（米海爾遜方程）瑞利線沖擊波絕熱方程（沖擊波雨果尼奧方程）2024/4/2559擾動前后氣體介質(zhì)當(dāng)成理想氣體狀態(tài)下來處理：（2-9）

代入（2-8）式，整理得：∴由氣體狀態(tài)初始參數(shù)（）可利用沖擊波關(guān)系式，計算沖擊波波陣面參數(shù)（）。[例1]已知一未擾動空氣的初始參數(shù)為：=9.8，=1.25，=0，如果

波陣面的超壓=Pa，試用沖擊波的關(guān)系式計算沖擊波的其他參數(shù)（假設(shè)氣體為熱容不變的理想氣體）解：由于空氣可以看成是雙原子氣體，因此我們可以取=1.4。將，，，，和代入沖擊波有關(guān)的關(guān)系式中進(jìn)行計算，得：2024/4/2563①沖擊波陣面上已擾動介質(zhì)的狀態(tài)參數(shù)主要與沖擊波波速有關(guān)；②沖擊波相對于未擾動介質(zhì)是超音速的，即，相對于已擾動的介質(zhì)是亞音速的，即。③沖擊波速度大于介質(zhì)移動速度且與介質(zhì)運動方向相同。④沖擊波衰減最終變?yōu)橐舨ā＂輿_擊波的沖擊壓縮過程是熵增大過程，波陣面介質(zhì)的狀態(tài)參數(shù)變化是突躍的。⑥極強沖擊波陣面上，已擾動介質(zhì)的密度取決于波陣面上的溫度。2.3沖擊波雨貢紐曲線及沖擊波的性質(zhì)

2024/4/2564證明：沖擊波相對于未擾動介質(zhì)是超音速的，即，相對于已擾動的介質(zhì)是亞音速，即。舉例[證]：由沖擊波基本關(guān)系式可導(dǎo)出：，∴∵得證命題一，同樣可證命題二例2沖擊波的傳播速度不僅與介質(zhì)的初始狀態(tài)有關(guān)，而且與沖擊波的強度有關(guān)。證明：令稱為激波強度將其代入有：

即：故式中表示了介質(zhì)初始狀態(tài)的音速，對于聲波，有，，因此聲波傳播速度只與介質(zhì)狀態(tài)有關(guān)。2024/4/2566沖擊波參數(shù)計算導(dǎo)出下面兩式:

沖擊波速度方程式（米海爾直線）

沖擊波絕熱方程式（雨果尼奧曲線）

將過程和狀態(tài)表示在P-V圖上（P—縱坐標(biāo)，V—橫坐標(biāo)）沖擊波雨貢紐曲線2024/4/2567

當(dāng)為一定數(shù)時，為一直線

滿足:i)過A（P0，V0）

ii）斜率

當(dāng)為一定數(shù)，不同，不同，↑，↑①波速線∴a.波速線為通過介質(zhì)初始狀態(tài)A（P0，V0）的不同斜率直線與沖擊波波速相對應(yīng)。

b.波速線反映沖擊波以固定波速V0通過初始狀態(tài)（P0，V0）傳播時所有終起點的軌跡。

沖擊波的波速線2024/4/2569

介質(zhì)的內(nèi)能變化與波陣面P1和比容V1之間的關(guān)系。②沖擊絕熱線

在P-V圖上，為一條以介質(zhì)初始狀態(tài)（P0，V0）凹向P軸和V軸的曲線，線上的每一點為不同波速沖擊波經(jīng)過同一初始狀態(tài)A（P0，V0）的介質(zhì)后所達(dá)到的終點狀態(tài)。2024/4/2570*a.介質(zhì)由A點（P0，V0）受沖擊壓縮到B點（P1，V1），其狀態(tài)不是沿著沖擊波絕熱曲線變化，而是突躍地從A點壓縮到B點。（∴沖擊波傳播時，終點既滿足波速線又滿足沖擊絕熱線）*b.沖擊波絕熱曲線不是沖擊壓縮過程線，只是具有初始狀態(tài)，受到?jīng)_擊波壓縮時，一切可能到達(dá)的終態(tài)點B（P1，V1）狀態(tài)的集合。*c.由式在沖擊絕熱線上A點以上所對應(yīng)的沖擊波，壓縮波A點以下所對應(yīng)的沖擊波，膨脹波→A點，弱沖擊波，波速線與沖擊絕熱線相切→音波2024/4/2571沖擊波是強縮波，是波速線斜A點以后的斜率均大于切線，強沖擊波*d音波傳播是等熵的∴等熵線與沖擊絕熱線相切于A點*e沖擊波傳播過程是熵增大的∴沖擊波絕熱線在等熵線（過程線）上方

沿沖擊波絕熱線的熵值變化例2：絕熱線A-B是熵增加過程證明：對激波壓縮過程，由熱力學(xué)第一定律知：或者(A)如上圖所示，分析由Hugoniot曲線熵初態(tài)點A-B熵值的變化情況。由激波的Hugoniot方程：(B)兩邊取微分得：(C)將式(C)代入式(A)，得：