2020-2021學年四川省內江市高一（下）期末數學試卷（理科）

一、選擇題（共12個小題，每小題5分，共60分）.

]/c兀、兀

1.cos(2x----)cios2x+sin(2x----)sin2x=:()

66

B.-返D.返

A.--c.—

2222

2.若a>b,則一定有()

A.—<—B.\a\>\b\cD.〃3〉拄

ab-后

3.記S八為等差數列｛斯｝的前〃項和.若〃4+。5=0,46=3,則S7=（)

A.-12B.-7C.0D.7

4.已知向量；=（1,2)，b=(1,0)，c=(3,4）?若（a+入b）”c（XER）-則實數入

=()

A.2B.1C.—D.—

24

5.設a為銳角，若cos(a+-^-)=性，則sin（2a+年）的值為（)

65

A.12“24c「.--24D.-衛

25252525

6.已知x>0,y>0.且若2x+y>M恒成立，則實數機的取值范圍是（）

xy

A.(-8,7]B.(-8,7)C.(-8,9]D.(-8,9)

7.已知AABC內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,面積為S.若asinqt=6sinA,2S

=V3BAr'ci,則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

8.中國當代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“二百五十二里關，初行健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其意思

為：“有一個人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天

的一半，走了6天后到達目的地，則最后一天走了（）

A.4里B.16里C.64里D.128里

9.將函數y=sin（x-胃）的圖象縱坐標不變，橫坐標變為原來的兩倍，再向右平移—個單

位長度，得到函數y=/（x）的圖象.在AABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,

若f（2A）二-坐，且a=4,b=敘歷，則△ABC的面積為（）

A.4B.6C.8D.10

10.已知等比數列｛斯｝的各項均不相等，且滿足〃2+2〃I=6,的2=2〃6,則該數列的前4項和

為（）

A.120B.-120C.3D.-22.5

222222

11.在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C所對的邊，.2土=3上b=且

cb

宇”上￡2盧，若點。是△ABC外一點，0A=2,OB=1.則平面四邊形0AC8的面

sinAcosA

積的最大值是（）

A.B.C.3D.

442

12.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若仍=昌返，b+3acosC=0,則

2

當角2取得最大值時，石在正方向上的投影是（）

A.B.c.D.-710

555

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知平面向量Z=（2,5）,E=（1°，X），若則兀=.

14.計算：sin60°cosl5O-2sin215°cosl5°=.

15.設。>0,/?>0,且5次?+/?2=1,則q+b的最小值為.

16.已知正項等比數列｛〃〃｝中，“4-42=6,〃5-〃1=15,則斯=,又數列｛為｝滿足

力卷，b^i二不?；若S〃為數列｛斯+也｝的前〃項和，那么.

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、推演步驟.）

17.已知等比數列｛〃〃｝的前〃項和為S〃,若S4=15,S6=9S3.

（1）求數列｛為｝的通項公式；

（2）若d=log2a2〃,求數列｛瓦｝的前H項和4.

18.已知|；|=2,后|=3,W-3百?（2彳+1）=-7.

（1）若Z-E與37十%芯垂直，求女的值；

（2）求之與Z+E夾角的余弦值.

19.解關于x的不等式：“N+（1-〃）%-1>0.

c，c

20.在△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且滿足2a^b，C0Sl°sB,

cosA+cosA

（1）求出角A的值；

（2）若a=2,求△ABC的周長的范圍.

21.在△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，2扶=Cb2+c2-a2）（1-tanA）.

（1）求角C；

（2）若C=2JI5,D為BC中點,在下列兩個條件中任選一個，求AO的長度.

條件①：△ABC的面積S=4且2>4；

條件②：cosB=2g.

D

22.已知數列｛斯｝的前〃項和為S〃，且滿足〃i=l,當〃三2（吒N*）時，（幾+1）

（n3-n）?

o

（1）計算：CL2,〃3；

（2）求｛斯｝的通項公式；

（3）設瓦=tanj^,求數列｛瓦+i瓦｝的前〃項和7k

參考答案

一、選擇題（共12個小題，每小題5分，共60分）.

(2x-^~)cos2x+sin(2x-^~)sin2x=()

1.cos

66

1B.考D.李

A.c

~24

../兀(71./兀、?/兀、

解:?COS(2X--^)=COS(_7-_2X)?，

6666

兀71,兀./冗、.

cos(2x------)cos2x+sin(2x------)sin2x=cos(-^-2x)cos2x-sinH^-2x)sin2x

6666

/兀、兀?

=COS(-7-2x+2x)=COS-7-=-7--

662

故選：D.

2.若a>b,則一定有（）

A.—<^B.\a\>\b\C.D.〃3〉拄

解：對于A,若〃>0>。，則［故A錯誤；

ab

對于8,若0>〃>4則⑷〈回，故8錯誤；

對于C,若。>a>b,則°2<62,則故C錯誤；

對于。，若a>b,則。3>加顯然成立，故。正確.

故選：D.

3.記S〃為等差數列｛斯｝的前〃項和.若〃4+。5=0,06=3,則$7=（）

A.-12B.-7C.0D.7

軟《+@5=2軟1+7d-0,

解：因為《

=a]+5d-3,

軟廣一7,

所以《

d=2,

7(7-1)

S=(-7)X7+2X

72

故選：B.

4.已知向量a=(1,2)，b=(150)，c=(3,4)-右(a+人b)#c(入€RM則實數入

()

1

A.2B.1c4D.z

解：:向量a=（l,2），b=（l,0），c=（3,4）.

???a+入b=（1，2）+入（1，0）=（1+A,2）,

,?*(a+b)//c(入CR)，

；.4(1+A)-3X2=0,解得入營.

故選：C.

設a為銳角，若cos（a+?）=《，則sin（2a+g）的值為（

5.)

653

A送R24C.-2412

D.---------D.

252525

/兀、4

解：:a為銳角，cos(a^r)=r

*e(0,會

2,兀、_3

??sin(al-coS(0.4^-)1T

貝！Jsin(2a+"~^")=2sin(a+-^-)cos(a)=2X-1-X424

525

故選：B.

已知兀>0,y>0.且2上1，若2x+y>m恒成立，則實數m的取值范圍是（）

6.

xy

A.(8,7]B.8,7)C.(-8,9]D.8,9)

解：—Ll,

且1>0,y>0,

xy

?(2二)=4+1+紅+叁力5+2

2x+y=(2x+y)

xyyx

當且僅當區=里，即冗=尸3時，等號成立,

yx

???2x+y的最小值為9,

故選：D.

一A+T

7.已知△ABC內角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,面積為S.若asin-六=/?sinA,2s

=?而?瓦，則△ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.正三角形D.等腰直角三角形

解：因為asinA"=bsinA,

2

所以asin--)=acos-=Z^sinA,

222

由正弦定理可得sinAcos—=sinBsinA,

2

因為sinAWO,可得cos—=sinB=2sin—cos—,

222

因為BE(0,it),—G(0,----),cos—^0,

222

所以可得sin掾=《，可得掾=3,可得8=二，

22263

又2S=J^五?衰，可得2X?^■6csinA=J^?bccosA,即tanA=

因為Ae(0,n),可得A=二，

o

JT

所以Cnir-A-Buf,則△ABC的形狀是正三角形.

故選：C.

8.中國當代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“二百五十二里關，初行健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其意思

為：“有一個人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天

的一半，走了6天后到達目的地，則最后一天走了（）

A.4里B.16里C.64里D.128里

解：有一個人走252里路，第一天健步行走,

從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地,

則第n天走的里程數｛斯｝是公比為￡的等比數列,

??S6=-千=252,

解得。1=128,

則最后一天走了4Z6=128X~V=4.

25

故選：A.

9.將函數y二sin（x-《-）的圖象縱坐標不變，橫坐標變為原來的兩倍，再向右平移〒個單

OO

位長度，得到函數y=/(x)的圖象.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是〃，b,c,

若f(2A)=-堂，且a=4,b=l/2>則△ABC的面積為()

A.4B.6C.8D.10

解：由題意可得,f(x)=sin[|(x-y-)-^]=sin(1-y)=-coSf

f(2A)=-cosA=cosA=^^-.

兀

V0<A<ir,A=—.

4

a=4,b=472，由余弦定理得42=(蚯)2+c2-2x4如cX號，

整理得c2-8c+16=0,得c=4.

???S^ABC4ABXACXsinAW，???△ABC的面積為8,

故選：C.

10.已知等比數列｛。〃｝的各項均不相等，且滿足的+20=6,俏2=2疑，則該數列的前4項和

為()

A.120B.-120C.3D.-22.5

解：等比數列｛斯｝的各項均不相等，且滿足42+241=6,的2=2〃6,

%]q+2a]=6

-J(a1q2)2=2%q5,

q^l

解得ai=-6,q=-3,

???該數列的前4項和為：

$4=逸[包在尸]=120.

1-(-3)

故選：A.

222222

11.在△ABC中，a、b、c分別為內角A、B、C所對的邊，,士邑二P_=a+b-c且

cb

絲這_=l-co：B,若點。是△age外一點，0A=2,02=1.則平面四邊形0AC2的面

sinAcosA

積的最大值是()

A,經返B.空運C,3D.空運

442

解：由型_上￡￡或，

sinAcosA

所以sinBcosA+sinAcosB=sinA,

所以sin(A+B)=sinA,即sinC=sinA,

所以C=A,

又記上止=史也±_,可得2accosB=2abcosC,可得cosB=cosC,可得8

cbcb

=c,

所以△ABC為等邊三角形,

由余弦定理得?2=12+22-2X2cos0,

貝1!SOACB=LX1X2sin8+^^42=sin8+^^（5-4cos0）=2sin（8-兀）+5y,

24434

當e=器時，四邊形OACB面積取得最大值空返.

64

故選：A.

12.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為〃、b、c,若曲=芻7°,Z?+3“cosC=0,則

2

當角5取得最大值時，源在以方向上的投影是（）

A.B.C.-D.--/10

555

解：由/?+3〃cosC=0,得cosCVO,

由正弦定理可得sinB+3sinAcosC=0,

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,可得4sinAcosC+cosAsinC=0,

.\tanC=-4tanA,由角。為鈍角，可得角A為銳角，即tanA>0,

從而tanB=-tan(A+C)=-tanA+tan,=3tanA=丁^------

1-tanAtanCl+4tanA~—^+4tanA

<1當且僅當tanA制時等號成立,

*4tanA

Q1

此時角3取最大值，且tanB=左，tanC=-4義彳"=-2,

V5_4

則cosC=—,cos6R.

55

375

ab=

2'解得k邛

聯立4

a=0

庠D

CB在BA方向上的投影是，3^：=a，cos（冗-B）=-a,cosE=2師

IBAI

故選：B.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知平面向量之=(2,5),己=(1°，X)，若則＞=-4

解：根據題意，向量(2,5),己=(1。，X)，

若彳_19則Z，E=20+5X=0,解可得X=-4；

故答案為：-4.

14.計算：sin60°cosl5°-2sin215°cosl5°=.

—2―

解：Vsin30°=2sinl5°cosl5°,sin30°=cos60°，

sin60°cosl5°-2sin215°cosl5°=sin60°cosl5°-cos60°sinl5°=sin(60°-

15°)=sin45°=返.

2

故答案為：返.

2

A

15.設a>0,b>Q,且5"+62=1,貝|a+6的最小值為—.

一5一

解：因為a>0,b>0,且5"+62=1,

所以a=l-b,

5b

因為〃>0,

所以0V5VL

當且僅當4造，即。=提時取等號,

5b5210

，一4.

則a+b的取小值

5

故答案為：

5

n1

16.已知正項等比數列｛斯｝中，44-42=6,45-41=15,則an=2~,又數列｛。〃｝滿足

11Qn_1

bi=y，b4/彳石-；若S〃為數列｛斯+ib〃｝的前"項和，那么$3“=_色皆_.

a,(q3-q)=6

解：設正項等比數列｛斯｝的公比為q,由題設可得：\,

a/q4-1)=15

ap-16

a,1=1

解得：＜赤](舍)，???斯=2〃%

,q=2

'?"1節，bn4-l=l-b，bi=—岳=2,63=-1,b4=~~>65=2,bf>="1,

n22

數列｛瓦｝是周期為3的周期數歹U,

-2n,n=3k,k€N*

=_J

an+\bn-n=3k2,k€N*:?a3k-lb3k-2+a3kb3k-l+a3k+lb3k=l?k-3+》k-2?k=8k

2n+1.n=3k-l,k€N*

-1

nn

?…?-_-l---8----_-8------l-,

1-87

故答案為：2"\止1

7

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、推演步驟.）

已知等比數列｛斯｝的前“項和為若

17.S”S4=15,S6=9S3.

（1）求數列｛小｝的通項公式；

（2）若兒=log2a2"，求數列｛a｝的前〃項和7“

解：（1）由S6=9S3,可得公比q不為1,

由S4=15,S6=9S3,可得的（1-q）=15,（1-q）=9?4（1-q）,

1-q1-q1-q

解得m=l,q=2,

所以—=1?2〃F=2〃F；

(2)bn—log2a2〃=log222n-1=2〃-1,

所以｛為｝是首項為1,公差為2的等差數列，

故數列｛瓦｝的前n項和.J（1+y1）=洛

18.已知|m=2,后|=3,（2；-31）?（2；+石）=-7.

（1）若Z-E與3；+顯垂直,求k的值；

（2）求之與Z+E夾角的余弦值.

解：⑴因為|京=2，1b1=3-

所以（2a-3b）?（2a+b）=4a2-41-b-3b2=16-4a27=-7,

所以7?%=-1,

因為a-b與3a+%b垂直，所以（a-b）?（3a+kb）=0,

即3a+ka?b-3a?b-kb=0'

所以12-Z+3-9仁0,即k1■.

2

故k的值為宏

⑵lZ+0保”=用荔^=日麗FT1，

設向量:與二+E的夾角為0>

貝ijcos0=a，（a+b）=a+a?b=4-1=M11,

|a|-|a+b|2X?27n22

所以向量不與一的夾角的余弦值為岑工1.

19.解關于x的不等式：”1+（1-〃）1_i>o.

解：根據題意，對于QN+（1-4）X-1>0,

分3種情況討論：

當〃=0時，不等式等價于x-1>0,其解集為｛%|%>1｝,

當。>0時，不等式變形可得（%+工）（x-1）>0,

a

不等式對應方程的兩個實數根為-工和1,且-工<1,不等式的解集為｛x|x<-工或x>

aaa

1｝，

當x<0時，不等式變形可得G+工）（x-1）<0,

a

不等式對應方程的兩個實數根為-工和1,

a

當-l<a<0時，-2>1,不等式的解集為｛x|l<x<-1｝；

aa

當。=7時，-」=1,不等式為（X-1）2<0,其解集為0；

a

當a<-l時，-工<1,不等式的解集為｛無卜工<x<l｝；

aa

綜合可得：當。>0時，不等式的解集為｛x|x<-!或無>1｝,

a

當4=0時，不等式解集為｛x|x>l｝,

當-1V〃VO時，-不等式的解集為｛x[l<x<~;

a

當〃=一1時，不等式為（x-1）2<0,其解集為0；

當。<-1時，不等式的解集為｛R-2<x<l｝.

a

20.在△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,且滿足26/=b，CQSl-+-.

cosAcosA

(1)求出角A的值;

(2)若〃=2,求△ABC的周長的范圍.

解：(1)在△A3C中，三個內角A、B、C所對的邊分別是。、b、c,且滿足2a=

b?cosCfcosB

cosAcosA

sinBcosC+sinCcosB

利用正弦定理:2sinA=

cosA

整理得：cosA=］，

由于：OVAVTT,

所以人==，

3

(2)由于〃2=5+。2-2bccosA=/?2+c2-反=(0+c)2-3/?c=4,

由于bc4(等)2，

所以4》(b+c)2」(b；c)2,

整理得b+cW4,當且僅當6=c=2時，等號成立.

故6+c+aW6

由于b+c>a,

所以a+b+c>2a=4,

故周長的取值范圍為(4,6],

21.在△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，2〃=(^2+c2-6z2)(1-tanA).

(1)求角C;

(2