專題06三角形內(nèi)接矩形模型【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導(dǎo)出來(lái)的、。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例題精講】例1．（基本模型）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖1，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上．（1）求證：△AEF∽△ABC；（2）求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)；（3）如果把它加工成矩形零件如圖2，問(wèn)這個(gè)矩形的最大面積是多少？【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）48；（3）2400．【詳解】（1）∵四邊形EGHF為矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x，在正方形EFHG中，EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴即，解得：x=48，即：正方形零件的邊長(zhǎng)為48；（3）設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)在BC時(shí)，，，，當(dāng)x=60時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大為2400．考點(diǎn)：1．相似三角形的應(yīng)用；2．二次函數(shù)的應(yīng)用．例2．（雙矩形）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點(diǎn)D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，在BC邊上放兩個(gè)小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，由AB=AC=10，BC=16，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理，即可求得AM的長(zhǎng)，又由四邊形DEFG是矩形，易證得△ADG∽△ABC，設(shè)MN=DE=x，由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，即可得方程，則可表示出DG的長(zhǎng)，由正方形的性質(zhì)可得DE=DG，可得結(jié)果；（2）由題意得：DN=2DE，由（1）知：，即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，在Rt△ABM中，AM==4，∵四邊形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四邊形EDMN是矩形，∴MN=DE，設(shè)MN=DE=x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC=AN：AM，∴，解得：DG=﹣x+6，∵四邊形DEFG為正方形，∴DE=DG，即x=﹣x+6，解得x=，∴正方形DEFG的邊長(zhǎng)為；（2）由題意得：DN=2DE，由（1）知：，∴DE=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、相似三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．例3．（培優(yōu)綜合）（1）如圖，在中，點(diǎn)、、分別在、、上，且，交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖，中，，正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在的邊上，連結(jié)，分別交于，兩點(diǎn)．①如圖，若，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；②如圖，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)①；②見(jiàn)解析.【分析】（1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出;（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高，根據(jù)△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長(zhǎng)，根據(jù)等于高之比即可求出MN；②由，得．又為正方形，得出，同理，有，又因?yàn)椤?，所以，所以．【詳解】?）證明：如圖1在中，由于，∴∽，∴．同理在△ACQ和△AEP中，，∴．（2）①如圖2,作AQ⊥BC于點(diǎn)Q．∵BC邊上的高∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∵DE邊上的高為,故答案為②證明：如圖3∵，∴．又∵為正方形，∴，∴，∴．同理，在中有，∴，∴．又因?yàn)椤祝?，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，注意利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解決問(wèn)題．例4．（與函數(shù)綜合）在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF.連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF,設(shè)OD＝t.⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代數(shù)式表示△OAB的面積S；⑶是否存在點(diǎn)C,使以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似，若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】⑴；⑵；⑶(6,0)，(1,0)，(3,0)【分析】（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．（2）證明△ACF∽△AOB推出得，然后求出OB關(guān)于t的等量關(guān)系式，繼而求出S△OAB的值．（3）依題意要使△BEF∽△OFE，則要或，即分BE=2t或兩種情況解答．當(dāng)BE=2t時(shí)，BO=4t，根據(jù)上述的線段比求出t值；當(dāng)時(shí)也要細(xì)分兩種情況：當(dāng)B在E的右側(cè)以及當(dāng)B在E的左側(cè)時(shí)OB的取值，利用線段比求出t值．【詳解】解：(1)∵A(2,2)∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=∴(2)∵CF∥OB，∴△ACF∽△AOB，∴，∴，∴(3)要使△BEF與△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要或，即:或①當(dāng)時(shí),,∴∴(舍去)或，∴B(6,0)②當(dāng)時(shí),(ⅰ)當(dāng)B在E的左側(cè)時(shí),,∴，∴(舍去)或，∴B(1,0)(ⅱ)當(dāng)B在E的右側(cè)時(shí),,∴∴(舍去)或∴B(3,0)【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及相似三角形的判定等有關(guān)知識(shí)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，若，，的面積分別為，，，則的面積為．【答案】405【分析】由DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，得△ADE∽△EFG∽△GIC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得S△ADE：S△EFG=AE2：EG2=20：45，得AE：EG=2：3，同理得EG：GC=3：4，則AE：AC=2：9，再由△ADE∽△ABC，得S△ADE：S△ABC=AE2：AC2=4：81，即可得到△ABC的面積．【詳解】解：∵DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，∴△ADE∽△EFG∽△GIC，∴S△ADE：S△EFG=AE2：EG2=20：45，∴AE：EG=2：3，∴S△EFG：S△GIC=EG2：GC2=45：80，∴EG：GC=3：4，∴AE：AC=2：9，而△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=AE2：AC2=4：81，∴S△ABC=×20=405cm2．故答案為：405．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所得的三角形與原三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．2．如圖已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC邊上的高是3，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC邊上的高是3可得AM=3，由正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得，即可求正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∵△ABC的BC邊上的高是3，∴AM=3，∵四邊形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，∴，．∴．∴GF=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定為解題關(guān)鍵．3.如圖，是一塊銳角三角形余料，邊，高，要把它加工成矩形零件，使一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊上，(1)若這個(gè)矩形是正方形，那么邊長(zhǎng)是多少？(2)若這個(gè)矩形的長(zhǎng)是寬的2倍，則邊長(zhǎng)是多少？【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，表示出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．（2）設(shè)矩形的寬為x，長(zhǎng)為2x，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列出比例式，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，即，解得．答：若這個(gè)矩形是正方形，那么邊長(zhǎng)是．（2）解：設(shè)矩形的寬為x，長(zhǎng)為2x，同理可得：，即解得，即長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查了正方形以及矩形的性質(zhì)，結(jié)合了相似三角形的性質(zhì)與判定求解，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用．4．如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點(diǎn)D，交EH于點(diǎn)M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

【答案】【分析】由相似三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴，即，解得：EH=∴EFGH的邊長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到△AEH∽△ABC是解題關(guān)鍵．5．一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說(shuō)明見(jiàn)解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)最大就符合要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長(zhǎng)可求出其余兩邊的邊長(zhǎng)，根據(jù)乙加工方案中的平行關(guān)系得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)變成比例，可求出正方形的邊長(zhǎng)；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角形的高的比等于邊長(zhǎng)比，可求出正方形的邊長(zhǎng)，對(duì)比兩方案的邊長(zhǎng)即可知誰(shuí)符合要求．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米，如圖乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析、解決問(wèn)題的能力，正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．6．在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF.連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF,設(shè)OD＝t.⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代數(shù)式表示△OAB的面積S；⑶是否存在點(diǎn)C,使以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△OFE相似，若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】⑴；⑵；⑶(6,0)，(1,0)，(3,0)【分析】（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．（2）證明△ACF∽△AOB推出得，然后求出OB關(guān)于t的等量關(guān)系式，繼而求出S△OAB的值．（3）依題意要使△BEF∽△OFE，則要或，即分BE=2t或兩種情況解答．當(dāng)BE=2t時(shí)，BO=4t，根據(jù)上述的線段比求出t值；當(dāng)時(shí)也要細(xì)分兩種情況：當(dāng)B在E的右側(cè)以及當(dāng)B在E的左側(cè)時(shí)OB的取值，利用線段比求出t值．【詳解】解：(1)∵A(2,2)∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=∴(2)∵CF∥OB，∴△ACF∽△AOB，∴∴∴(3)要使△BEF與△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要或即:或①當(dāng)時(shí),,∴∴(舍去)或∴B(6,0)②當(dāng)時(shí),(ⅰ)當(dāng)B在E的左側(cè)時(shí),,∴，∴(舍去)或∴B(1,0)(ⅱ)當(dāng)B在E的右側(cè)時(shí),,∴∴(舍去)或，∴B(3,0)【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及相似三角形的判定等有關(guān)知識(shí)．7．如圖,在中，，，高，矩形的一邊在邊上，、分別在、上，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最大?并求出最大面積；(3)當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，該矩形以每秒個(gè)單位的速度沿射線勻速向上運(yùn)動(dòng)(當(dāng)矩形的邊到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng))，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)x為時(shí)，矩形的面積有最大值5；（3）S=【分析】（1）由條件可得EF∥BC，根據(jù)相似三角形的判定即可求證；（2）由（1）可得，用x表示出HD，表示出矩形EFPQ的面積，利用二次函數(shù)可求得其最大值；（3）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，設(shè)矩形EFPQ與AB、AC的交點(diǎn)分別為M、N、R、S，可利用平行表示出MN的長(zhǎng)，可表示出△EMS和△NFR的面積，進(jìn)一步可表示出重疊部分的面積；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，重疊部分為△P′Q′A，利用平行分別用x表示出其底和高，可表示出面積．【詳解】解：（1）∵四邊形EFPQ為矩形，∴EF∥BC，∴；（2）∵∴，即，∴HD=4-，∴S矩形EFPQ=EF?FQ=EF?HD=x（4-）=-x2+4x，該函數(shù)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，故當(dāng)x=時(shí)有最大值，最大值為5，即當(dāng)x為時(shí)，矩形的面積有最大值5；（3）由（2）可知，當(dāng)矩形面積取最大值時(shí)，EF=，F(xiàn)Q=2，①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如圖1，設(shè)矩形與AB、AC分別交于點(diǎn)M、N、R、S，與AD交于J、L，連接RS，交AD于K，由題意可知LD=JK=t，則AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，又∵RS=，∴R、S為AB、AC的中點(diǎn)，∴AK=AD=2，ES=FR=JK=t，又∵M(jìn)N∥RS，∴，即，∴MN=-t，∴EM+FN=EF-MN=-（-t）=t，∴S△EMS+S△FNR=ES（EM+FN）=t?t=，∴S=S矩形EFPQ-（S△EMS+S△FNR）=5-；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2，設(shè)矩形與AB、AC、AD分別交于點(diǎn)Q′、P′、D′，根據(jù)題意D′D=t，則AD′=4-t，∵PQ∥BC，∴，即，解得P′Q′=5-t，∴S=S△AP′Q′=P′Q′?AD′=（4-t）（5-t）=-5t+10；綜上可知S=．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)及函數(shù)的性質(zhì)，在（2）中用x表示出矩形的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出重疊部分的圖形是解題的關(guān)鍵．8．如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．（1）求證：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如圖2，若P為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作△AEC的內(nèi)接矩形，使其頂點(diǎn)Q落在線段AE上，頂點(diǎn)M、N落在線段AC上，當(dāng)線段PE的長(zhǎng)為何值時(shí)，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）PE=時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．【分析】（1）根據(jù)圖形的折疊可得：AB=AE,BC=CE,由矩形的性質(zhì)可得：AD=BC,CD=AB,等量代換可得AD=CE,AE=CD,又DE=DE,所以用SSS可證明△DEC≌△EDA；（2）設(shè)DF=x，根據(jù)條件可證AF=CF，在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x的值；（3）設(shè)PE=x（0＜x＜3），矩形PQMN的面積為S，首先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，然后利用△EPQ∽△ECA的性質(zhì)，用x表示出PQ的長(zhǎng)，過(guò)E作EG⊥AC于G，利用Rt△AEC的面積求出EG的長(zhǎng)，然后利用△CPN∽△CEG的性質(zhì)，用x表示出PN的長(zhǎng)，從而得出S與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定x的值以及S的最大值．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AD=BC，AB=CD∵折疊∴BC=CE，AB=AE∴AD=CE，DC=EA在與中∴．（2）解：∵矩形ABCD中，，∴∵折疊，∴∴∴AF=CF，設(shè)DF=x，則AF=CF=4﹣x，在中，解得；，即．（3）如圖2，由矩形PQMN的性質(zhì)得，∴△EPQ∽△ECA∴∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3∴設(shè)PE=x（0＜x＜3），則，即過(guò)E作于G，則，∴△CPN∽△CEG∴又∵在Rt△AEC中，，解得∴，即設(shè)矩形PQMN的面積為S∵∴當(dāng)時(shí)，即PE=時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形和折疊的性質(zhì)，