高級中學名校試卷PAGEPAGE2福建省福州市六校2022-2023學年高二下學期期末聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，由得故選：B2.下列函數中，在區間上為增函數的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A選項，當時，，則在上單調遞減；對于B選項，函數在區間上不單調；對于C選項，函數在上不單調；對于D選項，因為函數、在上均為增函數，所以，函數在上為增函數.故選：D.3.設，，，則（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗根據對數函數在定義域內為單調遞增可知，即；由三角函數單調性可知；利用指數函數單調遞增可得；所以.故選：C4.已知邊長為1的正方形，設，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因為是邊長為1的正方形，，所以又，所以，故選：B5.函數是（）A.奇函數，且最小值為 B.奇函數，且最大值為C.偶函數，且最小值為 D.偶函數，且最大值為〖答案〗C〖解析〗由題可知，的定義域為，關于原點對稱，且，而，即函數為偶函數；所以，又，即，可得函數最小值為0，無最大值.故選：C6.設，函數若恰有一個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗畫出函數的圖象如下圖所示：函數可由分段平移得到，易知當時，函數恰有一個零點，滿足題意；當時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；當時，圖象往下平移，當時，函數有兩個零點；當時，恰有一個零點，滿足題意，即；綜上可得的取值范圍是.故選：D7.已知雙曲線的中心在原點，以坐標軸為對稱軸．則“的離心率為”是“的一條漸近線為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若雙曲線的離心率為，則，所以，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的充分條件；反之，雙曲線的一條漸近線為，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的必要條件；綜上：“的離心率為”是“的一條漸近線為”的既不充分也不必要條件，故選：D.8.已知△ABC中，角A，B滿足，則下列結論一定正確的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，設函數，上面不等式即為，又，是上的增函數，，而，是三角形內角，，即，，，，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；由，，由正弦定理可得，故D錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.將一組數據中的每個數據都乘以2后，平均數也變為原來的2倍B.一組數據1，2，3，3，4，5的平均數、眾數、中位數都相同C.一組數6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位數為5D.若甲組數據的方差為5，乙組數據的方差為4.7，則這兩組數據中較穩定的是甲〖答案〗AB〖解析〗對于A中，根據數據的平均數的計算公式，若將一組數據中的每個數據都乘以2后，平均數也變為原來的2倍，所以A正確；對于B中，數據的平均數為，由眾數和中位數的概念，可得數據的眾數為，中位數為，所以數據的平均數、眾數和中位數都相同，所以B正確；對于C中，將數據從小到大排序，可得，因為，所以分位數為，所以C錯誤；對于D中，若甲組數據的方差為5，乙組數據的方差為4.7，根據方差的概念，可得這兩組數據中較穩定的是乙，所以D錯誤.故選：AB.10.已知，，且，則（）A.的最大值為2 B.的最小值為2C.的最大值是1 D.的最小值是1〖答案〗BC〖解析〗因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，解得或.因為，，所以，故A錯誤，B正確；因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，因為，所以解得，所以，故C正確，D錯誤.故選：BC.11.在四棱錐中，底面是正方形，平面，點是棱的中點，，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值是C.異面直線與所成的角是D.四棱錐的體積與其外接球的體積的比值是〖答案〗AB〖解析〗如圖，連接.因為底面是正方形，所以，因為平面，所以，所以平面，則，故A正確.由題意易證，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間坐標系.設，則，，，，，從而，，，.設平面的法向量，則，令，得.設直線與平面所成的角為，則，故B正確.設異面直線與所成的角為，則，從而，故C錯誤.四棱錐的體積，由題意可知四棱錐外接球的半徑，則其體積，從而四棱錐的體積與其外接球的體積的比值是，故D錯誤.故選：AB.12.已知為等差數列的前項和，，，記，，其中是高斯函數，表示不超過的最大整數，如，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由為等差數列的前項和，所以，即；又，設等差數列的公差為，所以，所以，所以，故A正確；由選項A可知，所以，所以，故B錯誤；由選項A可知，所以，，所以，即數列是首項為，公差為的等差數列，所以，故C正確；由選項A可知，當且時，；當且時，；當且時，；當時，；所以，故D正確.故選:ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.復數，則__________________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗為：.14.已知拋物線的頂點為，且過點．若是邊長為的等邊三角形，則____．〖答案〗1〖解析〗設，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關于軸對稱，由得,將代入拋物線中得所以，故〖答案〗為：115.設，其中．當時，____；當時，的一個取值為____．〖答案〗①②（〖答案〗不唯一）〖解析〗根據題意可得當時，可得，所以；當時，即，整理可得，即，可得，所以的一個取值為.故〖答案〗為：,16.若不等式有唯一解，則的值為________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，不等式有唯一解，令，要使有唯一解，只需使與有一個交點，即方程有唯一解，即方程有唯一實數根，，即，解得：.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在中，，，平分交于點，．（1）求的值；（2）求的面積．解：（1）在中，由正弦定理得，所以，因為，所以；（2）由（1）得，由題設，，即為等腰三角形，所以，，所以的面積．18.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值．解：（1）如圖所示：連接.因為是邊長為2正方形，所以，因為，所以，，所以，則.因為，所以.因為平面ABCD，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空問直角坐標系.則，，，，故，，.設平面的法向量為，則，令，則設平面的法向量為，則，令，則.，記平面和平面夾角為，則.19.在遞增的等比數列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和.解：（1）由題意可得，解得，，則，.故.（2）由（1）可得，則.故.20.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，證明：在上單調遞增；（3）判斷與的大小關系，并加以證明．解：（1）,所以，．所以曲線在點處的切線方程為．（2）由題設，．所以．當時，因為，所以．所以在上單調遞增．（3）．證明如下：設．則．由（2）知在上單調遞增，所以．所以，即在上單調遞增．所以，即．21.已知橢圓：的離心率為，且橢圓上的點到右焦點的距離最長為.（1）求橢圓的標準方程.（2）過點的直線與橢圓交于兩點，的中垂線與軸交于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.解：（1）設橢圓的半焦距為，由題意可得：，解得：，，，橢圓的標準方程為.（2）當直線斜率不為時，設直線的方程為，，，的中點為.聯立整理得：，由題意可知：，則，，.為的中點，，，即.直線的方程可設為，令得：，則，.當直線的斜率為時，，，則.綜上所述：為定值，且定值為.22.已知函數，．（1）討論函數的單調性；（2）證明:．解：（1）由函數，可得的定義域為，且若，可得，在上單調遞減；若，令，因為，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，綜上可得：當時，在上單調遞減；當時，的遞增區間為，遞減區間為.（2）由（1）知，當時，的遞增區間為，遞減區間為，所以，所以，即，當時，可得：，將不等式累加后，可得，即.福建省福州市六校2022-2023學年高二下學期期末聯考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，由得故選：B2.下列函數中，在區間上為增函數的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A選項，當時，，則在上單調遞減；對于B選項，函數在區間上不單調；對于C選項，函數在上不單調；對于D選項，因為函數、在上均為增函數，所以，函數在上為增函數.故選：D.3.設，，，則（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗根據對數函數在定義域內為單調遞增可知，即；由三角函數單調性可知；利用指數函數單調遞增可得；所以.故選：C4.已知邊長為1的正方形，設，，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因為是邊長為1的正方形，，所以又，所以，故選：B5.函數是（）A.奇函數，且最小值為 B.奇函數，且最大值為C.偶函數，且最小值為 D.偶函數，且最大值為〖答案〗C〖解析〗由題可知，的定義域為，關于原點對稱，且，而，即函數為偶函數；所以，又，即，可得函數最小值為0，無最大值.故選：C6.設，函數若恰有一個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗畫出函數的圖象如下圖所示：函數可由分段平移得到，易知當時，函數恰有一個零點，滿足題意；當時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；當時，圖象往下平移，當時，函數有兩個零點；當時，恰有一個零點，滿足題意，即；綜上可得的取值范圍是.故選：D7.已知雙曲線的中心在原點，以坐標軸為對稱軸．則“的離心率為”是“的一條漸近線為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗若雙曲線的離心率為，則，所以，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的充分條件；反之，雙曲線的一條漸近線為，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的必要條件；綜上：“的離心率為”是“的一條漸近線為”的既不充分也不必要條件，故選：D.8.已知△ABC中，角A，B滿足，則下列結論一定正確的是（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，設函數，上面不等式即為，又，是上的增函數，，而，是三角形內角，，即，，，，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；由，，由正弦定理可得，故D錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.將一組數據中的每個數據都乘以2后，平均數也變為原來的2倍B.一組數據1，2，3，3，4，5的平均數、眾數、中位數都相同C.一組數6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位數為5D.若甲組數據的方差為5，乙組數據的方差為4.7，則這兩組數據中較穩定的是甲〖答案〗AB〖解析〗對于A中，根據數據的平均數的計算公式，若將一組數據中的每個數據都乘以2后，平均數也變為原來的2倍，所以A正確；對于B中，數據的平均數為，由眾數和中位數的概念，可得數據的眾數為，中位數為，所以數據的平均數、眾數和中位數都相同，所以B正確；對于C中，將數據從小到大排序，可得，因為，所以分位數為，所以C錯誤；對于D中，若甲組數據的方差為5，乙組數據的方差為4.7，根據方差的概念，可得這兩組數據中較穩定的是乙，所以D錯誤.故選：AB.10.已知，，且，則（）A.的最大值為2 B.的最小值為2C.的最大值是1 D.的最小值是1〖答案〗BC〖解析〗因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，解得或.因為，，所以，故A錯誤，B正確；因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，因為，所以解得，所以，故C正確，D錯誤.故選：BC.11.在四棱錐中，底面是正方形，平面，點是棱的中點，，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值是C.異面直線與所成的角是D.四棱錐的體積與其外接球的體積的比值是〖答案〗AB〖解析〗如圖，連接.因為底面是正方形，所以，因為平面，所以，所以平面，則，故A正確.由題意易證，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間坐標系.設，則，，，，，從而，，，.設平面的法向量，則，令，得.設直線與平面所成的角為，則，故B正確.設異面直線與所成的角為，則，從而，故C錯誤.四棱錐的體積，由題意可知四棱錐外接球的半徑，則其體積，從而四棱錐的體積與其外接球的體積的比值是，故D錯誤.故選：AB.12.已知為等差數列的前項和，，，記，，其中是高斯函數，表示不超過的最大整數，如，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由為等差數列的前項和，所以，即；又，設等差數列的公差為，所以，所以，所以，故A正確；由選項A可知，所以，所以，故B錯誤；由選項A可知，所以，，所以，即數列是首項為，公差為的等差數列，所以，故C正確；由選項A可知，當且時，；當且時，；當且時，；當時，；所以，故D正確.故選:ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.復數，則__________________.〖答案〗〖解析〗，因此，.故〖答案〗為：.14.已知拋物線的頂點為，且過點．若是邊長為的等邊三角形，則____．〖答案〗1〖解析〗設，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關于軸對稱，由得,將代入拋物線中得所以，故〖答案〗為：115.設，其中．當時，____；當時，的一個取值為____．〖答案〗①②（〖答案〗不唯一）〖解析〗根據題意可得當時，可得，所以；當時，即，整理可得，即，可得，所以的一個取值為.故〖答案〗為：,16.若不等式有唯一解，則的值為________．〖答案〗〖解析〗由題意可知，不等式有唯一解，令，要使有唯一解，只需使與有一個交點，即方程有唯一解，即方程有唯一實數根，，即，解得：.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在中，，，平分交于點，．（1）求的值；（2）求的面積．解：（1）在中，由正弦定理得，所以，因為，所以；（2）由（1）得，由題設，，即為等腰三角形，所以，，所以的面積．18.如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值．解：（1）如圖所示：連接.因為是邊長為2正方形，所以，因為，所以，，所以，則.因為，所以.因為平面ABCD，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空問直角坐標系.則，，，，故，，.設平面的法向量為，