2022-2023學年天津市紅橋區九年級上冊數學期中專項突破模擬題

（卷一）

一、選一選

一元二次方程2的兩根為則的值是（

1.X+3X-10=0xi,x2,X1+X2)

A.2B.-2C.3D.-3

2.如果2是方程x2-3x+c=0的一個根，那么c的值是（）

A.4B.-4C.2D.-2

3.二次函數產/-x+1的圖象與x軸的交點個數是（）

A.0個B.1個C.2個D.沒有能確

定

4.將拋物線丫=（x-1）43向左平移1個單位，得到的拋物線與y軸的交點坐標是（）

A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,7)

5.如圖，二次函數）=Q2+6X+C的圖象與X軸相交于（-2,0）和（4,0）兩點，當函數值

y>o時，自變量x的取值范圍是（）

p104\x

A.x<-2B.-2<x<4C.x>0D.x>4

.若（）（）（）為二次函數的圖象上的三點，則

6A-3.5,yi,B-1,y2,C1,y3y=-x?-4x+5

yi,丫2,丫3的大小關系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y2<yi<y3D.y3<yi<y2

7.某公園有一個圓形噴水池，噴出的水流的高度”（單位：m）與水流運動時間（單位:s）之間的關

系式為力=30r-5產，那么水流從噴出至回落到地面所需要的時間是（）

A.6sB.4sC.3sD.2s

8.如圖，在舟△48。中，ZACB=90°,ZABC=30°,將△48C繞點。順時針旋轉a角

（0。<。<180。）至4/5'。，使得點4恰好落在45邊上，則0等于（）

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B

BA'A

A.150°B,90°C.30°D.60°

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若點E是邊CD的中點，連接AE,過點B作BF_LAE

.3V10R3而rVion375

2555

10.二次函數y=ox2+fcc+c(aW0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(7,0),對稱軸為直線x=2,

下列結論：(1)4°+6=0；(2)9a+c>-3b-,(3)7。-3，+2c>0；(4)若點/(-3,%)、點、B

(-/，H)、點C(7,/)在該函數圖象上，則3V竺；(5)若方程a(x+1)(x-5)=-

3的兩根為XI和X2,且X1<X2,則X1<-1<5<X2.其中正確的結論有()

二、填空題

11.點4(2,1)與點3關于原點對稱，則點&的坐標是.

12.如圖，在△4BC中，NC45=65°,在同一平面內，將△/5C繞點/逆時針旋轉到△N8C'

的位置，使得CC〃/8,則/夕48等于.

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B'

13.如圖，在平行四邊形/及力中，點￡是邊助的中點，死交對角線劭于點凡若5皿0=3,

14.二次函數的圖象過點(一3,0),(1,0),且頂點的縱坐標為4,此函數關系式為.

15.如圖，將矩形ABCD沿GH對折，點C落在Q處，點D落在E處，EQ與BC相交于F.若AD=8cm,

AB=6cm,AE=4cm.則△EBF的周長是cm.

Q

16.如圖，已知/i,Ai,A3,4是x軸上的點，且。41=442=/必3=...=4—4=1,分

別過點4,也，4,作x軸的垂線交二次函數y=gx2(x>0)的圖象于點尸1，P2,P3.

P,?若記A。41Pl的面積為Si,過點Pi作尸山I_L4/2于點囪，記△P31P2的面積為S2,過點尸2

作尸282_L43尸3于點以,記△尸方2尸3的面積為S3……依次進行下去，則$3=,記△尸“一出“

.1尸”(">1)的面積為則S,=.

三、解答題

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17.(1)解方程：x2-4x-12=0

(2)用配方法把二次函數y=gx2-4x+，5化為頂點式.

18.如圖，已知A(-4,2),B(-2,6),C(0,4)是直角坐標系中的三點.

(1)把AABC繞著點。順時針方向旋轉90。，得到△AiBiCi,畫出旋轉后的圖形，并寫出點A

的對應點Ai的坐標；

(2)以原點。為位似，將AABC縮小為原來的一半，請在所給的坐標系中作出所有滿足條件的

19.如圖，等腰放△48C中，BA=BC,N4BC=90。，點。在4c上，將△48。繞點2沿順時針

方向旋轉90。后，得到△C8E

(1)求4DCE的度數；

(2)若48=4,CD=3AD,求。E的長.

20.如圖.在口ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE.EF與CD

交于點G.

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D

G

(1)求證：BD〃EF.

2

(2)若——=-,BE=4,求EC的長.

GC3

21.如圖，二次函數的圖象與x軸交于/（-3,0）和3（1,0）兩點，交y軸于點C（0,3）,

點C、。是二次函數圖象上的一對對稱點，函數的圖象過點8、D.

（1）請直接寫出。點的坐標.

（2）求二次函數的解析式.

（3）根據圖象直接寫出使函數值大于二次函數值的x的取值范圍.

22.初三數學興趣小組市場，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表:

售價（元/件）100110120130

月銷量（件）200180160140

已知該運動服的進價為每件60元，設售價為X元.

（1）請用含x的式子表示：①該運動服每件的利潤是元；②月銷量是件；（直

接寫出結果）

（2）設該運動服的月利潤為1元，那么售價為多少時，當月的利潤，利潤是多少？

23.如圖，已知正方形ABCD中，BE平分/DBC且交CD邊于點E,將^BCE繞點C順時針旋轉

到4DCF的位置，并延長BE交DF于點G

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24.已知關于X的方程—（左+3）x+2左+2=0

（1）求證：方程總有兩個實數根

（2）若方程有一個小于1的正根，求實數k的取值范圍

25.（1）發現

如圖，點A為線段8c外一動點，且3C=a,AB=b.

填空：當點A位于時，線段ZC的長取得值，且值為.（用含。，b的

式子表示）

（2）應用

點A為線段外一動點，且BC=3,48=1.如圖所示，分別以ZC為邊，作等邊三

角形48。和等邊三角形NCE,連接CD,BE.

①找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的值.

（3）拓展

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2,0）,點&的坐標為（5,0）,點尸為線段Z3外

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一動點，且P4=2,PM=PB,ZBPM=90°,求線段長的值及此時點尸的坐標.

26.如圖，拋物線A(-2,0),B(--,0),C(0,2)三點.

2

\j\o-------------；

M

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D,使得4DCA的面積，求點D的坐標；

（3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足N/"H=90°?若存在，請

求出點H的坐標；若沒有存在，請說明理由.

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2022-2023學年天津市紅橋區九年級上冊數學期中專項突破模擬題

（卷一）

一、選一選

2

1.一元二次方程X+3X-10=0的兩根為xi,x2,則X1+X2的值是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【正確答案】D

【詳解】根據一元二次方程根與系數的關系，可知Xl+X2=-2=3.

a

故選D.

點睛：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，關鍵是利用一元二次方程根與系數的關

系式Xl+X2=-b',XrX2=cJ代入求解即可，比較簡單，是中考常考題.

aa

2.如果2是方程x2-3x+c=0的一個根，那么c的值是（）

A.4B.-4C.2D.-2

【正確答案】C

【分析】由2為方程x2-3x+c=0的一個根，將x=2代入方程得到關于c的方程，求出方程的解

即可得到c的值.

【詳解】；2是方程x2-3x+c=0的一個根，

...將x=2代入方程得：22-3x2+c=0,

解得：c=2.

3.二次函數y=N-x+1的圖象與x軸的交點個數是（）

A.0個B.1個C.2個D.沒有能確

定

【正確答案】A

【詳解】試解：?.-A=Z?2-4ac=（-l）2-4xlxl=-3<0,

二次函數尸N-x+l的圖象與x軸沒有交點.

故選A.

4.將拋物線丫=（x-1）2+3向左平移1個單位，得到的拋物線與y軸的交點坐標是（）

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A.（0,2）B.(0,3)C.(0,4)D.(0,7)

【正確答案】B

【詳解】試題分析：拋物線y=（x-1）2+3的頂點坐標為（1,3）,把點（1,3）向左平移1個

單位得到點的坐標為（0,3）,所以平移后拋物線解析式為y=x?+3,所以得到的拋物線與y軸的

交點坐標為（0,3）.

故選B.

考點：二次函數圖象與幾何變換

5.如圖，二次函數yuaV+bx+c的圖象與x軸相交于（-2,0）和（4,0）兩點，當函數值

y>0時，自變量x的取值范圍是（）

B.-2<x<4C.x>0D.x>4

【正確答案】B

【詳解】當函數值y>0時，自變量x的取值范圍是：-2<x<4.

故選B.

6.若A（-3.5,yi）,B（-1,y2）,C（1,y3）為二次函數y=-x?-4x+5的圖象上的三點，則

yi,丫2,丫3的大小關系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y2<yi<y3D.y3<yi<y2

【正確答案】D

【詳解】根據二次函數的解析式可知a=T<0,開口向下，對稱軸為x=-2=-2,可由函數的

2a

圖像與性質，可知y3<yi<y2.

故選D.

點睛：此題主要考查了二次函數的系數與圖像的關系，關鍵是判斷出函數的對稱軸和開口方向，

有函數的對稱性判斷即可.

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7.某公園有一個圓形噴水池，噴出的水流的高度〃（單位：m）與水流運動時間/（單位:s）之間的關

系式為力=30r-5d，那么水流從噴出至回落到地面所需要的時間是（）

A.6sB.4sC.3sD.2s

【正確答案】A

【詳解】由于水流從拋出至回落到地面時高度〃為0,把40代入仁30卜5祥即可求出也就求

出了水流從拋出至回落到地面所需要的時間.

解：水流從拋出至回落到地面時高度〃為0,

把〃=0代入〃=30L5F得：5祥-30片0,

解得：G=0（舍去）也=6.

故水流從拋出至回落到地面所需要的時間6s.

故選A.

8.如圖，在中，ZACB=90°,ZABC=30°,將AABC繞點C順時針旋轉a角

（0°<。<180°）至44夕。，使得點4恰好落在邊上，則a等于（）

A.150°B.90°C.30°D,60°

【正確答案】D

【分析】由旋轉的性質可得。4=0ZACA'=a,由等腰三角形的性質可得//=/C4%=60。,

由三角形內角和定理可求a的值.

【詳解】解：?.?”CS=90°,ZABC=30°,

ZA=60°,

???將\ABC繞點。順時針旋轉a角（0°<a<180°）至△A'B'C,

CA=CA',ZACA'=a,

ZA=ZCA'A=60°,

ZACA'=60°,

a=60°,

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故選：D.

本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，掌握旋轉的性質是本題的關鍵.

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若點E是邊CD的中點，連接AE,過點B作BF_LAE

交AE于點F,則BF的長為（）

3V103而Vio

5

【正確答案】B

先求出AE,再求出BF即可.

【詳解】如圖，連接BE.

BC

:四邊形ABCD是矩形，

/.AB=CD=2,BC=AD=3,ZD=90°,

在RtAADE中,AE=JAD。+DE?=^32+12=師，

..11

,

?SaABE=_SjgJ?ABCD=3=—,AEBF,

故選B.

本題考查矩形的性質、勾股定理、三角形的面積公式等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識

解決問題，學會用面積法解決有關線段問題，屬于中考常考題型.

10.二次函數y=ox2+bx+c（aWO）的部分圖象如圖所示，圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=2,

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下列結論：(1)4a+b=0；(2)9a+c>-3b；(3)7。-36+2c>0；(4)若點4(-3,yi)、點、B

(-y,、2)、點C(7,>3)在該函數圖象上，則》1〈歹3<》2；(5)若方程a(x+1)(x-5)=-

3的兩根為陽和X2，且X1〈X2，則X1V-1V5VX2.其中正確的結論有()

【正確答案】B

【詳解】I?拋物線的對稱軸為直線x=-S-=2,即6=-4Q,

2a

.?.4a+b=0,故(1)正確；

?.?由x=-3時，>>0,

9。+36+。>0,

/.9a+c>-3c,故(2)正確;

???拋物線與X軸的一個交點為G1，0)

?”=-4。，

a+4a+c=0,即。=-5。.

代入可得7a-36+2C=7Q+12Q-10Q=9Q,

??,函數的圖像開口向下，

.?.QVO,

：.7a-3b+2c<0,故(3)沒有正確;

???當xV2時，歹隨x增大而增大，當x>2時，y隨x增大而減小，

若點4(-3,力)、點2(，，次)、點C(773)在該函數圖象上，則以="C物故⑷

沒有正確；

根據函數的對稱性可知函數與x軸的另一交點坐標為(5,0),

若方程a(x+1)(x-5)=-3的兩根為xi和X2,且xi<%2,則xi<-1<X2>故(5)正確.

正確的共有3個.

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故選：B.

本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數y=ox2+bx+c（°力0）,二次項系數。決定拋物

線的開口方向和大小，當。＞0時，拋物線向上開口；當。＜0時，拋物線向下開口；項系數b

和二次項系數。共同決定對稱軸的位置，當。與6同號時（即仍＞0）,對稱軸在〉軸左；當a

與b異號時（即必＜0）,對稱軸在〉軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交

于（0,c）；拋物線與x軸交點個數由△決定，△=〃-4℃＞0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=〃-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=〃-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點.

二、填空題

11.點/（2,1）與點B關于原點對稱，則點B的坐標是.

【正確答案】（-2,-1）.

【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案.

【詳解】：點Z（2,1）與點2關于原點對稱，，點8的坐標是（-2,-1）,

故答案為（-2,-1）.

本題考查了關于原點對稱的點的坐標.

12.如圖，在△4BC中，NCAB=65°,在同一平面內，將△4SC繞點Z逆時針旋轉到△489'

的位置，使得CO〃/8,則N8N8等于.

【正確答案】500

【詳解】由平行線的性質可求得NC,CA的度數，然后由旋轉的性質得到AC=AC：然后依據三角

形的性質可知NAC'C的度數，依據三角形的內角和定理可求得/CAC，的度數，從而得到/BAB，

的度數.

解：YCC/〃AB,

.?.NC/CA=NCAB=65°,

:由旋轉的性質可知：AC=AC/,

.?.NACCJ/ACG65。.

AZCAC^ISO0-65°-65°=50°.

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，/BAB/=50°.

13.如圖，在平行四邊形相切中，點￡是邊助的中點，交對角線加于點尸，若5回0=3,

則SMCF=

【正確答案】4

【詳解】根據平行四邊形的性質得到AD〃BC,和△DEFs^BCF,由已知條件求出aDEF的面積,

根據相似三角形的面積比是相似比的平方得到答案.

解：因為E為AD中點，AD/7BC,所以，△DFEs/iBFC,

EFDE1S.EF11

所以'芯;於F比nF二F正=5'所以'$嚕蚪n,

又色”1=:，所以，5^3=4.

、\BCF一

“點睛”本題考查的是平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質；掌握三角形相似的判定

和性質定理是解題的關鍵，注意：相似三角形的面積比是相似比的平方.

14,二次函數的圖象過點(一3,0),(1,0),且頂點的縱坐標為4,此函數關系式為.

【正確答案】y=—2X+3

【詳解】?.?二次函數圖象過點(-3,0)、(1,0),且頂點的縱坐標為4,

二頂點橫坐標為-1,即頂點坐標為(-1,4),

設拋物線解析式為y=a(x+1)2+4,

將x=l,y=0代入得：a=-l,

則拋物線解析式為y=-(x+1)2+4=-X2-2X+3.

故答案是：y=-x2-2x+3.

15.如圖，將矩形ABCD沿GH對折，點C落在Q處，點D落在E處，EQ與BC相交于F.若AD=8cm,

AB=6cm,AE=4cm.則aEBF的周長是cm.

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【正確答案】8

【詳解】試題分析：BE=AB-AE=2.設AH=x,則DH=AD-AH=8-x,在Rt^AEH中，ZEAH=90°,

AE=4,AH=x,EH=DH=8-x,EH2=AE2+AH2,即(8-x)2=42+x2,解得：x=3.；.AH=3,

EH=5.CAAEH=12.VZBFE+ZBEF=90°,ZBEF+ZAEH=90°,ZBFE=ZAEH.又Y/EAH=/FBE=90°,

CAEBF=7=CAHAE=8.

考點：1折疊問題；2勾股定理；3相似三角形.

16.如圖，已知4,Ai,小，…，4是口軸上的點,且OZi=442=4乂3=...=4—14=1,分

別過點4,A2,A3,4,作x軸的垂線交二次函數y=9x2(x>0)的圖象于點尸i,P2,P3.

Pn，若記ACUl尸I的面積為S1，過點尸1作尸歸1L42尸2于點囪，記△尸出尸2的面積為$2，過點尸2

作尸2瓦。43P3于點分，記AP/2尸3的面積為&……依次進行下去，則$3=,記"“.iB”

-iP?(n>1)的面積為S?,則Sn=.

【正確答案】①②.

【詳解】當X=1時，X2=y,貝！JPl(1,y),所以Si=；xlx；；

，，Z2.2./|

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a

當x=2時，y=yx2=2,則P2(2,2),所以S2=gxlx(2-y)=—；

1QQ1QS

當x=3時，y=-x2=-,則P3(3,—),所以S3=彳xlx(--2)=一,

222224

7

同樣方法可得S=-,

44

正277—1

所以S=------

n4

,,,52n-l

故答案是：—，-----.

44

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.也考查了

三角形面積公式.

三、解答題

17.(1)解方程：x2-4x-12=0

(2)用配方法把二次函數y=；x2-4x+，5化為頂點式.

【正確答案】(1)Xi=-2,X2=6；

(2)y=y(x-4)2-3.

【詳解】試題分析：(1)根據因式分解法直接化為ab=0的形式解方程即可；

(2)根據配方法，化為頂點式尸a(x-h)2形式即可.

試題解析：(1)x2-4x-12=0

(x+2)(x-6)=0

x+2=0或x-6=0

xi=-2,X2=6

(2)y=—x2-4x+5

2

y=—(x2-8x+16-16)+5=—(x-4)2-3.

22

18.如圖，已知A(-4,2),B(-2,6),C(0,4)是直角坐標系中的三點.

(1)把^ABC繞著點。順時針方向旋轉90。，得到△A1B1C1,畫出旋轉后的圖形，并寫出點A

的對應點Ai的坐標；

(2)以原點0為位似，將4ABC縮小為原來的一半，請在所給的坐標系中作出所有滿足條件的

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圖形.

%

【正確答案】（1）如圖所示見解析，^AiBiCi即為所求，點A的對應點Ai的坐標為（2,4）；（2）

如圖所示見解析

【詳解】試題分析：（1）直接利用平移的性質，可分別求得△AiBiG各點的坐標，繼而畫出圖

形；

（2）利用位似的性質，可求得各點的坐標，繼而畫出圖形.

試題解析：（1）△AiBiCi如圖所示，其中Ai的坐標為（0,1）

（2）符合條件的三角形有兩個，如圖所示.

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19.如圖，等腰及△/8C中，BA=BC,N4BC=90。，點。在NC上，將△48。繞點8沿順時針

方向旋轉90。后，得到△C8E

(1)求/DCE的度數；

(2)若AB=4,CD=3AD,求。E的長.

【正確答案】解：(1)90°；(2)275

【分析】(1)首先由等腰直角三角形的性質求得N84D、N3CD的度數，然后由旋轉的性質可

求得N8CE的度數，故此可求得NDCE的度數；

(2)由(1)可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得NC的長，然后依據比例關系可得

到CE和DC的長，依據勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)為等腰直角三角形，

ZBAD=ZBCD=45°.

由旋轉的性質可知ZBAD=ZBCE=45°.

：.ZDCE=ZBCE+ZBCA=450+45°=90°.

(2)\'BA=BC,ZABC=90°,

???4C=1AB2+BC?=472-

?：CD=3AD,

：.AD=42>DC=36.

由旋轉的性質可知：AD=EC=42.

DE=^CE2+DC2=275-

本題考查旋轉的性質.

20.如圖.在口ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊AD的延長線上，且DF=BE.EF與CD

交于點G.

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D

G

(1)求證：BD〃EF.

2

(2)若——=-,BE=4,求EC的長.

GC3

【正確答案】(1)證明見解析；(2)6.

【詳解】試題分析：(1)根據平行四邊的判定與性質，可得答案；

(2)根據相似三角形的判定與性質，可得答案.

試題解析：(1)證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，，AD〃:BC.

VDF=BE,二四邊形BEFD是平行四邊形，；.BD〃EF；

(2)：四邊形BEFD是平行四邊形，，DF=BE=4.

DGDFDFCG,3

:DF〃EC,.?.△ADFGsCEG,，——=——，：.CE=------------=4x-=6

CEDG

考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

21.如圖，二次函數的圖象與x軸交于/(-3,0)和3(1,0)兩點，交y軸于點C(0,3),

點C、。是二次函數圖象上的一對對稱點，函數的圖象過點8、D.

(1)請直接寫出。點的坐標.

(2)求二次函數的解析式.

(3)根據圖象直接寫出使函數值大于二次函數值的x的取值范圍.

【正確答案】(1)。(-2,3)；(2)二次函數的解析式為產-N-2x+3；(3)函數值大于二次

函數值的x的取值范圍是x<-2或x>l.

【分析】(1)由拋物線的對稱性來求點。的坐標;

第29頁/總51頁

(2)設二次函數的解析式為尸ax2+6"c(存0,。、b、c常數)，把點/、B、C的坐標分別代

入函數解析式，列出關于系數a、b.c的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；

(3)由圖象直接寫出答案.

【詳解】解：(1)：如圖，二次函數的圖象與x軸交于4(-3,0)和8(1,0)兩點，

對稱軸是產-3上+一2=-1.

2

又點C(0,3),點C、。是二次函數圖象上的一對對稱點，

：.D(-2,3)；

(2)設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c(存0,a、b、c常數)，把/(-3,0)、B(1,0)、C

(0,3)代入得，

9a-3b+c=0

〈a+6+c=0,

c=3

a=-l

解得<b=-2,

c=3

所以二次函數的解析式為尸-X2-2x+3；

(3)如圖，函數值大于二次函數值的x的取值范圍是x<-2或x>l.

22.初三數學興趣小組市場，得到某種運動服每月的銷量與售價的相關信息如下表:

售價(元/件)100110120130

月銷量(件)200180160140

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已知該運動服的進價為每件60元，設售價為X元.

（1）請用含x的式子表示：①該運動服每件的利潤是元；②月銷量是________件；

（直接寫出結果）

（2）設該運動服的月利潤為J元，那么售價為多少時，當月的利潤，利潤是多少？

【正確答案】（1）（X-60）；,野二-斗：替物項；（2）售價為130元時，當月的利潤，利潤是

9800元.

【詳解】試題分析：（1）根據利潤=售價-進價求出利潤，運用待定系數法求出月銷量;

（2）根據月利潤=每件的利潤義月銷量列出函數關系式，根據二次函數的性質求出利潤.

試題解析:

（1）①該運動服每件的利潤是（x-60）元;

②設月銷量W與x的關系式為w=kx+b,

p00k+b=200

由題意得,

1110k+b=180

[k=-2

解得,tb=400

AW=-2x+400；

(2)由題意得，y=(x-60)(-2x+400)

=-2x2+520x-24000

=-2(x-130)2+9800,

，售價為130元時，當月的利潤，利潤是9800元.

23.如圖，已知正方形ABCD中，BE平分/DBC且交CD邊于點E,將4BCE繞點C順時針旋轉

到4DCF的位置，并延長BE交DF于點G

(1)求證：△BDGsZ\DEG；

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（2）若EG?BG=4,求BE的長.

【正確答案】（1）證明見解析（2）4

【詳解】（1）證明：???將ABCE繞點C順時針旋轉到4DCF的位置，

.,.△BCE^ADCF.AZFDC=ZEBC.

：BE平分NDBC,AZDBE=ZEBC.AZFDC=ZEBE.

又：NDGE=/DGE,AABDG^ADEG.

（2）解：VABCE^ADCF,；.NF=/BEC,ZEBC=ZFDC.

?.,四邊形ABCD是正方形，ZDCB=90°,ZDBC=ZBDC=45°.

,/BE平分NDBC,ZDBE=ZEBC=22.5°=ZFDC.

，NBDF=45°+22.5°=67.5°,ZF=90°-22.5°=67.5°=ZBDF.，BD=BF,

,/ABCE^ADCF,，ZF=ZBEC=67.5°=ZDEG.

.".ZDGB=180°-22.5°-67.5°=90°,即BG±DF.

：BD=BF,，DF=2DG.

““DGBG

?/△BDG^ADEG,BGXEG=4,——=——..,.BGxEG=DGxDG=4.DG=2

EGDG

；.BE=DF=2DG=4.

（1）根據旋轉性質求出/EDG=NEBC=/DBE,根據相似三角形的判定推出即可.

（2）先求出BD=BF,BGJ_DF,求出BE=DF=2DG,根據相似求出DG的長，即可求出答案

24.已知關于x的方程—（左+3）x+2k+2=0

（1）求證：方程總有兩個實數根

（2）若方程有一個小于1的正根，求實數k的取值范圍

【正確答案】（1）證明見解析；（2）-l<k<0

【分析】（1）證出根的判別式A=〃一4℃?0即可完成；

（2）將人視為數，求出方程的兩個根，即可求出左的取值范圍.

【詳解】（1）證明：a=l,b=~{k+3）,c=2k+2

A=〃—4℃=[—（左+3）]2—4x1x（2左+2）=左2—2左+1=/—Ip?0

方程總有兩個實數根

（2）—（左+3）x+2左+2=0

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.左+3±（左一1）

??X—

2

■?X]=k+1,X]—2

..?方程有一個小于1的正根

.-.0<^+1<1

-1<^<0

本題考查一元二次方程根的判別式與方程的根之間的關系，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.

25.（1）發現

如圖，點A為線段8c外一動點，且BC=a,AB=b.

填空：當點A位于時，線段ZC的長取得值，且值為.（用含b的

式子表示）

（2）應用

點A為線段外一動點，且8C=3,=1.如圖所示，分別以48,4c為邊,作等邊三

角形48。和等邊三角形ZCE,連接CD,BE.

①找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段長的值.

（3）拓展

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2,0）,點3的坐標為（5,0）,點尸為線段外

一動點，且P4=2,PM=PB,ZBPM=90°,求線段長的值及此時點尸的坐標.

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【正確答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①DC=BE,理由見解析；②BE的值是4;（3）AM

的值是3+2起，點P的坐標為（2-收，V2）

【分析】（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得值，即可得到結論；

（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB,AC=AE,NBAD=/CAE=60。，推出ACAD2Z\EAB,

根據全等三角形的性質得到CD=BE；②由于線段BE長的值=線段CD的值，根據（1）中的結

論即可得到結果；

（3）連接BM,將AAPM繞著點P順時針旋轉90。得到APBN,連接AN,得到AAPN是等腰直

角三角形，根據全等三角形的性質得到PN=PA=2,BN=AM,根據當N在線段BA的延長線時，

線段BN取得值，即可得到值為2亞+3；如圖2,過P作PELx軸于E,根據等腰直角三角形

的性質即可得到結論.

【詳解】解：（1）;點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b,

二當點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得值，且值為BC+AB=a+b,

故答案為CB的延長線上，a+b；

（2）?CD=BE,

理由：:△ABD與△ACE是等邊三角形，

AAD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即/CAD=/EAB,

在ACAD與aEAB中，

AD=AB

<ZCAD=ZEAB,

AC^AE

/.△CAD^AEAB,

；.CD=BE；

②線段BE長的值=線段CD的值，

由（1）知，當線段CD的長取得值時，點D在CB的延長線上，

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，值為BD+BC=AB+BC=4；

(3)?將AAPM繞著點P順時針旋轉90。得到APBN,連接AN,

則AAPN是等腰直角三角形，

圖1

；.PN=PA=2,BN=AM,

：A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),

AOA=2,OB=5,

；.AB=3,

線段AM長的值=線段BN長的值，

.?.當N在線段BA的延長線時，線段BN取得值,

{f=AB+AN,

VAN=V2AP=2V2>

值為2血+3；

VAAPN是等腰直角三角形，

APE=AE=V2，

.*.OE=BO-AB-AE=5-3-V2=2-V2>

AP(2-V2-V2).

考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，值問題，旋轉的性質.正確的作出

輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

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26.如圖，拋物線A(-2,0),B(--,0),C(0,2)三點.

2

\I

\J\

A\Bl

jr

(i)求拋物線的解析式；

(2)在直線AC下方的拋物線上有一點D,使得4DCA的面積，求點D的坐標；

(3)設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足N/"H=90°?若存在，請

求出點H的坐標；若沒有存在，請說明理由.

【正確答案】(1)拋物線的解析式為)=2/+5x+2；

(2)點D的坐標為(-1,-1).

(3)點H存在.點H坐標為(---,----).

1272

【詳解】試題分析：(1)由待定系數法即可得；

由題意可求得直線AC的解析式為>=x+2.如圖，

設D點的橫坐標為t(-2<t<0),則D點的縱坐標為2〃+5t+2.過D作y軸的平行線交AC

于E.則E點的坐標為/+2).從而可得。￡=^+2-(2〃+5，+2)=—2,2—書，用h表示

點C到線段DE所在直線的距離，則可得

第26頁/總51頁

S^c=S,CDE+S^DE=^DE-h+^DE-（2-h）=^DE-2

=一2r-4f=一2?+1）2+2,由-2<t<0可知當t=-l時，ZXDAC面積，此時點D的坐標為（-1,

-1）.

點H存在.

一59

由（1）知，點M的坐標為（一一,一一）

48

如圖，假設存在點H,滿足44四77=90°

作直線MH交X軸于點K（X,0）,作MNLX軸于點N.可得UMNs^MKN,從而有

727

MN2=AN-NK.從而得點K的坐標為（77,0），得直線MK的解析式為>=彳*-丁，解

16324

=lx_J_①

方程組｛324，得X]=—,x=----.將乙=代入y=-x-----中,

廣2八5》+2②彳2212212324

解得了=-五，由于直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）.從而知拋物線上必

存在一點H,使NAMH=90。，此時點H坐標為（---,----）.

1272

試題解析：（1）?.?該拋物線過點C（0,2）,.?.可設該拋物線的解析式為y=a/+6x+2.

4a—2b+2=0

ici—2,

將A(-2,0),B(-；,0)代入，得｛11，解得：｛,u

2-a——6+2=0o=5.

42

，此拋物線的解析式為＞=2/+5x+2；

(2)由題意可求得直線AC的解析式為y=x+2.如圖，

第27頁/總51頁

沖

設D點的橫坐標為t(-2<t<0),則D點的縱坐標為2『+5f+2.

過D作y軸的平行線交AC于E.；.E點的坐標為伍f+2).

.,.DE=t+2-(2t2+5t+2)=-2t2-4t，用h表示點C到線段DE所在直線的距離,

：.S^AC=S,CDE+SMDE=^DE-h+^DE-[2-h)=^DE-2

=—2產-4f=一2?+1)2+2

V-2<t<0

二當t=-l時，△DAC面積，此時點D的坐標為(-1,-1).

(3)點H存在.

一59

由(1)知，點M的坐標為(一一,一一)

48

如圖，假設存在點H,滿足4440=90°

作直線MH交x軸于點K(X,0),作MNJ_x軸于點N.

,?*ZAMN+ZKMN=90°,ZNKM+ZKMN=90°，，AAMN=ZNKM,

ANMN

VZANM=ZMNK=90°，AAMN^AMKN,：.——=——,:.MN?=AN?NK

MNNK

...(2)2=(2—9)(x+』)，=...點K的坐標為(工,0),所以直線MK的解析式為

8441616

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y=-x-—,AC-3'24,，把①代入②，化簡，得：48/+104彳+55=0,

324y=2x2+5x+2②

A=(104)2-4x48x55=