二。二。屆全國高考模擬調研考試試卷

理科數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位

置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標

號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題

時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，共12題，滿分60分。

1.圓f+y?=4與圓了2+,2-4》+今-4瓶=0的公共弦所在的直線和兩坐標軸

所圍成圖形的面積為2,則m的值為（）

A.-3B.-1C.3D.3或-1

2.秦九韶算法是中國南宋時期的數學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，如

圖所示的程序框圖表示用秦九韶算法求5次多項式

543

/（x）=a5x+o4x+a3x+a,x-+axx+a0,當x=,（%是任意實數）時的值的過

程，右輸入/=2,q=—5,g=6,%=,%=7,6z5—2,x0—3,則輸出的\/的

值為（）

A.984B.985

C.986D.987

3.2c：+6C：+18C；+...+2X3"TO()

4.已知復數z滿足（l+，）z=|G+，|,i為虛數單位，則z等于（）

1.11.

A.1—iB.1+zC.—iD.—+—z

2222

5.如圖，在棱長為2的正方體ABC。-中，點E、R分別是棱3C,

CG的中點，P是側面3CG耳內一點，若AP〃平面AEF,則線段AP長度的

取值范圍是（）

B

A.B.[^4]C."D.

6.已知函數/(x)滿足：tz=(x2,/(x)),&=(l,x--+^-),allb，數列｛4｝的

XX

前。項和為s“，滿足/(%)+/(g)+…+/(4)=。；+q...+。：一〃2,則

/(?)1an

limn10的值為()

X—>003n

79

A.一一B.-4C.—D.-5

22

7.設正數。，b滿足b-a<2,若關于％的不等式(/-4產+4區-/<0的解

集中的整數解恰有4個，則。的取值范圍是()

A.(2,3)B.(3,4)C.(2,4)D.(4,5)

8.數列n｝的通項公式a“=〃cos：,其前〃項和為S“，貝岫?！钡扔?)

A.1006B.1008C.-1006D.-1008

9.設AB,。,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，在A6c中，

3。=6,的。=60。,則三棱錐0-筋。體積的最大值為()

A.1273B.1873C.2473D.54g

10.若對于任意x,y?0,"o),不等式4以〈產+廠2+爐7-2+2恒成立，則實數a

的最大值是()

1

A.B.1C.2D.-

42

11.已知AABC是邊長為26的正三角形，EP為AABC的外接圓。的一條直

徑，M為AABC的邊上的動點，則ME.尸Af的最大值為()

A.3B.4C.5D.6

12.有三支股票A,B,C,28位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中

一支股票.在不持有A股票的人中，持有B股票的人數是持有C股票的人數的

2倍.在持有A股票的人中，只持有A股票的人數比除了持有A股票外，同時

還持有其它股票的人數多L在只持有一支股票的人中，有一半持有A股

票.則只持有B股票的股民人數是()

A.7B.6C.5D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若對于任意x?[l,4],不等式04ax2+bx+4a44x恒成立，|a|+|a+b+25]的范

圍為.

14.設印為不超過x的最大整數，?！盀榭赡苋〉剿兄档膫€

數，*是數列｛」^｝前〃項的和，則下列結論正確的是.

(1)%=4(2)190是數列｛。“｝中的項

(3)，。=力(4)當〃=7時，取最小值

6n

15.鈍角AABC中，若A=q-,|BC|=1,則201ABl+3|AC|的最大值為

16.已知數列｛。"｝中，4=2,點列門("=1,2….)在AABC內部，且與

A^,AC的面積比為2:1,若對“eN*都存在數列｛2｝滿足

d5A+g4+山3+(34+2)3=0,則%的值為.

三、解答題：每小題滿分12分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17-21題，滿分60分。22-24題，滿分10分。請考生在22、23、24題中任選一

題作答，如果多做，則按所做的第一題計分,作答時請寫清題號。

22

17.已知橢圓￡:!?+3=1(?！?〉0)的左、右焦點分別為《、B，橢圓的離

心率為:，過橢圓G的左焦點6,且斜率為1的直線/,與以右焦點工為圓

心，半徑為0的圓。2相切.

(1)求橢圓G的標準方程；

(2)線段是橢圓G過右焦點工的弦，且叫=4gN,求的面積的

最大值以及取最大值時實數2的值.

n1

18.設S〃=Z(T嚴7c:,〃歡eN*.

Mk

(1)求S2—s-S3-S2.

〃1

(2)猜想S“-的值，并加以證明.

k=\k

19.已知函數/(x)=l-]nx+a2x2-ax(a￡R).

(1)當時，討論函數/(1)的單調性；

2

(2)若a=0且xe(0,l),求證：/^+X--<1.

ex

20.已知點A(-1,0),B(1,-1)和拋物線.C:j：=4x,0為坐標原點，

過點A的動直線I交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點Q,如圖.

(1)證明:。MWP為定值;

(2)若APOM的面積為:，求向量如■與方的夾角;

⑶證明直線PQ恒過一個定點.

21.已知函數/(%)(xc。)，若同時滿足以下條件：

①Ax)在D上單調遞減或單調遞增；

②存在區間m，切使/⑴在句上的值域是［。,勿，那么稱/(x)(xeD)為

閉函數.

(1)求閉函數/(x)=-/符合條件②的區間&句；

(2)判斷函數/(x)=2x+lgx是不是閉函數？若是請找出區間&勿；若不是請

說明理由；

(3)若/(x)=k+而，是閉函數，求實數上的取值范圍.

22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標

一7T

系，圓G的極坐標方程為夕=4sin，，圓的極坐標方程為夕=4cos(6+/),

已知Ci與交于A、5兩點，點3位于第一象限.

(I)求點A和點3的極坐標；

(II)設圓G的圓心為G，點尸是直線上的動點，且滿足5。=加3。1，若

x=73--2

直線qp的參數方程為2(X為參數)，則加：力的值為多少？

y=1+—A

I2

23.已知函數/(x)=%-3廣+三一］(。>0),g(x)=4-|x+l|.

(1)當”=1時，求不等式的解集；

(2)若關于％的不等式〃x)<g(x)的解集包含［1,2］,求，的取值集合.

24.如圖，圓。的直徑.18=10,尸是.18延長線上一點，BP=2,害U線尸C。

交圓。于點C,。，過點尸作a尸的垂線，交直線于點E,交直線一1D于點尸.

(1)求證：APEC=APDF;

(2)求產E?尸尸的值.

【參考答案】

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的，共12題，滿分60分。

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

求出公共弦所在直線，再求與兩坐標軸的交點，即可得出面積表達式，根據面

積關系求解.

【詳解】

圓/-4x+4y-4-m-0的標準方程為(x-2)2+(y+2)2=4m+8,m>-2

兩圓相交，必有12-J47〃+81<24<2+j4m+8,且加>—2,

將兩圓方程相減可得4x-4y+4m=4,

當x=0時，y=m-l,當y=0時，x=l-m,所以直線與坐標軸的交點為

(0,加—1)與?！?0),所圍圖形面積S=1x(m-l)2=2,解得機=3或—1,經

檢驗，符合條件.

故選：D

【點睛】

此題考查通過兩圓的公共弦所在直線與坐標軸圍成的面積問題求參數的值，需

要注意考慮公共弦所在直線不是簡單地將兩圓方程相減，還需考慮兩圓的位置

關系.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

執行程序框圖，輸入%=2,%=—5,的=6,%=-4,%=7,%=2,超=3,直到退出

循環，得到輸出的值.

【詳解】

執仃程序框圖，輸入/=2,q=-5,a?=6,%=-4,%=7,%=2,=3,經過弟1

次循環得v=13,n=2；經過第2次循環得v=35,n=3;經過第3次循環得v

=111,n=4；經過第4次循環得v=328,n=5；經過第5次循環得i/=986,n

=6,退出循環.故輸出的V的值為986,故選C.

【點睛】

本題主要考查了根據程序框圖計算輸出的值，屬于中檔題.

3.B

解析：B

【解析】

2C>6C；+18C3++2x3""：=

22

=-(C>3+C>32+C；x3n)=-(C>3°+C>3+C>32+C；；x3--1)

22

=早(1+3)"—1]=§(4〃_1)選B.

4.A

解析：A

【解析】

因為2=吧*J??)所以應選答案A.

1+2(1+Z)(l—2)

5.C

解析：C

【解析】

【分析】

分別取棱8用、的中點〃、N,連接易證平面4MN//平面AEF,

由題意知點P必在線段上，由此可判斷P在〃或N處時4P最長，位于線

段MN中點處時最短，通過解直角三角形即可求得.

【詳解】

如下圖所示，分別取棱8片，Be的中點/、N,連MN,BG,

4B

M,N,E,P分別為所在棱的中點，則MN//5C，EF//BC,,

MN//EF,又肱Va平面AEF,EFu平面AEF,

〃平面AEF.

AA^Z/NE,A\=NE,

二四邊形AENA為平行四邊形，

A.NHAE,

又4N<Z平面AEF,AEu平面AEF,

AN〃平面AEF,

又ANMN=N,

???平面\MNII平面AEF.

P是側面3CC圈內一點，且AP〃平面AEF,

二點P必在線段上.

在Rt^A^M中，=飛入8；+8M2=也+1=75.

同理，在七例與N中，可得AN=石,

為等腰三角形.

當點P為腦V中點。時，A.PLMN,止匕時AP最短；點尸位于M、N處時，

4尸最長.

4<9==J（A/5）2--=—?AM=AN=布.

VI2J2

二線段4尸長度的取值范圍是］呼，石.

故選：c.

【點睛】

本題考查點、線、面間的距離問題，考查學生的運算能力及推理轉化能力，屬

中檔題，解決本題的關鍵是通過構造平行平面尋找P點位置.

6.B

解析：B

【解析】

【分析】

由a//?？汕蟪觥Φ谋磉_式，進一步表示出4與r的值，展開行列式，結合

數列極限即可求解

【詳解】

al1b，n"x）=x3f+l,/（4）+/（/）+…+/（/）=

X—+——

xx2

=d+起…+a：—（q+a2+4）+〃=嫁+起…+a：一"，

即=%+。2+a〃=〃之+〃①，又5,_]=%+〃2+%_]=(〃—1)+〃—1②

(n>2),

f(n)1an

1

①-②得a=2n,經檢驗n=1也符合，故4=2n,n0

n~sn~

1

an0

a”

/一〃+〃

2114n1141

"3一〃+°.——

732

J,￡n+n2nn+122n+2nn+12

/(〃)1an

n3—n+14〃1'_

貝I」limn——0=lim

00Vn->oo

、24+2/n+12?

an0-

an

n—>co2n3+2n2n+1222

故選：B

【點睛】

本題考查向量平行的坐標表示，數列的4,5〃的求解，三階行列式的化簡，極限

思想的應用，屬于難題

7.C

解析：C

【解析】

分析：將不等式因式分解可得［（。+2卜-刃［（。-2卜+可<。，由于解集中整數

bb

解恰有4個，則a>2,則有——則四個整數解為-3,-2,-

a-2a+2

b

1,0.則有-4<——-<-3,結合條件b<2+a,可得a<4,進而得到a的范

a—2

圍.

詳解：(?2-4)X2+4Z?X-Z72<0,gpcrx2-(4x2-4Z?x+ZJ2)<0

?2x2-(2x-Z?)2<0,(ar+2x-/?)(ar-2x+Z?)<0,

/.^(?+2)X-Z?^(?-2)X+ZJ^|<0

由于解集中整數解恰有4個，則a>2,

上…上<1

CL—2Q+2

則四個整數解為-3,-2,-1,0.

bb

???一4<--------<-3,即3<——<4

a—2a-2

即3a-6<b<4a-8,又2+〃

/.3a-6<2+(2,a<4,又a>2

的取值范圍是（2,4）

故選C

點睛：本題考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整數解的求法，考查不

等式的性質的運用，考查運算能力，屬于易錯題.

8.B

解析：B

【解析】

【分析】

nn=4k(keN*)

依據y=cosgx為周期函數，得到4=°九=4左+1(左eN),并項求和，即

2-nn=4k+2(k&N)

0〃=4左+3(攵eN)

可求出邑。17的值。

【詳解】

nn=4k(kGN*)

因為y=cosgx為周期函數，周期為4,所以&=0n=4左+1(攵eN)

2—nn=4左+2(左eN)

0n=4左+3(左eN)

員017—(42+”4)+(“6+火)+(4。+42)++(“2014+“2016)+“2017

=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)++(-2014+2016)

=2x504=1008,故選B。

【點睛】

本題主要考查數列求和方法一一并項求和法的應用，以及三角函數的周期性,

分論討論思想，意在考查學生的推理論證和計算能力。

9.B

解析：B

【解析】

【分析】

利用正弦定理癮=2『得到再計算〃-E+R=6'再利用余

弦定理和均值不等式得到反■W36,代入體積公式得到答案.

【詳解】

ABC中，BC=6,ZBAC=60°,則一-—=---=4^/3=2rr—2^3

sinAsin60°

儲axW-/+R=6

cr-b^+c2—2bccosA=b2+c2—be>be.'.be<36,S——besinA<9^3

2

當a=b=c=6時等號成立，止匕時V=gs〃=186

故選：B

【點睛】

本題考查了三棱錐的體積問題，綜合了正弦定理，余弦定理，面積公式，綜合

性強，意在考查學生的空間想象能力和綜合應用能力.

10.D

解析：D

【解析】

分析：利用基本不等式和參數分離得生?在尤>0時恒成立，構造函數

2x

g(x)=匕匕，通過求導判斷函數的單調性求得g(x)的最小值，即可求得。的

2x

最大值.

詳解：當x=0時，不等式即為0<e>T+e-T+2,顯然成立，

當x>0時，設/(力=6?2+/7+2+2,

所以不等式4ar<e"k2+e，7+2+2恒成立，即為不等式4依W"力恒成立，

即有〃%)=廣2(/+/)+2之*2.2J/.—=2+2j2(當y=0時等號成

立)，

1

由題意可得4℃<2+2/2,即有------在x>0時恒成立，

2x

人予物，、l+ex-2“、2xex-2-2(l+ex-2)

令函數g(x)=-----,則g(x)=--------------,

2x4x~

令/(尤)=0,即有(x-1)/。=1,

令A(x)=(x—l)ex~2n//(x)=xex~2,

當x>0時，h'(x)>0,函數/z(x)單調遞增，由于"2)=1,即有(x-De—=1的

根為2,

當x>2時，函數g(x)單調遞增，0<x<2時，函數g(x)單調遞減，

即有x=2時，g(x)取得最小值，其最小值為號=；,

所以實數。的最大值為!，故選D.

點睛：本題主要考查了導數在函數中的綜合應用，以及不等式恒成立問題的求

解，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相

應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接

把問題轉化為函數的最值問題.

11.A

解析：A

【解析】

【詳解】

Y

如圖所示，以AB邊所在直線為％軸，以其中點為坐標原點建立平面直角坐標系，

因為該正三角形A3C的邊長為

2后.??川-60),可疝0),。(0,3),￡(0,-1),尸(0,3),當點/在邊46上時,設點

M(/,。)，則—石〈九04石，ME=(-x0,-l),FM=(x0-3),.-.

ME-FM=-x^+3,-QwXoWQ/.ME.EW的最大值為3;當點“在邊3c上

時，因為直線BC的斜率為-6■，所以直線3c的方程為：5+y-3=0,設點

M(Xo,3—Qxo),則ovx。V透，

ME=^-x0,^3x0-4^,FM=卜°,6x°),:.ME.FM=2x；-473%0,

網W的最大值為0；當點〃在邊AC上時，因為直線AC的斜

率為四，所以直線AC的方程為：島7+3=0,設點網/,3+gxj,則

-^3<x0<0,ME=(^-x0,-y/3x0-4^,FM=^x0,\/3x0^,:.

ME.FM=T*-4&Co,-石W/WO,，ME尸M的最大值為3;綜上，最大值為

3故選A.

12.A

解析：A

【解析】

設只持有A股票的人數為X（如圖所示），則持有A股票還持有其它股票的人

數為X-1（圖中d+e+/的和），因為只持有一支股票的人中，有一半沒持有B

或C股票，則只持有了B和C股票的人數和為X（圖中b+c部分）.假設只同

時持有了B和C股票的人數為a（如圖所示），那么：X+X-l+X+a=28,

即：3X+a=29,則：X的取值可能是：9、8、7、6、5、4、3、2、1.與之對

應的a值為：2、5、8、11、14、17、20、2326.

因為沒持有A股票的股民中，持有B股票的人數為持有C股票人數的2倍，得

b+a=2（c+a）,即X_a=3c,故X=8,a=5時滿足題意，故c=l,b=7,故只

持有B股票的股民人數是7,故選A.

點睛：本題主要考查了邏輯推理能力，韋恩圖在解決實際問題中的應用，解答

此題的重點是求持有A股票的人數.關鍵是求只參加一個項目的人數中，持有

A股票的人數及持有A股票以外的項目，且即持有C股票又持有B股票（a部

分）的人數.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2557【解析】【分析】先把不等式變形為-bSa（x）*-b恒成立結合f

（x）=x最值找到的限制條件結合線性規劃的知識可得【詳解】對于任意

xG14不等式0<ax2+bx+4a<4x恒成立可得當x@

解析：[25,57]

【解析】

【分析】

44

先把不等式變形為-b"(x+—)“-b恒成立，結合/(x)=x+—最值，找到

XX

。的限制條件，結合線性規劃的知識可得.

【詳解】

對于任意xG[l,4],不等式0Wax2+bx+4aW4x恒成立,

4

可得當x￡[L4]時，不等式-b"(x+—)恒成立,

x

4

設/(x)=x+—,xF[l,4]；

x

可得xG[l,2]時/(x)遞減，xe[2,4]時/(x)遞增,

可得％=2時取得最小值4,x=1或％=4時取得最大值5,

所以/(x)的值域為[4,5]；

-b<4a<4-b

所以原不等式恒成立，等價于

-b<5a<4-b'

0<4a+Z??4

即V,

[0<5tz+Z?<4

4a+b=xf0<x<4

設<人，則”

5a+b=y[0Vy<5

a=-x+y

所以＜

b=5x—4y'

所以目標函數z=|a|+|a+b+25|=|y-x|+|4x+3y+25|=|y-x|+4x+3y+25,

當代x時，目標函數z=3x+4y+25,

畫出不等式組表示的平面區域，如圖,

由圖可知x=0,y=0時Zm/"=25,x=4,y=5時Zmax=57；

當y<x時，目標函數z=5x+2y+25,如圖，

由圖可知x=0,y=0時Zm,h=25,x=4,y=4時z?)ax=53；

綜上可得，|a|+|a+b+25］的范圍是［25,57］.

【點睛】

本題主要考查不等式恒成立問題及利用線性規劃知識求解范圍問題，恒成立問

題一般是轉化為最值問題，線性規劃問題通常借助圖形求解，側重考查邏輯推

理和數學運算的核心素養.

14.(1)(3)(4)【解析】【分析】首先根據的定義求得以此類推求得的通項公式利

用裂項求和法求得由此對四個結論逐一分析確定結論正確的選項【詳解】當時

故當時故當時故共有4個數即故(1)結論正確以此類推當時

解析：(1)(3)(4)

【解析】

【分析】

首先根據4的定義求得％，。2，。3，以此類推求得4的通項公式，利用裂項求和

法求得S”由此對四個結論逐一分析，確定結論正確的選項.

【詳解】

當〃=1時，xe[O,l),[x]=0,[0]=0,故q=l.

當〃=2時，xe[0,2),[%]={0,1},4.^1e[0,2),[M%]]e{0,1},故%=2.

當〃=3時，%e[0,3),[%]e{0,1,2},x[x]e[0,1)o[1,2)o[4,6),故

[x[x]]e{0,l,4,5},共有4個數，即生=4,故(1)結論正確.

以此類推，當〃N2,xe[0,〃)時，

[x]e{0,l,,H-1},x[x]e[0,1)o[1,2)o[4,6)oO[(H-1)*2,H(H-1)),

2.r\

故E司可以取的個數為1+1+2+3++(n-l)=n,即

[2—2n+2

a

n=-----522),

當〃=1時上式也符合，所以4J?72

令a“=190,得“("-1)=378,沒有整數解，故(2)錯誤.

12=*-出)，

〃〃+2幾(〃+1)(〃+2)

所以S=2(———+———+H—-------)=2(-),

"2334H+1n+22n+2

故品,=2(2-1)=，，所以⑶判斷正確.

212o

一，+必一」、"一」而一L八三i,

n2n272n222〃

當九=6時，比且=6+!，

n6

當”=7時，比且=6+工，故當九=7時取得最小值，故（4）正確

n7

故答案為：⑴⑶⑷

【點睛】

本小題主要考查新定義的理解和運用，考查分析、歸納的能力，考查裂項求和

法，考查與數列最值有關問題的求解，屬于中檔題.

15.【解析】在鈍角中若由正弦定理可得?.....其中..當時的最大值為故答

案為點睛：本題求最值利用三角函數輔助角公式將函數化為的形式利用求最值

其中的取值需結合數值以及符號確定

解析：710

【解析】

在鈍角AABC中，若&=+，忸C=l,由正弦定理可得

\BC\\AB\|AC|_1_

sinAsinCsinB6?

F

：.\AB\=42sinC,|AC|=V2sinB

2夜|AB\+3|AC|=4sinC+3A/2sinB=4sinC+3^2sin(C+^-)=sinC+3cosC=V10sin(C+cp)

,其中tan0=3>tan—

71

VCe(O,-)

4

C+<^G(-,—)

312

.?.當C+時，2陽明+3|AC|的最大值為質

故答案為所.

點睛：本題求最值利用三角函數輔助角公式

asma+bcosa=Jn?+/sin(a+e),sino=,:j,coso=j:.將函數化為

Asin(x+0)的形式，利用lasinx+bcos1WJ，+廿求最值,其中。的取值需結

合數值以及符號確定.

16.80【解析】【詳解】在上取點使得則在線段上三點共線即；故填80

解析：80

【解析】

【詳解】

在3c上取點D,使得皮)=28,則與在線段上.

bnP?A+^n+lPnB+(3an+2)PnC=0

網,=bnAPn+(3??+2-)CPn=bnCBPn-BA)+(3an+2)(BP「BC)

?.(—3a〃—2卜《=——|(34+2)3D,APn,D三點共線，

13

_Qa“+i―2—3a,—2=—2+2),即an+l=3an+2.

/.a2=3。］+2=8,/=3az+2=26,a4=3%+2=80；故填80.

A

BDc

三、解答題：每小題滿分12分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17-21題，滿分60分。22-24題，滿分10分。請考生在22、23、24題中任選一

題作答，如果多做，則按所做的第一題計分,做答時請寫清題號。

22

17.(1)L+上=1；(2)3,1.

43

【解析】

【分析】

(1)由圓與直線相切可得圓心到直線的距離等于半徑，求出c=l,根據橢圓離

c1

心率6=￡=彳，求出a,進而求出b,得到橢圓得方程.

a2

(2)分類討論思想，設出直線方程，聯立橢圓方程，運用韋達定理，結合二次

函數得最值，確定當直線MN與x軸垂直時AM百N的面積最大.

【詳解】

(1)設耳(―c,0),F2(c,0)(c>0),

則直線/的方程為：>=%+c,即x-y+c=0.

?.?直線/與圓C2相切，I.圓心工到直線/的距離為』=器^=0,解之得c=l.

111

???橢圓的離心率為7，即一=7,所以4=2,所以方2=/—/=4—1=3,

2a2

22

???橢圓G的方程為工+匕=「

43

(2)由(1)得耳(—1,0),工(L0),

由題意得直線的斜率不為0,故設直線的方程為：x=ty+KteR）,

22

代入橢圓方程?+g=1化簡可得（4+3產）/+6h-9=0,

A=36r+36(4+3r)>0恒成立,

設”（%,%）,N（x2,y2）,則%,%是上述方程的兩個不等根,

-6t

3V

X+%=4+3產2=77^7°

???MRN的面積S^N閭4一％|=gx2x?-%|=|x一%|

12〃+i

={(%+%『-4%%=

4+3/

設J?+l=m，則根21,〃=4一1,則3r+4=3川+1,S=12x—^一-

MFN3m+1

,i_3m2

令/（m）=c7］（7〃N1），則/5）=――—TT<°恒成立，

3m+1（3"+lJ

則函數〃加）在口,內）上為減函數，故f（臉的最大值為/（1）=4,

所以班N的面積的最大值為12x！=3,當且僅當機=1,即/=0時取最大

4

值，

此時直線跖V的方程為x=L即直線MN垂直于％軸，此時上明=gN,即

A=1.

【點睛】

本題考查了橢圓的標準方程、直線與圓的位置關系，考查分類討論的思想.圓

與直線的位置關系有三種，可用代數法和幾何法進行判斷.

11〃]

18.(1)52-S1=-,S3-S2=-(2)猜想：S“—工7=°，證明見解析

23k=ik

【解析】

【分析】

(1)由組合數公式和求和的定義，計算可得所求值；

n1

(2)猜想X%=0,運用求和公式的定義和組合數公式C"+c："T=c2,

k=lk

15+1)!

以及-----------=高，結合二項式定理，以及數列

Z+1(左+1)左！(〃一女)!(左+1)!(〃_Q!

的恒等式H+(邑—SJ+(邑一$2)+…+(S,化簡計算可得證明.

【詳解】

解：(1)1=(—l)2xlxC；=l,

§2=￡(-1產*=(-1)2XC；+(—1)3X1XC；=2H

k=ik222

3111

S3=￡(T)&M-Cl=(-1)2xC'+(-l)3x-xC；+(-1)4x-xc^

k=ik23

313111

=3o---1—=—I—=——,

23236

所以S2-S|=；,53-S2=1

〃]111

(2)猜想：S〃—工7二。，即S〃=l+7+；++—

%=ik23〃

下面用數學歸納法證明.

1。當〃=1時，由(1)知，1=1,成立；

“1111

2。假設當〃=相時，5m=^(-ir-C,：,=l+-+-++—.

k=ik23m

邛+1111

則當i+i時，"生產戶?(-嚴尸"-尸^

m+2]

m+1

m1m1

=z(-Di+17C+Z(T)MV*+(-1)m+21

無=1kk=ikm+1

m11

鼠+2(一1嚴7&1+(—1)27

k=ikm+1

(m+1)!ml

又因為比3-(m+i)c3=H—(m+1)-=o,

k\(jn+\—k)\{k——k+V)\

1

則kCL=(m+DC：；，所以:*=C,：+1,

km+1

加11

所以S-SJ*1產QM+(-1產-

i加i

黑+總1牛1產4+(-產-

m

=s,“+」一X(T嚴*+(T)M

m+1k=\

1m

=sm——-￡(-i)*c3+(-1嚴

m+1屋=1」

+1

=S?，—匕[—qL+Q+「C3++(—i)'C3++(-1)^：+1+(-1)-^]

c1.1111

=S-I-----=1-1---1---FH---1-----,

m+123mm+1

111n1

綜上1。2。，S.=l+：+；++-,故￡7=0.

23nk=ik

【點睛】

本題考查組合數公式的運用，以及二項式定理的運用，考查猜想歸納思想，以

及數列的恒等式的運用，考查化簡運算能力和推理能力，屬于難題.

19.(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)求導得到導函數后，通過。=0和。>0兩種情況，確定/'(%)的正負，從

而得到函數的單調性;(2)將問題轉化為證明：x(l-lnx)<(l+x-x3)^;設

3A

g(x)=x(l-lnx),/z(x)=(l+x-x)e,只需證g(x)1mx</?(%)1nin；通過求導運

算，可知g(x)<g⑴=1,再通過零點存在定理，不斷確定可力的最值位置，

從而證得力(力>/1(0)=1,證得結論.

【詳解】

(1)函數“X)的定義域為(0,+")

」+2八_°==(2以+1)3-1)

XXX

①若1=0時，則r(x)<0,/(X)在(0,+8)上單調遞減；

②若a>0時，當％=,時，/'(%)=0

a

當0<%<4時，r(x)<o;當%>工時，r(x)>o

aa

故在1o,￡|上，/(X)單調遞減；在上，“X)單調遞增

(2)若a=0且尤e(O,l),欲證ZH+X2_J.<I

exx

只需證二竺+/—!<1

ex

即證x(l-lnx)<+

設函數g(x)=x(l一1m0，(無<0,1)),則g'(x)=Tnx

當xe(O,l)時,g〈x)>0；故函數g(x)在(0,1)上單調遞增

所以g(x)<g(l)=l

設函數〃(九)=(1+x—彳。優，則/(%)=(2+尤_3/-x3ex

設函數p(x)=2+x-3x2-x3,則=1-6%-3^

當xe(O,l)時，y(o)-y(l)=-8<o

故存在天€(。,1)，使得p'(%)=。

從而函數)(力在(0,%)上單調遞增；在(%,1)上單調遞減

當龍40,%)時，p(Xo)>P(O)=2

.?.當x?Xo，l)時，M$,0(1)<O

故存在使得〃(%)=。

即當xe(0,%)時，p(x)>0,當龍?看,1)時，夕(無)<0

從而函數h(x)在(0,%)上單調遞增；在(3)上單調遞減

因為&(O)=l，Ml)=e

故當xw(0,1)時，/z(x)>/z(O)=l

所以x(l-lnx)<(1+x-尤3)",xe(0,1)

即"：)+x2--<l,xe(04)

ex

【點睛】

本題考查討論含參數函數單調性、恒成立問題的證明.關鍵在于能夠將恒成立的

不等式變成兩個函數之間的比較；對于兩個函數之間大小關系的比較，通常采

用最值間的比較，通過證明1ax＜刈力3,得到g（x）＜MH的結論.

20.（1）見解析；（2）45°；⑶直線PQ過定點E（1,-4）.

【解析】

y\yl

試題分析：（1）設點“了根據P、M、A三點共線，

yi-yz

ylyz

得心M=ADM，T~4~T計算得到而-OP=s.

（2）設NPOM=a,可得|市-OP-cosa=5.結合三角形面積公式可得tana="l."

根據角的范圍，即得所求.

⑶設點。（亍、B、Q三點共線，二5°=%"

72-734

崛yzyi+y-3

據此確定蘇一療進一步確定PQ的方程，化簡為

G+4Xv:+y3）=4（x-l）.

得出結論.

試題解析:（1）設點川（斗］，）尸苧”）二尸、M、A三點共線,

k心-左DM=即一"-=―：

＞'i口yiy2

yi1

艮卜，—二-~-，???yiy2=4

,+4yi+yi2分

二萌.麗=21.21+1I',=5.5分

44，

(2)設NPOM=a,貝山麗卜|而|<osa=5.

S^0M=—s.'.|OM\-\0P|-sina=5,由此可得tana=l.8分

又aw(Q初二a=45。,故向量厲7與函夾角為45。1。分

⑶設點M、B、Q二點共線，，左=左

即T-二J廠與,即冬1=，

21+1X_21巧-4Vj+V'3

444

(V3+ix>1+y3)=y3-4:^Pijv3+Vj+y3+4=0...11分

■:Vin=4.艮「I、=—一二--1、+—++4=0.

“Av4?**A*“N“N?

Vn%VS

即4(+y3)+y;i3+4=0.(*)12分

yi-y-34

kpQylyl+y-i

T-T

4yl

??直線PQ的方程是y-y2=——(%-)

y2+73T4

即Cy-xXj：+J3)=4x-y：jPy(v,+y3)-y;y；=4x13分

由(*)式，-y2y3=4Cy2+力)+4代入上式，得(v+4?2+y3)=4(x-l).

由此可知直線PQ過定點E(1,-4).14分

考點：拋物線及其幾何性質，直線方程，直線與拋物線的位置關系，轉化與化

歸思想.

21.（1）a——l,b=1；（2）見解析；（3）［—7—2

【解析】

【分析】

（1）由>=